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Les lois du chocAnalyse et présentation: Serge Cabala.

Seconde partie :De Descartes à Maupertuis.

La communication du mouvement par le choc est un phénomène si fréquentqu’il aurait dû fixer de bonne heure l’attention des physiciens.Descartes (1596-1650) est un des premiers qui ait soupçonné qu’il y avait là deslois à découvrir, ce qui a fait dire à Bernard Le Bovier de FONTENELLE(1657-1757) : « Il est presque honteux à la philosophie de s’être avisé si tard des’en occuper. »

Traité de Physique par P.A. Daguin 1855

Section I : jusqu’à DescartesI) Les précurseurs.a) Galilée (1564-1642) tenta de trouver les lois du choc, il chercha à mesurer

la « force d’un choc » en le comparant au poids d’un corps sur une balance.

Expérience de Galilée.Figure extraite du livre de Mach « La Mécanique 1903 »

I est un vase rempli d’eau dont le fond est percé au centre, et que l’on maintient bouché audépart de l’expérience.II est un vase vide suspendu au premier.Le tout est suspendu à l’un des fléaux d’une balance que l’on équilibre par la suspensiond’un poids à l’autre fléau.Galilée pensait qu’une fois le trou débouché, et durant tout le temps d’écoulement du liquide,la balance pencherait du coté des vases, du fait de l’impact de la colonne d’eau dans le vaseII.Or, mis à part une instabilité brève, le temps que la colonne d’eau atteigne la vase II, labalance reste en équilibre, ce qui étonna fort Galilée et semble avoir mis fin à sa recherchedes lois du choc.Mariotte reprendra plus tard ce type d’expérience.

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b) Jean Marc Marci de Cronland (1595-1677) publia à Prague en 1639 untraité intitulé « De proportione motus … » dans lequel il donne quelqueslois sur les chocs, en particulier il écrit que deux corps égaux qui sechoquent avec des vitesses égales rebondissent avec la même vitesse, etqu’un corps élastique qui choque un corps identique au repos perd toute savitesse et la communique à l’autre.

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II) René Descartes

Descartes, dans ses « Principes de Philosophie », publié en latin en 1644, puistraduit en français par l’abbé Picot en 1647, écrit ceci :

« Dieu par sa toute puissance, a créé la matière avec le mouvement et le repos deses parties, et conserve maintenant en l’univers, par son concours ordinaire … ,autant de mouvement et de repos qu’il y a mis en le créant. Lorsqu’une partie dela matière se meut deux fois plus vite qu’une autre et que cette autre est deuxfois plus grande que la première, nous devons penser qu’il y a tout autant demouvement dans la plus petite que dans la plus grande, et que, toutes fois que lemouvement d’une partie diminue, celui de quelque autre partie augmente àproportion. »

Plus loin, il énonce ce qui pour lui doivent être les lois du choc.1. Si deux corps égaux se choquent avec des vitesses égales, ils se

réfléchissent en arrière, chacun avec sa vitesse.2. Si l’un des deux corps est plus grand que l’autre, et que les vitesses soient

égales, le moindre seul sera réfléchi, et ils iront tous les deux du même côtéavec la vitesse qu’ils avaient avant le choc.

3. Si deux corps égaux ayant des vitesses inégales viennent à se choquer, leplus lent sera entraîné de sorte que leur vitesse commune sera égale à lamoitié de la somme de celle qu’ils avaient avant le choc.

4. Si l’un des deux corps est au repos et qu’un autre vienne le choquer, celui-ci se réfléchira sans lui emprunter aucun mouvement.

5. Si un corps au repos est choqué par un plus grand, il en sera entraîné et ilsiront ensemble du même côté avec une vitesse qui sera à celle du corpschoquant comme la masse de celui-ci à la somme des masse de l'un et del'autre.

6. Si un corps C est en repos et qu’il soit choqué par un corps B qui lui estégal, B pousse C et, en même temps, C le fait rejaillir ; si B a une vitesse 4,il donne à C une vitesse 1 et il retourne en arrière avec la vitesse 3.

Explication de Descartes : « Car, étant nécessaire ou que B pousse C sans rejaillir etqu’ainsi il lui transfère deux degrés de son mouvement, ou bien qu’il rejaillisse sans lepousser et que, par conséquent ; il retienne ces deux degrés de vitesse avec les deux autresqui ne peuvent lui être ôtés, ou bien qu’il rejaillisse en retenant une partie de ces deux degréset qu’il le pousse en lui transférant l’autre partie, il est évident que, puisqu’il sont égaux etainsi qu’il n’y a pas plus de raison pourquoi il doive rejaillir que pousser C, ces deux effetsdoivent être également partagés, c’est à dire que B doit transférer à C l’un de ces deux degrésde vitesse et rejaillir avec l’autre.

7. Règle relative au choc de deux corps inégaux qui vont dans le même sens.

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Ayant sans doute constaté que la plupart de ses règles ne sont pas conformesaux faits, Descartes écrit : « Il arrive souvent que l’expérience peut semblerd’abord répugner aux règles que je viens d’expliquer, mais la raison estévidente, car elles présupposent que les deux corps B et C sont parfaitementdurs et tellement séparés de tous les autres qu’il n’y en a aucun autour d’eux quipuisse aider ou empêcher leur mouvement et nous n’en voyons point de tels ence monde. »Descartes ignore ici l’expérience car il croit que la certitude réside dans lapensée seule.

Section II

Le concours de la Société Royale de Londres

En 1668 la Société Royale met au concours les lois du choc des corps.

Le 26 novembre 1668 elle reçoit la solution de John Wallis, l’un de sesmembres. Il n’y traite que le cas de corps mous (parfaitement durs).

Le 17 décembre 1668 elle enregistre celle de Christopher Wren, un autre de sesmembres. Les corps de Wren sont parfaitement élastiques.

Le 4 janvier 1669, les formules de Christian Huyghens parviennent à la SociétéRoyale. Le travail ne porte que sur les corps parfaitement élastiques, commecelui de Wren. (Huygnens appelle ses corps parfaitement durs.)

Seules les solutions de Wallis et Wren seront publiées par la Société Royaledans ses Philosophical Transactions le 11 janvier 1669Les formules de Huyghens seront publiées le 18 mars 1669 par le Journal desSavants.

Dans les papiers présentés, la nature des corps (élastiques ou mous) n’est pasclaire, d’où des désaccords que les auteurs n’ont pas tout d’abord compris.On trouve dans une lettre de Huyghens, datée du 29 mai 1669 : « Je ne sais si M.Wallis aura pu réduire ses règles au même sens que des nôtres (Wren etHuyghens) car je ne vois pas beaucoup de rapport. »

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I ) John Wallis (1616-1703) Connu dans le domaine mathématique, il occupa jusqu’à sa mort la chaire demathématiques à l’université d’Oxford, il introduisit l’emploi systématique desexposants négatifs et fractionnaires, exprima 4/pi sous la forme d’un produitinfini, étudia la fonction logarithme en tant que réciproque de l’exponentielle, etemploya le symbole ,∞ , pour noter l’infini.

Formule de Wallis en mathématiques.2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 5 2 2 2 5 2

2 4 6 ....................(2 ) 2 4 6 ......(2( 1)) 2

1 3 5 ....(2 1) (2 1) 2 1 3 5 .............(2 1)

n n n

n n n

π −< <− + −

L’ensemble de l’œuvre mécanique de Wallis fut publiée à Londres par ses soins,entre 1669 et 1671, dans son traité en 3 volumes « Mechanica, sive de Motu ».

Dans son mémoire du 26 novembre 1668, Wallis rappelle les principes de sapropre mécanique, qui selon René Dugas « sont une curieuse mixture dedynamique scolastique et de statique au sens de Stevin ou de Descartes. »

Pour Wallis, si la force V meut le poids P dans le temps T suivant la longueur L,une force mV mouvra le poids mP dans le temps nT suivant la longueur nL, ensorte que le rapport VT/PL demeurera constant.Il écrit encore, si la force V meut le poids P avec la vitesse C, la force mVmouvra le poids P avec la vitesse mC ou le poids mP avec la vitesse C.

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De ses principes, Wallis déduit la loi du choc des corps durs. Pour Wallis dursignifie dépourvu d’élasticité. (Corps mous.)Remarque : Wallis ne distingue pas le poids de la masse (masse appeléegrandeur du corps par huyghens et Wren), mais il a soins d’orienter les quantitésde mouvement avant de les sommer.

Dans son traité « Mechanica, sive de Motu », Wallis intègre les résultats deWren et Huyghens.

Il y définit trois sortes de corps, les mous, les durs et les élastiques, mais nedistingue pas, dans ses propositions, les durs des mous.

Quelques extraits :

Chapitre XI. Du choc.

Proposition I. Soit un corps grave en mouvement . Considérons-le comme parfaitementdur . Imaginons qu’il choque directement un obstacle ferme, qui soit aussi parfaitement dur.Si la force correspondant au mouvement du corps est moindre qu’a l’obstacle pour résister aumouvement et même si ces deux forces sont égales, le corps s’arrêtera . …..

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Remarque : J’appelle parfaitement dur un corps qui ne cède en rien au choc, qui n’est ni mouni élastique.Un corps mou est un corps qui cède au choc de façon à perdre sa figure primitive, comme laglaise, la cire, le plomb…Pour ces corps une partie des forces est employée à les déformer; latotalité n’en est pas dépensée sur l’obstacle. Il faut tenir compte à part de cette partie.J’appelle élastique un corps qui cède de quelque façon au choc, mais qui reprend de lui-mêmesa forme primitive. Ainsi sont les ressorts d’acier, de bois…

Proposition II. Si un grave en mouvement choque directement un grave au repos, celui-ciétant tel qu’il n’est mû ou empêché de se mouvoir par aucune autre cause, les deux corps irontensemble après le choc avec une vitesse que donne le calcul suivant : Divisez par le poids des deux corps le moment fourni par le produit du poids et de la vitessedu grave en mouvement. Vous aurez la vitesse après le choc ……

Proposition III. Si un grave choque directement un second grave se mouvant moins viteque lui sur la même droite, après le choc la vitesse des deux corps sera la même et donnée parla règle suivante : Divisez la somme des moments par la somme des poids. Vous aurez la vitesse après le choc.

Explication de Wallis : « En effet, soit un grave A, en mouvement le long de la droite AA passant par sont centre degravité et aussi par celui du corps au repos B (car nous exigeons aussi cette dernièrecondition pour dire que le choc est direct).

Soient mP et rC le poids et la vitesse de A. Le moment ou force poussante (vis impellens) seramrPC. Soit nP le poids du corps B ; sa vitesse est nulle. Le poids des deux corps est mP+nP.Le mouvement après le choc se fera avec la même vitesse pour les deux corps. En effet B nepeut aller plus lentement que A, puisque A le suit ; il ne peut non plus aller plus vite, car onsuppose qu’il n’y a pas d’autre cause de mouvement que celle qui vient de la poussée de A(s’il y a une cause qui le pousse plus vite comme la force élastique, le problème est d’un autreordre ; il est traité en un autre endroit). Puis donc qu’un poids mP+nP est mû par une force

mrPC, la vitesse est m

rCm n+

, quotient du moment mrPC par le poids mP+nP. »

Proposition IV. Si deux graves, animés de mouvements contraires suivant la même droite,se choquent directement, ils auront après le choc la même vitesse. La valeur de cette vitesse etson sens sont donnés par la règle suivante : Divisez la différence des moments (parce que les mouvements sont contraires) par la sommedes poids ; vous aurez la vitesse commune après le choc. Elle sera dirigée du coté où tendait laforce prépondérante…

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Proposition V. La grandeur du choc est égale au double de la diminution subie par le plusfort moment dans un choc direct.Considérons comme choquant le corps qui a le plus fort moment , comme choqué l’autre. Lecorps choqué reçoit autant de moment que le corps choquant en perd… Ces moments gagnésou perdus sont tous deux l’effet du choc; le choc est donc égal à leur somme, c’est à dire audouble de la diminution subie par le plus grand moment.

Remarque, la force du choc est selon Wallis: 1 21 2

1 2

m m2 v v

m m−

+

Chapitre XIII.Du ressort et du rebondissement.

Définitions. J’appelle force élastique (vis elastica) celle avec laquelle un corps, dont la forme a étémodifiée de force, tend à revenir à la forme primitive. J’appelle ressort un corps ou une partie de corps doué de cette force.………………………..

Proposition I.Si un grave choque directement un obstacle, et si les deux corps (ou seulement un d’entre eux)sont élastiques, le grave rebondira avec une vitesse égale à celle qu’il avait avant le choc etsuivant la même droite………………

Proposition II.Si deux grave égaux, animés de vitesses égales en sens inverses, se choquent directement, etsi tous les deux (ou simplement un seul) sont des corps élastiques ; ou encore si les gravessont inégaux et animés de vitesses inversement proportionnelles aux poids (de sorte que lesmoments soient égaux) ; chaque corps rebondira avec la vitesse qu’il avait avant le choc, etsuivant la même droite….

I I) Christopher Wren (1632-1723) Il fut professeur de mathématiques au Gresham College de Londres, puis àl’université d’Oxford, mais Il est beaucoup plus connu comme architecte desédifices royaux. De 1668 à 1718 il prit part à l’exécution de plus de 60 édificespublics, dont la célèbre église Saint-Paul, bâtie entre 1676 et 1710.Il a écrit un grand nombre de mémoires sur la physique, les mathématiques , lamécanique et l’art de construire etc. qui parurent dans les TransactionsPhilosophiques, ou qui furent publiés par Wallis et par d’autres. Il n’en a pasédité un seul lui-même.

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La traduction de la note de Wren, publiée dans les Philosophical Transactions,se trouve dans le livre d’Emile Jouguet : Lectures de Mécanique, publié lapremière fois vers 1904. Jouguet était Inspecteur Général des mines ainsi queprofesseur à l’école des Mines et à Polythecnique.

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Extrait de Lectures de Mécanique d’Emile Jouguet

Question :Peut-on avec le début de la note de Wren, trouver par le calcul, les lois du choc ?

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Voici ce que je propose.Soient deux corps 1M et 2M de masses respectives 1m et 2m .

Si les vitesses propres sont inversement proportionnelles aux corps, lors de l’étude du choc,

c’est qu’il existe une constante k telle que 1

k

met

2

k

msoient les vitesse propres respectives des

deux corps.Pour Wren, les vitesses n’étant pas signées, il faut rétablir le signe lorsque c’est nécessaire.

Ici prenons : 1v 0≥ et 2v 0≤ avant le choc, et après le choc1v' 0≤ et 2v' 0≥

La première partie de LOI DE LA NATURE signifie que si 11

kv

m= et 2

2

kv

m= − , alors

1 1v' v= − et 2 2v' v= − . (En effet, on a 1 1 2 2m v m v 0+ = donc 1 1v' v= − et 2 2v' v= − .)

La seconde partie de LOI DE LA NATURE parle de ce que R a en trop sur sa vitesse propre.

Ce que R a en trop est : 11

kv

m− . Ce qui manque à S est : 2

2

k( v )

m− −

2v étant négatif, on met moins devant car pour Wren les vitesses sont toujours prises sans

signe.

On a donc : 1 21 2

k kv ( v )

m m− = − − On trouve : 1 2

1 2

1 1v v k( )

m m− = + soit 1 2 1 2

1 2

m m (v v )k

m m

−=+

( Remarque : 1 1 2 21 G

1 1 2

m v m vkv v

m m m

+− = =+

)

De la vitesse propre de R on retranche l’excès 11

kv

m− .

On a donc en tenant compte que 1v' 0≤

1 2 1 2 21 1 1

1 1 1 1 2

(m m )v 2m vk k 2 kv' (v ) v

m m m m m

− +− = − − = − = −+

ce qui est la bonne formule.

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Pour obtenir 2v' , à la vitesse propre de S on ajoute ce que R a en trop.

On a donc : 2 1 2 1 12 1

2 1 1 2

(m m )v 2m vk kv' (v )

m m m m

− += + − =+

ce qui est encore la bonne réponse.

Wallis utilise les quantités de mouvement tandis que Wren s’en démarque enintroduisant les vitesses propres.La présentation de Huygens cherche aussi à se distinguer des deux précédentes.

Mon interprétation de la balance de Wren.Wren ayant fait de très nombreuses expériences desquelles il à tiré ses lois, a certainement duen faire sur une balance faite d’une planche posée en son milieu sur un couteau.Il me semble plutôt que son histoire de balance vient de là.

Les mobiles 1 1M , N on même masse1m et pour vitesses respectives avant le choc 1 1v ,w

De même 2 2M , N ont même masse 2m et pour vitesses respectives 2 2v ,w avant le choc.

Les vitesses après le choc sont celles accentuées par rapport à celles avant le choc.Dans ce second cas, on prend 1 1w v'= − et 2 2w v'= − , ce qui donne 1 1w' v= − et 2 2w' v= − .

La quantité totale de mouvement des 4 corps reste toujours nulle.D’autre dispositions sont possibles, pourvu que 1 1 2 2 1 1 2 2m v m v (m w m w )+ = − + et qu’au

départ le centre de gravité du système total soit sur le couteau.

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III) Huyghens (1629-1695) .

Huyghens ne s’occupe que des corps parfaitement durs.(Les durs de Huyghens sont parfaitement élastiques, ceux de Wallis mous.)

Dans son étude du choc, Huyghens utilise le fait que sur un bateau enmouvement rectiligne uniforme les chocs se passent comme sur la terre ferme.

Dans son envoi du 4 janvier 1669, Huyghens ne précise bien sa méthode quepour des corps de masses égales. Pour des masses inégales il part del’hypothèse que lorsque qu’elles sont inversement proportionnelles aux vitesses,les corps après le choc, repartent avec des vitesses opposées. Ce qu’avait déjàénoncé Wren, et comme il ne donne ensuite que des résultats déjà donnés parWren, il semble que la Société Royale n’ai pas jugé bon de le publier.

Par la suite, Huyghens s’est astreint à démonter son hypothèse à partir d’uneautre qui lui paraissait plus évidente (mais qui ne l’est pas vraiment comme on leverra). Hughens, dans sa lettre de mars 1669, adressée au Journal de Savants, où ses lois du chocfurent publiés sans démonstration le 18 mars 1669, dit qu’il les connaissait depuis 16 ans,donc depuis 1653.Dans ce même journal, Huyghens publie toujours en 1669, un complément dans lequel ilmontre que le choc laisse inchangé la vitesse du centre de gravité, et laisse inchangé la sommedes produits des masses par le carré des vitesses (dans le choc des corps parfaitementélastiques).Huyghens, qui est le premier à avoir vu que la somme des forces vives est la même avant etaprès le choc, n’est pas l’inventeur de cette appellation, elle est attribuée à Leibniz.Huyghens est souvent considéré comme l’inventeur des forces vives.

Le traité de HuyghensDe motu corporum ex precussione

(Paru la première fois en 1700)

Hypothèses :

I. Un corps quelconque en mouvement , s’il ne rencontre aucun obstacle, tend à semouvoir indéfiniment avec la même vitesse et en ligne droite.

II. Quelque soit la cause pour laquelle deux corps durs rebondissent quand il sechoquent, nous faisons l’hypothèse suivante : si les deux corps sont égaux, si leurs vitessessont égales, si ces vitesses sont de sens inverses, et si les deux corps se choquent directement,chacun rebondit avec une vitesse égale à celle qu’il avait avant le choc.

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III. (Hypothèse du bateau) …… Nous disons que les deux corps rebondiront avec desvitesses égales par rapport au navire, exactement comme si l’on produisait le choc dans lenavire au repos ou sur la terre ferme. …….

IV. Si un corps vient choquer un autre corps plus petit et en repos, il lui communiqueun certain mouvement et perd une partie du sien.

V. Soient deux corps durs venant se choquer; s’il arrive qu’après le choc l’un desdeux conserve tout le mouvement qu’il avait avant, le mouvement de l’autre n’est ni non plusni augmenté ni diminué. On remarque ici qu’au lieu de prendre comme hypothèse 1 1 2 2m v m v 0+ = entraîne

1 1v' v= − et 2 2v' v= − , comme il l’avait fait dans sa note à la Société Royale,

il la remplace par : si 1 1v' v= − alors 2 2v' v= − , qui n’est pas plus évidente.

On notera que, dans ses hypothèses, Huyghens ne fait ni intervenir la notion de quantitéde mouvement, ni le principe de sa conservation.

Propositions (déductions) :

1.Si un corps étant en repos, si un corps égal vient le choquer, après le choc le secondcorps sera en repos et le premier aura acquis la vitesse qu’avait le second avant le choc .

L’explication se fait à l’aide du bateau et de l’hypothèse II.

2.si deux corps égaux, animés de vitesses inégales, viennent à se choquer, ilséchangent leurs vitesses dans le choc.

L’explication se fait encore à l’aide du bateau et de l’hypothèse II.

3.Un corps aussi grand qu’on veut, s’il est choqué par un corps si petit qu’il soit animéd’une vitesse quelconque, est mis en mouvement par le choc.

L’explication se fait toujours à l’aide du bateau et de l’hypothèse IV.

4.Toutes les fois que deux corps se choquent, leur vitesse relative est la même après lechoc, quand ils s’éloignent, et avant le choc, quand il se rapprochent.

L’explication se fait à l’aide du bateau et de l’hypothèse V.

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Preuve sous forme moderne:

Soit 1 1v v'u

2

+= . Dans le bateau à vitesse u les vitesses sont :

1v u− et 2v u− avant le choc ; 1v' u− et 2v' u− après le choc.

D’après le choix de u on a : 1 1v' u (v u)− = − − . Donc d’après l’hypothèse V de Huyghens, on

a aussi 2 2v' u (v u)− = − − puis en soustrayant membre à membre ces deux dernières égalités,

on trouve 2 1 1 2v' v' v v− = − .

Fin de la preuve.

…………………………….

6.Quand deux corps viennent se choquer, la quantité de mouvement de l’ensemble nese conserve pas toujours après le choc égales à ce qu’elle était avant ; elle peut augmenter oudiminuer. Il s’agit de la quantité de mouvement au sens de Descartes.

…………………………….

8. Si deux corps, se déplacent en sens inverse, viennent se choquer avec des vitessesen raison inverse de leurs grandeurs, chacun rebondit avec la même vitesse qu’il avait avant lechoc.

Pour le prouver, Huyghens, utilise la proposition 4. , et le fait que si les vitesses des corps ontété données en les faisant tomber de certaines hauteurs, après le choc, si l’on fait remonterles corps avec des vitesses verticales égales à celles après le choc, le centre commun degravité ne peut pas remonter plus haut que de sa position de départ.Cela revient à constater que la force vive est la même avant et après le choc, qui associée à laconservation de la vitesse relative, donne les vitesses après le choc.

Je mets la démonstration de huyghens sous forme moderne.

Soit h la hauteur de chute du centre commun de gravité des deux corps.Soit h' la hauteur à laquelle il remonte après le choc.

On a : 2 21 1 2 22 m g h m v m v= + et 2 2

1 1 2 22 m g h' m v' m v'= + On soustrait membre à membre et on trouve : 2 2 2 2

1 1 1 2 2 22 m g (h' h) m (v' v ) m (v' v )− = − + −Puis en utilisant la condition 1 1 2 2m v m v 0+ = et le fait que 2 1 1 2v' v' v v− = − , on trouve que

21 2 1 12 m g (h' h) (m m )(v' v )− = + + .

Donc si 1 1v' v 0+ ≠ on a h' h > ce qui est impossible.

On a finalement 1 1v' v= − et 2 2v' v= − .

Fin de démonstration.

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Voici un extrait de la démonstration d’Huyghens.

20

etc.(Extrait du livre d’Emile Jouguet : Lectures de mécanique)

Avec la proposition 8 et en utilisant le bateau, Huyghens trouve les vitessesaprès le choc dans les autres cas, comme on l’a vu dans la partie I.

21

Section III Après le concours de la Société Royale.

I) Abbé Edme Mariotte (1620 Dijon ; 1684 Paris).

Etablissement de l’Académie des Sciences et fondation de l’observatoire. 1666

Détail. Mariotte est à gauche Huyghens à trouver sur l’image de gauche.

Mariotte est le sixième à partir de la droite,puis viennent Jean-Dominique Cassini et Huygens, mais les identités ne sont pas certaines.

On ne connaît pas d’autre portrait de Mariotte.

22

Dans son Traité de la percussion ou choc des corps (1673), Mariotte reprendles résultats des précédents (Wallis, Wren, Huyghens).Sa démarche est très expérimentale, ce qui en fait son originalité.Il écrit que les résultats qu’il trouve sont confirmés par plusieurs grandsgéomètres sans jamais les citer ; son traité ne contient que le nom de Galilée.Il renonce aux corps durs, et ne retient que les corps flexibles sans ressort et lescorps flexibles à ressort.

Pour ses expériences, il utilise les pendules, et explique longuement commentles disposer et comment les utiliser.

Pour avoir la vitesse, il emploie le sinus verse pour calculer la hauteur de chuteen fonction de l’arc initial, et constate que pour un petit arc, la vitesse dupendule au bas de sa trajectoire, est proportionnelle ou presque à cet arc, lorsquele pendule est lâché sans vitesses initiale.( sinverse( ) 1 cos( )α α= − )

Il sait que le temps de descente d’un pendule dépend de l’arc de départ, mais quesi cet arc n’est pas trop grand (inférieur à 15 ou 20 degrés), ce temps est presqueindépendant de l’arc.

Il précise que la résistance de l’air fausse aussi un peu les résultats.

Mariotte nous assure, que son appareil, bien qu’imparfait, permet de vérifiercorrectement les lois du choc.

Mariotte distingue la masse du poids, mais l’appelle toujours poids.

Il explique comment l’aplatissement des corps rend les vitesses égales dans lechoc sans ressort.

Il explique longuement l’effet du ressort dans le choc élastique en le comparantà la corde d’un arc.

Il affirme que le ressort comprimé distribue les vitesses dans le rapport inversedes masses.Que le ressort parfait double ainsi l’effet du choc.

Il utilise le principe du bateau (dans un bateau à vitesse constante, ou sur la terreferme, les chocs vérifient les mêmes lois) , pour expliquer les lois du chocoblique, mais il les explique aussi autrement.

Il mesure la force que produit un jet d’air ou d’eau à l’aide d’une balance.

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Toutes ses explications des lois du choc sont convaincantes.Son Traité eut un très grand succès et fut rééditer plusieurs fois.Il inspira de nombreux expérimentateurs dont Newton qui le cite dans sesPrincipia sous la dénomination de célèbre Mariotte.

Huyghens en a conçu quelque ombrage. Il a écrit aux environs de 1689 :Mariotte a tout pris de moy,…..,la machine, l’expérience du ressort des boules de verre,l’expérience d’une ou plusieurs boules poussées ensemble contre une rangée de boulespareilles, les théorèmes que j’avais publiés. Il devrait avoir fait mention de moy. Je luy dit unjour, il ne sceut que répondre…….en quoi Mr Oldenburgh ne m’avait pas rendu justice comme il faloit, et moins encore MrWallis.

Quelques extraits du traité de Mariotte, 3° édition 1679.

24

25

26

Notons le nom de Galilée qui apparaît en fin de ligne 6 de cette page

27

Une trompette de marine est une sorte de violon à une corde utilisé dans la marine anglaise.

28

Montage proposé par Mariotte pour vérifier l’effet ressort.

AB est une corde de violon horizontale très tendue entre les point fixes A et B.O est un point fixe à la verticale du milieu I de AB.

OM est un fil inextensible de longueur OI. Une bille en verre ou acier est attaché en M au fil OM.

La bille lâchée du point M rebondit sur la corde et revient à son point de départ.

Ci-dessous, première planche de figures du traité de Mariotte.

29

Mariotte conteste Galilée à propos de sa preuve, que dans son premier instant un corps quichute n’a pas de vitesse. Mariotte écrit: Un corps qui tombe dans l’air, commence à tomberavec une vitesse déterminée, et qui n’est pas infiniment petite ; c’est à dire, qu’elle est telle,qu’il peut y en avoir de moindres, en différents degrès. (Page 77 lemme XI).Pour Mariotte, la pesanteur produit sur un corps un choc répété, comme un jet d'eau ou d’air,qui le met en mouvement. Le choc (instantané) des premières particules du jet donnent unepremière vitesse instantanée au corps, les suivantes une seconde etc.

L’idée que la percussion est une cause essentielle du mouvement, ou de sa modification, serareprise par d’Alembert dans son Traité de dynamique.

30

Les leçons de physique expérimentale, inaugurés par Mariotte, puis trèsdéveloppés par la suite par s’Gravesande et l’abbé Nollet eurent un succèsconsidérable à travers toute l’Europe, et devinrent la base de l’enseignement dessciences.

II) Jean le Rond d’Alembert (1717-1783).

Dans son Traité de dynamique(1743) , d’Alembert résout le problème du chocen utilisant son principe rappelé plus bas.

Mais pour mieux saisir ce principe, voyons quelles sont dans le Traité dedynamique, les causes du mouvement.

Dans les préliminaires page X on lit :

« Or quelles sont les causes capables de produire ou de changer le mouvement dans lescorps ? Nous n’en connaissons jusqu’à présent que de deux sortes : les unes se manifestent ànous en même temps que l’effet qu’elles produisent, ou plutôt dont elles sont l’occasion : cesont celles qui ont leur source dans l’action sensible et mutuelle des corps, résultante deleur impénétrabilité : elles se réduisent à l’impulsion et à quelques autres actions dérivéesde celle là : toutes les autres causes ne se font connaître que par leurs effets, et nous enignorons entièrement la nature : telle est la cause qui fait tomber les corps pesants vers lecentre de la terre, celle qui retient les planètes dans leurs orbites ; etc. »

Dans la seconde partie, chapitre premier, là où est exposé son principe, on lit :

Le corps n’agissent les uns sur les autres que de trois manières différentes qui nous soientconnues : ou par impulsion immédiate, comme dans le choc ordinaire; ou par le moyen dequelque corps interposé entre eux, et auquel ils sont attachés ; ou enfin par une vertud’attraction réciproque, comme font dans le système Newtonien le Soleil et les Planètes. Leseffets de cette dernière espèce d’action ayant été suffisamment examinés, je me bornerai àtraiter ici du mouvement des corps qui se choquent d’une manière quelconque, ou de ceuxqui se tirent par des fils ou des verges inflexibles.

En dehors de la gravité, c’est donc l’impulsion (la percussion par des corps proches) quimodifie le mouvement des masses, on retrouve ici l’idée de Mariotte, celle qui semble être àla base du principe ci-dessous.

Rappel du principe :« Pour trouver le mouvement de plusieurs corps qui agissent les uns sur les autres.Décomposer les mouvements A,B,C etc. imprimés à chaque corps, chacun en deux autresa,α ; b,β ; c,γ etc. qui soient tels que si l’on n’eût imprimé au corps que les mouvementsa,b,c etc. il eussent pu conserver ces mouvements sans se nuire réciproquement ; et que si onleur eût imprimé que les mouvements , ,α β γ etc. le système fût demeuré en repos ; il est clair

31

que a,b,c seront les mouvements que ces corps prendront en vertu de leur action. Ce qu’ilfallait démontrer. »La première application de ce principe donnée par d’Alembert est le pendule composé.Voir l’annexe 2 qui suit la bibliographie.

Application aux chocs.D’Alembert traite, sans le préciser, le cas du choc de corps mous. (corps durs pour lui)

Je reprends l’explication de d’Alembert.Posons 1 1A m v= , 2 2B m v= qui sont les mouvements imprimés au départ.

Posons 1 1a m v'= et 2 2b m v'= qui sont les mouvements qui se conservent sans se nuire.

Puisque 1 1 1 1 1 1 1m v m v' m (v v' )= + − et que 2 2 2 2 2 2 2m v m v' m (v v' )= + − ,

Pour avoir les égalités A a α= + et B b β= + ,

On doit prendre 1 1 1m (v v' )α = − et 2 2 2m (v v' )β = −

32

Or α et β doivent se détruire,

On a donc 1 1 1 2 2 2m (v v' ) m (v v' ) 0− + − = (On retrouve la conservation de la quantité de

mouvement) et de plus, puisque les corps restent collés après le choc, ce que d’Alembert neprécise pas au départ, on a 1 2v' v'= ce qui donne la vitesse après le choc.

Fin de l’explication.

Après avoir traité le cas des corps durs (mous) sans dire qu’ils l’étaient,d’Alembert passe aux corps élastiques, et c’est seulement là qu’on comprendque ce qu’il vient de résoudre c’est le cas des corps durs (mous).

Voilà ce qu’écrit d’Alembert pour les chocs élastiques :

Pour les corps élastiques.Si tant de corps qu’on voudra viennent à se choquer de manière, qu’en les supposantparfaitement durs et sans ressort, il demeurent tous en repos après le choc ; je dis que s’ilssont à ressort parfait, ils retourneront en arrière chacun avec la vitesse qu’il avait avant lechoc. Car l’effet du ressort est de restituer en sens contraire à chaque corps le mouvementqu’il a perdu par l’action des autres.…………………..…………………..Nous ne parlerons donc dans les Problèmes suivants que du choc des corps durs, puisqu’onen déduit aisément les lois du mouvement des corps élastiques.

On retrouve l’explication déjà utilisée par Mariotte: le ressort double l’effet duchoc. Ce qui permet de trouver les vitesses dans les chocs parfaitementélastiques.

Exemple : Soient ncorps ponctuels parfaitement élastiques qui se choquent simultanément.

Soient im , i de 1 à n les masses de ces corps et iv���

leurs vitesses respectives.

S’ils étaient mous, ils repartiraient tous collés avec la vitesse commune

n

i i1

G n

i1

m vv

m=

∑

∑

���

���

, mais

comme ils sont parfaitement élastiques , la vitesse iv'���

de chaque corps après le choc est

i G iv' 2 v v= −��� ��� ���

33

III) Pierre Louis Moreau de MAUPERTUIS (1698-1759).

En 1744 il énonce le principe de moindre action en optique, copié sur leprincipe d’économie naturelle de Fermat. Il y remplace simplement les vitessessupposées V et V’ de la lumière dans deux milieux différents par 1/V et /V’.Pour plus d’explications, voir annexe 1 à la suite de la bibliographie.

En 1747 il publie dans les Annales de l’Académie de Berlin une version de sonprincipe avec lequel il retrouve les lois du choc.

Pour les chocs mous.

Soient 1 2m ,m la masse des corps, 1 2v ,v leurs vitesses respective avant le choc, u la vitesse

commune après le choc.L’action que pose Maupertuis est 2 2

1 1 2 2m (v u) m (v u)− + − .

Cette action doit être minimale, donc : 1 1 2 2m (v u)du m (v u)du 0− + − =

Ce qui donne : 1 1 2 2m (v u) m (v u) 0− + − = et on trouve 1 1 2 2

1 2

m v m vu

m m

+=+

Remarque : L’action est ici la force vive totale dans le système à vitesse u.Elle est minimale lorsque u est égale à la vitesse du centre de gravité du système.

Pour les chocs élastiques.

Soient 1 2v' ,v' les vitesses après le choc.

L’action que pose Maupertuis est : 2 21 1 1 2 2 2m (v v' ) m (v v' )− + −

Cette action doit être minimale donc : 1 1 1 1 2 2 2 2m (v v' )dv' m (v v' )dv' 0− + − =Il faut une équation supplémentaire pour finir la résolution.

Maupertuis choisit la conservation des vitesses relatives soit :2 1 1 2v' v' v v− = −

ce qui donne 2 1dv' dv'= et on obtient 1 1 1 1 2 2 2 1m (v v' )dv' m (v v' )dv' 0− + − = , soit

1 1 1 2 2 2m (v v' ) m (v v' ) 0− + − = . On retrouve la conservation de la quantité de mouvement, qui

jointe à la conservations des vitesses relatives donne 1 2v' ,v' .

Remarque : Si on pose 1 1v' 2u v= − , puisque 2 1 1 2v' v' v v− = − , on a aussi 2 2v' 2u v= −

L’action de Maupertuis s’écrit alors :

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2m (2(v u)) m (2(v u)) 4(m (v u) m (v u) )− + − = − + −

C’est quatre fois la force vive dans le repère à vitesse u.En différentiant par rapport à u, et en disant que c’est minimal, on trouve u.C’est la vitesse du centre de gravité du système. Et on trouve ensuite1 2v' ,v' .

34

IV) Après Maupertuis et d’Alembert.

Jusqu’au XX° siècle, on utilise l’expression de corps parfaitement dur, qui souvent signifieductile ou mou, mais parfois parfaitement élastique.On explique, le plus souvent, le choc parfaitement élastique, à l’aide de la conservation de laquantité de mouvement, et du ressort qui double l’effet du choc, à l’exemple de Mariotte.

On explique que dans le choc de corps ductiles, la force (vive) qui disparaît sert à lesdéformer.

On se demande jusque vers 1850 où disparaît la force (vive) dans le choc de corps à prioriparfaitement élastiques.

Avec des boules d’ivoire entourées de caoutchouc, qui reprennent bien leur forme primitiveaprès le choc, l’expérience montre qu’une partie de la force (vive) disparaît, sansqu’apparaisse une déformation permanente quelconque. Beudant ( Professeur à la Faculté des Sciences de Paris et membre de l’Académie ) dans sonTraité de Physique de 1833, explique la disparition de la force vive par la lenteur du ressortdes boules caoutchoutées, et pense que le temps absorbe ainsi la force manquante.

On sait maintenant que la force perdue s’est transformée en chaleur.L’équivalence chaleur travail n’apparaît que vers 1842 avec Mayer puis Joule en 1843.La notion d’énergie ne s’impose que tardivement, bien après 1850.

V) Retour sur s’Gravesande.s’Gravesande est un de ceux qui ont le plus contribués à diffuser les travaux deNewton sur le continent.Jusqu’en 1722, il utilise les moments de Wallis et Newton (quantités demouvement) pour expliquer les lois du choc, mais à partir de cette date, la visviva (force vive) de Huyghens et Leibniz, devient l’élément dominant de saprésentation.En 1736, Voltaire se rend en consultation chez Hermann Boerhaave à Leidepour une question de santé, et suivre les leçons avec expériences du « profonds’Gravesande. »

L’ouvrage de référence de s’Gravesande est : Physices Elementa Mathematica,Experimentis confirmata. Sive Introductio ad Philosophian Newtonianan.

Plusieurs éditions revues et augmentées à partir de 1719.La meilleur est celle de 1746. (s’Gravesande est mort en 1742)

La meilleure traduction en français est celle d’Elie de Joncourt car fidèle à ladernière édition en latin. ELEMENS DE PHYSIQUE DEMONTREZMATHEMATIQUEMENT ET CONFIRMEZ PAR DES EXPERIENCES ; OUINTRODUCTION A LA PHYSIQUE NEWTONIENNE. (1746)

35

Machine de s’Gravesande telle qu’elle apparaît dans les éditions de 1720 et de 1725Image extraite du site internet : echo.mpiwg-berlin.mpg.de

Belle numérisation d’une édition en latin de 1725.

36

Machine de s’Gravesande pour l’étude des forces vives lors d’un choc.Edition française, traduction d’Elie de Joncourt (1746)

La partie gauche est de ma main.La partie droite est prise sur http://books.google.com

Google n’a déplié aucune planche dans toute la numérisation de ce livre.

37

Vue précédente au complet.Extraite de Physices Elementa Mathematica, Experimenta confirmata.

Téléchargé ultérieurement sur http://books.google.com (dans la version du livre en latin.)Numérisation Google médiocre.

38

Machine précédente vue de profil. Sur books.Google.com . Version française du livre.

Planche tronquée car non dépliée lors de la numérisation par Google.

39

Elements et accessoires de la machine ci dessus.La figure 4 représente les cadres qui pendent aux bouts des fils.

La figure 5 les plombs que l’on met dans les cadres.Sur books.Google.com . Version en latin.

Numérisation discutable.

40

Première machine de s’Gravesande à fils parallèles. Edition de 1725.Image extraite du site internet : echo.mpiwg-berlin.mpg.de

41

Machine pour l’étude de deux chocs simultanés. Edition 1725.Image extraite du site internet : echo.mpiwg-berlin.mpg.de

Fin de la seconde partie.

42

Bibliographie

En plus des livres traditionnels de physique des XIX et XX siècles, voici quelques autreslivres très intéressants sur lesquels je me suis appuyé.

Lectures de Mécanique par Emile Jouguet . Editions Gauthier-Villars 1924.Réédité aux Editions Jacques Gabay.

La Mécanique au XVII° siècle par René Dugas. Editions Du Griffon Neuchâtel Suisse 1954.

Histoire de la Mécanique de René Dugas. Editions Du Griffon Neuchâtel Suisse 1950.Réédité par Jacques Gabay.

La Mécanique par Ernst Mach. Editions A. Hermann 1904.Réédité par Jacques Gabay.

Histoire de la Physique par Johann Christian Poggendorff Editions Dunod 1883Réédité par Jacques Gabay.

Principia de Newton (traduits par Me la Marquise du Chastellet édition 1759)Réédité par Jacques Gabay.

Elemens de Physique …… par s’Gravesande 1746, 1747.Physices elementa mathematica, experimentis confirmata. Sive introduction and philosophiaNewtoninanam.A trouver sur internet, sur books.google.com par exemple.

Traité de la percussion ou choc des corps par Edme Mariotte 1693A trouver sur internet sur books.google.com par exemple.

Leçons de physique expérimentale (volumes 1 et 2) par l’abbé Nollet vers 1750Doit certainement se trouver sur internet.

Traité de Dynamique par d’Alembert éditon 1758.Réédité par Jacques Gabay.

Essais sur les éléments de philosophie par d’Alembert 1759.Réédité par Fayard.

Encyclopédie Diderot d’Alembert partie mathématique, aux mots choc, action, force,percussion, etc.

Cours de Mécanique de Bruhat. Chez Masson (1967).

Les instruments scientifiques au XVII et XVIII siècles par Maurice DumasPresses universitaires de France 1953.Réédité aux Editions Jacques Gabay.

Mécanique analytique de Lagrange 1788Réédité par Jacques Gabay.Dans son livre Lagrange expose longuement l’évolution de la mécanique.

43

Annexe 1Le principe de moindre action pour la lumière selon Fermat, Huyghens, Leibniz puis selonMaupertuis.

Rappel : pour Fermat Huyghens Leibniz, plus l’indice de réfraction est élevé plus la lumièreva lentement. Mais selon Newton, c’est le contraire qui doit se passer.Maupertuis tente donc de retrouver la loi de Newton avec un principe de moindre action.

1v est la vitesse de la lumière dans un milieu (I) et 2v celle dans le milieu (II),

i est l’angle d’incidence, r l’angle de réfraction (si on suppose que la lumière va de A en B).

Pour Fermat et Huyghens : 1

2

vsin i

sin r v=

Pour Newton et officiellement jusque vers 1825 et même au-delà 2

1

vsin i

sin r v=

C’est cette deuxième formule que prouve Maupertuis par un principe de moindre action copiésur celui de Fermat.

Démontrons la formule de Fermat.A et B sont fixes.On suppose que le temps mis par la lumière pour se rendre de A en B est minimal .A, M et B sont dans un même plan perpendiculaire au plan CD de séparation des milieux.Si ce n’est pas le cas, on projette les trajectoires des rayons sur le plan qui passe par A et B etqui est perpendiculaire à la surface de séparation CD est on obtient un temps de trajet pluscourt.M ne peut varier que sur la droite CDPuisque A et B sont fixes, les longueurs 1h et 2h sont des constantes. De même 1 2d d+ est une

constante

Le temps t , mis par la lumière, pour se rendre de A en B est 1 2

AM MBt

v v= +

44

Or 1hAM

cos i= , et 2h

MBcos r

= , et on a aussi 1 1d h tan i= , 2 2d h tan r=

On a donc : 1 22 2

1 2

h sin i h sin rdt di dr

v cos i v cos r= + .

Mais 1 2d(d d ) 0+ = car 1 2d d+ est constant, ce qui entraîne 1 22 2

h hdi dr 0

cos i cos r+ =

En utilisant cette dernière égalité, on trouve que 12

1 2

h sin i sin rdt ( )di

cos i v v= −

Le temps est extrémal (minimal ici) lorsque dt 0= soit lorsque 1 2

sin i sin r0

v v− =

On obtient la formule désormais classique 1

2

vsin i

sin r v= .

Mais du temps de Maupertuis, on devait avoir 2

1

vsin i

sin r v= .

Maupertuis pose comme action : 1 2v AM v MBAction= +Pour Maupertuis, cette action doit être minimale.

En remplaçant 1v par1

1

vet 2v par

2

1

v dans la démonstration précédente, il trouve la réponse

qu’il désire.

Annexe 2Premier exemple où d’Alembert applique son principe.La présentation est actualisée.

OC est un tige rigide, de masse négligeable, qui peut tourner librement autour du point fixe O.Aux point A,B, C de cette tige se trouvent trois corps ponctuels de masses respectives a, b, c .On applique à ces trois points, trois impulsions simultanées situées dans le plan de la figure etperpendiculaires à la tige OC, de mesure algébriques respectives: AF dt , BF dt, CF dt.

On demande la variation de vitesse angulaire ω∆ que subit la tige à l’issue de ces troisimpulsions.(On suppose que la tige, avant les impulsions, tourne autour de O en restant dans le plan de lafigure, avec une vitesse angulaireω )

45

Soient Av∆ , Bv∆ , Cv∆ les accroissements de vitesse des points A,B,C à l’issue des impulsions.

Ces accroissement sont perpendiculaires à la tige.D’après le principe de d’Alembert, les quantités A A Af dt F dt a v= − ∆ , B B Bf dt F dt b v= − ∆ et

C C Cf dt F dt c v= − ∆ appliquées au levier OC doivent le laisser en équilibre où encore doivent

se détruire sans nuire au levier.(On a A A AF dt a v f dt= ∆ + etc .. AF dtest le mouvement imprimé, Aa v∆ , le mouvement réel,

Af dt etc.. , les mouvements qui doivent se détruire).

Donc d’après le principe du levier, puisque O est le point d’articulation, on a :

A B COA f dt OB f dt OC f dt 0+ + = .

Ce qui donne en tenant compte que Av OA ω∆ = ∆ , Bv OB ω∆ = ∆ , Cv OC ω∆ = ∆

A B COA(F dt OA a ) OB(F dt OB v ) OC(F dt OC c ) 0ω ω ω− ∆ + − ∆ + − ∆ = .

On trouve :

A B C2 2 2

OA F OB F OC F dt

a OA b OB c OCω + +∆ =

+ +

Application : centre d’oscillation d’un pendule composé.

Si les seules forces qui donnent les impulsions sont dues à la pesanteur, et si on note αl’angle que fait la tige avec la verticale (angle orienté verticale, OC), les forces AF , BF , CF

(perpendiculaires à la tiges) ont pour valeurs : AF a g sinα= − , BF b g sinα= − ,

CF c g sinα= −

On obtient : 2 2 2

a OA b OB c OC g sin dt

a OA b OB c OCω α+ +∆ = −

+ +Posons G le centre de gravite des masses a,b,c, et Posons m a b c= + + la masse totale.Posons 2 2 2

OI a OA b OB c OC= + + .

OI est appelé moment d’inertie du système par rapport à O.

Puisque m OG a OA b OB c OC= + + , on trouve que :

O

d m OG g sin

dt I

ω α= − . Or d

dt

αω = ; On a donc : 2

2O

d m OG g sin

dt I

α α= − .

Cette formule, comparée à l’équation différentielle 2

2

d 1 g sin

dt L

α α= − qui est celle d’un

pendule simple de longueur L ; montre que le pendule composé a même période d’oscillation

que le pendule simple de longueur OILm OG

= .

Cette formule fut établie en premier par Huyghens puis de nouveau par Jean Bernouilli quiutilisa les forces vives.D’Alembert pense que sa méthode est la plus courte.