Lecture 16 Probabilidad de Error para Señales en AWGN Parte 1

2S 2009 - I. Zamora

Uni VI-Conf 16: Detec. e Intr. Teoría Estimación

1

Comunicaciones II

Conferencia 16: Probabilidad de error para señales en AWGN –Parte 1

UNIDAD VI: DETECCIÓN E INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN

Instructor: Israel M. Zamora, MS Telecommunications ManagementProfesor Titular, Departamento de Sistemas Digitales y Telecomunicaciones.

Universidad Nacional de Ingeniería

Universidad Nacional de Ingeniería

2S 2009 - I. Zamora


2

Outline

• Detección• Problema de Detección• PDF condicional: Función Likelihood de

AWGN• Repaso: Teorema de Bayes

– Aplicando Bayes

• Regla de decisión• Probabilidad Máxima A Posteriori (MAP)• Detector MAP• Implementación de Receptor Óptimo• Detector Óptimo Implementado

2S 2009 - I. Zamora


3

Outline

• Demodulador Vectorial Correlador• Canal Vectorial Gaussiano Equivalente• Implementación del Demodulador Correlador:

Filtro Acoplado• Demodulador de Filtro Acoplado• Región de decisión para AWGN

– Región de decisión para AWGN: 2 señales– Región de decisión para AWGN: 4 señales– Región de decisión para AWGN:8 señales

• Probabilidad de Error para señales en AWGN• Probabilidad Correcta para señales en AWGN

2S 2009 - I. Zamora


4

Señal versus Vector

Forma de onda de señal

ji

2

ji

ji

N21

ji

ji

ss

sss

s

s

ss

ss

ss

:distancia (t)s(t)s :distancia

s :cuadrática Longitud (t)dts(t)s(t),s(t)sE :Energía

s:escalar Valor (t)dt(t)s(t)(t),s s:escalar Valor

s :Expansión (t)s(t) s:Expansión

δ :esortonormal vectores δ(t)(t) :esortonormal les seña

,...,, :base vectores (t)(t),..., (t), :base eñales s

0 :sortogonale vectores 0(t)s(t),s :sortogonale ñales se

ss :escalar producto (t)dt(t)ss(t)s(t),s :escalar producto

, :vectores (t) s(t), s: señales

ji

N

1j

2ij

T

0

2ii

2

ii

ij

T

0 jijiij

N

1jij

N

1jjiji

jkkjjkkj

N21

ij

T

0

N

1kjkikijij

jiji

i

Vector Geométrico

iNi2i1

N

1jjiji s,...,s,s (t)s(t)s

is

2S 2009 - I. Zamora


5

Detección

mm TMR /log2

im

1-M0,1,..., im

Fuente deMensajes

CodificadorVectorial

Modulador

Sumidero deMensajes

DecodificadorVectorial

Demodulador

Un mensaje cada Tm segundos

),...,s,s(s iNii 21is ,...,M,i)t(si 21

im )t(si

Una señal cada TS segundos

Al canal físico

)t(n

n(t)(t)sr(t) i

)r,...,r,(r iNi2i1rm̂

Decisión:Muestra debe procurarmínima probabilidadde error ( corresponda a mi )m̂

r(t)

DETECTOR

2S 2009 - I. Zamora


6

Receptor (Demodulador Vectorial)

• Demodulador vectorial:– Convierte las formas de ondas recibidas del canal en un conjunto

discreto de señales de decisión

• Detector:– Utiliza la salida del demodulador para tomar decisión sobre los

datos digitales transmitidos

)t(n)t(s)t(r ii Demodulador

vectorialdetector

Receptor

),...,r,r(r iNii 21irii mm ˆ

2S 2009 - I. Zamora


7

Transmisión sobre un canal AWGN

)t(n)t(s)t(r ii

Tt0 n(t),(t)s(t)r recibida onda de Forma-

)t-δ(t2

N))n(tn(tE 0n(t)E

2N espectral densidad con n(t) gaussiano blanco Ruido-

Tt0 ,s moduladas señalesde Conjunto-

)mP()P(m ,1-M0,1,...,m ninformació de Símbolo-

(AWGN) Gaussiano Blanco Aditivo Canal El

ii

ji0

ji

0

M

0ii

iii

)t(

si

modulador

(t)si

n(t)

2S 2009 - I. Zamora


8

Problema de Detección

• Dada el vector de observación r, tenemos que realizar un mapeo (decodificación) de r sobre un estimado

del símbolo transmitido mi, de tal manera que minimize la probabilidad de error en el proceso de toma de decisión.

• Si el símbolo mi ocurre con igual probabilidad (símbolos equiprobables) P(mi)=1/m, minimizar la probabilidad de error Pe es equivalente a maximizar la “Función de probabilidad” (Likelihood function).

• Para símbolos equiprobables el detector de “Máxima probabilidad” (Maximun likelihood detector) es el detector óptimo.

im̂

2S 2009 - I. Zamora


9

iN

i

i

i

r

r

r

r2

1

,...,N,, jrij 21

ijjijjijijr snEsEnsErEμij

PDF condicional: Función Likelihood de AWGN

Se define:

20N

σijr

donde

son variables Gaussianas Independientes con:

Media:

y Varianza:

Además, rij y rik son no correlacionadas, por tanto, independientes y:

0, ikij rrCov Cuando jk

2S 2009 - I. Zamora


10

PDF condicional: Función Likelihood de AWGN (Cont.)

,...,M, , isrN

πNmrfmRf

e:tenemos qu asi srN

πN

N

μr-

Nπσ

μr-

σπ

mrfm,...,R,RRΔ fmRf

i

N

imriMR

N

jijij

N

ijijN

j

ijijN

j r

N

jiijMRiNM,...,R,RRiMR

ii

ijrij

iiNi

211

exp

1exp

exp1

2exp

2

1

2

0

20

1

2

0

20

0

2

1 022

2

12

12121

2S 2009 - I. Zamora


11

Repaso: Teorema de Bayes

FP F EPEP E FPFEP

Probabilidad Condicional:Para eventos dependientes Fj y E, tenemos:

Probabilidad Total:

Sean los eventos Fj, j=1,2,…,n particiones de un espacio muestra, y sea E un evento. Si todas las probabilidades a posteriori P(E|Fj), con j=1,2,…,n, de E y las probabilidades Fj son conocidas, entonces la probabilidad a priori de E puede obtenerse de:

j

n

1jj FP F EP P(E)

F1

F2

F4

F3

F5F7

F9

F8

Evento E

F E

FE

2S 2009 - I. Zamora


12

Repaso: Teorema de Bayes

j

n

1jj

jjjj

j

FP F EP

FP F EP

EP

FP F EP E FP

Fórmula de Bayes, con la notación utilizada anteriormente:

Evento r

• Asumiendo que los valores coordenados de r puede tomar un número finito de valores, entoces, dado r, la probabilidad a posteriori que el símbolo mi fue transmitido es:

,...,M, i

,rP

m P mr P r mP

iimr

i r mi

i

21

m1

m2

m3

m4

m5

m6

Regiones de decisión de mi

2S 2009 - I. Zamora


13

Aplicando Bayes

M1,2,...,i ,

f

mP m rf mP

iimr

i mi

i

rr

rr

• Alternativamente:

• Donde fr|m(r|mi) es la función likelihood que recién desarrollamos, la cual es la pdf de r (o la pdf conjunta de r1,r2,…,rN) dado que se se ha transmitido el mensaje mi.

2S 2009 - I. Zamora


14

Probabilidad de Error:Se define como a probabilidad que un mensaje decodificado (en el receptor) no sea igual al mensaje que fue transmitido, es decir,

Reglas de Decisión

m̂

iie mm̂PmP

im

iiieic mm̂Pmm̂P-1mP1mP

La probabilidad correspondiente de que sea decodificado correctamente es, por tanto,

El detector óptimo escoge para minimizar , o equivalentemente, para maximizar .

ie mP ic mP

2S 2009 - I. Zamora


15

Regla de Decisión: Probabilidad Máxima A Posteriori (MAP)

• La probabilidad de decisión correcta, dada la observación del vector r, es,

rr,ˆ rc imi mP m mP

• La probabilidad de error es como sigue:

• Así, el dispositivo de decisión óptimo observa el vector particular recibido r y la salida se escoge i=1,2,...,M para maximizar la probabilidad de decisión correcta. Esta cantidad es referida como la probabilidad a posteriori que caracteriza al canal vectorial.

imm ˆ

rr,ˆrˆ rc imiie mP -1 m mP,mmP 1

imm ˆ

2S 2009 - I. Zamora


16

Detector MAP

• El detector MAP, “Máximo A Posteriori” (probabilidad):

• Se define como el detector que escoge el mi para maximizar la probabilidad a posteriori dado un vector recibido r. rr im mP

• 1ra. Regla de detección: MAP

• Que, usando Bayes, puede reescribirse como:

ik todo para mPmP simm kmimi rrˆ rr

r

r

r

r

r

r

r

r

f

mP m f

f

mP m f

kkimiimi

M1,2,...,i ,M1mP i

kkmiimi mP m fmP m f simmi

rrˆ rri

• Cuando los símbolos son equiprobables, el resultado coincide con la regla de decisión ML.

2S 2009 - I. Zamora


17

Detector MAP (Cont.)

• Así, la regla de decisión ML es equivalente a la siguiente regla:

ik todo para mP mfmP mf simm kkmiimi rrˆ rr

• 2da. Regla de detección: Máximo Likelihood (ML)

• Recordando que:

2

0

2N

0im N1

expπNmfi ir srr

M1,2,...,i ,srN

1πNln

2mrfln

2

i0

0imr i

N

ik todo para -- simm22

i ki srsrˆ

• 3ra. Regla de detección: Máximo Likelihood (ML) bajo AWGN

La regla de decisión consiste en escoger un mensaje punto (forma vectorial) que es el mascercano a la señal punto recibida, la cual se satisface intuitivamente.

2S 2009 - I. Zamora


18

Implementación de Receptor Óptimo

• De la 3ra. Regla del máximum AWGN ML, tendremos la siguiente estructura de receptor.

• La estructura de un receptor óptimo asume las condiciones indicadas para el receptor correlador (o su equivalente detector filtro acoplado, por lo que consideramos:

– (1) Símbolos fuentes equiprobables– (2) canal tipo AWGN

Ni ,...,r,rr rn(t) (t)sr(t) 21

M21 m,...,m,m

• Procedimiento de un receptor óptimo:

N

1j

2ij

N

1jijj

N

1j

2j

N

1j

2ijj ssr2rsr

2

isr

Paso 1:

desempeñado por un receptor correlador (o filtro acoplado)

Paso 2: m̂r observe que:

2S 2009 - I. Zamora


19

Implementación de Receptor Óptimo (Cont.)

• Ya que los primeros términos de la ecuación anterior son comunes para cada i, 22

ki sr-sr-

que equivalente a:

N

1j

2kj

N

1jkjj

N

1j

2ij

N

1jijj s

21

sr s21

sr

iE kE

k

N

1jkjji

N

1jijj E

21

srE21

sr

substituyendo,

ik todo para E21

srE21

sr simm Fijar k

N

1jkjji

N

1jijji

ˆ

• 3ra. Regla de Máximo Likelihood (ML) con AWGN

2S 2009 - I. Zamora


20

Seleccionael mayorde todos

Detector Óptimo Implementado

1s

r

*

N

1j*

2s

*

m̂ ri

Ms

N

1j

N

1j

2E1

2E2

2EM

1j

N

1jjsr

2j

N

1jjsr

Mj

N

1jjsr

2S 2009 - I. Zamora


21

Detector

•El cómputo de los coeficientes rij de las señales recibida se obtiene a través de

un banco paralelo de integradores-multiplicadores. Cada combinación de integrador-multiplicador se refiere como un demodulador CORRELADOR.

Demodulador Vectorial Correlador

dt T

0

(t)1

(t)ri

X

dt T

0 X

(t)2

dt T

0 X

(t)N

ir

),...,r,r(r iNii 21ir

2S 2009 - I. Zamora


22

M1,2,...,i N1

expπN

1mfmmf

por dada lcondiciona Gaussiana adprobabilid de densidad de función-

2N (t)nE varianzay 0,n(t)E media con nte,independie Gaussiano es n(t)-

n,...,n,n ,s,...,s,s ,r,...,r,r

0N/2

0

imiM

02

N21iNi2i1iNi2i1

ii

,srrR

nsr

irR

ii

2

Canal Vectorial Gaussiano Equivalente

dt T

0 (t)1

X

dt T

0 X

(t)2

dt T

0 X

(t)N

ir(t)1

X

X

(t)2

X

(t)N

im

n(t)

nsr ii

i2s

iNs

i1s

i2r

i1r

iNr

2S 2009 - I. Zamora


23

•Un correlador puede ser implementado por un filtro acoplado. La componente del la forma de onda recibida r(t) junto a si i-ésima función base es equivalentemente a la convolución de la forma de onda r(t) con un filtro i(t-T) en el instante de muestreo de salida T.

Implementación del Demodulador Correlador: Filtro Acoplado

Ttj

Ttj- ij- ij

T

0 iij

t)(Tr(t)

τ)dτt-(T ) (τr)dτ (τ ) (τr(t)dt(t)rr

t)(T(t)r(t)Γ iii

t)(Tj iji r(t)Γ (t)ri

Tt (t)j

dt T

0 X(t)riijr

=(t)Γ i

•Este procedimiento es denominado demodulación de filtro acoplado, el cual está acoplado a las funciones bases correspondientes. ( Filtro+Muestreador)

2S 2009 - I. Zamora


24

Demodulador de filtro acoplado

t)(T1

(t)ri

t)(T2

t)(TN

),...,r,r(r iNii 21iri2r

i1r

iNr

iji r(t)Γ Tt

La demodulación puede basarse en los filtros:

t)(T(t)h jj

2S 2009 - I. Zamora


25

Región de decisión para AWGN

• En el caso de la regla MAP (Maximum A posteriori Probability), cada valor posible para un espacio observacional N-dimensional, se mapea a uno de M posibles mensajes transmitidos. Así, el vector espacial para r se particiona en M regiones correspondiente a las M posibles decisiones. Cada Región consiste de puntos los cuales son los mas cercanos al vector señal transmitido s. En otras palabras,

• Definición: (Región de Decisión)

En un canal AWGN, la región decisión usando MAP para cada símbolo mi, se define como:

ii

22

i

mm fija seentonces Z si

ki Z

ˆr

srsrr ki

2S 2009 - I. Zamora


26

Región de decisión para AWGN: 2 señales

1

2

r

sksi

Zi

Zk

ii

22

i


ki Z

ˆr

srsrr ki

2S 2009 - I. Zamora


27

Región de decisión para AWGN:4 señales

1

2

r

sk

si

Zi

Zk

ii

22

i


ki Z

ˆr

srsrr ki

2S 2009 - I. Zamora


28

Región de decisión para AWGN:8 señales

1

2

r

sk

si Zi

Zk

ii

22

i


ki Z

ˆr

srsrr ki

2S 2009 - I. Zamora


29

Probabilidad de Error para señales en AWGN

aplica. semáxima detección de MLregla la donde

mm m

AWGN) a (debido ik donde Z m :error Evento

ik

ki

ˆ

r

M

1iiie mZrP

M1

P :lesequiprobab símbolospara

iiie

i

mZPmP

:por determina seotransmitid es m

que dado error de adprobabilid la , vector observamos cuando Así

r

r

i

M

1iii

M

1iiiee

e

mPmZrPmPmPP

es ,P error, en símbolode promedio adprobabilid La

:Definición

2S 2009 - I. Zamora


30

Probabilidad Correcta para señales en AWGN

error. de adprobabilid de cómputo el en usada entefrecuentem es

fórmula Esta transmite. sem mensaje símboloel que dado correcta

recepción de adprobabilid la representa ,mZPmP donde

mZPM1

1P1P

:tanto lo por es ,P símbolo,de correcta adprobabilid La

i

iiic

M

1iiiec

c

r

r

2S 2009 - I. Zamora


31

Documents

Lecture 16 Probabilidad de Error para Señales en AWGN Parte 1