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LEI DOS SENOS E O CÁLCULO DO RAIO DA TERRA
Lossian Miranda1, Oannes de Oliveira Miranda2 1 CEFET-PI/Coordenação de Matemática e
Física/[email protected] Instituto Antoine de Lavoisier
-Teresina-PI/[email protected]
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ResumoSupondo que a Terra seja esférica e, usando os
conceitos básicos da trigonometria do plano, mostramos o modelo teórico que possibilita o cálculo do raio terrestre. Revisitamos a grande experiência de Eratóstenes e usamos a lei dos senos para calcular a distância de um observador até a linha do horizonte.
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Exclusivamente a partir do cálculo de um ângulo vertical e dois ângulos horizontais, na prática feitos com auxílio de teodolito, nossos resultados teóricos nos permitem encontrar o valor do raio da Terra, independentemente do cálculo da altura em que se encontra o observador juntamente com o teodolito.
Palavras-chave: Raio da Terra, lei dos senos, teodolito.
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Introdução
Apesar de já se terem passado mais de dois mil anos desde que Eratóstenes realizou a experiência do cálculo do raio da Terra, inicialmente usando a proporcionalidade direta existente entre o comprimento de arco determinado por dois pontos de um meridiano e o valor dos ângulos por eles determinados, os experimentos relativos a este importante problema continuam a fascinar a Humanidade, e são sempre muito atuais, tendo em conta o fato de que nosso planeta encontra-se em constante mutação, e as correções para o raio terrestre em cada ponto são de grande importância para a indústria da navegação aérea e das telecomunicações.
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No entanto, nosso objetivo ao abordarmos a questão é o de simplesmente levar aos alunos do ensino médio a mais extraordinária aplicação da trigonometria já planejada pelo homem. É uma experiência que mostra ao aluno a matemática como ação concreta na construção da história do Mundo e dos homens.
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O raio da Terra como função da posição de um ponto no horizonteEntenderemos como horizonte uma curva
imaginária, relativa à visão de um observador, a qual corresponde à fronteira entre o céu e a terra, ou entre o céu e o mar. Caso a Terra fosse uma perfeita esfera, o horizonte seria uma calota esférica. Chamaremos linha de visada do horizonte à semi-reta que vai do observador (mais precisamente da luneta de observação do observador postada em um teodolito, ou qualquer outro meio de observação), até um ponto do horizonte.
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A união de todas as linhas de visada do horizonte corresponde a um cone com vértice no ponto de referência da observação. Todas as linhas de visada do horizonte são tangentes à superfície terrestre, e o centro da Terra, o ponto de referência da observação e o ponto de tangência (intersecção da linha de visada com a superfície da Terra), determinam um plano que passa pelo centro da Terra, estando a linha de visada, contida neste plano (veja figuras 01 e 02). Em nossa exposição, consideraremos a Terra como sendo uma perfeita esfera, hipótese razoável dentro de um grau de muita precisão, para as grandes distâncias que iremos procurar.
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Sejam: a) O, o centro da Terra; b) A, o ponto de referência do observador (na
prática, local que corresponde ao centro da “mesa” de um teodolito);
c) C, ponto de intersecção da superfície da Terra com o segmento ;
d) B, um ponto qualquer escolhido no horizonte relativo ao observador postado, juntamente com seu teodolito (ou outro qualquer meio de observação de distâncias e ângulos, o qual chamaremos de agora em diante, simplesmente por teodolito);
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e) D, projeção ortogonal de B sobre o segmento
f) 2, o ângulo entre os segmentos concorrentes
g) 1, o ângulo entre os segmentos concorrentes
h) r, o comprimento do segmento correspondente ao raio da Terra.
e OB.OA
e AB.OA
OA
OB
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O teodolito e o cálculo da distância até o horizonte
A distância AB do observador até o horizonte pode ser calculada com o auxílio das medidas de ângulo feitas por um teodolito e conveniente uso da lei dos senos.
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Bibliografia
Lima, Elon Lages - Meu Professor de matemática e outras. Histórias - SBM - 1991.