Embed Size (px)
DESCRIPTION
transformasi laplace
Citation preview
Pengantar Teknik Pengaturan*AK-042209
Lecture 3: Transformasi Laplace
Disiapkan oleh
Dr.-Ing. Mohamad Yamin
Center for Automotive Research
Universitas Gunadarma
Dr.-Ing. Mohamad Yamin 2
Outline
Overview DefinisiTeorema transformasi LaplaceEkspansi pecahan parsial: ReviewPecahan parsial menggunakan MatLab
Dr.-Ing. Mohamad Yamin 3
Overview
• Persamaan Differensial yang diperoleh dari pemodelan matematik suatu sistem mewakili proses dinamik dari sistem tersebut dimana responsenya akan bergantung pada masukannya
• Solusi dari persamaan differensial terdiri dari solusi steady state (didapat jika semua kondisi awal nol) dan solusi transien (mewakili pengaruh dari kondisi awal).
• Transformasi Laplace merupakan salah satu tools yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial.
Dr.-Ing. Mohamad Yamin 4
• Transformasi Laplace mengkonversikan persamaan differensial (dalam domain t) kedalam persamaan aljabar dalam domain s.
• Memungkinkan memanipulasi persamaan aljabar dengan aturan sederhana untuk menghasilkan solusi dalam domain s.
• Solusi dalam domain t dapat diperoleh dengan melakukan operasi inverse transformasi Laplace
Dr.-Ing. Mohamad Yamin 5
Definisi
sFLtf 1
0
dtetftfLsF stTransformasi Laplace
F(s) dari fungsi f(t)
Inverse Transformasi Laplace
Fungsi f(t) haruslah real dan kontinyu sepanjang interval waktu yang akan dievaluasi, jika tidak transformasi Laplace tidak dapat digunakan.
Dr.-Ing. Mohamad Yamin 6
Teorema Transformasi Laplace
• Linieritas
sFsFtftfL
saFtafL
2121
dt
dffsFs
dt
tfdL
fssFdt
tdfL
00
0
22
2
dt
s
f
s
sFdttfL
0
ssFtfst
limlim0
ssFtfst 0limlim
sFetfL s
• Differensiasi
• Integrasi
• Nilai awal
• Nilai akhir
• Pergeseran waktu
Dr.-Ing. Mohamad Yamin 7
Contoh:Solusi Persamaan Differensial
s
sYyssYysysYs1
5)(2)0(33)0´(02
tftydt
tdy
dt
tyd523
2
2
Diberikan persamaan differensial sbb:
Dimana f(t) adalah fungsi unit step dengan kondisi awal y(0)=-1 dan y´(0)=2. Transformasi Laplace menghasilkan:
)23(
5)(
5)()23(
5)(2332
2
2
22
2
sss
sssY
sssYsss
ssYssYssYs
Fungsi unit step dari tabel transformasi
Laplace
Menggunakan teorema differensiasi transformasi Laplace
Solusi dalam domain t diperoleh dengan invers transformasi
Laplace
Dr.-Ing. Mohamad Yamin 8
)2)(1(
5
)23(
5)(
2
2
2
sss
ss
sss
sssY
2
3
)1(
5)]()2[(
5)2(
5)]()1[(
2
5
)2)(1(
5)]([
2
2
2
1
2
0
ss
sssYsC
ss
sssYsB
ss
ssssYA
s
s
s
Invers transformasi Laplace dilakukan dengan memanipulasi penyebut (denumerator) dalam fungsi Y(s) kedalam akar-akarnya:
)2)(1(
5
)2()1()(
2
sss
ss
s
C
s
B
s
AsY
Ekpansi dalam pecahan parsial,
Dimana A, B dan C adalah koefisien
Dr.-Ing. Mohamad Yamin 9
)2(2
3
)1(
5
2
5)(
ssssY
Persamaan Y(s) dalam bentuk pecahan parsial menjadi
Dengan invers transformasi Laplace (di dapat dari tabel), persamaan dalam domain waktu y(t) menjadi
tt eety 2
2
35
2
5)(
Dengan t≥0
Dr.-Ing. Mohamad Yamin 10
Prosedur Solusi pers. Differensial dengan:Transformasi Laplace
1. Transformasi persamaan differensial ke dalam domain s dengan transformasi Laplace menggunakan tabel transformasi Laplace.
2. Manipulasi persamaan aljabar yang telah ditransformasikan untuk mendapatkan variabel outputnya.
3. Lakukan ekspansi pecahan parsial terhadap persamaan aljabar pada langkah 2.
4. Lakukan invers transformasi Laplace dengan tabel transformasi Laplace untuk mendapatkan solusi dalam domain t.
Dr.-Ing. Mohamad Yamin 11
Ekspansi Pecahan Parsial:Review
• Transformasi Laplace dari suatu persamaan differensial f(t) lazimnya diberikan dalam bentuk:
)(
)()(
sD
sNsF
• Bentuk ekspansi pecahan parsial dari F(s) bergantung pada akar-akar persamaan karakteristiknya (denumerator).– Kasus 1: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar real dan tidak sama
N(s) adalah numerator (pembilang) dalam s, D(s)
denumerator (penyebut) dalam s
))...()((
)()(
21 Nssssss
sNsF
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:
)(...
)()()(
2
2
1
1
N
N
ss
K
ss
K
ss
KsF
Ki (i=1,…,N) adalah
konstanta yang harus dicari
Dr.-Ing. Mohamad Yamin 12
Ekspansi Pecahan Parsial:Review
))...()()...()((
)()]()[(
1121 Niiiiiii
issii ssssssssss
sNsFssK
i
• Kasus 2: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar kompleks
Mnnnnnn ssssss
sNsF
)2...()2()2(
)()(
222
221
22
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:
Mnn
MM
nnnn ss
BsA
ss
BsA
ss
BsAsF
)2(...
)2()2()(
222
2222
122
11
Konstanta K dicari dengan persamaan berikut:
Jika persamaan karakteristik hanya memiliki M pasangan complex-conjugate, F(s) dapat dituliskan sbb:
Dimana Ai dan Bi konstanta yang dicari dengan menyamakan pangkat dalam s
Dr.-Ing. Mohamad Yamin 13
Ekspansi Pecahan Parsial:Review
• Kasus 3: Persamaan karakteristik memiliki akar real, tidak sama dan kompleks
MnnnnnnN ssssssssssss
sNsF
)2...()2()2)()...()((
)()(
222
221
2221
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:
Mnn
MM
nnnn
N
N
ss
BsA
ss
BsA
ss
BsA
ss
K
ss
K
ss
KsF
)2(...
)2()2(
)(...
)()()(
222
2222
122
11
2
2
1
1
Dr.-Ing. Mohamad Yamin 14
Ekspansi Pecahan Parsial:dengan software MatLab
• Fungsi transfer, F(s)=N(s)/D(s):
0,
...
...
)(
)(
011
1
011
1
mn
nn
nn
mm
mm
ba
asasasa
bsbsbsb
den
num
sD
sN
• Ekspansi pecahan parsialnya adalah
]...[
]...[
01
01
aaaden
bbbnum
nn
mm
)()(
)(...
)2(
)2(
)1(
)1(
)(
)(sk
nps
nr
ps
r
ps
r
sD
sN
• Dalam MatLab numerator (pembilang), num dan denumerator (penyebut), den dituliskan dalam bentuk vektor baris yang dinyatakan dengan koefisiennya
k(s) adalah direct term
• Perintah
>>[r,p,k]=residue(num,den)
Perintah ini akan mencari residu, poles dan direct term
dari ekspansi pecahan parsial N(s)/D(s)
Dr.-Ing. Mohamad Yamin 15
Contoh
32 )1(
2
)1(
0
)1(
1
)(
)(
ssssD
sN
• Dengan menggunakan MatLab, tentukan ekspansi pecahan parsial dari fungsi transfer berikut:
Solusi dengan MatLab:
>>num=[1 2 3];
>>den=[1 3 3 1];
>>[r,p,k]=residue(num,den)
r = 1.0000 0.0000 2.0000
p = -1.0000 -1.0000 -1.0000
k = []
133
32
)(
)(23
2
sss
ss
sD
sN
Ekspansi pecahan parsialnya:
Dr.-Ing. Mohamad Yamin 16
Tabel:Transformasi Laplace
