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Electromagnetics:

Electromagnetic Field Theory

Electrostatic Devices

Outline

• Laplace’s Equation• Derivation•Meaning• Solving Laplace’s equation

•Resistors•Capacitors

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Derivation of Laplace’s Equation

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Derivation of Poisson’s Equation (1 of 2)

Slide 4

In electrostatics, the field around charges is described by Gauss’ law

vD

In LI media, the constitutive relation is 𝐷 𝜀𝐸 so Gauss’ law can be written in terms of 𝐸.

vE

In electrostatics, the electric field is related to electric potential through 𝐸 ∇𝑉.  This definition can be used to put the above equation solely in terms of the electric potential.

vV

3

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Derivation of Poisson’s Equation (2 of 2)

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The previous slides leads to Poisson’s equation for inhomogeneous media

vV vV

If the medium is homogeneous,  is a constant and can be brought to the righthand side of the equation.

vV

2 vV

Poisson’s equation for inhomogeneous media

Poisson’s equation for homogeneous media

Derivation of Laplace’s Equation

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In the absence of charge, v = 0 and Poisson’s equation reduces to Laplace’s equation.

0V vV

2 vV

2 0V

Laplace’s equation for inhomogeneous media

Laplace’s equation for homogeneous media

2 is called “the Laplacian”

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No Charge in Electrostatics?

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+ + + + + + + + + + + + + + + + + +

‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐

No charge in the region between the plates.

2 0V

Notes

• Poisson’s and Laplace’s equations describe how electric potential varies throughout a volume.

• These are scalar differential equations and usually easier to solve than vector differential equations.

• Use Poisson’s equation when there is charge and Laplace’s equation when there is not.

• Laplace’s equation is particularly important in electrostatics because it can be used to calculate electric potential around conductors maintained at different voltages.

• Uniqueness theorem states that there exists only one solution.

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Meaning of Laplace’s Equation

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Meaning of Laplace’s Equation

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2 0u

Laplace’s equation is

2 is a 3D second‐order derivative. 

A second‐order derivative quantifies curvature.

But, we set the second‐order derivative to zero.

Functions satisfying Laplace’s equation vary linearly.

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Problem Setup

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Suppose we know the value of V(x,y) at some points in space.

What does the function look like at every other point?

Figure it out by solving Laplace’s equation.

2 , 0V x y

Solution of Laplace’s Equation

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Laplace’s equation is sort of a “number filler inner.”

Laplace’s equation fills in the numbers so they vary linearly between known regions.

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Another Example

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Solving Laplace’s Equation

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Recipe for Solving Laplace’s Equation

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Laplace’s equation is solved as a boundary value problem (i.e. partial differential equation plus boundary conditions).

2. Solve Laplace’s equation 2V = 0 in each homogeneous region.

a. When V is a function of only one variable, use direct integration.

b. Otherwise, use separation of variables.

3. Apply the boundary conditions at the edges of the homogeneous regions.

4. Calculate 𝐸 from V using 𝐸 ∇𝑉. 

5. Calculate 𝐷 from 𝐸 using 𝐷 𝜀𝐸. 

1. Choose a coordinate system that will simplify the math.

Example #1 – Voltage Between the Plates of a Capacitor

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Suppose there exists a medium with permittivity  and thickness d.

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Example #1 – Voltage Between the Plates of a Capacitor

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Then apply a voltage V0 across that medium.

Suppose there exists a medium with permittivity  and thickness d.

Example #1 – Voltage Between the Plates of a Capacitor

Slide 18

Then apply a voltage V0 across that medium, which puts charge on the plates.

Suppose there exists a medium with permittivity  and thickness d.

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Example #1 – Voltage Between the Plates of a Capacitor

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Calculate the electric potential and electric field between the plates.

Then apply a voltage V0 across that medium, which puts charge on the plates.

Suppose there exists a medium with permittivity  and thickness d.

Example #1 – Voltage Between the Plates of a Capacitor

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Step 1 – Choose a coordinate system.

Cartesian

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Example #1 – Voltage Between the Plates of a Capacitor

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Step 2 – Solve Laplace’s equation

2

0

0

0 0

V

V

V d V

If we assume the device is uniform in the x and ydirections, Laplace’s equation reduces to

2 2 2

2 2 20

V V V

x y z

2

2 0d V

dz

Example #1 – Voltage Between the Plates of a Capacitor

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Step 2 – Solve Laplace’s equation

Integrate to get

2

20

d VV z az b

dz

21

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Example #1 – Voltage Between the Plates of a Capacitor

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Step 3 – Apply boundary conditions.

First boundary condition…

0 0 0 0 0V V a b b

Example #1 – Voltage Between the Plates of a Capacitor

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Step 3 – Apply boundary conditions.

Second boundary condition…

00 0 0

VV d V V d a d V a

d

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Example #1 – Voltage Between the Plates of a Capacitor

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Step 3 – Apply boundary conditions.

Altogether, the solution is

0 0V

V z z z dd

Example #1 – Voltage Between the Plates of a Capacitor

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Step 4 – Calculate 𝐸 from V.

The electric field intensity is

0 0 0 ˆ z z z

V V Vd dE V E V E z E a

dz dz d d d

Observe that 𝐸 does not 

depend on .

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Example #1 – Voltage Between the Plates of a Capacitor

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Step 5 – Calculate 𝐷 from 𝐸.

Applying the constitutive relation, we get the electric flux density

0 0ˆ ˆ z z

V VD E D a D a

d d

Resistors

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What is a Resistor?

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A resistor is a passive two‐terminal electrical component that limits the conductivity so as to limit current flow.

Analysis Setup

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S

J

+‐ V

I

?V

RI

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Derivation of Resistance for Uniform Conductivity

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Electric Current Density

IJ

S

Ohm’s Law

J E

E

Electric Field Intensity

VE

V

I V

S

V

I S

R RS S

Derivation of Resistance for Nonuniform Conductivity

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Voltage across conductor

V E d

Now we must use electromagnetic analysis to derive V and I.

Current through conductor

S S

I J ds E ds

S

E dV

RI E ds

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Recipe for Analyzing Resistors

1. Choose a convenient coordinate system.2. Assume V0 as the potential difference across the 

terminals of the conductor.3. Calculate electric potential V by solving Laplace’s 

equation 2V = 0.4. Calculate 𝐸 using 𝐸 ∇𝑉.5. Calculate I from                           .

6. Calculate R using R = V0/I.

Slide 33

S

I E ds

Note: The final equation for R should not contain V0 or I.  Use this as a self‐check.

The Parallel Plate Resistor

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dR

S

surface areaS

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Capacitors

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What is a Capacitor?

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A capacitor is a passive two‐terminal electrical component that can store and release electric energy.  It supplies current so as to keep the voltage across its terminals constant.

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Capacitance, C

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Capacitance is defined as the magnitude of the charge on one of the plates to the potential difference between the two plates.

Q

Q

0

QC

V

We do not care about the signs to calculate capacitance.

Recipe for Analyzing Capacitors

1. Choose a convenient coordinate system.

2. Let the plates carry charges +Q and -Q.

3. Calculate 𝐷 using Gauss’ law.

4. Calculate 𝐸 using 𝐸 𝐷/𝜀.

5. Calculate V0 using                         .

6. Calculate C using                    .

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0

L

V E d

0C Q VNote: The final equation for C should not contain Q or V0.  Use this as a self‐check.

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Some Simple Capacitors

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SC

d

2

ln

LC

ba

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