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Lentes Delgados
Autor: Ramos Castro Miguel Angel
Coautores: Guillermo Xchell Calva García, Francisco Hernández Alejandre,
Manuel Eduardo de la Cruz Hernández
15 de Agosto de 2013
Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México, Ciudad Universitaria, Coyoacán, 04510,México, D.F., 2014-1, [email protected]
AbstractThe results were generally consistent and also in some cases come to what was expected. In the case of
experiments with qualitative results achieving the desired objective. But we can say that the results, for example,the negative lens, an outcome not found anything, at least in magnitude if, but no sign was reached desired. Thisis due to the lack of calibration of instruments, dirty lenses, after calibrating any movement of the lens or simply
be interacting with them may cause it to out of calibration.
ResumenLos resultados fueron en términos generales consistentes y además en algunos casos se llego a lo que se esperaba.Para el caso de los experimentos con resultados cualitativos se logro el objetivo deseado. Sin embargo cabe decirque los resultados, por ejemplo, de la lente negativa, no se encontró un resultado nada parecido, al menos en
magnitud si, pero en el signo no se llego a lo deseado. Esto se debe a la falta de calibración de los instrumentos,las lentes sucias, después de calibrar cualquier movimiento de las lentes o el simple hecho de estar interactuando
con ellas puede que provoque que se descalibren.
1. Introduccion
Las imágenes se forman, ya sea por re�exión o porrefracción. Se sabe que una imagen se puede formar envarios lentes(estos lentes se pueden diseñar de acuerdoa como se desea obtener una imagen).
Conociendo las características que de�nen a cadagrupo de lentes, es posible tener un conocimiento masacertado de su funcionamiento y su aplicación a laciencia y la vida cotidiana.El objetivo de la siguiente práctica es medir con lamayor exactitud posible la distancia focal de lentespositivas, negativas y la construcción simple de unmicroscopio y un telescopio. Para eso es necesario teneren cuenta cuestiones teóricas que se darán como basepara poder llegar al objetivo.
Se sabe que las imágenes pueden ser reales o vir-tuales; las reales son cuando después de que el rayo deluz pasa a través de la imagen (diapositiva o una imagendonde permita pasar la luz) y después a través del lenteel rayo de luz diverge y virtual cuando el rayo de luzdespués de pasar por la imagen y el lente converge en
un punto. Un ejemplo sencillo de una imagen virtual,es la que se forma al ponernos de frente a un espejo, laimagen que se genera .atrás.es una imagen virtual ya queno hay otra forma en la que se pueda generar (sólo conarreglos con otras lentes); por otro lado una imagen reales cuando se puede proyectar en varios lugares, segúnsea el caso, un ejemplo son las proyecciones de cine, lasdiapositivas en un proyector, etc.
Es bien sabido que hay varios tipos de lentes di-vergentes y convergentes. Cuando hablamos de un lenteconvergente sus características esenciales son:
Más gruesas en el centro que en los extremos
Su distancia Focal es positiva. Ver Figura 1 a)
Para las lentes Divergentes:
su parte más gruesa esta en los bordes
Tienen una Distancia Focal negativa. Ver �gura 1b)
1
Figura 1: Lentes Divergentes y Convergentes [1]
Cuando se pretende hallar una imagen a través deun lente, es importante ver que los rayos incidentes deluz, después de atravesar el lente o no (dependiendo sies una imagen real o virtual) tienen que formar ángulosmuy pequeños con respecto al eje principal, es decir,los rayos incidentes deben de ser rayos paraxiales. ver�gura 2
Figura 2: Características de un lente convergente y di-vergente [2]
Si se piensa en un sistema de una lente como en la�gura 2 (derecha), ademas pensemos que antes de quepasen los rayos paraxiales a través del lente se encuentraun objeto a una distancia p con respecto al lente ydespués de pasar los rayos paraxiales se genera unaimagen a una distancia q y sabemos que todo lente tieneun foco positivo o negativo, dichas distancias se puedenrelacionar con la siguiente ecuación de Gauss
1
p+
1
q=
1
f(1)
cuando se conoces dichas distancias se puede obtener laamplitud de la imagen creada, por medio de la siguienteecuación:
M = −q
p(2)
Para tener en cuenta los signos de las lentes delga-das[2]:
Reglas convencionales para enel caso de lentes delgadas
Cantidad (+) cuando... (-) cuando...
Ubicación el objeto está el objetodel delante de la lente detrás de la lente
objeto (p) (objeto real) (objeto virtual)
Ubicación La imagen está La imagen estáde la detrás de la lente delante de la lente
imagen (q) (imagen real) (imagen virtual)
Ubicación la imagen la imagende la es está
imagen (h') vertical invertida
distancia la lente la lenteFocal (f ) es es
convergente divergente
Cuadro 1: Reglas convencionales para signos [2]
Si dos lentes delgadas se utilizan para formar unaimagen, el sistema trata de la siguiente manera:primero,la imagen formada por la primera lente se localiza comosi no estuviera presente la segunda lente. Después setraza un diagrama de rayos para la segunda lente, con laimagen formada por la primera lente como objeto parala segunda.La segunda imagen formada es la imagen�nal sel sistema. Si la formada por la primera lenteaparece en la cara superior de la segunda, esa imagense trata como un objeto virtual para la segunda lente(es decir, en la ecuación de las lentes delgadas, p esnegativa) [2].
Entonces se entiende que el aumento de la imagencausada por la combinación de las lentes es:
M = (M1)(M2) (3)
entonces otra forma alternativa de escribir la ecuaciónde Gauss para una combinación de lentes es la siguiente:
1
p+
1
q=
1
f1+
1
f2(4)
Donde p = p1 (distancia del objeto al primer lente) yq = q2 (distancia de la imagen �nal al segundo lente).
De las combinaciones de lentes delgados se puedenobtener instrumentos muy útiles para un sin �n deaplicaciones a la ciencia. Dos ejemplos sencillos son elmicroscopio y el telescopio.El microscopio esta constituido de por una lente (lenteobjetivo) con una distancia focal f0 < 1cm y una
2
segunda lente (lente ocular), que tiene una distanciafocal fe > 1cm (no demasiado grande), las lentes estanseparadas a una distancia "L"que es mucho mayor a f0y fe, con esto se logra tener una combinación de lentes(véase �gura 3).
Figura 3: Microscopio compuesto [4]
El ampli�cación lateral que se logra con el lente obje-
tivo es M0 ≈ − l
f0y el del lente ocular me =
25cm
fey
recordando la ecuación (3) tenemos que
M = (M0)(me) = −(
l
f0
)(25cm
fe
)(5)
Para el telescopio, existen dos tipos de telescopio, am-bos diseñados para ver objetos distantes, está el teles-copio de refracción que usa una combinación de lentespara formar una imagen y el telescopio de re�exión queusa un espejo curvo y una lene. Para esta practica solose necesitó analizar el telescopio de refracción y sera unaobservación cualitativa (véase �gura 4).
Figura 4: Telescopio de refracción [4]
2. Desarrollo Experimental
El montaje del experimento se realizó cuidadosamen-te, una de las cosas más importantes en esta práctica
fue la alineación de los instrumentos. Primero se colocólos diafragmas en soportes con desplazamiento (x,y), yuna lente convergente en un soporte con desplazamiento(x,y,z), en seguida se colocó la mesa donde se dejo el lá-ser, primero se alineo el láser por medio de los diafragmas(vease �gura 5).
Figura 5: Ajuste del Láser
Una ves alineado el láser se colocó la lente convergenteen medio de los dos diafragmas y se alineo la lente, estose logro gracias al soporte con desplazamiento (x,y,z).
En las primeras sesiones se trabajó con la ecua-ción de Gauss, encontrando la distancia focal de dichalente positiva, después se corroboro la distancia focal,pero con el método de puntos conjugados que cumplecon la siguiente ecuación:
f =L4 −D4
4L(6)
Donde L > 4f y L es la distancia del objeto a la panta-lla y D es la distancia de la primera medida y la segunda.
En sesiones posteriores se repito la alineación delos instrumentos sólo que en algunos casos se agregootra lente, para tener una combinación de lentes (véase�gura 6), esto fue necesario para el microscopio y eltelescopio. También se trabajó con el poder de ampli�-cación de cada lente.
Para la obtención de una ampli�cación en el caso delmicroscopio, se procuró tener lentes con las caracterís-ticas que se indican en la teoría, es decir, una lente condistancias focal menor a un centímetro y la otra un pocomayor. Para el telescopio se procuró que la distanciafocal de las lentes fuera tal que se alcanzara a observarobjetos a una distancia muy grande. Cabe mencionarque en el telescopio y microscopio solo se tomaron datoscualitativos que nos permitieran corroborar la teoría, yno fue tener demasiada precision en los experimentos.
3
Figura 6: Combinación de una lente positiva y una ne-gativa
A continuación se mostrara una imagen que se lo-gro captar del telescopio que se realizó, cabe mencionarque la imagen se giro 180o ya que por el tipo decombinación de las lentes la imagen salio al revés
Figura 7: Combinación de una lente positiva y una ne-gativa
3. Resultados
Para tener mas claro de como se obtuvieron lasincertidumbre, ir al apéndice que esta al �nal. Cabemencionar que las medidas que se obtuvieron fueronnecesarias para tener datos lo mas certeros posible.
Ecuacion De Gauss
p [cm] (±0.05cm) q [cm] (±0.05cm) f [cm]
8.4 34 6.7(±0.03)
9.5 47.9 7.9(±0.04)
9.2 51.2 7.8(±0.04)
9.2 61.2 8.0(±0.04)
8.4 71 7.5(±0.04)
8.3 76.3 7.5(±0.04)
8.4 68.6 7.5(±0.04)
8.1 76.7 7.3(±0.04)
8.3 82.3 7.5(±0.04)
8 86.7 7.3(±0.04)
promedio 7.5(±0.5)
Cuadro 2: Ecuación de Gauss
Además que las incertidumbres iniciales de cada medidafue tomada por la mitad de la mínima escala con elinstrumento que se midió.
Para el método de pares de puntos, la incertidum-bre inicial cambio ya que se utilizó un �exometro.
Los resultados obtenidos para el método de pun-tos conjugados (ecuación 6) se muestran en el cuadro3.
Puntos Conjugados
D [cm] (±0.1cm) L [cm] (±0.1cm) f [cm]
76.6 58.8 7.9(±0.1cm)
93 74.9 8.2(±0.1cm)
103 85.5 8.0(±0.1cm)
113 95.4 8.1(±0.1cm)
123 106.4 7.7(±0.1cm)
56 37.7 7.7(±0.1cm)
promedio 7.9(±0.2cm)
Cuadro 3: Método de puntos conjugados
Cuando se tiene un objeto al in�nito es fácil calcularla distancia focal de una lente, esto es simplemente colo-cando la lente como si fuera una lupa (donde el objeto alin�nito sea el cielo), como del otro lado de la lupa se en-cuentra la pantalla esta se aleja o se acerca hasta poderobservar una imagen, así que la medida lente-pantallasera la distancia focal, dicho método recibe el nombre deobjeto al in�nito.
Para la combinación de lentes, se tomo una lentepositiva y una negativa, los resultados se muestran en elcuadro 5. Esta combinación de lentes se interpreta porla ecuación 4.
4
Objeto al In�nito
f [cm] (±0.05cm)
7.2
7.2
7.1
promedio 7.17(±0.03cm)
Cuadro 4: Método de objeto al In�nito
La primera medida a tomar fue la distancia focal de lalente positiva, esta se medio por medio del método deobjeto al in�nito teniendo solamente que despejar paraf1, que es la distancia focal de la lente negativa.(1
p+
1
q− 1
f2
)−1
= f1
Combinación de Lentes
p [cm] q [cm] f [cm] f [cm](±0.05cm) (±0.05cm) (±0.05cm)
10.1 76 20.0 9.1(±3.5cm)
22.9 30 20.0 13.4(±4.6cm)
14 68.4 20.0 12.0(±4.5cm)
9.2 63.5 20.0 8.2(±3.4cm)
6 84.4 20.0 5.7(±3.2cm)
8.9 104.7 20.0 8.4(±3.7cm)
promedio 9.5(±3.9cm)
Cuadro 5: Combinación de Lentes
Para los experimentos del telescopio y microscopiono fue posible analizar por medio de datos, mas bienfue un análisis cualitativo, como lo que se logro �gura7, que fue tomada por medio del telescopio, aunqueunas partes son borrosas en el centro se alcanza aobservar varios arboles. En el microscopio no fue posibletomar alguna clase de fotos ya que lo que se alcanzó aver fue muy poco y las cámaras no lograban captar nada.
Cabe mencionar que los datos de la combinaciónde datos no fueron del todo favorables, ya que losresultados de la distancia focal de la lente negativavarían mucho y además se supone que debió tener signonegativo.
4. Conclusiones
Para los resultados de la lente positiva, la cual se obtu-vo su distancia focal con distintos métodos, los resultados
son los siguientes:
Resultados �nales
Ec. de Gauss 7.5(±0.5cm)
Puntos Conjugados 7.9(±0.2cm)
Objeto al In�nito 7.17(±0.03cm)
Cuadro 6: Combinación de Lentes
Analizando los diferentes resultados de cada método,se aprecia que hay una considerable diferencia entreel método de Ecuación de Gauss y del método deobjeto al in�nito, pasa lo mismo con el método depuntos conjugados. Además las incertidumbres de cadaresultado es variable, pensando que algunos métodostienen medidas del mismo instrumento. En mi opiniónel resultado más exacto y que fue mas consistente a lahora de la captura de datos es el método de objeto alin�nito y que cabe mencionar que fue el mas sencillo.Enlos demás métodos se debe a la falta de calibración delos instrumentos y a varias erratas a la hora de tomarmedidas, como no tomar desde un inicio la escala delriel donde estaban las lentes y en principio utilizar el�exo-metro que era mas impreciso.
Para los resultados de la combinación de lentes, seutilizaron dos lentes una positiva y una negativa.
Combinación de Lentes
Lente Positiva 20.0(±0.05cm)
Lente Negativa 9.5(±3.9cm)
Los resultados de la lente negativa siempre fue con-sistente a la hora de tomar las medidas, sien embargoa la hora de hacer el montaje con la combinación delentes, parece que se colocó primero la lente negativa ydespués la positiva, lo cual debió haber sido al revés.Sin embargo comparando el valor de la distancia focalnegativa que tiene en la parte superior con el obtenido,se puede apreciar que son muy parecidos pero con signoopuesto.
Para los resultados del microscopio se observo quetuvieran las mismas condiciones teóricas que se muestraen la ultima parte de la introducción.
5. Apéndice
Para cada incertidumbre, se tomó como incertidumbreinicial la mitad de la mínima escala del instrumento, deahí se observo que ninguna medida fue reproducible al
5
cien por ciento, excepto el del segundo lente positivo.
Después para las medidas no reproducibles se tra-bajaron como medidas indirectas, es decir, para elmétodo de ecuación de Guass se trabajó con diferentesoperaciones las cuales cada dato llevaba su respectivaincertidumbre. Esto se tiene que realizar cuando setrabajan con operaciones aritméticas [3].
Después se trabajo con promedios y como tomamedida fue tomada del instrumento, sólo fue necesa-rio hacer una desviación estándar para encontrar elresultado.
Referencias
[1] E. Hetch, Optics, 2nd Ed., Addison-Wesley Pub.Co. Reading. Ma.(1987)
[2] Raymond A. Serway y John W. Jewett, Jr.,Física para Ciencias e Ingeniería Con Física Mo-
derna Vol. 2, Séptima Edición, CENGAGE leraning.Méx. (2011)
[3] Oda Noda Berta, Introducción al análisis grá�co
de datos experimentales, Tercera Edición, Las pren-sas de ciencias. Méx. (2005)
[4] www.fisicanet.com.ar/fisica/ondas/ap19
−optica−geometrica.php
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