Leis de Kirchhoff

LEIS DE KIRCHHOFF ANLISE DE REDES DC1. Anlise de correntes nas malhas 2. Anlise de tenso nodal 3. Superposio As Leis de Kirchhoff so assim denominadas em homenagem ao fsico alemo Gustav Kirchhoff1. Formuladas em 1845, estas leis so baseadas no Princpio da Conservao da Energia, no Princpio de Conservao da Carga Eltrica e no fato de que o potencial eltrico tem o valor original aps qualquer percurso em uma trajetria fechada (sistema no-dissipativo). LEIS DE KIRCHHOFF PARA CORRENTE - LKC Tambm conhecida como lei dos ns tem o seguinte enunciado: A soma das correntes que entram na juno igual a soma das correntes que saem.

I = 0Veja o circuito a seguir:

Gustav Robert Kirchhoff (Knigsberg, 12 de maro de 1824 Berlim, 17 de outubro de 1887) foi um fsico alemo, com contribuies cientficas principalmente no campo dos circuitos eltricos, na espectroscopia, na emisso de radiao dos corpos negros e na teoria da elasticidade (modelo de placas de Kirchhoff). Kirchhoff props o nome de "radiao do corpo negro" em 1862. o autor de duas leis fundamentais da teoria clssica dos circuitos eltricos e da emisso trmica.1

LEIS DE KIRCHHOFF - Prof. Edgar Zuim

1

As correntes I1, I3 e I4 esto entrando na juno (n) e a corrente I2 est saindo. Para escrever a equao, representaremos as correntes que saem da juno com o sinal (-) e as correntes que entram com o sinal (+). Assim: I1+(+I3)+(+I4)+(-I2) = 0 I1+I3+I4-I2 = 0 Levando em conta o enunciado, ento: I1+I3+I4 = I2 Pois a soma das correntes que entram deve ser igual a soma das correntes que saem. EXERCCIO RESOLVIDO: Calcule o valor da corrente I5, no circuito abaixo, sabendo-se que: I1 = 1A I2 = 1,5A I3 = 0,5A I4 = 2A I5 = ?

Equao: I1 - I2 + I3 - I5 + I4 = 0 1 - 1,5 + 0,5 - I5 + 2 = 0 3,5 - 1,5 - I5 = 0 2 - I5 = 0 2 = I5


2

I5 = 2A Correntes que entram: I1, I3, I4 = 1 + 0,5 + 2 = 3,5A Correntes que saem: I2, I5 = 1,5 + 2 = 3,5A LEIS DE KIRCHHOFF PARA TENSO - LKT A tenso aplicada a um circuito fechado igual a soma das quedas de tenso daquele circuito. A lei de Kirchhoff para tenso ou LKT, tambm conhecida como lei das malhas. A SOMA DAS TENSES EM UMA MALHA FECHADA, SEJAM ELAS ORIUNDAS DE BIPOLOS GERADORES OU RECEPTORES IGUAL A ZERO.

E = 0Vejamos a equao dos circuitos abaixo, segundo LKT. Circuito 1

Escrevendo a equao: O primeiro passo polarizar o circuito. Adotaremos sempre como padro a corrente no sentido horrio (do + para o -). A corrente do (+) para o (-), representa o sentido de corrente convencional.

Padronizaremos com o sinal de (+) para representar a corrente entrando no bipolo receptor, e com o sinal de (-) a corrente saindo desse bipolo, conforme ilustra a figura acima.


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Escrevendo a equao: VA - V1 - V2 - V3 = 0 100 - 50 - 30 - 20 = 0 Neste caso o circuito possui uma fonte de tenso DC (bipolo gerador) e 3 resistores (bipolos receptores), da ento: a soma das tenses nos bipolos receptores igual a soma das tenses nos bipolos geradores. Como temos apenas um bipolo gerador, ento: VA = V1 + V2 + V3 100V = 50V + 30V + 20V 100V = 100V Caso a bateria VA estivesse invertida conforme ilustra a figura: - VA = V1 + V2 + V3 - 100V = 50V + 30V + 20V - 100V = 100V Observa-se que a equao no zera, pois -100V diferente de 100V. Quando isto ocorre, preciso inverter a bateria, pois estamos adotando como padro o sentido horrio da corrente (do + para o -). Se a bateria no for invertida, teremos que repolarizar o circuito porm no sentido anti-horrio. Circuito 2 Calcular o valor da tenso VB no circuito abaixo:


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Polarizando o circuito: A equao do circuito fica assim: VA - V1 - VB - V2 = 0 30 - 6 - VB - 8 = 0 16 - VB = 0 VB = 16V

Ao inverter a bateria VB no dever ser invertida a polarizao, ou seja, o sentido de polarizao ser sempre no sentido horrio (que adotamos), pouco importando a posio das baterias. Vejamos o circuito abaixo para melhor elucidao. Calcular o valor da tenso VB (observe que a bateria VB est invertida):

Polarizando o circuito: A equao do circuito fica assim: VA - V1 - (-VB) - V2 = 0 30 - 6 + VB - 8 = 0 16 + VB = 0 VB = - 16V

Como o resultado de VB negativo, isto implica que a bateria deve ser invertida, pois o circuito no ir zerar, da ento, a bateria VB deve estar com a polaridade positiva apontada para cima. Comprovando:LEIS DE KIRCHHOFF - Prof. Edgar Zuim

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VB no invertida (polaridade negativa apontada para cima) VA - V1 + VB - V2 = 0 30 - 6 + 16 - 8 = 0 46 - 14 = 0 (no satisfaz a LKT) Invertendo a bateria: 30 - 6 - 16 - 8 = 0 30 - 30 = 0 (satisfaz a LKT) ANLISE DE UMA REDE DC ATRAVS DA CORRENTE NAS MALHAS: No circuito a seguir utilizaremos as Leis de Kirchhoff para sua resoluo e levantamento energtico das correntes e tenses em cada um dos seus resistores. Trata-se de um circuito com duas malhas e duas baterias, onde adotaremos como regras de polarizao o sentido horrio da corrente. Exerccio: calcular no circuito abaixo as tenses e correntes nos resistores. Efetuar o levantamento energtico usando LKT e LKC:

Polarizando o circuito:


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OBS:

Na malha 1 temos a corrente i1 Na malha 2 temos a corrente i2 Pelo resistor R2 circulam as correntes i1 e i2 porm em sentidos opostos, devido a polarizao adotada no circuito, uma vez que as duas malhas foram polarizadas adotando o sentido horrio da corrente. Denominaremos essa corrente como i3, considerando-a como saindo da juno da juno.

Lembrar que as correntes que entram no n ou juno recebem a polaridade (+) e as que saem a polaridade (-). i1 - i2 - i3 = 0 - i3 = - i1 + i2 i3 = i1 - i2 Escrevendo as equaes: Malha 1 Malha 2

Temos ento um sistema com 2 equaes e duas incgnitas (i1 e i2). Resolvendo o sistema:


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Substituindo i1 em (I)

Calculando i3: - i3 + i1 - i2 i3 = i1 - i2 = 15 - 6 = 9A (saindo da juno) Levantamento energtico: LKT

Queda de tenso nos resistores: VR1 = R1 . i1 = 4 . 15 = 60V VR2 = R2 . i3 = 3 . 9 = 27V VR3 = R3 . i2 = 2. 6 = 12V Aplicando as equaes nas malhas: Malha 1: EA - VR1 - VR2 = 0 87 - 60 - 27 = 0 Malha 2: - EB - (- VR2) - VR3 = 0 - 15 + 27 - 12 = 0LEIS DE KIRCHHOFF - Prof. Edgar Zuim

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Malha externa: EA - VR1 - VR3 - EB = 0 87 - 60 - 12 - 15 = 0 LKC Na juno (n) entre os resistores R1, R2 e R3, temos: A corrente i1 entra na juno enquanto as correntes i2 e i3 saem da juno. i1 - i2 - i3 = 0 15 - 6 - 9 = 0 ANLISE DE UMA REDE DC ATRAVS DA TENSO NODAL: Vamos resolver o mesmo exerccio, porm agora analisando as correntes nos ns, da o nome de tenso nodal, uma vez que na juno formada pelos resistores R1, R2 e R3 existe tambm uma tenso. Denominaremos esse ponto de N.

Da ento, N e G so os ns principais. Vamos polarizar o circuito (as duas malhas), levando-se em considerao o sentido convencional da corrente: do (+) para o (-).


9

As correntes i1 e i2 entram no n, enquanto a corrente i3 sai (suposio adotada para a corrente i3) i1 + i2 - i3 = 0 i3 = i1 + i2 Para calcular as correntes, devemos conhecer a tenso nodal: i3 = VN ; R2 i2 = i1 = VB VN R3 VA - VN ; R1

Calculando VN (tenso nodal). Lembrando que VN a tenso nos extremos do resistor R2 (pontos N e G). VN VA - VN VB - VN = + R2 R1 R3 VN 87 - VN 15 - VN = + mmc = 12 3 4 2 4(VN) = 3(87-VN) + 6(15-VN) 4VN = 261 - 3VN + 90 - 6VN 13VN = 351 VN = Assim: i3 = VN 27 = = 9A R2 3 VA - VN 87 - 27 60 = = = 15A R1 4 4 VB VN 15 - 27 - 12 = = = - 6A R3 2 6 351 = 27V 13

i1 =

i2 =

Como a corrente i2 = - 6A, ento o seu sentido deve ser invertido, passando a sair do n ao invs de entrar.


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Partindo do enunciado da LKC, em que a soma das correntes que entram em um n igual a soma das correntes que saem, ento: i1 = i2 + i3 15 = 6 + 9 15A (entra) = 15A (sai) Ou pela equao: i1 - i2 - i3 = 0 i1 = i2 + i3 15 = 6 + 9 15A = 15A ANLISE DE UMA REDE DC ATRAVS DA SUPERPOSIO: Uma outra forma de analisar uma rede DC atravs do mtodo da superposio, onde devem estar presentes tambm os conhecimentos e fundamentos tericos da LKT e LKC. Tomemos como exemplo o mesmo circuito:


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Ao utilizar o mtodo da superposio para analisar uma rede DC, devemos levar em considerao o efeito de cada uma das fontes (EA e EB) separadamente. 1. efeito de EA

Elimina-se EB, colocando um curto na mesma. Calcula-se a corrente e seu sentido em cada um dos resistores (adotaremos o sentido convencional) Teremos ento: R2//R3 + R1 R2//R3 = 3.2 6 = = 1,2 3+2 5

A resistncia total (ou equivalente) vista por EA = 4 + 1,2 = 5,2 A corrente total, a qual estamos referindo como ia ser: 87 EA = = 16,731A 5,2 RT

ib =

16,731.2 33,462 = = 6,692A 2+3 5


12

ic = 2. efeito de EB

16,731.3 50,193 = = 10,039A 2+3 5

Elimina-se EA, colocando um curto na mesma. Calcula-se a corrente e seu sentido em cada um dos resistores (adotaremos o sentido convencional) Teremos ento: R1//R2 + R3 R1//R2 = 4.3 12 = = 1,714 4+3 7

A resistncia total (ou equivalente) vista por EB = 2 + 1,714 = 3,714 A corrente total, a qual estamos referindo como id ser: 15 EB = = 4,039A 3,714 RT

ie =

4,039.4 16,156 = = 2,308A 4+3 7 4,039.3 12,117 = = 1,731A 4+3 7

if =

Devemos fazer a sobreposio das duas malhas. Correntes representadas por setas no mesmo sentido somam-se, enquanto que devero ser subtradas as correntes representadas por setas opostas. A figura a seguir mostra o resultado final.


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Observe que a corrente de 15A entra na juno e as correntes de 6A e 9A saem da juno, o que satisfaz plenamente o conceito de LKC. CONCLUSO: em qualquer um dos mtodos que for adotado para a anlise, o resultado dever ser o mesmo. Veja na figura abaixo o levantamento energtico do circuito, segundo LKT (lei das malhas) Observe que a polarizao final obedece ao sentido das setas, ou seja, a entrada da seta representa o plo (+).

Voc deve ter observado que para o mesmo circuito foram utilizados os 3 mtodos propostos nesta apostila para a sua anlise. 1. Anlise de correntes nas malhas 2. Anlise de tenso nodal 3. Superposio O mais importante que os resultados so iguais. A escolha do mtodo de anlise no muda os resultados finais.


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Finalmente, para fixar melhor os conceitos apresentados, faremos um outro exerccio usando os trs mtodos de anlise. No circuito abaixo, calcule a tenso e a corrente nos resistores:

MTODO DA TENSO NAS MALHAS:Polarizando o circuito (sentido horrio):

Definiremos a corrente i3 saindo do n: i1 - i2 - i3 = 0 - i3 = -i1 + i2 .(-1) i3 = i1 - i2LEIS DE KIRCHHOFF - Prof. Edgar Zuim

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Escrevendo as equaes: Malha 1:

Malha 2:

Resolvendo o sistema:


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Substituindo i1 em (II)

Calculando i3i3 = i1 - i2 = 944,44 - 111,11 = 833,33mA

Temos ento definidas as 3 correntes: i1 = 944,44mA i2 = 111,11mA i3 = 833,33mA

Resta agora fazer o levantamento energtico do circuito, aplicando LKT: Queda de tenso nos resistores: VR1 VR2 VR3 VR4 VR5 = = = = = 15 15 20 5. 10 . 0,94444 = 14,167V . 0,94444 = 14,167V . 0,83333 = 16,667V 0,11111 = 0,555V . 0,11111 = 1,111V


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Escrevendo as equaes: Malha 1: EA - VR1 - VR2 - VR3 + EB = 0

30 - 14,167 - 14,167 - 16,667 + 15 = - 0,001 0 Malha 2: - EB + VR3 - VR4 - VR5 = 0 - 15 + 16,667 - 0,555 - 1,111 = 0,001 0 Malha externa: EA - VR1 - VR2 - VR4 - VR5 = 0 30 - 14,167 - 14,167 - 0,555 - 1,111 = 0

MTODO DA TENSO NODAL:

Considerando i1 entrando e i2 e i3 saindo do n, teremos a equao: i1 = i2 + i3 VA - VN VA - VN 30 - VN = = 15 + 15 30 30 VN VN = 10 + 5 15

i1 =

i2 =


18

i3 =

VB + VN 15 + VN = 20 20 30 - VN VN 15 + VN 60 - 2VN = 4VN + 45 + 3VN = + = 30 15 20 60 60 - 45 = 3VN + 2VN + 4VN 15 = 9VN VN = 15 = 1,667V 9

Calculando as correntes: i1 = 30 - VN 30 - 1,667 28,333 = = = 944,43mA 30 30 30 VN 1,667 = = 111,13mA 15 15 15 + VN 15 + 1,667 16,667 = = = 833,35mA 20 20 20

i2 =

i3 =

Levantamento energtico:

Escrevendo as equaes: Malha 1: EA - VR1 - VR2 - VR3 + EB = 0


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30 - 14,167 - 14,167 - 16,667 + 15 = - 0,001 0 Malha 2: - EB + VR3 - VR4 - VR5 = 0 - 15 + 16,667 - 0,555 - 1,111 = 0,001 0 Malha externa: EA - VR1 - VR2 - VR4 - VR5 = 0 30 - 14,167 - 14,167 - 0,555 - 1,111 = 0

MTODO DA SUPERPOSIO:

INFLUNCIA DE EA (curto em EB):


20

R1+R2 = 30 R4+R5 = 15 RT = (R1+R2) + R3//(R4+R5) RT = 30 + 20//15 RT = 30 + 8,571 = 38,571 ia = 30 = 777,786mA 38,571

ib =

777,786.15 11666,79 = = 333,337mA 20 + 15 35 777,786.20 15555,72 = = 444,449mA 35 35

ic =

INFLUNCIA DE EB (curto em EA):

Teremos:

R1 + R2 = 30 R4 + R5 = 15 RT = 20 + (R1 + R2)//(R4 + R5) RT = 20 + 30//15


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30//15 = 10 RT = 30 id = 15 = 0,5A (500mA) 30 500.30 15000 = = 333,333mA 45 45 500.15 7500 = = 166,667mA 45 45

ie =

if =

SUPERPONDO AS MALHAS:

VR1 = 944,453 . 15 = 14,168V VR2 = 944,453 . 15 = 14,168V VR3 = 833,337 . 20 = 16,667V VR4 = 111,116 . 5 = 0,556V VR5 = 111,116 . 10 = 1,111V Aplicando LKC: i1 - i2 - i3 = 0


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944,453mA - 111,116mA - 833,337mA = 0 Aplicando LKT:

Malha 1: EA - VR1 - VR2 - VR3 - (- EB) = 0 30 - 14,168 - 14,168 - 16,667 + 15 = - 0,003 0 Malha 2: - EB - (- VR3) - VR4 - VR5 = 0 -15 + 16,667 - 0,556 - 1,111 = 0 Malha externa: EA - VR1 - VR2 - VR4 - VR5 = 0 30 - 14,168 - 14,168 - 0,556 - 1,111 = - 0,003 0

EXERCCIO RESOLVIDOO circuito abaixo possui 3 baterias. O mesmo ser resolvido pelo mtodo da tenso nodal, cabendo ao leitor resolv-lo pelos mtodos da tenso nas malhas e da superposio e fazer a comparao dos resultados.


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Definindo o n principal, adotaremos para as duas malhas o sentido convencional da corrente (do + para o -). Assim as correntes i1 e i2 entram no n enquanto que a corrente i3 sai.

Escrevendo a equao do n: i1 + 12 - i3 = 0 i3 = i1 + i2 EA - VN 12 - VN = R1 4 EB - VN 14 - VN = R3 + R4 5 - EC + VN - 4 + VN = R2 6

i1 =

i2 =

i3 =


24

12 - VN 14 - VN - 4 + VN + = 4 5 6

mmc= 60

15(12 - VN) + 12(14 - VN) = 10(-4 + VN) = 60 = 180 - 15VN + 168 - 12VN = - 40 + 10VN 348 - 27VN = - 40 + 10VN 388 - 37VN = 0 308 = 37VN VN = 388 = 10,486V 37

i1 =

12 - VN 12 - 10,486 1,514 = = = 378,5mA 4 4 4 14 - VN 14 - 10,486 3,514 = = = 702,8mA 5 5 5 4 - VN 4 - 10,486 - 6,486 = = = - 1,081A 6 6 6

i2 =

i3 =

Observe o resultado negativo da corrente i3. Isto significa que ela est saindo do n. Vejamos:

VR1 = 4 . 378,5mA = 1,514V VR2 = 6 . 1,081A = 6,486V VR3 = 3 . 702,8mA = 2,108VLEIS DE KIRCHHOFF - Prof. Edgar Zuim

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VR4 = 2 . 702,8mA = 1,406V

Fazendo o levantamento energtico do circuito: Malha 1: EA - VR1 - VR2 - EC = 0 12 - 1,514 - 6,486 - 4 = 0 Malha 2: EC + VR2 + VR3 + VR4 - EB = 0 4 + 6,486 + 2,108 + 1,406 - 14 = 0 Malha externa: EA - VR1 + VR3 + VR4 - EB = 0 12 - 1,514 + 2,108 + 1,406 - 14 = 0


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