Upload
octavianus-pamungkas
View
239
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Lect 5 Gauss Siedel
Citation preview
PertemuanPertemuan keke--77
MetodeMetode IterasiIterasi GaussGauss--SiedelSiedel
PersamaanPersamaan Linier Linier SimultanSimultan
25 25 OktoberOktober 20122012
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
1
MerupakanMerupakan metodemetode iterasiiterasi.. ProsedurProsedur umumumum::
-- SelesaikanSelesaikan secarasecara aljabaraljabar variabelvariabel tidaktidak diketahuidiketahui xxiimasingmasing--masingmasing persamaanpersamaan linierlinier
MetodeMetode GaussGauss--SeidelSeidel
masingmasing--masingmasing persamaanpersamaan linierlinier-- AsumsikanAsumsikan suatusuatu nilainilai awalawal padapada setiapsetiap penyelesaianpenyelesaian-- SelesaikanSelesaikan masingmasing--masingmasing xxii dandan ulangiulangi-- HitungHitung nilainilai mutlakmutlak daridari kesalahankesalahan perkiraanperkiraan relatifrelatif
setelahsetelah masingmasing--masingmasing iterasiiterasi sehinggasehingga kurangkurang daridarinilainilai toleransitoleransi..
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
2
MetodeMetode GaussGauss--Seidel Method Seidel Method membolehkanmembolehkanpenggunapengguna untukuntuk mengkontrolmengkontrol roundround--off erroroff error..
MetodeMetode eliminasieliminasi sepertiseperti EliminasiEliminasi Gauss Gauss dandan
MetodeMetode GaussGauss--SeidelSeidel
MetodeMetode eliminasieliminasi sepertiseperti EliminasiEliminasi Gauss Gauss dandanDekompoisiDekompoisi LU LU rentanrentan terhadapterhadap roundround--off erroroff error..
JugaJuga, , bilabila bentukbentuk daridari masalahmasalah dapatdapat dipahamidipahami, , dapatdapat ditentukanditentukan nilainilai perkiraanperkiraan awalawal yang yang lebihlebihdekatdekat, , sehinggasehingga menghematmenghemat waktuwaktu iterasiiterasi. .
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
3
nn persamaanpersamaan dandan nn bilanganbilangan taktak diketahuidiketahui::
MetodeMetode GaussGauss--Seidel: Seidel: AlgoritmaAlgoritma
11313212111 ... bxaxaxaxa nn =++++
2323222121 ... bxaxaxaxa n2n =++++
nnnnnnn bxaxaxaxa =++++ ...332211
. .
. .
. .
JikaJika element diagonal element diagonal tidaktidak nolnol, , tuliskantuliskan kembalikembali masingmasing--masingmasing persamaanpersamaan untukuntuk menyelesaikanmenyelesaikan bilanganbilangan yang yang taktakdiketahuidiketahui..
MisalMisal: : PersamaanPersamaan keke--1, 1, untukuntuk menyelesaianmenyelesaian xx11,, PersamaanPersamaan keke--2, 2, untukuntuk menyelesaikanmenyelesaikan xx22, , dstdst..
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
4
nnnnnnn bxaxaxaxa =++++ ...332211
TulisTulis kembalikembali persamaanpersamaan::
MetodeMetode GaussGauss--Seidel: Seidel: AlgoritmaAlgoritma
11
131321211
a
xaxaxacx nn
=
Dari persamaan ke- 1
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
5
nn
nnnnnn
n
nn
nnnnnnnnn
n
nn
a
xaxaxacx
a
xaxaxaxacx
a
xaxaxacx
11,2211
1,1
,122,122,111,111
22
232312122
=
=
=
Dari persamaan ke-2
Dari persamaan ke-(n-1)Dari persamaan ke- n
BentukBentuk umumumum persamaanpersamaan yaituyaitu::
MetodeMetode GaussGauss--Seidel: Seidel: AlgoritmaAlgoritma
11
11 xac
x
n
jj
jj=
=
11
,11
=
=
n
njj
jjnn xac
x
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
6
11
11
ax
j=
22
21
22
2a
xac
x
j
n
jj
j=
=
1,1
11
=
nn
njn
ax
nn
n
njj
jnjn
na
xac
x
=
=
1
BentukBentuk umumumum untukuntuk sembarangsembarang barisbaris keke--ii
MetodeMetode GaussGauss--Seidel: Seidel: AlgoritmaAlgoritma
.,,2,1,1
ni
xac
x
n
ijj
jiji
=
=
=
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
7
.,,2,1, nia
xii
iji ==
Bagaimana dan dimana persamaan ini dapat digunakan?
SelesaikanSelesaikan bilanganbilanganyang yang tidaktidak diketahuidiketahui..
AsumsikanAsumsikan suatusuatu nilainilaiperkiraanperkiraan untukuntuk [X][X]
GunakanGunakan persamaanpersamaanyang yang telahtelah ditulisditulis ulangulanguntukuntuk menyelesaiaknmenyelesaiaknmasingmasing--masingmasing nilainilai xxii..
MetodeMetode GaussGauss--SeidelSeidel
perkiraanperkiraan untukuntuk [X][X] PentingPenting::
GunakanGunakan nilainilai terbaruterbaruxxii untukuntuk setiapsetiap iterasiiterasipersamaanpersamaan berikutnyaberikutnya. .
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
8
n
-n
2
x
x
x
x
1
1
Hitung nilai absolut dari kesalahan relatif (|Hitung nilai absolut dari kesalahan relatif (|aa|):|):
Kapan jawaban akan diperoleh?Kapan jawaban akan diperoleh?
Metode GaussMetode Gauss--SeidelSeidel
100=new
i
oldi
new
iia x
xx
Kapan jawaban akan diperoleh?Kapan jawaban akan diperoleh? Hentikan iterasi bila nilai Hentikan iterasi bila nilai ||aa| kurang dari nilai | kurang dari nilai
kesalahan yang ditoleransikan untuk semua bilangan kesalahan yang ditoleransikan untuk semua bilangan tidak diketahui tersebut.tidak diketahui tersebut.
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
9
MetodeMetode GaussGauss--Seidel: Seidel: ContohContoh 11
Time, t (s) Kecepatan, v (m/s)
Kecepatan dorong sutau roket untuk
tiga waktu berbeda adalah :
Table 1 Velocity vs. Time data.
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
10
Time, t (s) Kecepatan, v (m/s)
5 106.8
8 177.2
12 279.2
Data kecepatan pada Tabel 1 dapat didekati dengan persamaan
polinomial berikut : ( ) 12.t5 , 3221 ++= atatatv
MetodeMetode GaussGauss--Seidel: Seidel: ContohContoh 11
=
3
2
1
323
222
121
111
v
v
v
a
a
a
tt
tt
tt
3
2
1
1. Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks:
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
11
333 1 vatt 3
=
2.2792.1778.106
11214418641525
3
2
1
a
a
a
=
521
3
2
1
a
a
a
2. Sistem persamaan menjadi:
3. Perkirakan nilai awal:
=
2.2792.1778.106
11214418641525
2
1
a
a
a
MetodeMetode GaussGauss--Seidel: Seidel: ContohContoh 11
Tulis ulang persamaan:
2558.106 32
1aa
a
=
2.279112144 3a
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
8642.177 31
2aa
a
=
1121442.279 21
3aa
a
=
12
MetodeMetode GaussGauss--Seidel: Seidel: ContohContoh 11
Gunakan nilai perkiraan awal untuk menghitung ai
=
211
a
a6720.3
25)5()2(58.106
a1 =
=
( ) ( )56720.3642.177
Nilai awal:
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
=
5
2
3
2
a
a ( ) ( ) 8510.78
56720.3642.177a 2 =
=
( ) ( ) 36.1551
8510.7126720.31442.279a3 =
=
Untuk menghitung a2, berapa banyak nilai perkiraan awalyang diperlukan?
13
6720.3a
MetodeMetode GaussGauss--Seidel: Seidel: ContohContoh 11
100=new
i
oldi
new
iia x
xx
Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif
Hasil iterasi ke-1 :
=
36.1558510.7
6720.3
3
2
1
a
a
a
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
%76.721006720.3
0000.16720.31a
=
= x
%47.1251008510.7
0000.28510.72a
=
= x
%22.10310036.155
0000.536.1553a =
= x
Nilai terbesar |a| adalah125.47%
14
=
36.1558510.7
6720.3
3
2
1
a
a
a
MetodeMetode GaussGauss--Seidel: Seidel: ContohContoh 11
Iterasi ke-2
Gunakan hasil dari iterasi ke-1:
Diperoleh nilai ai :
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
( ) 056.1225
36.1558510.758.1061 =
=a
( ) 882.548
36.155056.12642.1772 =
=a
( ) ( ) 34.7981
882.5412056.121442.2793 =
=a
15
MetodeMetode GaussGauss--Seidel: Seidel: ContohContoh 11
Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif padaiterasi ke-2
%543.69100056.12
6720.3056.121a =
= xHasil iterasi ke-2 :
=
882.54056.121
a
a
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
16
( ) %695.85100x882.54
8510.7882.542
=
=a
( ) %540.8010034.798
36.15534.7983a =
= x
=
54.798882.54
3
2
a
a
Nilai terbesar |a| adalah85.695%
Iterasi a1 a2 a3
1
2
3
3.6720
12.056
47.182
72.767
69.543
74.447
7.8510
54.882
255.51
125.47
85.695
78.521
155.36
798.34
3448.9
103.22
80.540
76.852
MetodeMetode GaussGauss--Seidel: Seidel: ContohContoh 11
Hasil beberapa kali iterasi adalah sebagai berikut:%
1a %
2a %3a
3
4
5
6
47.182
193.33
800.53
3322.6
74.447
75.595
75.850
75.906
255.51
1093.4
4577.2
19049
78.521
76.632
76.112
75.972
3448.9
14440
60072
249580
76.852
76.116
75.963
75.931
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
17
=
0857.1690.19
29048.0
a
a
a
3
2
1
Catatan Nilai kesalahan relatif tidak banyak berkurang pada setiap iterasi, termasuk pula tidak konvergen pada nilai sebenarnya.
GaussGauss--Seidel Method: Seidel Method: KelemahanKelemahan
Apa yang menyebabkan salah ?Walaupun penghitungan dilakukan dengan benar, hasilnya
belum konvergen. Contoh 1 menunjukkan kelemahan dari
Metode Gauss-Siedel: tidak semua sistem persamaan
menghasilkan jawaban yang konvergen.
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
menghasilkan jawaban yang konvergen.
Apakah solusinya?
Satu dari sistem persamaan selalu konvergen dimanakoefisien matriks adalah dominan diagonal, yaitu jika [A] dalam [A] [X] = [C] memenuhi kondisi :
=
n
jj
ijaa
i1
ii =
>n
ijj
ijii aa1
Untuk semua i dan paling tidak untukke-i
18
MetodeMetode GaussGauss--Seidel: Seidel: ContohContoh 22
Diberikan persamaan berikut:15312 321 x- x x =+
2835 321 x x x =++761373 =++ x x x
Koefisien matriksnyaadalah :
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
761373 321 =++ x x x
=
101
3
2
1
x
x
x
Gunakan nilai perkiraanawal untuk iterasi ke-1 :
[ ]
=
13733515312
A
Apakah Metode Gauss-Siedel akan memberikanhasil yang konvergen?
20
[ ]
= 3515312
A
MetodeMetode GaussGauss--Seidel: Seidel: ContohContoh 22
Cek apakah koefisien matriks dominan diagonal.
43155 232122 =+=+== aaa8531212 131211 =+=+== aaa
1373
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
232122
10731313 323133 =+=+== aaa
Semua koefisien matriks tidak sama, dan salah satubaris bernilai lebih besar.Oleh karen itu: Penyelesaian dengan Metode Gauss-Siedel akan konvergen.
21
=
76281
13733515312
3
2
1
a
a
a
=
101
3
2
1
x
x
x
MetodeMetode GaussGauss--Seidel: Seidel: ContohContoh 22
Tulis kembali persamaan: Dengan nilai awal, lakukaniterasi ke-1:
3
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
12531 32
1xx
x+
=
5328 31
2xx
x
=
137376 21
3xx
x
=
( ) ( ) 50000.012
150311 =
+=x
( ) ( ) 9000.45
135.0282 =
=x
( ) ( ) 0923.313
9000.4750000.03763 =
=x
22
MetodeMetode GaussGauss--Seidel: Seidel: ContohContoh 22
Nilai absolut kesalahan relatif:
%00.10010050000.0
0000.150000.01
=
=a
09000.4
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
23
%00.1001009000.4
09000.42a =
=
%662.671000923.3
0000.10923.33a =
=
Nilai terbesar dari kesalahan relatif adalah 100%
=
0923.39000.45000.0
3
2
1
x
x
x
MetodeMetode GaussGauss--Seidel: Seidel: ContohContoh 22
Hasil iterasi ke-1
Substitusi nilai x ke persamaan :
=
8118.37153.3
14679.0
3
2
1
x
x
x
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
( ) ( ) 14679.012
0923.359000.4311 =
+=x
( ) ( ) 7153.35
0923.3314679.0282 =
=x
( ) ( ) 8118.313
900.4714679.03763 =
=x
Substitusi nilai x ke persamaan :Hasil Iterasi ke-2
24
MetodeMetode GaussGauss--Seidel: Seidel: ContohContoh 22
Nilai absolut dari kesalahan relatif pada Iterasi ke-2%61.240100
14679.050000.014679.0
1a=
=
%889.311009000.47153.3 ==
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
%889.311007153.3
9000.47153.32a =
=
%874.181008118.3
0923.38118.33a =
=
Nilai terbesar dari kesalahan relatif adalah 240.61%, yaitu lebihbesar dari hasil Iterasi ke-1.Apakah ini bermasalah?
25
Iterasi a1 a2 a3
1
2
0.50000
0.14679
100.00
240.61
4.9000
3.7153
100.00
31.889
3.0923
3.8118
67.662
18.876
MetodeMetode GaussGauss--Seidel: Seidel: ContohContoh 22
Lanjutkan Iterasi dan diperoleh hasil:%
1a %2a %3a
2
3
4
5
6
0.14679
0.74275
0.94675
0.99177
0.99919
240.61
80.236
21.546
4.5391
0.74307
3.7153
3.1644
3.0281
3.0034
3.0001
31.889
17.408
4.4996
0.82499
0.10856
3.8118
3.9708
3.9971
4.0001
4.0001
18.876
4.0042
0.65772
0.074383
0.00101
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
26
=
431
3
2
1
x
x
x
=
0001.40001.3
99919.0
3
2
1
x
x
xHasil akhir Iterasi : Hasil penyelesaian eksak .