Les quadrilatères plans.

Une classification objective

• Francis Buekenhout,

• Charlotte Bouckaert,

• Claude Culus,

• Monique Fréderickx,

• Annie Goovaerts,

• Jacqueline Sengier.

Plan

A. Introduction

B. Critères de classification.

C. Démarche suivie.

D. Classification

E. Synthèse.

A. Introduction

• Harpons du paléolithique ancien et moyen

pointe de flèche –40000

Autres exemples datant de la préhistoire.

• pointe de flèche pédonculée à ailerons

(Mancey) – L. 2,5 cm

• pointe de flèche néolithique

Exemples contemporains

• Des deltaplanes

Dans la nature

• Un bec d’oiseau Détail:

Papillons

B. Critères de classification.

Un quadrilatère est nommé à partir

De son groupe d’automorphismes, un sous-groupe du groupe diédrique D8.

De l’intersection de ses diagonales (segments diagonaux).

l’intersection de ses côtés (non consécutifs).

C. Démarche suivie.

1. Partir du groupe D8 des automorphismes du carré et classer ses sous-groupes d’un point de vue combinatoire.

2. Faire correspondre une famille de quadrilatères à chaque sous-groupe obtenu.

3. Comparer les quadrilatères d’une famille par les critères d’intersection des diagonales et des côtés.

4. Classer et étiqueter les quadrilatères obtenus à partir de l’ensemble de ces critères.

Le groupe diédrique,D8

Nous nous intéressons au groupe des automorphismes du carré.

Il s’agit du groupe D8

Voici l’illustration à l’aide de CABRI de

• quelques composées de 2 éléments du groupe D8.

D8compos.fig

(Pour ouvrir le lien: cliquer bouton droit et « ouvrir le lien ».)

• Actions du sous-groupe Z4 sur le carré. Z4 carré.fig

Les 8 éléments du groupe D8

Isométrie du carré (1234)

• Identité: i

• 2 symétries orthogonales d’axe une médiane: Sm1 ou Sm2

• 2 symétries orthogonales d’axe une diagonale: Sd1 ou Sd2

• La symétrie p.r. au centre du carré

• Une rotation de ¼ autour du centre du carré ouune rotation de ¾ autour du centre du carré

Élément combinatoire correspondant

• (1)(2)(3)(4)

• (12) (34) ou (14) (23)

• (13) (2) (4) ou(24) (1) (3)

• (13) (24)

• (1432) ou

(1234)

4 3

21

C. Classificationdes sous-groupes de D8

D8

Z2XZ2

{i,(1)(24)(3), (13)(2)(4),(13) (24)}

Deux Z2

{i,(12)(34)} ou {i,(14)(23)}

Z2

{i,(13)(24)}

Deux Z2

{i,(1)(24)(3)} ou {i,(13)(2)(4)}

i

Z2XZ2

{i,(12)(34),(14)(23),(13)(24)}

Z4

{i,(1234),(1432),(13)(24)}

Le sous-groupe Z1: {i}.•i autorise n’importe quel quadrilatère. Identité .fig

Le critère des diagonales

permet de distinguer des quadrilatères

convexes et des non convexes.

Le critère des côtés

permet de distinguer des quadrilatères papillons et des non papillons

Papillons

Nous appelons bec tout quadrilatère qui n’est ni convexe ni

papillon

Remarque: il est impossible qu’un quadrilatère soit à la fois convexe et papillon

Dans la nature

• Un bec d’oiseau Détail:

Les 2 sous-groupes Z2:{i,(1) (3) (24)} ou {i,(2) (4) (13)}

Contraintes imposées aux quadrilatères conservés par (1) (2) (3) (4) et par (1) (3) (24)

Pour chaque position quelconque de 1, 2 et 3, le

sommet 4 est soumis aux conditions:|14| =|12| et |34| = |32| donc 4 est à l’intersection de

deux cercles, il ne peut occuper qu’une position car 2 occupe l’autre.

sym diagonale Q.fig

Exemples des quadrilatères obtenus

• Delta-plane

• Cerf-volant

Exemples contemporains

• Des deltaplanes

Autres exemples datant de la préhistoire.

• pointe de flèche pédonculée à ailerons

(Mancey) – L. 2,5 cm

• pointe de flèche néolithique

Les 2 sous-groupes Z2

{i,(12)(34)} ou {i,(14)(23)}

Contraintes imposées aux quadrilatères conservés par (1) (2) (3) (4) et par (12) (34).

Pour chaque position quelconque de 1, 2 et 3, le sommet 4 est soumis aux conditions:

|14| =|23| et |24| = |13| donc 4 est à l’intersection de deux cercles, il peut occuper 2 positions.

sym médiane Q.fig

Exemples des quadrilatères obtenus

•Trapèze isocèlePapillon parallélogramme (14) (23) et i

•Papillon trapèze isocèle à côtés parallèles

Le sous-groupe Z2

{i,(13)(24)}

Contraintes imposées au quadrilatère par (13)(24):

Pour chaque position de 1, 2 et 3, le sommet 4 est soumis aux conditions:

|14| =|32| et |34| = |12| donc 4 est à l’intersection de deux cercles, il ne peut occuper qu’une position car 2 occupe l’autre.

sym centrale Q.fig

Exemples des quadrilatères obtenus

Papillon trapèze isocèle à diagonales parallèles.

Parallélogramme

Le sous-groupe Z2XZ2 ou 22 {i,(1)(24)(3), (13)(2)(4),(13) (24)}

• Le sous-groupe est engendré par (1)(24)(3) et (13)(2)(4)

• Contraintes imposées au quadrilatère par

|12| = |23| = |34| = |41|

sym 2 diagonales Q.fig

Exemple des quadrilatères obtenus

• Losange

Le sous-groupe Z2XZ2 ou 22

{i,(12)(34),(14)(23),(13)(24)}

Ce sous-groupe est engendré par (12)(34) et (14)(23)Contraintes imposées au quadrilatère par (12)(34) et (14)

(23):

Pour chaque position de 1, 2 et 3, le sommet 4 est soumis aux conditions:

|14| =|32| et |34| = |12|. De plus |24|=|13| donc 4 est à l’intersection de trois cercles.

sym 2 médianes Q.fig

Exemples des quadrilatères obtenus

Papillon rectangleRectangle

Le sous-groupe Z4

{i,(1234),(1432),(13)(24)}

• Contraintes imposées au quadrilatère.

4 angles superposables donc droits et 4 côtés superposables donc isométriques.

sous grp Z4.fig

Exemple des quadrilatères obtenus

• Carré

a) par des symboles

D. Synthèse.• Les pages précédentes dûment démontrées nous permettent de conclure que le groupe diédrique D8

peut se représenter :

Z2XZ2 Z2XZ2

1

Z4

deux Z2 Z2 deux Z2

D8

Trapèze isocèlePapillon trapèze isocèle à côtés parallèles Papillon parallélogramme

carré

carré losange

Cerf-volantDelta-plane

Quadrilatère convexe quelconque Papillon quelconqueQuadrilatère bec

RectanglePapillon rectangle

ParallélogrammePapillon trapèze isocèle à diagonales parallèles

b) par des mots

• Remarquons qu’un quadrilatère de type A est déclaré cas particulier d'un quadrilatère de type B si le groupe des automorphismes du type B est sous-groupe de celui de A. Par exemple, un rectangle est un trapèze isocèle mais n’est pas un delta-plane. 

c) par des dessins :

(1,2,3,4) ; (1,4,3,2) ; (1,2)(3,4) ; (1,4)(2,3) ; (1,3)(2,4) ; (1)(2,4)(3) ; (2)(1,3)(4) ; (1)(2)(3)(4)

(1,2,3,4) ; (1,4,3,2) ; (1,3)(2,4) ;(1)(2)(3)(4)

(1,2)(3,4) ; (1,4)(2,3) ; (1,3)(2,4); (1)(2)(3)(4)

(1,3)(2,4) ; (1)(2,4)(3) ; (2)(1,3)(4) ; (1)(2)(3)(4)

(1,2)(3,4) ; (1)(2)(3)(4) (1,4)(2,3) ; (1)(2)(3)(4)

(1,3)(2,4), (1)(2)(3)(4)

(2)(1,3)(4) ; (1)(2)(3)(4)

(1)(2)(3)(4)

(1)(2,4)(3) ; (1)(2)(3)(4)

d) par des automorphismes

e) Synthèse par des photos

Les 14 types de quadrilatères.• 3 quadrilatères quelconques conservés par l’identité: convexes,

papillon ou bec.

• 3 quadrilatères autorisant la permutation de 2 paires de sommets consécutifs: trapèze isocèle, papillon trapèze isocèle à côtés parallèles ou papillon parallélogramme.

• 2 quadrilatères autorisant la permutation de 2 paires de sommets opposés: parallélogramme ou papillon trapèze isocèle à diagonales parallèles.

• 2 quadrilatères fixant 2 sommets opposés et permutant les deux autres: cerf-volant ou delta-plane.

• 2 quadrilatères autorisant la permutation de 2 fois 2 paires de sommets consécutifs: rectangle ou papillon rectangle.

• 1 quadrilatère autorisant la permutation de 2 fois 2 paires de sommets opposés: losange.

• 1 quadrilatère autorisant la permutation cyclique des 4 sommets: le carré.

Pavage du plan

On peut paver le plan avec

• un quadrilatère convexe quelconque.

• un quadrilatère bec quelconque.

pavages.fig

Bibliographie

• -[1] Francis Buekenhout, Charlotte Bouckaert, Claude Culus, Monique Fréderickx.• La fleur chinoise : un avatar du cube - 2003• Dossier du CeDoP – http://www.ulb.ac.be/docs/cedop/index_12.html• -[2] Olivier Keller• Aux origines de la géométrie – Le Paléolithique – Le monde des chasseurs-cueilleurs.• Vuibert – 2004• - [3] Francis Buekenhout, Jean Doyen.• Espaces euclidiens.• Presses Universitaires de Bruxelles – 1975.• -[4] Francis Buekenhout, Jean Doyen.• Ensembles structurés et groupes de symétries.• Université Libre de Bruxelles - 1982• - [5]Francis Buekenhout, Charlotte Bouckaert, Claude Culus, Monique Fréderickx,• Annie Goovaerts, Jacqueline Sengier• Les quadrilatères gauches –• Dossier du CeDoP –http://www.ulb.ac.be/docs/cedop/index_12.html• (En préparation).• - [6]Annie Goovaerts.• Classification des quadrilatères à partir de leurs axes de symétrie. - 2006-• Dossier du CeDoP : http://www.ulb.ac.be/docs/cedop/index_12.html

Les détails de notre recherche peuvent être consultés sur le site de

l’UREM:

http://www.ulb.ac.be/sciences/urem/

Merci de votre attention.