8/9/2019 Leonhard Euler -- Old Intelligencer

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Old ntelligencer

rom

Elements of lgebra

b y L e o n h a r d E u l e r

E d i t o r ' s N o t e : T h e f o l l o w i n g i s a n e x c er p t f r o m E u l e r' s

famou s t rea ti s e. I t sh ows the care w i th w hich Euler

exp la ined even e lementary mathemat ic s ; i t a l so shows a

cer tain myst ic ism regarding inf ini te ser ies . ( S e e t h e l a s t

s e c t i o n . )

The book was dic tated to a servant short ly af ter Euler

wen t to ta ll y b l ind 9 T he in ten t ion was to t each the s e rvan t

(an appren t ice tai lor!) the bas ics of algebra and

consequen t ly to make h im more use fu l as a s ecre tary in

fu ture year s .

291 T h i s s h o w s t h a t t h e f r a c t i o n 1 /1 - a m a y b e e x -

h i b i t e d u n d e r a l l t h e f o l l o w i n g f o r m s :

1 a a 2

- 1 + - - ; = l + a + - - ;

1 - a

1 - a 1 - a

a 3

= l + a + a 2 + - - 9

1 - a '

a 4

= 1 + a + a 2 + a 3 +

1 - a '

a 5

= 1 + a + a 2 + a 3 + a 4 + , &c .

1 - a

N o w , b y c o n s i d e r i n g t h e f i r s t o f t h e s e e x p r e s s i o n s ,

w h i c h i s 1 + a/(1 - a), a n d r e m e m b e r i n g t h a t 1 i s t h e

s a m e a s ( 1 - a ) /( 1 - a ) , w e h a v e

a 1 - a a

1 + = + - -

1 - a 1 - a 1 - a

1 - a + a 1

1 - a 1 - a

I f w e f o l l o w th e s a m e p r o c e s s w i t h r e g a r d t o t h e

s e c o n d e x p r e s s i o n , 1 + a + a2/1 - a, t h a t i s t o s a y , i f

w e r e d u c e t h e i n t e g r a l p a r t o f 1 + a t o t h e s a m e d e -

n o m i n a t o r , 1 - a , w e s h a l l h a v e 1 - a2/1 - a, t o w h i c h

i f w e a d d +

a2/1 - a,

w e sha l l ha ve 1 - a 2 +

a2/1 -

a , t ha t i s t o sa y , 1 /1 - a .

I n t h e t h i r d e x p r e s s i o n

1 + a + a 2 + a3/1 - a,

t h e

i n t e g e r s r e d u c e d t o t h e d e n o m i n a t o r 1 - a m a k e 1 -

a3/1 - a; a n d i f w e a d d t o t h a t t h e f r a c ti o n a3/1 - a w e

h a v e 1 /1 - a , a s b e f o r e ; t h e r e f o r e a l l t h e s e e x p r e s s i o n s

L e o n h a r d E u l e r

a r e e q u a l i n v a l u e t o 1 /1 - a , t h e p r o p o s e d f r a c t i o n .

292 T h i s b e i n g t h e c a se , w e m a y c o n t i n u e t h e s e r ie s

a s f a r a s w e p l e a s e , w i t h o u t b e i n g u n d e r t h e n e c e s s i t y

o f p e r f o r m i n g a n y m o r e c a l c u l a t io n s ; a n d t h u s w e s h a l l

h a v e

1

1 - a

- 1 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7

a 8

.~_ _ _ 9

1 - - a '

o r

w e m i g h t c o n t i n u e t h i s f a r t h e r , a n d s t i l l g o o n

w i t h o u t e n d ; f o r w h i c h r e a s o n i t m a y b e s a i d t h a t t h e

p r o p o s e d f r a c t i o n h a s b e e n r e s o l v e d i n t o a n i n f i n it e

se ri es , w h ic h is, 1 + a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 +

a 7 + a 8 + a 9 +

a 1~

+ a n + a 12, &c . to in f in i ty : an d

t h e r e a r e s u f f i ci e n t g r o u n d s t o m a i n t a i n , t h a t th e v a l u e

o f t h i s i n f i n i t e s e r i e s i s t h e s a m e a s t h a t o f t h e f r a c t i o n

1/1

- a .

293 W h a t w e h a v e s a i d m a y a t f i rs t a p p e a r s t r a n g e ;

b u t t h e c o n s i d e r a t i o n o f s o m e p a r t i c u l a r c a s e s w i l l

m a k e i t e a s i l y u n d e r s t o o d . L e t u s , f o r i n s t a n c e , s u p -

p o s e , i n t h e f i r s t p l a c e , a = 1 ; o u r s e r i e s w i ll b e c o m e

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 , & c . ; a n d t h e f r a c t i o n l /

1 - a , t o w h i c h i t m u s t b e e q u a l , b e c o m e s 1 /0 . N o w

w e h a v e b e f o r e r e m a r k e d , t h a t 1 /0 i s a n u m b e r i n f i-

THE MATHEMATICAL INTELLIGENCER VOL. 5 , NO. 3 9 1983 Springer-Verlag ew Y ork 7 ~

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n i t e l y g r e a t; w h i c h i s t h e r e f o r e h e r e c o n f i r m e d i n a

s a t i s fa c t o r y m a n n e r 9

A g a i n , i f w e s u p p o s e a = 2 , o u r s e r i e s b e c o m e s 1

+ 2 + 4 + 8 + 1 6 + 3 2 + 6 4 , &c . to in f in i ty , an d i ts

v a l u e m u s t b e t h e s a m e a s 1/1 - 2 , t h a t is t o s a y 1 / - 1

= - 1 ; w h i c h a t fi r st s i g h t w i l l a p p e a r a b s u r d . B u t i t

m u s t b e r e m a r k e d , t h a t i f w e w i s h t o s t o p a t a n y t e r m

o f t h e a b o v e s e r i e s , w e c a n n o t d o s o w i t h o u t j o i n i n g

t h e f ra c t i o n w h i c h r e m a i n s ; s u p p o s e , f o r e x a m p l e , w e

w e r e t o s t o p a t 6 4 , a f t e r h a v i n g w r i t t e n 1 + 2 + 4 +

8 + 1 6 + 3 2 + 6 4 , w e m u s t j o i n t h e f r a c t i o n 1 28 /1 -

2 o r 1 2 8 / - 1 o r - 1 2 8 ; w e s h a l l t h e r e f o r e h a v e 1 2 7 -

1 2 8 , th a t i s in f ac t - 1 .

294 T h e r e a r e t h e c o n s i d e r a t i o n s w h i c h a r e n e c e s -

s a ry , w h e n w e a s s u m e f o r a n u m b e r s g r e a t e r t h a n

u n i t y ; b u t i f w e s u p p o s e a l e ss t h a n 1 , t h e w h o l e b e -

c o m e s m o r e i n t e l l ig i b l e : f o r e x a m p l e , L e t a = 1 /2 ; a n d

w e s h a l l h a v e 1 /1 - a = a/1

- 1/2 =

1 /1 /2 = 2 , w h i ch

w i l l b e e q u a l t o t h e f o l l o w i n g s e r ie s 1 + 1 /2 + 1 /4 +

1 / 8 + 1 / 1 6 + 1 / 3 2 + 1 / 6 4 + 1 / 1 28 , & c . t o i n f i n i t y . N o w

i f w e t a k e o n l y t w o t e r m s o f th i s s e ri e s , w e s h a ll h a v e

1 + 1 /2 , a n d i t w a n t s 1 /2 o f b e i n g e q u a l t o 1 /1 - a =

2 ; i f w e t a k e t h r e e t e r m s , i t w a n t s 1 /4 ; f o r t h e s u m i s

1 3 /4 ; i t w e t a k e f o u r t e r m s , w e h a v e 1 7 /8 , a n d t h e d e -

f i c i en c y i s o n l y 1/ 8: t h e r e f o r e , t h e m o r e t e r m s w e t a k e ,

t h e l e ss t h e d i f f e r e n c e b e c o m e s ; a n d , c o n s e q u e n t l y , i f

w e c o n t i n u e t h e s e r i e s to i n f i n i t y , t h e r e w i ll b e n o d i f -

f e r e n c e a t al l b e t w e e n t h e s u m a n d t h e v a l u e o f t h e

f r a c t i o n 1 /1 - a , o r 2 .

~ ,

298 I n t h e s a m e m a n n e r , w e m a y r e s ol v e th e fr a c ti o n

1 /1 + a , i n t o a n i n f i n i t e s e r i e s b y a c t u a l l y d i v i d i n g t h e

n u m e r a t o r 1 b y th e d e n o m i n a t o r 1 + a , w h i c h , a f t e r

a c e r t a i n n u m b e r o f t e r m s h a v e b e e n o b t a i n e d , w i l l

g i v e th e l a w b y w h i c h t h e f o l l o w i n g t e r m s a r e f o r m e d ,

s o t h a t t h e s e r i e s m a y b e c a r r ie d t o a n y le n g t h w i t h o u t

t h e t r o u b l e o f c o n t i n u a l d i v i s i o n . . . . W h e n c e i t f ol -

l o w s , t h a t t h e f r a c t i o n 1/1 + a i s e q u a l t o t h e s e r i e s ,

1 - a + a 2 + a 3 + a 4 - a 5 + a 6 - a 7 , c .

299 I f w e m a k e a = 1 , w e h a v e t h i s r e m a r k a b l e c o m -

p a r i s o n :

1 1

- - 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 , c .

l + a 2

t o i nf i n i ty ; w h i c h a p p e a r s r a t h e r c o n t r a d i c t o r y ; f o r i f

w e s t o p a t - 1 , t h e s e r i e s g i v e s 0; a n d i f w e f i n i s h a t

+ 1 , it g i v e s 1 ; b u t t h i s i s p r e c i s e l y w h a t s o l v e s t h e

d i f fi c u l ty ; fo r s in c e w e m u s t g o o n t o i n fi n i ty , w i t h o u t

s t o p p i n g e i t h e r a t - 1 o r at + 1 , i t i s e v i d e n t , t h a t t h e

s u m c a n n e i t h e r b e 0 n o r I b u t t h a t t h is r e s u l t m u s t l i e

b e t w e e n t h e s e t w o , a n d t h e r e f o r e b e 1/2.

Stu dy ing U nd er P61ya and Szeg6 at Stanford

b y P C R o s e n b l o o m

I n S e p t e m b e r 1 9 41 I s t a r t e d m y g r a d u a t e w o r k a t S ta n -

f o r d a f t e r g r a d u a t i n g f r o m P e n n s y l v a n i a . S i n c e t h e r e

w e r e f e w g r a d u a t e s t u d e n t s i n m a t h e m a t i c s t h e n , a n d

I h a d c o v e r e d m a n y o f t h e e l e m e n t a r y g r a d u a t e c o u r se s

b y i n d e p e n d e n t r e a d i n g , I w a s p e r m i t t e d t o r e g is t e r

f o r a r a t h e r l i g h t c o u r s e l o a d . T h i s c o n s i s t e d o f a c o u r s e

i n d if fe r e nt i al g e o m e t r y w i t h U s p e n s k y , o n e i n g r o u p

t h e o r y w i t h M a n n i n g , a n d a d v a n c e d r e a d i n g a n d r e -

s e a r c h w i t h S z e g 6 .

M y t e a c h i n g l o a d w a s 6 h o u r s o f c o l l e ge a l g e b r a a n d

t r i g o n o m e t r y , u n d e r t h e s u p e r v i s i o n o f B a c o n , a t a

s a l a r y o f $ 70 0 f o r 9 m o n t h s . A f t e r P e a r l H a r b o r t h a t

D e c e m b e r , t h e r e w a s a t r e m e n d o u s i n c r e a se i n en r ol l -

m e n t i n m a t h e m a t i c s . M y l o a d w a s i n c r e a s e d t o 9

h o u r s , a n d B l i c h f e ld t w a s p r e s s e d t o c o m e o u t o f r e -

t i r e m e n t t o t e a c h a g a i n .

I t m a y b e o f s o m e i n t e r e s t t o n o t e t h a t I p a i d $ 2 5 a

R e p r i n t e d w i t h p e r m i s s i o n o f t h e a u t h o r a n d B i r k h a u s e r - - B o s t o n

f r o m : G a b o r S z e g 6 C o l l e c t e d P a p e r s V o l . I p p . 1 2 - 1 3 . B o s t o n - B a s e l -

S t u t t g a r t 1 9 8 2 .

m o n t h f o r r o o m a n d b o a r d w h i c h , b e c a u s e o f i n fl a ti o n,

w a s i n c r e a s e d t o $ 35 t h e f o l l o w i n g y e a r. O n S u n d a y

e v e n i n g s I w o u l d s p l u r g e w i t h a f u l l -c o u r s e r e s t a u r a n t

d i n n e r f o r 45 c en t s . S t il l I s a v e d e n o u g h m o n e y t o p a y

m y e x p e n s e s t o t h e A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y

m e e t i n g a t V a s s a r i n t h e s u m m e r o f 1 94 2.

S z e g 6 m e t m e o n c e a w e e k t o d is c u ss m y p r o g r e s s .

M y a s s i g n m e n t w a s t o d o p r o b l e m s i n P 6 1y a -S z e g6

a n d t o r e a d T i t c h m a r s h ' s Theor y of Functions T h i s

w e e k l y m e e t i n g g a v e a f e e l i n g o f r e s p o n s i b i l it y t o h a v e

s o m e t h i n g t o r e p o r t s o a s n o t t o w a s t e S z e g 6 ' s t i m e . I

h a v e f o u n d t h a t s u c h r e g u l a r m e e t i n g s h a v e t h e s a m e

e f fe c t o n m y o w n s t u d e n t s a n d s o h a v e fo l l o w e d th i s

p r a c t i c e e v e r si n c e. O f t e n S z e g 6 w o u l d d i s c u s s t h e

r a m i f i c a t i o n s o f t h e p r o b l e m s a n d r e l a t e d r e s u l ts i n t h e

r e c e n t l it e r a t u r e . H e w o u l d p o i n t o u t n a t u r a l q u e s t i o n s

f o r f u r t h e r i n v e s t i g a ti o n s 9

W e h a d a w e e k l y s e m i n a r . S i n c e I w a s t h e o n l y s e -

r i o us g r a d u a t e s t u d e n t i n m a t h e m a t i c s , t h e m e m b e r s

w e r e S z e g 6 , S c h a e f f e r , H i l l e ( o n s a b b a t i c a l ) , F o r s y t h e

( t h e n a n i n s t r u c t o r ) , D o y l e ( a n a s s i s t a n t p r o f e s s o r ) , a n d

m y s e l f 9 H i l l e r e t u r n e d t o Y a l e t h e f o l l o w i n g y e a r , b u t

P 61 ya a n d S p e n c e r j o in e d t h e d e p a r t m e n t t h e n . H i l l e

l e c t u r e d o n t h e N e v a n l i n n a t h e o r y a n d o n t h e G e l-

7 6 T H E M A T H E M A T I C A L I N T E L L I G E N C E R V O L . 5 N O . 3 1 9 83