Lección 5 Técnicas cualitativas para las Ecuaciones diferenciales

Leccion 5

Tecnicas cualitativas para las Ecuaciones

diferenciales de primer orden:

Campos de pendientes y lıneas de fase

5.1. Tecnicas Cualitativas

Hasta ahora hemos estudiado tecnicas analıticas para calcular, mediante integracion,las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales de primer orden. Desgraciadamente, estastecnicas solo sirven para hallar soluciones analıticas de muy pocas ecuaciones. Y lo que espeor, no se puede esperar descubrir metodos que permitan hallar, mediante tecnicas analıti-cas, soluciones a muchas ecuaciones. Por ello debemos considerar tambien la posibilidad deestudiar las ecuaciones diferenciales mediante otros metodos. En esta Leccion estudiaremosalgunos metodos cualitativos.

5.2. Campos de Pendientes

La idea basica que esta detras de los metodos cualitativos que estudiaremos en estaseccion es la de que la derivada de una funcion en un punto es la pendiente de la recta

67

68 Tecnicas cualitativas: Campos de pendientes y lıneas de fase

tangente a la grafica de la funcion en dicho punto. Con esta idea en mente, decir que x(t) essolucion de la ecuacion diferencial

x′ = f(t, x)

significa que la pendiente de la recta tangente a la grafica de x = x(t) en el punto (t0, x0),x0 = x(t0), es f(t0, x0). En otras palabras, dar la ecuacion diferencial es dar el valor dela pendiente de las curvas solucion en todos los puntos del plano. De esta forma podemosasociar a cada punto (t0, x0) del plano un pequeno segmento que tenga de pendiente, en(t0, x0), el valor f(t0, x0). Este conjunto de pequenos segmentos en el plano t − x se llamacampo de pendientes de la ecuacion. En la practica solo es posible dibujar un pequenonumero de segmentos en el plano, pero dibujando un numero suficientemente grande de ellospodemos tener una idea mas o menos clara de como son las tangentes a las curvas solucionde la ecuacion.

Dibujar el campo de pendientes de una ecuacion a mano es una tarea costosa. Afortuna-damente hay programas de ordenador que nos ayudan en esta tarea. No obstante, y aunquemostraremos enseguida los resultados que produce uno de estos programas, conviene, al me-nos una vez, dibujar a mano un pequeno campo de pendientes para alguna ecuacion. Estaes la unica forma de comprender lo que de forma mas rapida y con mejores resultados haceel programa de ordenador.

Consideremos por ejemplo la ecuacion

x′ = x2 − t

Esta ecuacion tan simple no es de ninguno de los tipos que hemos estudiado. Ası que notenemos una idea de como son sus soluciones. En este caso f(t, x) = x2 − t.

Para dibujar el campo de pendientes (solo en unos pocos puntos del plano), escogemosunos cuantos puntos, y calculamos en cada uno de ellos el valor de f . Este numero sera lapendiente de la recta tangente a la curva solucion que pasa por dichos puntos. Por ejemplo,la pendiente de la tangente a la curva solucion en el punto (1, 1) es f(1, 1) = 1 − 1 = 0.Dibujamos, entonces, en el punto (1, 1) una pequena recta de pendiente 0. Podemos hacerlo mismo con otros puntos y podemos colocar todos los valores obtenidos en una tabla. Porejemplo:

(t, x) f(t, x) (t, x) f(t, x) (t, x) f(t, x)(−1, 1) 2 (0, 1) 1 (1, 1) 0(−1, 0) 1 (0, 0) 0 (1, 0) −1

(−1,−1) 2 (0,−1) 1 (1,−1) 0

En cada uno de estos puntos dibujamos pequenas segmentos, centrados en dichos puntos,con la pendiente dada por el valor de f en ese punto. Obtendrıamos en este caso algo parecidoa lo siguiente:

5.2 Campos de Pendientes 69

−1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

Figura 5.1:Campo de pendientes de la ecuacion

x′ = x2 − t

correspondiente a los nueve puntos dela tabla. No son puntos suficientes comopara tener una idea de como son lasgraficas de las soluciones.

Tal y como hemos comentado, se puede usar el ordenador para conseguir campos dependientes que nos proporcionan una idea mas precisa de como pueden ser las graficas delas solucione se la ecuacion diferencial. La Figura 5.2 ha sido producida por un ordenadory corresponde al campo de pendientes de la ecuacion x′ = x2 − t. En el se aprecia que lascurvas solucion que cortan al eje de abscisas a la izquierda de −1 son curvas que son siemprecrecientes, mientras que las que cortan a la derecha de este punto alcanzan un maximo ycomienzan a decrecer. Parece tambien que las pendientes en el cuarto cuadrante tuvierantodas del punto t = 3 en adelante fueran todas en la misma direccion, como si hubiera unaasıntota.

El mismo programa de ordenador produce, mediante metodos numericos, algunas curvassolucion (Figura 5.3. Aunque algunas de estas curvas parecen coincidir en el cuarto cuadrante,se trata solamente de un efecto visual y de la imprecision de la salida grafica del ordenador.Sabemos, en efecto, que la ecuacion x′ = x2− t cumple las hipotesis del teorema de unicidady, en consecuencia, no puede haber soluciones de la ecuacion que se toquen.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

t

Figura 5.2: Campode pendientes de laecuacion x′ = x2−tgenerado por orde-nador.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

t

Figura 5.3: Algu-nas curvas solucionde la ecuacionx′ = x2 − t pro-ducidas medianteaproximacionnumerica por unordenador.


Aun disponiendo de una buen esbozo del campo de pendientes de una ecuacion diferencial,no siempre reulta facil hacerse una idea precisa de como pueden ser las curvas solucion.Hay, sin embargo, algunos casos particulares importantes para los que sı podemos estudiarfacilmente como son los campos de pendientes y las curvas solucion.

5.2.1. Algunos casos particulares importantes

Los casos particulares que podemos estudiar facilmente son los correspondientes a lasecuaciones diferenciales de la forma

x′ = f(t) y x′ = f(x).

Estos casos son los mas sencillos incluso desde el punto de vista analıtico. Nos podemospreguntar para que estudiar tecnicas analıticas cuando podemos integrar directamente. Larazon ya la hemos expuesto en varias ocasiones anteriormente: Solo somos capaces de cal-cular analıticamente funciones muy sencillas. A poco que las funciones f(t) o f(x) sean unpoco complicadas no vamos a ser capaces de encontrar una solucion analıtica (explıcita niimplıcita) de nuestras ecuaciones. Por ejemplo, ¿como son las curvas solucion de la ecuaciondiferencial

x′ = e−t2?.

Puesto que no podemos encontrar una “formula” que nos de una primitiva de e−t2 no somoscapaces analıticamente de decir gran cosa de las soluciones de esta ecuacion. Sin embargo,como vamos a ver enseguida, sı podemos conseguir mucha informacion a traves de su campodependientes.

Consideremos, en primer lugar, la ecuacion

x′ = f(t)

¿Que significa que la funcion f no depende de x?. El significado es que si fijamos un valorde t, digamos t = t0, el valor de f en todos los puntos de la recta vertical t = t0 es elmismo: f(t0). Como x′(t0) = f(t0) tenemos que la pendiente de todas las curvas solucionde la ecuacion en todos los puntos de la recta t = t0 es la misma. Es decir, los pequenossegmentos que marcan las rectas tangentes a las curvas solucion son todos paralelos. (Veasela Figura 5.4).

Ahora bien, si a lo largo de cada recta vertical todas las marcas de pendiente son iguales,esto quiere dcir que todas la curvas solucion de la ecuacion son paralelas.

Consideremos, por ejemplo, la siguiente ecuacion:

x′ = 2t.


−1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

t

x

Figura 5.4:Si el lado derecho de la ecuacion

diferencial no depende de la variabledependiente, las marcas de las

pendientes son paralelas a lo largo decualquier recta paralela al eje x.

−3 −2 −1 1 2 3

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

Figura 5.5: Campo de pendientes de laecuacion x′ = 2t. Todas las marcas delas pendientes son paralelas a lo largode rectas verticales.

−3 −2 −1 1 2 3

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

Figura 5.6: Algunas graficas de las so-luciones de la ecuacion x′ = 2t super-puestas sobre su campo de pendientes.

Ya sabemos que la solucion general de esta ecuacion es x(t) = t2 +C siendo C una constantecualquiera. La funcion x(t) = t2 es una parabola con vertice el punto (0, 0) y la funcionx(t) = t2 + C es una parabola con vertice el punto (0, C). Por lo tanto, todas la solucionesde la ecuacion x′ = 2t son parabolas con vertices a lo largo del eje de ordenadas. Ademascomo a lo largo de cada recta t = t0 las pendientes de cada curva solucion son iguales: 2t0,todas las parabolas son paralelas unas a otras. esto se refleja en las Figuras 5.5 y 5.6.

De forma similar, aunque no tengamos una “formula” para la integral de la funcione−t2 podemos obtener, con ayuda de un ordenador el campo de pendientes de la ecuaciondiferencial x′ = e−t2 y un esbozo de la grafica de algunas soluciones: Figuras 5.7 y 5.8


−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

Figura 5.7: Campo de pendientes de laecuacion x′ = e−t2 . De nuevo, todas lasmarcas de las pendientes son paralelasa lo largo de rectas verticales.

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

Figura 5.8: Algunas graficas de las so-luciones de la ecuacion x′ = e−t2 super-puestas sobre su campo de pendientes.

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 5.9:Si la ecuacion diferencial es autonomalas marcas de las pendientes son parale-las a lo largo de cualquier recta paralelaal eje t.

5.2.2. Campo de pendientes para ecuaciones autonomas

Las ecuaciones diferenciales autonomas son las de la forma

x′ = f(x),

es decir, ecuaciones en las que fno depende de t. El mismo razonamiento que hemos hechopara las ecuaciones en las que f no depende de x nos sirve ahora para concluir que las marcasde pendientes de todas las ecuaciones autonomas son paralelas a lo largo de las rectas x = x0;es decir, rectas horizontales. En efecto, en este caso si t1 y t2 son dos valores distintos de tentonces f(t1, x) = f(t2, x) = f(x) para todo valor de x. (vease Figura 5.9)

Consideremos, por ejemplo, la ecuacion autonoma

x′ = 4x(1− x).

Su campo de pendientes es el de la Figura 5.10. Se puede comprobar a simple vista que a lolargo de cada lınea horizontal las marcas de pendiente son pararalelas. De hecho, si 0 < x < 1


entonces x′ > 0 y las pendientes sugieren que las soluciones entre las rectas x = 0 y x = 1son crecientes. Sin embargo, si x < 0 o x > 1 entonces x′ < 0 y las marcas de pendientesugieren que las soluciones correspondientes son decrecientes. Ademas, tenemos solucionesde equilibrio en x = 0 y x = 1. Para estos valores las marcas de pendientes son horizontales.Todo esto queda puesto de manifiesto en la Figura 5.11.

El hecho de que las ecuaciones autonomas producen campos de pendientes que son pa-ralelos a lo largo de lıneas horizontales, indica que podemos obtener un numero infinito desoluciones a partir de una dada sin mas que trasladarla hacia la izquierda o hacia la derecha(vease la Figura 5.12)

5.2.3. Analisis analıtico versus cualitativo

Para la ecuacion autonoma

x′ = 4x(1− x)

podrıamos haber utilizado procedimientos analıticos para encontrar formulas explıcitas paralas soluciones. Se trata, en efecto, de una ecuacion en variables separables que podemosintegrar mas o menos facilmente. En efecto, vemos, como ya hemos mencionado mas arriba,que hay dos soluciones de equilibrio: x(t) = 0 y x(t) = 1, y que una vez consideradas podemosseparar las variables:

1

x(1− x)dx = 4 dt.

−1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

Figura 5.10: Campo de pendientes dela ecuacion x′ = 4x(1 − x). Todas lasmarcas de las pendientes son paralelasa lo largo de rectas horizontales.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

Figura 5.11: Algunas graficas de las so-luciones de la ecuacion x′ = 4x(1 − x)superpuestas sobre su campo de pen-dientes.


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 5.12:Grafica de cuatro soluciones de unaecuacion autonoma. Cada una de ellasse obtiene de otra trasladandola haciala derecha o hacia la izquierda.

Integrando: ∫1

x(1− x)dx =

∫ (1

x+

1

1− x

)dx = ln

x

1− x

y ∫4 dt = 4t.

De forma que la solucion general de la ecuacion serıa:

lnx(t)

1− x(t)= 4t + C ⇒ x(t)

1− x(t)= Ke4t,

y despejando x(t) obtenemos la solucion general en forma explıcita:

x(t) =Ke4t

1 + Ke4t.

Dibujar la grafica de esta funcion “ a mano” no es tarea sencilla. Claro que podrıamosayudarnos de algun programa de ordenador y si lo hacemos obtendrıamos una grafica comola que se muestra en la Figura 5.13.

−1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2x

t

Figura 5.13:Grafica de tres soluciones de laecuacion autonoma x′ = 4x(1−x) juntoa las soluciones de equilibrio. La graficaha sido producida con MATLAB c©.

5.3 Diagramas de Fase 75

Hay sin embargo ecuaciones autonomas de las que muy poco podemos decir de sus solucio-nes si las tratamos exclusivamente mediante metodos analıticos. Consideremos, por ejemplo,la ecuacion

x′ = ex2

10 sen2 x.

Como es una ecuacion autonoma podemos separar las variables y resolverla analıticamente:

∫dx

ex2

10 sen2 x=

∫dt,

pero la integral de la izquierda no puede evaluarse facilmente. Debemos, entonces, recurrir ametodos cualitativos. El lado derecho de la ecuacion diferencial es positivo salvo para x = nπ,cualquiera que sea el entero n. Estos valores especiales de x coresponden a soluciones deequilibrio. Y entre estas posiciones de equilibrio las curvas integrales son siempre crecientesporque la derivada es positiva. Esto se refleja claramente en el campo de pendientes (veasela Figura 5.14): entre dos soluciones de equilibrio las marcas de pendiente senalan que lassoluciones crecen de una solucion de equilibrio a la otra. Por lo tanto podemos predecir elcomportamiento de las soluciones a largo plazo aun cuando no dispongamos de una solucionexplıcita de la ecuacion.

−3 −2 −1 1 2 3

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

Figura 5.14:Campo de pendientes y graficas dedos soluciones de la ecuacion autonomax′ = e

x2

10 sen2 x junto a dos solucionesde equilibrio.

5.3. Diagramas de Fase

Los campos de pendientes nos dan mucha informacion sobre las soluciones de ecuacionesdiferenciales sin tener que calcularlas analıticamente. La objeccion que se podrıa poner aesta tecnica cualitativa es que construir a mano un campo de pendiente significativo parauna ecuacion complicada es una tarea muy costosa salvo que se disponga de un ordenadory de los programas adecuados. Desde luego se trata de una objeccion menor debido a lapopularizacion del uso de los ordenador y la disponibilidad de dichos programas. Hay, noobstante, otra tecnica cualitativa que requiere mucho menos trabajo y que para algunas


ecuaciones diferenciales proporciona abundante informacion. Se trata de los diagramas defase, que estudiaremos en esta seccion aunque solo lo haremos para ecuaciones autonomas.En realidad las ecuaciones autonomas aparecen con muchısima frecuencia como modelosmatematicos para el estudio de los fenomenos fısicos. Ello es debido a que la mayorıa de ellosfuncionan (o al menos se espera que funcionen) igual todo el tiempo; es decir, son invariantesen el tiempo.

Ya hemos visto que los campos de pendientes de las ecuaciones autonomas tienen lacaracterıstica especial de que las marcas de pendiente son paralelas a lo largo de rectashorizontales. Esto significa que si conocemos las marcas de pendiente de la ecuacion a lolargo de una recta vertical, digamos t = t0, entonces las marcas de pendiente para cualquierotro valor de t son las mismas. Entonces, ¿para que dibujar todo el campo de pendientessi toda la informacion se encuentra en una, cualquiera, de las rectas verticales?. En vez dedibujar todo el campo de pendientes podrıamos dibujar solo una lınea vertical que contuvieratoda la informacion. Esta lınea se llama diagrama o lınea de fase de la ecuacion autonoma.

Consideremos la siguiente ecuacion autonoma

x′ = (1− x)x

En este caso f(x) = x(1 − x) con lo que las soluciones de equilibrio de esta ecuacion sonx(t) = 0 y x(t) = 1. Los puntos x = 0 y x = 1 sobre el eje x se llaman puntos de equilibrio.Los senalamos en la lınea de fase de la ecuacion con un punto o circulito. Observamos,ademas, que f(x) > 0 si 0 < x < 1 y f(x) < 0 si x < 0 o x > 1. Esto significa que lascurvas solucion de la ecuacion son crecientes si 0 < x < 1 y decrecientes si x > 1 o x < 0.Indicamos esta situacion sobre la lınea de fase poniendo una flecha apuntando hacia arribaentre x = 0 y x = 1 y dos flechas apuntando hacia abajo: una por encima de x = 1 y otra pordebajo de x = 0 (vease las Figuras 5.15 y 5.16). Si comparamos con el campo de pendientes

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

x

t

Figura 5.15: Lınea de fase para laecuacion x′ = x(1 − x) con su campode pendientes.

x=0x=1

x

t

Figura 5.16: Lınea de fase de laecuacion x′ = x(1 − x) y algunas so-luciones.


de la ecuacion (Figura 5.15) observamos que la lınea de fase mantiene la informacion acercade las soluciones de equilibrio y de si las curvas solucion crecen o decrecen. La informacionrelativa a la velocidad de crecimiento se pierde. Podemos, sin embargo, dibujar croquis delas graficas de las soluciones usando solo la lınea de fase. Estos no seran tan exactos comolos que podemos conseguir a partir de los campos de pendientes, pero contendran toda lainformacion acerca del comportamiento de las soluciones cuando t se hace muy grande omuy pequeno (Figura 5.16).

5.3.1. Como dibujar lıneas de fase

(a)

x=−3

x=2

(b)

x=0

x=−π

x=π

(c)

x=π/2

x=−π/2

x=0

Figura 5.17: Lınea de fase para las ecuaciones (a) x′ = (x − 2)(x + 3), (b) x′ = sen x y (c)x′ = x cos x.

Para dibujar la lınea de fase de una ecuacion autonoma seguiremos los siguientes pasos

Dibujamos la lınea x, vertical.

Buscamos los puntos de equilibrio de la ecuacion; es decir, los puntos para los quef(x) = 0;, y los marcamos sobre la recta x.

Buscamos los intervalos de los valores de x para los que f(x) > 0, y dibujamos flechasque apunten hacia arriba en dichos intervalos.

Buscamos los intervalos de los valores de x para los que f(x) < 0, y dibujamos flechasque apunten hacia abajo en dichos intervalos

En la Figura 5.17 hemos dibujado varios ejemplos de lıneas de fase.


5.3.2. ¿Como usar las lıneas de fase para esbozar soluciones?

Podemos obtener croquis aproximados de las graficas de las soluciones de ecuacionesdiferenciales autonomas a partir de su lınea de fase. Tal y como hemos dicho estos no serantan aproximados como los que se obtienen a partir del campo de direcciones pero el metodoes menos costoso y sirve, sobre todo, para predecir el comportamiento de las soluciones alargo plazo.

Consideremos por ejemplo la ecuacion

x=0

x=2

x=π

x=−π

Figura 5.18: Lınea defase para w′ = (2 −w) sen w

dw

dt= (2− w) sen w

La lınea de fase de esta ecuacion esta dada en laFigura 5.18. Los puntos de equilibrio son w = 2 yw = kπ para k = ±1,±2, . . .. Supongamos que que-remos esbozar la grafica de la solucion con la con-dicion inicial w(0) = 0,4. Como w(t) = 0 y w(t) = 2son soluciones de equlibrio y 0 < 0,4 < 2, por el teo-rema de unicidad, sabemos que 0 < w(t) < 2 paratodo t. Ademas, debido a que 2− w sen(w) > 0 para0 < w < 2 resulta que w′ > 0 en este intervalo y lasolucion debe ser creciente en todo el. Por lo tantola solucion tiende hacia w = 2 cuando t → ∞ y aw = 0 cuando t → −∞. Podemos ası dibujar unaimagen cualitativa de la grafica con la condicion ini-cial w(0) = 0,4 (Figura 5.19).

−2 −1 1 2 3 4

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

w

t

w=2

w=0

Figura 5.19:Grafica de la solucion del pro-blema de condiciones iniciales

dw

dt= (2−w) sen w, ; w(0) = 0,4.

De la misma forma podemos dibujar otras soluciones a partir de la informacion dada porla lınea de fase. Las soluciones de equilibrio son faciles de dibujar pues son rectas paralelas aleje t; es decir, de la forma w(t) = c donde w = c es un punto de equilibrio. En nuestro casolas soluciones constantes de la ecuacion (2 − w) sen w = 0 nos proporcionan las solucionesde equilibrio. Estas son w = 2 y w = kπ, k = 0,±1,±2, . . .. Hay pues infinitas soluciones


de equilibrio. Los intervalos sobre la lınea de fase con flechas senalando hacia arriba corres-ponden a soluciones crecientes, y aquellos con flechas senalando hacia abajo a solucionesdecrecientes. Sabemos por el teorema de unicidad que las soluciones correspondientes a va-lores iniciales diferentes no se pueden cortar. En particular, ninguna solucion cortara a lassoluciones de equilibrio. Por lo tanto, las curvas de las soluciones que no son de equilibrio seaproximaran cada vez mas a estas pero nunca llegaran a cortarlas. Sabiendo si la curva creceo decrece en el intervalo correspondiente podemos hacernos una idea bastante aproximadade como son las graficas de las soluciones de la ecuacion. Lo unico que no sabemos es cuanrapidamente o lentamente se acercan a las soluciones de equilibrio. La Figura 5.20 muestraunas cuantas soluciones de la ecuacion dw

dt= (2− w) sen w,

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6π

w=π w=2

w=0

w= −π

w

t

w=2

Figura 5.20:Graficas de variassoluciones de la ecuacion dw

dt= (2− w) sen w.

Ası pues de forma general podemos decir lo siguiente sobre las soluciones de las ecuacionesdiferenciales autonomas: Sea x(t) es una solucion de la ecuacion

dx

dt= f(x).

Si f(x(0)) = 0, entonces x(0) es un punto de equilibrio y x(t) = x(0) para todo t; i. e.x(t) = x(0) es una solucion de equilibrio.

Si f(x(0)) > 0, entonces x(t) es creciente para todo t y, o bien x(t) → ∞ o bien x(t)tiende al primer punto de equilibrio mayor que x(0) cuando t → ∞. Tambien sucedeque o bien x(t) → −∞ o bien x(t) tiende al primer punto de equilibrio menor que x(0)cuando t → −∞.

Si f(x(0)) < 0, entonces x(t) es decreciente para todo t y, o bien x(t) → −∞ o bienx(t) tiende al primer punto de equilibrio menor que x(0) cuando t → ∞. Tambiensucede que o bien x(t) → ∞ o bien x(t) tiende al primer punto de equilibrio mayorque x(0) cuando t → −∞.


Para terminar volvemos a insistir que las lıneas de fase nos ayudan a comprender elcomportaniento a largo plazo de las soluciones de las ecuaciones diferenciales siempre queestas esten acotadas entre dos puntos de equilibrio. Si este no es el caso, es decir, si la solucionno esta acotada, el comportamiento de la solucion puede no poderse predecir solo por la lıneade fase de la ecuacion. Consideremos, por ejemplo, la ecuacion

dx

dt= (1 + x)2.

Tiene un punto de equilibrio en x = −1 y dxdt

> 0 para cualquier otro valor de x. Por lotanto las soluciones de la ecuacion con condiciones iniciales x0 6= −1 son todas crecientes.Y al ser x = −1 una solucion de equilibrio podemos concluir que si x(t) es solucion de laecuacion y x(0) > −1 entonces x(t) crece indefinidamente a medida que pasa el tiempo(i.e. a medida que crece t). Este comportamiento de las soluciones se obtiene a partir delestudio de la lınea de fase de la ecuacion (vease la Figura 5.21). Pero solo de este estudio nopodemos predecir lo rapida o lentamente que la ecuacion tiende hacia infinito: puede ser quex(t) tienda a infinito a medida que t se acerque a cierto valor (es decir que x(t) tenga unaasıntota vertical) o puede ser que x(t) tienda a infinito a medida que t crece y crece (es decir,a medida que t tiende tambiena infinito). Para esta ecuacion concreta esta informacion lapodemos conseguir resolviendo propiamente la ecuacion. Si separamos variables:

1

(1 + x)2dx = dt =⇒ − 1

1 + x= t + C =⇒ x(t) = −1− 1

t + C

para alguna constante C. Como estamos suponiendo que x(0) > −1 y x(t) es siemprecreciente debe ser x(t) > −1 para todo t > 0. Tambien para t < 0 debe ser x(t) > −1porque x(t) = −1 es una solucion de equilibrio y debido al teorema de unicidad. Ası puesx(t) = −1− 1

t+C> −1 para todo t. Por lo tanto t + C < 0 para todo t y

lımt→−C

x(t) = +∞.

Es decir t = −C es una asıntota vertical de la solucion. Esto no se puede deducir de la lıneade fase.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

x=−1

x

t

Figura 5.21:Lınea de fase y algunas graficassolucion de la ecuacion

dx

dt= (1 + x)2


−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x=1

x=0

x

t

Figura 5.22:Lınea de fase y algunas graficassolucion de la ecuacion

dx

dt=

x

1− x

De forma similar las soluciones de la ecuacion con condiciones iniciales x(0) < −1 sonasintoticas a x = −1 cuando t → +∞ y tienen a −∞ cuando t → −C.

El ejemplo anterior es uno en el que el conocimiento de la lınea de fase no nos permiteconcocer con exactitud el comportamiento a largo plazo de las soluciones de la ecuaciondiferencial debido a que estas “explotan” en un tiempo finito (tienden a + o - ∞ cuando t seaproxima a cierto valor finito). En otras palabras, cada solucion no existe para valores de tsuficientemente grandes. Lo mismo puede suceder respecto de x: hay ecuaciones diferencialescuyas soluciones no pueden transpasar cierto valor finito de x. He aquı un ejemplo sencillo.Consideramos la ecuacion

dx

dt=

x

1− x

Hay un punto de equilibrio x = 0, pero hay otro punto crıtico:x = 1. No se trata de unpunto de equilibrio porque la funcion f(x) = x

1−xno se anula en x = 1, sino que no existe

para x = 1. Ahora bien, si x < 0 entonces dxdt

< 0 por lo que las soluciones de la ecuacioncon condicion inicial x(0) < 0 son decrecientes. Para 0 < x < 1, dx

dt> 0 y las soluciones con

condicion inicial 0 < x(0) < 1 son crecientes y para x > 1 las soluciones con condicion inicialx(0) > 1 son, de nuevo, decrecientes. (Vease la Figura 5.22).

El punto x = 1 es crıtico para el estudio del crecimiento o decrecimiento de las soluciones,pero no es un punto de equilibrio. Observamos ademas que todas las soluciones con condicioninicial x(0) > 0 tienden a x = 1 cuando t aumenta y que cuando x esta proximo a 1 entonces1 − x es casi cero por lo que dx

dtadquiere un valor muy grande. Es decir, a medida que la

solucion se va acercando a x = 1 su velocidad de aproximacion es cada vez mayor pero nopuede ni alcanzar este valor ni transpasarlo porque al alcanzarlo abandona el dominio dedefinicion de la ecuacion. La solucion cae en lo que podemos llamar un “agujero” de la lıneade fase. Como el punto x = 1 no es un punto de equilibrio, lo representamos en la lınea defase mediante un circulo pequeno y vacıo (esto nos recuerda que se trata de un “agujero” dela lınea de fase).


a b c

f(x)

x

Figura 5.23: Grafica de f(x).

x=c

x=b

x=a

Figura 5.24: Lınea de fase de laecuacion dx

dt= f(x) para la f(x) de la

Figura 5.23.

x=a

x=b

x=c

x

t

Figura 5.25: Grafica de f(x).

5.3.3. Clasificacion de los puntos de equilibrio

Ahora ya somos conscientes de la importancia de los puntos de equilibrio y de las so-luciones de equilibrio a ellos asociadas. Estos son fundamentales para dibujar la lınea defase y esta nos da mucha informacion, con poco esfuerzo, del comportamiento a largo plazode las soluciones de una ecuacion diferencial (al menos en muchos casos). Se debe observarahora que, en realidad, para dibujar la lınea de fase de la ecuacion dx

dt= f(x) no necesitamos

conocer explıcitamente la funcion f(x), basta conocer aquellos puntos en los que f(x) = 0 ylos intervalos en los que f(x) > 0 o f(x) < 0. Supongamos, por ejemplo, que no conocemosuna formula para la funcion f(x) pero, por el medio que sea, sabemos que su grafica es laque se da en la Figura 5.23. De la grafica podemos deducir que en x = a, x = b y x = c lafuncion se hace cero, que es positiva para x < a y b < x < c y negativa en el intervalo (a, b) ypara x > c. Por lo tanto, la lınea de fase de la ecuacion diferencial es la que se muestra en laFigura 5.24. Una vez dibujada la lınea de fase, podemos dibujar un croquis de las solucionessegun sean las condiciones iniiciales (Figura 5.25).

Observando los puntos de equilibrio vemos que los podemos clasificar de acuerdo con elcomportamineto de las soluciones de la ecuacion con condiciones iniciales proximas a dichopunto de equilibrio. Considere mos por ejemplo un punto de equilibrio, x = x0, como el que se


muestra en la Figura 5.26. Para x un poco mayor que x0 la flecha senala hacia arriba; y parax un poco menor que x0 la flecha senala hacia abajo. Esto significa que todas las soluciones dela ecuacion diferencial (la que sea que tenga x = x0 como punto de equilibrio) con condicionesiniciales mayores que x0, pero proximas a x0, son siempre decrecientes para todo t. Y lassoluciones correspondientes a condiciones iniciales menores que x0, y tambien proximas a x0,son siempre crecientes para todo t. Por lo tanto, las soluciones son como las representadas enla grafica de la Figura 5.26. Es decir, a medida que t crece, todas las soluciones de la ecuacioncon condiciones iniciales proximas a x0 se acercan cada vez mas al punto de equilibrio. Sedice entonces que las soluciones de la ecuacion son asintoticamente estables, y que el puntode equilibrio es estable o que es un sumidero (es como si las soluciones cayeran hacia el puntode equilibrio). Las soluciones de una ecuacion diferencial que no convergen, cuando t → +∞,

x=x0

x

t

Figura 5.26: Lınea de fase con un puntode equilibrio que es estable o sumidero,y graficas de soluciones cerca de un su-midero.

x=x0

x

t

Figura 5.27: Lınea de fase con un puntode equilibrio que es inestable y fuente,y graficas de soluciones cerca de unafuente.

a un punto de equilibrio estable se dice que son inestables. Y los puntos de equilibrio que noson estables tambien se dice que son puntos de equilibrio inestables. Ahora bien, entre lospuntos de equilibrio inestables los hay de dos tipos. En efecto, si consideramos un punto deequilibrio como el de la Figura 5.27, la flecha senala hacia arriba para valores de xmayores, yproximos, a x0; y hacia abajo para valores de x menores y proximos a x0. Esto significa quelas soluciones correspondientes a condiciones iniciales mayores y proximas a x0 son siemprecrecientes y, consecuentemente, se alejan mas y mas del punto de equilibrio a medida quet crece. Y las soluciones correspondientes a condiciones iniciales menores y proximas a x0

son siempre de crecientes y tambien se alejan mas y mas del punto de equilibrio a medidaque t crece. Estos puntos de equilibrio se llaman fuentes (es como si las soluciones brotarandel punto de equilibrio). Finalmente, los puntos de equilibrio que no son ni sumideros nifuentes se dice que son nodos. Los hay de dos tipos segun que las soluciones correspondientesa condiciones iniciales proximas al punto de equilibrio sean crecientes o decrecientes tal ycomo se muestra en la Figura 5.28.


x=x0

x

t

x=x0

x

t

Figura 5.28: Lınea de fase con puntos de equilibrio que son inestables y nodos, y graficas desoluciones cerca de nodos.

x=2

x=−3

Figura 5.29: Lınea defase para dx

dt= x2+x−

6

Dada una ecuacion diferencial podemos clasificar lospuntos de equilibrio como sumideros, fuentes o nodosa partir de la lınea de fase. Por ejemplo, para laecuacion

dx

dt= x2 + x− 6 = (x + 3)(x− 2)

los puntos de equilibrio son x = −3 y x = 2. Ademasdxdt

< 0 para −3 < x < 2, y dxdt

> 0 para x < −3y x > 2. Con esta informacion podemos dibujar lalınea de fase (Figura 5.29) y vemos que x = −3 es unsumidero y x = 2 es una fuente.

Incluso sin conocer la formula para la funcion f(x) en la ecuacion dxdt

= f(x), sino solo apartir de la grafica de dicha funcion podemos clasificar los puntos de equilibrio. Supongamos,por ejemplo que la grafica de f(x) es la representada en la Figura 5.30. La ecuacion diferencialcorrespondiente tiene tres puntos de equilibrio (donde f(x) = 0): x = −1, x = 1 y x = 2.Ademas, f(x) > 0 para x < −1 y para −1 < x < 1, f(x) < 0 para 1 < x < 2 y, de nuevo,f(x) > 0 para x > 2. Esto significa que dx

dt> 0, i.e. x(t) es creciente, para x < −1 y para

−1 < x < 1, dxdt

< 0, i.e. x(t) es decreciente, para 1 < x < 2 y de nuevo x(t) es crecientepara x > 2. Ası pues, la lınea de fase es la dibujada en la Figura 5.31 y podemos clasificarlos puntos de equilibrio: Los puntos x = −1 y x = 2 son puntos de equilibrio inestables,el primero de ellos es un nodo y el segundo una fuente. Y el punto x = 1 es un punto deequilibrio asintoticamente estable y, por lo tanto, un sumidero.

Finalmente, podemos dar un criterio analıtico para saber si un punto crıtico es sumideroo fuente. Para ello debemos observar que dada la ecuacion dx

dt= f(x) un punto de equilibrio,

x0, es un sumidero si, en las proximidades de x0, f(x) > 0 a la izquierda de x = x0 yf(x) < 0 a la derecha de x0. Y es una fuente si ocurre lo contrario. Por lo tanto, un puntode equilibrio, x0, es un sumidero si y solo si f es decreciente en x0 y es una fuente si y solosi f es creciente en dicho punto. En el supuesto de que f sea diferenciable en dicho punto,podemos aplicar el concepto de derivada para concluir lo siguiente:


−1 1 2x

f(x)

Figura 5.30: Graficas de f(x).

x=−1

x=1

x=2

Figura 5.31: Lınea de fase de dxdt

=f(x), paraf(x) tal y como se mustra enla Figura 5.30.

Teorema 5.1 .- Supongamos que x0 es un punto de equilibrio para la ecuacion dxdt

= f(x) yque f es una funcion diferenciable.

Si f ′(x0) < 0 entonces f es decreciente en x0 y x0 es un punto de equilibrio asintoti-camente estable o sumidero.

Si f ′(x0) > 0 entonces f es creciente en x0 y x0 es un punto de equilibrio inestable yes una fuente.

Si f ′(x0) = 0 entonces no podemos concluir nada, se necesita mas informacion paradeterminar el tipo de punto de equilibrio que es x0.

En el caso f ′(x0) = 0 no se puede concluir nada porque pueden ocurrir las tres posibili-dades (vease la Figura 5.32).

Como un ejemplo de utilizacion del teorema anterior consideremos la siguiente ecuacion:

dx

dt= f(x) = x(cos(x5 + 2x)− 27πx4)

Un punto de equilibrio de esta ecuacion es x = 0. ¿Que tipo de punto es?. Dibujar la lıneade fase de esta ecuacion serıa muy complicado porque no es sencillo decidir cuando f(x) espositivo o negativo. Segun el Teorema 5.1, con un poco de suerte podremos saber que tipode punto es calculando la derivada de f en x0 = 0. Concretamente

f ′(x) = cos(x5 + 2x)− 27πx4 + xd

dt(cos(x5 + 2x)− 27πx4)

y f ′(0) = cos(0) − 0 + 0 = 1 > 0. El Teorema 5.1 nos permite asegurar que x = 0 esuna fuente. Las soluciones que comienzan suficientemente cerca de x = 0 se alejan de estepunto cuando t crece. Ahora bien puesto que no disponemos de informacion adicional (como


x0 x

f(x)

x=x0

x0 x

f(x)

x=x0

x0

f(x)

x

x=x0

Figura 5.32: Graficas de varias funciones junto a la correspondiente lınea de fase para laecuacion diferencial dx

dt= f(x). En todos los casos x0 es un punto de equilibrio y f ′(x0) = 0.

por ejemplo que otros puntos de equilibrio hay) no podemos concretar lo cerca de x = 0que deben empezar dichas soluciones. En definitiva, volvemos otra vez a observar que conpoco esfuerzo conseguimos buena informacion sobre algunas soluciones de la ecuacion. Siqueremos obtener informacion mas precisa necesitaremos estudiar la funcion f(x) con masdetenimiento.

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Lección 5 Técnicas cualitativas para las Ecuaciones diferenciales