Lez. 14 Non Stazionarietà Delle Serie Temporali

8/18/2019 Lez. 14 Non Stazionarietà Delle Serie Temporali

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___________________________CORSO DI ECONOMETRIA ___________________________

Prof. Paolo Mattana

Lez. 14 - Non-stazionarietà elle serie

te!"orali

Di"arti!ento i E#ono!ia$ni%ersità e&li St'i i Ca&liari


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NON STA(IONARIETA) DELLE SERIE TEMPORALI

O*IETTI+I $LTIMA PARTE DEL CORSO

, Definire il #on#etto i non-stazionarietà elle serie te!"orali.

, Prole!a ella re&ressione s"'ria #on "i/ #o&nizione i #a'sa0., Distin&'ere tra tren-stationarit e ifferen#e-stationarit.

, Intro'rre il #on#etto i 2rano! 3al5.

, Des#ri%ere i test "er stailire la "resenza i 2rai#i 'nitarie5.

, Dis#'tere le "ossiilità offerte al #on#etto i Cointe&razione

, ECM

, En&le-6ran&er "ro#e're


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PROCESSI NON STA(IONARI

La !a&&ior "arte elle serie e#ono!i#7e !ostraana!enti #ol tren #res#ente o e#res#ente0.

Per es8 PIL9 #ons'!i9 #a"itale9 ini#i i "rezzo:.

Per#7; l)analisi i re&ressione "ossa essere #onotta in

ter!ini #orretti aia!o iso&no i ati stazionari.

Co!e "ossia!o "ro#eere<



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DE=INI(IONE DI STA(IONARIET> La stazionarietà si riferis#e alle #aratteristi#7e el "ro#esso

sto#asti#o sottostante #7e 7a &enerato la serie te!"orale.

?'ano le #aratteristi#7e el "ro#esso sto#asti#o #a!iano nelte!"o aia!o 'n "ro#esso non stazionario.

Ci #on#entria!o s'lla !eia9 s'lla %arianza e s'lle #o%arianze.

Se 'na serie ; stazionaria "ossia!o 'tilizzare la s'a storia"assata "er !ezzo i 'n)e@'azione #on #oeffi#ienti fissi0 "er"re%eere il s'o #o!"orta!ento f't'ro ri#orate i "ro#essiAR


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Si #onsieri 'na serie te!"orale9 A t9 #on T osser%azioni B 19 ... 9 T

Co%arian#e Stationarit8 'n "ro#esso sto#asti#o9 A t ; #o%arian#e-stationar se soisfa ai se&'enti re@'isiti8

'na #ostante ini"enente a 0

E) 'na f'nzione i -

s

9 !a non i o

s

.

'na #ostante ini"enente a 0


( )t A E

( )t A +ar

( )s t A 9A Co%


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10

$na serie stazionaria e%e a%ere !eia #ostante

De%e tenere a 'na !eia #ostante.

Il %alore atteso sarà in%ariante nel te!"o.

Ese!"io i serie non stazionaria



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-15

-10

-5

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5

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1 11 21 31 41 51 61 71 81 91



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0

$na serie stazionaria e%e a%ere %arianza #ostante

$na serie non stazionaria 7a 'na %arianza non #ostante #7e tenea infinito0. Pro%ate infatti a tra##iare la !eia i 'na seriete!"orale #o!e @'ella ra""resentata nella ia"ositi%a"re#eente ::.e #al#olate la %arianza:.

PRO*LEMA8

La "ro%a i #onsistenza ello sti!atore OLS ; an#ora %alia<



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F0

, La #o%arianza tra le osser%azioni i"ene solo a @'anto

esse siano lontaneG

, Non tene a #res#ere o a e#res#ere #on tG

, I!!a&inate%i #osa s'##eeree se il #oeffi#iente ia'to#orrelazione el "ri!o orine i"enesse a t.



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ALC$NE $TILI DE=INI(IONI

t ; etta inte&rata i orine H9 I H0 se ; stazionariaG

t ; inte&rata i orine 9 I 0 @'ano non ; stazionaria e "'essere resa I H0 o"o ifferenziazioni.

Le serie !a#roe#ono!i#7e e finanziaria sono s"esso I 10.

?'este serie ifferenziate 'na %olta "ortano a %ariaili

stazionarie N*8 Se le serie I 10 sono es"resse in ter!ini lo&arti!i#i9 la

loro ifferenza "ri!a trasfor!a le %ariaili in ter!ini i tassii #res#ita.



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MESSA66IO IMPORTANTE IN PRESEN(A DI SERIE I 0

Molta attenzione nell)'sare le %ariaili non stazionarie neili%elliG

I!"ortanza i 'na #orretta ifferenziazioneG

NON POSSIAMO COND$RRE NESS$N TIPO DI IN=EREN(ASE PRIMA NON DETRENDI((IAMO I DATI

Prole!a ella re&ressione s"'ria

RE6RESSIONE SP$RIA


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In 'n fa!oso la%oro el 1JK49 6ran&er e Ne3ol intro'#ono lanozione i re&ressione s"'ria era "er &ià nota in letterat'ra0.

Essi "'nt'alizzarono il fatto #7e i ri#er#atori s"esso i&nora%ano le#onse&'enze i 'na altissi!a #orrelazione tra i resi'i in !oellii re&ressione #on%enzionali.

Sostennero #7e i ati !a#roe#ono!i#i #oin%ol&ono serie s"essonon stazionarie o inte&rate0 e #7e le re&ressioni #7e 'sa%ano le

%ariaili nei li%elli "orta%ano a inferenze false. Di!ostrarono #7e i test #on%enzionali t e = tene%ano a non

rifi'tare l)i"otesi i relazione sto#asti#a fra le %ariaili an#7e@'ano tale relazione non era "resente.

RE6RESSIONE SP$RIA


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Te#ni#a statisti#a 'tilizzata a 6N .1JK40

%ariaili 2rano! 3al5 e non stazionarie "er efinizione0sono state #reate %ere!o s'ito il si&nifi#ato i 2rano!3al50G

I 'e R sono ini"enenti l)'no all)altroG

6N fanno 'n)analisi i re&ressione tra le 'e %ariaili artifi#iali e

s#o"rono #7e nel K ei #asi9 i t test s'l #oeffi#iente ire&ressione sti!ato #on'#ono al rifi'to ell)i"otesi n'lla i

eta HG

Nel K ei #asi9 'na re&ressione s"'ria f' i!ostrata esistere.

RE6RESSIONE SP$RIA


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In &enerale9 la re&ressione fra 'e %ariaili inte&rate ellostesso orine9 es. I. 109 "orta ris'ltati "ositi%i se#ono i #anoni#on%enzionali an#7e @'ano non esiste ness'na relazione frale %ariaili.

Da @'i il ter!ine 2re&ressione s"'ria5.

?'ini il ter!ine si riferis#e ai ris'ltati i re&ressioni #7ese!rano 'one in ter!ini a es. i R E 9 e t ratio0 !a #7e non

7anno si&nifi#ato.

=a##ia!o an#7e noi @'al#7e es"eri!ento #ol &eneratore i

n'!eri #as'ali i E-%ie3s.

RE6RESSIONE SP$RIA


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1.

Tasso i !ortalità infantile in E&itto )K1-)JH0

I Reito loro a&ri#oltori a!eri#aniM Offerta i !oneta Qon'ras0

1KJ.J - .J I - .H4FJ M

1.F0 -.F0 -4.0

RE .J19 D .4K9 = J.1K

Corr .9 -.J11F9 -.J44

AL $NI ESEMPI DI RE6RESSIONE SP$RIA


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.

Ini#e elle es"ortazioni e&li $SA9 1JH-1JJH09

As"ettati%a i %ita !as#7ile in A'stralia

-J4F. U 4.KJK4 9 -1.KH0 1K.K0

RE .J19 D .FJJ9 = F1.

Corr .JKH



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F.

S"ese "er la ifesa $SA9 1JK1-1JJH9

Po"olazione in S' Afri#a

-F.JJ U .H1KJ -11.F40 1.K0

RE .J4H9 D .4HJ9 = H.J

Corr .JJ4



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Aia!o i!"arato #7e8

Le "ro"rietà statisti#7e el !etoo OLS sono #onfer!ate solose i ati sono stazionari.

Nel #aso i serie non stazionarie oia!o 2ri!'o%ere5 il tren.

Ci sono 'e "ossiilità8

Detrenizzazione #on ti!e tren Differenziazione elle serie.

?'ale tra i a""ro##i sia "i/ 'tile e"ene alla fonte i nonstazionarietà

OME STA(IONARI((ARE SERIE I10


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Si ass'!a #7e il "ro#esso sia &'iato a 'n treneter!inisti#o se#'lar tren #o!"onent0 e a 'na#o!"onente sto#asti#a. Nel "i/ se!"li#e ei #asi a%re!o8

I resi'i OLS i @'esto !oello for!ano 'na %ariaileetrenizzata #7e "' essere 'sata nell)analisi i re&ressione.

Le serie te!"orali #7e "ossono essere etrenizzate in @'esto!oo sono #7ia!ate tren-stationar TSP0 "ro#esses.


t E t e t V V A ++= 1

t V V A W t t ˆˆˆ −−= 1


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STOCQASTIC TREND

La se#ona fonte i "ossiile non stazionarietà "' i"enere a 'nfeno!eno #7ia!ato 2sto#7asti# trenin& e7a%io'r5.

I R sono l)ese!"io "i/ se!"li#e i "ro#essi non stazionari #ontren sto#asti#i

o%e &li errori si istri'is#ono ii

#o!e "osso renere stazionario 'n "ro#esso #o!e @'esto<


t t t W L L += −1

( )EH X 9


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-15

-10

-5

0

5

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1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

E##o il &rafi#o i 'n R. Se a%essi!o a #7e fare #on 'n "ro#essostazionario la serie o%ree tornare "erioi#a!ente s'llo zero

Rano! 3al4



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Le "ro"rietà i 'n R senza DRI=T

Meia #ostante


t t t

W += −

1

t t t W W W L L ++++= −11H

( ) ( ) ( ) H1H

L W E W E L L E t t

=+++=


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"o"'lation %arian#e of

"o"'lation %arian#e of

La "ri!a #onizione i non stazionarietà non ; %iolata

La se#ona #onizione "er non stazionarietà ; %iolata


( )t t W W W L ++++ −11H E

t X

( )t t W W W +++ −11 EEE

W W W X X X +++

E

W tX


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Le "ro"rietà i 'n R DRI=T


La "ri!a #onizione i non stazionarietà ; %iolata

La se#ona #onizione "er non stazionarietà ; %iolata

t t t W L V L ++= −11

t11H1 W W W L t V L t t +++++= −

∑++=t

i t W L t V L 1

H1

( ) t V L L E t 1H +=

EE

W L tX X t =


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-15

-10

-5

0

5

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1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

R #on rift



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Se #al#olia!o le ifferenze "ri!e i 'n R aia!o8

Si eter!ini ora la !eia9 la %arianza e le #o%arianze ella

%ariaile trasfor!ata. Aia!o 'na serie stazionaria.

$na serie #7e "' essere resa stazionaria "er !ezzo el#al#olo elle ifferenze "ri!e ; #7ia!ata ifferen#e-stationarDSP0 "ro#ess or I 10.


t t

t t t

t t t

W V Y

W V

W V

+=

+=−

++=

−

−

1

11

11


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TREND AND DI==ERENCE STATIONAR PROCESSES

Aia!o i!"arato #7e esistono ti"i i serie non stazionarie8

'na stazionarizzaile #on ifferenze "ri!e DSP "ro#ess0

'na stazionarizzaile #on etrenizzazione eter!inisti#a

I!"ortante istin&'ere8 s%il'""ere!o test a @'esto s#o"o

Il "role!a #onsiste nel fatto #7e i 'e ti"i i "ro#esso"ortano a ris'ltati en i%ersi nel l'n&o "erioo

E) iffi#ile #a"ire a is"ezione %isi%a



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$n TSP ;8

$n DSP ;8

I 'e "ro#essi se!rano '&'ali tranne "er il fatto #7e il ter!ine) errore % t ; #7iara!ente non stazionario Za%eno la %arianza"ari a s t in 'na serie #a!"ionaria0[


t t W Vt ++= H

∑ ==

++=

t

i i t

t t

e %

% Vt L L

1

H


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t t t W L V V A ++= E1

-1-1E1-1 t t t W L V V A ++=

t t t % YL YA += 1−−= t t t W W %


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L)errore nell)e@'azione alle ifferenze ; 'n "ro#essoMA10 "ro#ess #7e ; a'to#orrelato0.

Le sti!e OLS sono #onsistenti seene ineffi#ienti0.

6ran&er e Ne3ol 1JK40 7anno i!ostrato #7e lasti!a ell)e@'azione alle ifferenze non istor#e i test isi&nifi#ati%ità.



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IMPLICA(IONI

Se sti!ia!o 'n "ro#esso DSP #o!e se fosse 'n "ro#essoTSP s%il'""ia!o re&ressioni s"'rie "er#7; t e t sono non

stazionari.

I resi'i a @'esta re&ressione non saranno stazionari#a"ire!o !e&lio o"o0.

Straa intra"resa o"o l)ini%i'azione ei "role!ile&ati alla sti!a #on %ariaili non stazionariefirst-ifferentiation



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PRO*LEMI

i0 L)errore nella sti!a #on le %ariaili ifferenziatenon ; 37ite noiseG

ii0 Si "erono i!"ortanti infor!azioni le&ate ai li%ellielle %ariaili %ere!o ene #on la #ointe&razione0



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Per #a"ire "er @'ale ra&ione "arlia!o i rai#i 'nitarie oia!o

riferir#i al #on#etto i rai#e i 'n "olino!io &eneri#o.

Si #onsieri 'n se!"li#e "ro#esso AR10 &eneri#o8

e lo si ra""resenti #on l)o"eratore ritaro L

\\ N*8 PERCQ PARLIAMO DI RADICI $NITARIE<


t 1 - t t W ]A A +=

( ) t t W A ]L =−1


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Sotto @'ali #onizioni @'esto "ro#esso sto#asti#o sarà stazionario<

Se la rai#e ell)e@'azione8

; !a&&iore i 'no in !o'lo0.

Ora9 "oi#7; la rai#e ell)e@'azione ;8

sa""ia!o #7e la rai#e ; !a&&iore i 'no se e solo se8

Nel #aso li!ite i il "ro#esso sto#asti#oNON E) STA(IONARIO ZCASO &ià %isto0 DEL R[


( ) H1 =−]L

T] L 1=

1=]

11


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Caso #on ] H8 t ; 'na serie 37ite noise



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Caso #on ] H.K8 t ; 'na serie sto#asti#a stazionaria



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Caso #on ] H.FG t ; 'na serie sto#asti#a stazionariasi noti #o!e l)ana!ento tene a tornare s'lla !eia "i/ s"esso0



38/41

Caso #on ] 1.8 t es"loe^^^



39/41

Caso #on ] -1.18 t "resenta os#illazioni es"losi%e



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Caso #on ] -18 t ; non stazionario #on os#illazioni0



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ALTRI MODELLI CON TIME SERIES

Moelli a'tore&ressi%i i orine "

Moelli Mo%in& a%era&e i orine @

Moelli ARMA "9 @ 0

Moelli ARIMA

Moelli #on "arti eter!inisti#7e #ostante9 tren9sta&ionalità0

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Lez. 14 Non Stazionarietà Delle Serie Temporali