les 8

les 8 Toepassing stijfheid en sterkte

les 8

2 kN

A

C

E

Fs

B

DH

DV

Fs·cos 71,6°

Fs·sin 71,6°

740

400

28

0

Berekenen van traagheidsmomenten


Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst

2 m

aluminium vierkant

kokerprofiel

40 x 40 x 3 mm

staalkabel Ø 5 mm

200 N

A B

C

Hoeveel verplaatst punt B in x- en y-richting? Welke situatie is het beste wanneer je weinig zakking wilt?

2 m

25°



2 m

200 N

A B

C

We tekenen eerst een VLS van het kokerprofiel. We vervangen de kabel door de onbekende kabelkracht Fk.

2 m

25°Fk



2 m

200 N

A B

C

De afstand AC noemen we x. Uit de figuur leiden we af dat geldt:

2 m

25°

25tan4x

x

Fk



2 m

200 N

A B

C

Nu geldt voor de nieuwe hoek die de kabel maakt:

2 m

25°

25tan22

25tan4

2tan

x

003,4325tan2arctan

Hieruit kunnen we berekenen:Fk

x



2 m

200 N

A B

C

2 m

43°

We ontbinden de onbekende kabelkracht nu in een horizontale component HD en een verticale component VD.

Wat werkt er in het scharnier A?

D

FkVD

HD


FkVD

HD


2 m

200 N

A B

C

2 m

43°

AB is nu een balk en niet langer een staaf. Halverwege werkt immers de kabelkracht Fk.

Het weggelaten steunpunt in A kan op de balk een horizontale kracht HA en een vertikale kracht VA uitoefenen.

Zie de slide uit ‘Balktutorial’!

DVA

HA


FkVD

HD


2 m

200 N

A B

C

2 m

43°

DVA

HA

0 xF DADA HHHH dus 0

0 yF 200 dus 0200 DADA VVVV

0 AM 040002002000 DV

N 400DV

N 200200 DA VV

43tanD

D

H

V

N 9,42843tan

DD

VH

N 9,428 DA HH

N 478,58643sin

400

43sin

D

k

VF



2 m

A B

2 m

D

We hebben nu alle krachten berekend, en kunnen daarmee twee VLS’en tekenen: die van de balk en die van de kabel.

Merk op:

• De pijllengtes kloppen niet met de grootte van de krachten. Dit is niet essentieel, alhoewel niemand je tegenhoudt om de tekening daarna nog eens netjes overnieuw te maken en alles op schaal te tekenen.

• De kracht die de kabel op de balk uitoefent is gelijk en tegengesteld aan de kracht die de balk op de kabel uitoefent.

Nu we de krachten weten kunnen we de verlenging van de kabel berekenen.

586,478 N

586,478 N

586,478 N

428,9 N

200 N200 N

428,9 N

400 N



2 m

A B

2 m

D

586,478 N

586,478 N

586,478 N

428,9 N

200 N200 N

428,9 N

200 N

mm 389,05

4101,2

2735478,586

25

EA

Flkabel

m 735,243cos

2

l



A

C

2 m

43°

x

D

D’

mm 389,0kabely

De kabel zal dus 0,389 mm verlengen. De vraag is nu weer, in welke richting zal D verplaatsen, en over hoeveel mm?

Balkdeel AD zal nauwelijks verkorten, dus we maken geen grote fout door te veronderstellen dat D’ recht onder D ligt. (feitelijk is DD’ een stukje cirkelboog met A als middelpunt)

Tegelijkertijd moet gelden dat D’ ligt op een crirkelboog met C als middelpunt, en met een straal van de afstand CD vermeerderd met de verlenging van de kabel, hier getekend als een blauw lijntje.

Dit blauwe lijntje is eigenlijk een stukje cirkelboog met C als middelpunt, maar we maken geen grote fout door dit stukje te benaderen met een recht lijntje dat haaks op CD staat. Hiermee wordt DD’:

mm 570,043sin

kabely

Merk op: de hoeken met een rode stip zijn gelijk!



Wanneer punt D 0,570 mm zakt, zal punt B dubbel zoveel zakken. Het bevindt zich immers twee maal zo ver van A.

A B

C

D

2 m2 m

mm 141,12 DB

Deze zakking in B is veroorzaakt door kabelrek, daarom noemen we hem in het vervolg kabelrek.

mm 141,1kabelrek



We gaan nu de hoekverdraaiing berekenen als gevolg van het buigend koppel dat balkdeel DB uitoefent op het blauw getekende balkdeel AD. Dit is situatie 4 op het formuleblad met de vergeetmenietjes.

Hoe groot is dat koppel? Met behulp van een evenwichtsbeschouwing (CIP1201) kunnen we berekenen dat dit gelijk is aan:

A

C

D

2 m2 m

B

200 NNm 400

Nmm 400000

2000200

lFM D



We gaan nu de hoekverdraaiing berekenen als gevolg van het buigend koppel dat balkdeel DB uitoefent op het blauw getekende balkdeel AD. Dit is situatie 4 op het formuleblad met de vergeetmenietjes.

Hoe groot is dat koppel? Met behulp van een evenwichtsbeschouwing kunnen we berekenen dat dit gelijk is aan:

A

C

D

2 m2 m

B

Nm 400

Nmm 400000

2000200

lFM D

400 Nm



Formule 4B stelt ons in staat om de hoekverdraaiing als gevolg van het koppel te berekenen.

A

C

D B

400 Nm

EI

MlD 3

De elasticiteitsmodulus van aluminium halen we van het formuleblad:

MPa 69000aluE

Het traagheidsmoment van het kokerprofiel is:

4

33

mm 101972

)34344040(12

1

kokerI

D

2 m2 m



E en I kunnen we nu invullen in de formule:

A

C

D

2 m2 m

B

400 Nm

rad 0379,0101972690003

2000400000

3

EI

MlD

Wanneer het blauwe deel recht zou blijven zou het ten gevolge van het kwispeleffect een zakking hebben van

rad 0379,0D

Wanneer het blauwe deel recht zou blijven (wat niet zo is) dan zou het ten gevolge van het kwispeleffect een zakking hebben van:

mm 8,7520000379,0 lkwispel

Oei... deze zakking blijkt de eerder gevonden zakking als gevolg van kabelrek volledig te overheersen!

200 N



Maar, zo zagen we al, het blauwe balkdeel buigt zelf ook. De zakking als gevolg daarvan kunnen we bereken met behulp van formule 2A.

A

C

D B

mm 8,75101972690003

2000200

3

33

EI

Flbuiging

Hier komt dezelfde zakking uit als die welke we vonden als gevolg van het kwispeleffect. (Dit is niet geheel toevallig, het komt door de gelijke afstand tussen AD en DB)

Hiermee kunnen we de totale zakking berekenen. Deze is namelijk de som van de eerder gevonden zakkingen. Het optellen van verplaatsing noem je superpositie. Dit betekent letterlijk: op-elkaar-plaatsing.

200 N

2 m2 m



A

C

D B

2 m2 m

Okay, schenk jezelf een biertje in*. Je hebt het verdiend!!

Na een flinke teug berekenen we de totale zakking:

* geldt voor thuis, niet voor op school

200 N

mm 141,1kabelrek

mm 8,75kwispel

mm 8,75buiging

mm 7,152totaal


Traagheidsmoment


Traagheidsmoment


Traagheidsmoment


Traagheidsmoment


Traagheidsmoment

B


Traagheidsmoment

B


B

TraagheidsmomentMet hoeveel koppel moeten we aan de as draaien om de gele vezel mm langer te krijgen?

EA

FL

Dit is formule 7 van het formuleblad!

Omwerken levert:

Dit is de kracht die nodig is om de vezel een heel klein stukje te verlengen.

L

EAF


Traagheidsmoment

Let op!

In formule 7 is A (area) de oppervlakte in mm van de doorsnede van de gele vezel!


B

TraagheidsmomentOm een kracht F uit te oefenen op de gele vezel moet we met het volgende koppel aan de as draaien:

L

EArrFM

de verplaatsing kunnen we ook schrijven als hoekverdraaiing maal kwispellengte:

r


B

Traagheidsmoment

L

EArM

wanneer we

r

invullen in

staat er

L

EArM

2

L

ArEM

2

ofwel


B

Traagheidsmoment

L

ArEM

2

Het traagheidsmoment van de hele doorsnede vinden we door van alle vezels waaruit de balk bestaat,

• hun te berekenen,

• al de gevonden waardes op te tellen.

Wanneer je de balk in oneindig veel oneindig dunne vezels verdeelt, noem je dit proces integreren.

Ar 2


Wiskundige definitie van het traagheidsmoment

dAr

ZWx-as

Het traagheidsmoment is theoretisch als volgt te vinden:

• verdeel de figuur in oneindig veel oneindig kleine vierkantjes met oppervlakte dA

• vermenigvuldig iedere oppervlakte met het kwadraat van de afstand r van het vierkantje tot de x-as

• tel alles op, en je hebt I

(dit optellen heet integreren)

dArI x2


Reserveslide

vezelverlenging 2x zo groot

arm van de kracht voor vezelverlenging 2x zo groot

vezel 2x verder van de as:

Benodigd koppel 4x zo groot


Traagheidsmoment

1 mm

1 m

m

Aanwijzingen:

• vermenigvuldig per blokje de oppervlakte met het kwadraat van zijn arm

• tel alle resultaten op

voorbeeld 1 voorbeeld 2

x x


Samengestelde figuren optellen en aftrekken van traagheidmomenten toegestaan, mits de zwaartepunten van de samenstellende figuren op de x-as liggen!!!

= +

4

64dI

4

1282 dI

4cirkel halve 128

dI


Oefening 1 Bereken het traagheidsmoment I van onderstaande afgeplatte buis.

50

16

2


Hint voor de oplossing (1) Traagheidsmoment is traagheidsmoment buitenvorm min traagheidsmoment binnenvorm

50

16

2

50

16

46

12= –


Hint voor de oplossing (2) Traagheidsmoment ovaal is traagheidmoment rechthoek plus twee maal traagheidsmoment halve cirkel.

501

6

46

12

34

34

12

16


Asymmetrische figuren Wat nu wanneer we het traagheidsmoment willen berekenen ten opzichte van een lijn die niet door het zwaartepunt gaat?

Volgens de regel van Steiner moeten we er de verschuiving a in het kwadraat maal de oppervlakte A bij optellen, alles in mm

Z

15

30

43

3

mm 33750301512

112

1

bhI

Z

15

30

8

4

23

23

mm 625502880033750

30158301512

112

1

AabhI “de verschuivingsterm van Steiner”


Oefening 2

Bereken het traagheidsmoment van een cirkel met een diameter van 30 mm ten opzichte van een raaklijn.

4

64dIcirkel

AaII zverschoven2

Hoeveel maal groter wordt het traagheidsmoment?

Z


Onthoud

• Je berekent een traagheidsmoment altijd ten opzichte van een lijn.

• Wanneer er niets bij gezegd wordt bedoelt men het traagheidsmoment ten opzichte van een lijn die door het zwaartepunt gaat.

• Wanneer we de figuur gaan verschuiven wordt het traagheidsmoment altijd groter, nooit kleiner.


2,5 (3x)

Berekening ligging zwaartepunt Vaak is niet zomaar duidelijk waar het

zwaartepunt van een figuur ligt. Dit zullen we eerst moeten berekenen.

Dit doen we met de “methode van het oppervlaktemoment”.

Waar ligt het zwaartepunt van dit U-profiel?

Om te beginnen leggen we de x-as gelijk met bijvoorbeeld de onderkant. Wat je kiest is niet belangrijk.

20

30

x


1,25

2,5 (3x)

Berekening ligging zwaartepunt We verdelen het U-profiel in rechthoeken. We

weten dat het zwaartepunt van iedere rechthoek in het midden ligt.

20

30

x

15


1,25

2,5 (3x)

Berekening ligging zwaartepunt We berekenen nu de som van de oppervlaktes

van alle rechthoeken maal de afstand van hun zwaartepunt tot de x-as. Deze moet gelijk zijn aan de aan de oppervlakte van de totale figuur maal de afstand van het zwaartepunt van de totale figuur tot de x-as.

In dit geval is een formule gemakkelijker te onthouden!

20

30

x

y to

t

tottot AyAyAyAy 332211

15

)755,3775(75155,3725,17515 toty

AA11=75 mm=75 mm22AA33=75 mm=75 mm22

AA22=37,5 =37,5

mmmm22

15 mm 12,25755,3775

75155,3725,17515

toty


1,25

2,5 (3x)

Berekening ligging zwaartepunt

Daarna berekenen we de afstanden van de gekleurde rechthoeken naar de nieuwe x-as.

20

30

x

12,2

5

15

15

We weten nu waar het zwaartepunt ligt en verplaatsen de x-as naar dat punt.


1,25

2,5 (3x)

Berekening ligging zwaartepunt We berekenen nu de afstanden van de

zwaartepunten naar de nieuwe (verschoven as)

20

30

x

12,2

5

15

15

112,

75


2,5 (3x)

Berekening traagheidsmoment We gooien de maten die we niet meer nodig

hebben weg.

We kunnen nu het traagheidsmoment van de complete figuur berekenen. We doen dit per rechthoek, en tellen ten slotte alles op.

20

30

x

15

112,

75

5,23075,2305,212

1 23 groenI

4mm 6192,2

5,215115,21512

1 23 blauwI

4mm 4557,0

4mm 2,6192 groenpaars II

4mm 4,169410,45572,61922 totI

Aa 2


Oefening 3

Bereken het traagheidsmoment van een omgekeerd T-profiel. Bereken eerst de ligging van het zwaartepunt met de oppervlaktemomentmethode.

100

20

20

130


Huiswerk 1

Van 1 mm dik staalplaat is onderstaande profielplaat gezet. Bereken het traagheidsmoment I van deze plaat.

Om de berekening niet te ingewikkeld te maken nemen we aan dat de hoeken bij het zetten scherp zijn gebleven. In werkelijkheid ontstaan afrondingen!

18

18

34

1360


Huiswerk 2

De plaat moet een sloot van 1,50 m overspannen.

De ribbels lopen daarbij in dwarsrichting.

Hoeveel mm zakt de plaat in het midden wanneer daar een man van 80 kg staat?

18

18

34

1360

Documents

les 8