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Lei de Gauss
Cap. 23
Copyright © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
23-1 Fluxo Elétrico
Vetores campo elétrico e
linhas de campo transpassam
uma superfície Gaussiana
esférica imaginária que
engloba uma partícula com
carga +Q.
Agora a partícula envolvida
possui carga +2Q.
Você pode dizer qual a
carga envolvida agora?
Resp.: -0.5Q
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A lei de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma
superfície gaussiana (fechada) à carga total envolvida pela superfície.
Superfície
Gaussiana
Linha de campo
23-1 Fluxo Elétrico
O vetor área dA para um elemento de área em uma superfície é um vetor que é
perpendicular ao elemento e tem módulo igual à área dA do elemento.
O fluxo elétrico dϕ através de um elemento de área com vetor área dA é dado
pelo produto interno:
(a) Um vetor campo elétrico atravessa
um pequeno quadrado numa
superfície plana.
(b) Apenas a componente x atravessa
o quadrado; a componente y é
paralela ao quadrado.
(c) O vetor área do quadrado é
perpendicular ao quadrado e tem
um módulo igual à área do
quadrado.
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Agora podemos encontrar o fluxo total integrando
o produto interno em toda a superfície.
O fluxo através da superfície é dado por
O fluxo total através de uma superfície fechada
(a qual é utilizada na Lei de Gauss) é dada por
onde a integral é calculada sobre toda a
superfície.
23-1 Fluxo Elétrico
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Se o sentido do campo elétrico é para fora da superfície, o fluxo é positivo; se o sentido do campo elétrico é
para dentro da superfície, o fluxo é negativo; se o campo elétrico é paralelo à superfície, o fluxo é zero.
23-1 Fluxo Elétrico
Fluxo através de um cilindro fechado em campo uniforme
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A Lei de Gauss relaciona o fluxo total ϕ de um
campo elétrico através de uma superfície fechada
(uma superfície Gaussiana) com a carga total qenv
que é envolvida pela superfície. Mostra que
podemos escrever a lei de Gauss também como
23-2 Lei de Gauss
Duas cargas, iguais em módulo mas com sinais opostos, e
as linhas de campo que representam o campo elétrico total.
Quatro superfícies Gaussianas são mostradas em seção
transversal.
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23-2 Lei de Gauss
Superfície S1.O campo elétrico aponta para fora
para todos os pontos sobre a superfície. Então, o
fluxo do campo elétrico através da superfície é
positivo, e também é a carga total dentro desta
superfície, como requer a Lei de Gauss
Superfície S2.O campo elétrico aponta para
dentro para todos os pontos sobre a superfície.
Então, o fluxo do campo elétrico através da
superfície é negativo e também a carga
encerrada, como requer a Lei de Gauss.
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Duas cargas, iguais em módulo mas com sinais opostos, e
as linhas de campo que representam o campo elétrico total.
Quatro superfícies Gaussianas são mostradas em seção
transversal.
23-2 Lei de Gauss
Superfície S3.Esta superfície não engloba carga,
e então qenv = 0. A Lei de Gauss requer que o
fluxo total de campo elétrico através da superfície
seja zero. Isto é razoável porque todas as linhas
de campo passam inteiramente pela superfície,
entrando no topo e saindo no fundo.
Superfície S4.Esta superfície não engloba carga
líquida, porque as cargas positiva e negativa
envolvidas têm o mesmo módulo. A Lei de Gauss
requer que o fluxo total do campo elétrico através
da superfície seja zero. Isto é razoável porque
existem tantas linhas entrando quanto saindo de
S4.
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Duas cargas, iguais em módulo mas com sinais opostos, e
as linhas de campo que representam o campo elétrico total.
Quatro superfícies Gaussianas são mostradas em seção
transversal.
23-3 Um Condutor Carregado Isolado
(a) Vista de perspectiva
(b) Vista lateral de uma pequena parte de um
condutor de grande extensão com uma carga
positiva na superfície. Uma superfície gaussiana
cilíndrica, engastada perpendicularmente no
condutor, envolve parte das cargas. Linhas de
campo elétrico atravessam a base do cilindro que
está do lado de fora do condutor, mas não a base
que está do lado de dentro. A base que está do
lado de fora tem área A e o vetor área é A.© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Se uma carga em excesso é introduzida em um condutor, a carga se concentra
na superfície do condutor; o interior do condutor permanece neutro.
Existe fluxo apenas
através da face
externa final
23-4 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica
A figura mostra uma seção de um bastão plástico
cilíndrico infinitamente longo com uma carga
superficial λ. A distribuição de carga e o campo tem
simetria cilíndrica. Para encontrar o campo num raio r,
nós envolvemos a seção do bastão com um cilindro
Gaussiano concêntrico de raio r e altura h.
O fluxo total através do cilindro a partir da Lei de
Gauss se reduz à
levando àUma superfície Gaussiana na
forma de um cilindro fechado
envolve uma seção de um
bastão plástico cilíndrico
infinitamente longo e
uniformemente carregado.
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Existe fluxo
apenas através da
superfície curva
Superfície
Gaussiana
(linha de carga)
Existe fluxo
apenas através
das bases
Superfície
Gaussiana
23-5 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Planar
As figuras (a-b) mostram uma parte de uma placa
fina, infinita, não-condutora com uma densidade de
carga superficial uniforme (positiva) σ. Uma folha de
plástico fino, com uma das superfícies uniformemente
carregada pode servir como um bom exemplo.
Aqui,
É simplesmente EdA e então a Lei de Gauss,
torna-se
onde σA é a carga envolvida pela superfície
Gaussiana. Isto leva à:
Placa Isolante
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23-5 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Planar
A Figura (a) mostra uma seção transversal
de uma placa condutora fina e infinita com
excesso de carga positiva. A Figura (b)
mostra uma placa idêntica com excesso de
carga negativa com o mesmo módulo de
densidade de carga superficial σ1.
Suponha trazermos as placas das Figs. a e
b para perto uma da outra mantendo-as
paralelas entre si (c). Uma vez que as
placas são condutoras, quando fazemos
isto, o excesso de carga numa placa atrai o
excesso de carga na outra placa e todo o
Duas Placas Condutoras
Excesso de carga se move para as faces internas das placas como na Fig.(c). Com
duas vezes mais carga agora em cada face interna, o campo elétrico em qualquer
ponto entre as placas tem módulo
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23-6 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Esférica
Vista em seção reta de uma casca
esférica fina, uniformemente carregada,
com uma carga total q. Duas superfícies
gaussianas, S1 e S2, também são
mostradas. A superfície S2 envolve a
casca, e a superfície S1 envolve apenas
a cavidade vazia que existe no
interior da casca.
Na figura, aplicando a Lei de Gauss para a
superfície S2, para a qual r ≥ R, encontramos que
E aplicando a Lei de Gauss para a superfície S1,
para a qual r < R,
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Uma partícula carregada situada do lado de fora de uma casca esférica com uma distribuição
uniforme de carga é atraída ou repelida como se toda a carga estivesse situada no centro da casca.
23-6 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Esférica
No interior de uma esfera com uma densidade volumétrica
uniforme de carga, o campo é radial e tem o mesmo módulo
onde q é a carga total, R é o raio da esfera, e r é a distância
radial desde o centro da esfera até o ponto de medida como
mostrado na figura.
Uma superfície Gaussiana esférica concêntrica
com r > R é mostrada em (a). Uma superfície
Gaussiana similar com r < R é mostrada em (b).
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Uma partícula carregada situada no interior de uma casca esférica com uma
distribuição uniforme de carga não é atraída nem repelida pela casca.
23 Sumário
Lei de Gauss• A lei de Gauss é
• O fluxo líquido de campo elétrico
através da superfície:
• Placa isolante infinita
• Fora de uma casca esférica
carregada
• Dentro de uma casca esférica
uniforme
• Dentro de uma casca esférica
uniforme carregada
Eq. 23-15
Eq. 23-20
Aplicações da Lei de Gauss• Superfície de um conductor
carregado
• Dentro da superfície E=0.
• linha de carga
Eq. 23-6
Eq. 23-11
Eq. 23-6
Eq. 23-12
Eq. 23-13
Eq. 23-16
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23 Exercícios
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Halliday 10ª. Edição (atenção a partir do
capítulo passado é a 10ª. Edição)
Cap. 23:
Problemas 1; 3; 8; 12; 19; 23; 37; 42; 47; 51
23 Problema 23-1
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A superfície quadrada da figura abaixo tem 3,2 mm de lado e está imersa em
um campo elétrico uniforme de módulo E = 1800 N/C e com linhas de campo
fazendo um ângulo de 35o com a normal, como mostra a figura. Tome essa
normal como apontando “para fora”, como se a superfície fosse a tampa de
uma caixa. Calcule o fluxo elétrico através da superfície.
23 Problema 23-3
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O cubo da figura abaixo tem 1,40 m de aresta e está orientado da forma
mostrada na figura em uma região onde existe um campo elétrico uniforme.
Determine o fluxo elétrico através da face direita do cubo se o campo elétrico,
em newtons por coulomb, é dado por (a) 6,00î, (b) –2,00ĵ e (c) –3,00î + 4,00k.
(d) Qual é o fluxo total através do cubo nos três casos?
23 Problema 23-8
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Quando um chuveiro é aberto em um banheiro fechado, os respingos de água
no piso do boxe podem encher o ar de íons negativos e produzir um campo
elétrico no ar de até 1000 N/C. Considere um banheiro de dimensões 2,5 m ×3,0 m × 2,0 m. Suponha que no teto, no piso e nas quatro paredes o campo
elétrico no ar seja perpendicular à superfície e possua um módulo uniforme de
600 N/C. Suponha também que o teto, o piso e as paredes formem uma
superfície gaussiana que envolva o ar do banheiro. Determine (a) a densidade
volumétrica de carga ρ e (b) o número de cargas elementares e em excesso
por metro cúbico de ar.
23 Problema 23-12
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A figura abaixo mostra duas cascas esféricas isolantes mantidas fixas no lugar.
A casca 1 possui uma densidade superficial de carga uniforme de +6,0 μC/m2
na superfície externa e um raio de 3,0 cm; a casca 2 possui uma densidade
superficial de carga uniforme de +4,0 μC/m2 na superfície externa e um raio de
2,0 cm; os centros das cascas estão separados por uma distância L = 10 cm.
Qual é o campo elétrico no ponto x = 2,0 cm, na notação dos vetores
unitários?
23 Problema 23-19
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Os veículos espaciais que atravessam os cinturões de radiação da Terra
podem interceptar um número significativo de elétrons. O acúmulo de carga
resultante pode danificar componentes eletrônicos e prejudicar o
funcionamento de alguns circuitos. Suponha que um satélite esférico feito de
metal, com 1,3 m de diâmetro, acumule 2,4 μC de carga. (a) Determine a
densidade superficial de carga do satélite. (b) Calcule o módulo do campo
elétrico nas vizinhanças do satélite devido à carga superficial.
23 Problema 23-23
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(a) O cilindro condutor de uma máquina tem um comprimento de 42 cm e um
diâmetro de 12 cm. O campo elétrico nas proximidades da superfície do
cilindro é 2,3 × 105 N/C. Qual é a carga total do cilindro? (b) O fabricante
deseja produzir uma versão compacta da máquina. Para isso, é necessário
reduzir o comprimento do cilindro para 28 cm e o diâmetro para 8,0 cm. O
campo elétrico na superfície do tambor deve permanecer o mesmo. Qual deve
ser a carga do novo cilindro?
23 Problema 23-37
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Uma placa metálica quadrada, de 8,0 cm de lado e espessura insignificante,
possui uma carga total de 6,0 × 10–6 C. (a) Estime o valor do módulo E do
campo elétrico perto do centro da placa (a 0,50 mm do centro, por exemplo)
supondo que a carga está distribuída uniformemente pelas duas faces da
placa. (b) Estime o valor de E a 30 m de distância (uma distância grande, em
comparação com as dimensões da placa) supondo que a placa é uma carga
pontual.
23 Problema 23-42
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Duas grandes placas de metal com 1,0 m2 de área são mantidas paralelas a
5,0 cm de distância e possuem cargas de mesmo valor absoluto e sinais
opostos nas superfícies internas. Se o módulo E do campo elétrico entre as
placas é 55 N/C, qual é o valor absoluto da carga em cada placa? Despreze o
efeito de borda.
23 Problema 23-47
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Uma esfera condutora com 10 cm de raio tem uma carga desconhecida. Se o
módulo do campo elétrico a 15 cm do centro da esfera é 3,0 × 103 N/C e o
campo aponta para o centro da esfera, qual é a carga da esfera?
23 Problema 23-51
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Na figura abaixo, uma casca esférica, isolante, com um raio interno a = 2,00
cm e um raio externo b = 2,40 cm, possui uma densidade volumétrica uniforme
de carga positiva ρ = A/r, em que A é uma constante e r é a distância em
relação ao centro da casca. Além disso, uma pequena esfera de carga q =
45,0 fC está situada no centro da casca. Qual deve ser o valor de A para que o
campo elétrico no interior da casca (a ≤ r ≤ b) seja uniforme?