Lezione 1

La Statistica Inferenziale

Lezione 1 2

Secondo Aristotele, vi sono due vie attraverso le quali riusciamo a formare le nostre conoscenze:

(1) la deduzione (2) l’induzione.

Filosofia della scienza

Lezione 1 3

Tutte le inferenze tratte dall’esperienza suppongono, come loro fondamento, che il futuro rassomiglierà al passato e che poteri simili saranno uniti a simili qualità sensibili. Se ci fosse qualche sospetto che il corso della natura potesse cambiare e che il passato non servisse di regola per il futuro, ogni esperienza diverrebbe inutile e non potrebbe dare origine ad alcuna inferenza o conclusione.

Problema dell’induzione

Lezione 1 4

Teoria della Falsificazione

Popper afferma che il metodo che consente

agli scienziati di trovare le teorie vere è:

falsificare le teorie false sulla base delle

evidenze empiriche.

Lezione 1 5

Falsificazionismo e inferenza statistica

L’approccio “falsificazionista” di Popper viene usato

nella statistica per formulare delle inferenze che,

sulla base delle informazioni fornite da un campione

di osservazioni, ci consentono di descrivere le

caratteristiche della popolazione da cui quel

campione è stato tratto.

Lezione 1 6

Ovviamente, si può cercare di superare questo problema cercando di mostrare che non è vero che le inferenze induttive siano ingiustificate. La soluzione moderna a questo problema è la concezione probabilistica dell’induzione. Quando un certo carattere ricorre in una certa proporzione di osservazioni, si può assumere che questa proporzione valga per tutti gli altri esempidel caso, salvo prova contraria.

Soluzione pragmatica al problema dell’induzione

Lezione 1 7

Esempio 1

Il responsabile controllo qualità di un’azienda che produce bibite, sospetta che il macchinario di riempimento delle lattine, sia fuori taratura, immette cioè maggior prodotto di quanto riportato sulla etichetta.

Lezione 1 8

Esempio 2

Il proprietario di un’azienda vinicola, sospetta che alcune bottiglie siano state chiuse male e che quindi il sapore del vino di queste bottiglie sia alterato….

Lezione 1 9

Alcune definizioniEsperimento casuale: operazione della quale non si

può conoscere con certezza il risultato/iOgni possibile risultato viene definito evento casuale

(che può essere semplice o composto)L’insieme di tutti i possibili risultati è detto spazio

campionarioUn evento è sempre un sottoinsieme dello spazio

campionario

Lezione 1 10

Alcune definizioniEventi incompatibili

Dati due eventi A e B, sono detti incompatibili se il verificarsi dell’uno esclude l’altro

Lancio di una monetaEvento A: TestaEvento B: CroceLa probabilità del verificarsi dell’uno O dell’altro evento è data dalla somma

delle probabilità dei singoli eventi:P(A U B)= P(A) + P(B) (principio delle probabilità totali)La probabilità del verificarsi dell’uno E dell’altro evento:

P(A ∩ B)= P(A) ∩P(B)=0E’ possibile generalizzare questi risultati ad n eventi

Lezione 1 11

Le definizioni di probabilità

Teoria classica (Laplace, 1750)P(A)= numero casi favorevoli/numero casi possibili

Tutti gli eventi hanno uguale probabilità di verificarsiE’ valida solo per un numero finito di casi possibiliE’ affetta da errore tautologico

Lezione 1 12

Eventi Incompatibili Eventi Compatibili

Si estrae una carta da un mazzo francese (52 carte, 4 semi)Evento A=carta di cuoriEvento B= setteP(AUB)=P(A)+P(B)

Conteggiamo l’evento comune due volteQuindi per eventi compatibiliP(A U B)=P(A)+P(B)-P(A ∩B)P(Cuori o Sette)= P(Cuori)+P(Sette)-P(Sette di Cuori)==4/13 1/4 + 1/13 - 1/52

P(B)P(A) P(B)P(A)

4/5213/52

Lezione 1 13

ESERCIZIO

Prendendo un mazzo di carte francesi ben mescolato e pescando a caso da questo, si valutino leseguenti probabilità:a) di ottenere l’asso di quadri;b) di ottenere un asso;c) di ottenere un asso come seconda carta, ammesso di avere già pescato una figura (senzareintrodurla nel mazzo);d) di ottenere tre figure (sempre senza reimmissione delle carte estratte nel mazzo).

Lezione 1 14

Probabilità condizionata

Dati due eventi A e B appartenenti allo spazio campionario Ω, compatibili tra di loro.

La probabilità che l’evento A si verifichi, una volta verificatosi l’evento B, o in altri termini , la probabilità condizionata di A dato B, è pari a : ( )( | )

( )P A BP A B

P B∩

=

Ω B P(A ∩B) A

Lezione 1 15

EsempioSi lanci una coppia di dadi. Se la somma è 6 (evento B), si calcoli la

probabilità che uno dei due dadi abbia dato l’esito 2.

A= un 2 su un dado

(A ∩B)=Poiche lo spazio campionario è costituito da 36 elementiP(A ∩B)=2/36P(B)=5/36

{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }6 1,5 , 2,4 , 3,3 , 4,2 , 5,1B somma= = =

( ) ( ){ }2,4 , 4, 2

2( ) 236( | ) 5( ) 536

P A BP A BP B

∩= = =

Lezione 1 16

Nel caso in cui siano indipendenti (e non mutualmente escludentesi)

Poiché

In modo analogo

( | ) ( )P A B P A=

( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ =

( | ) ( )P A B P A=

Lezione 1 17

( )( | )( )

P A BP A BP B

∩=

Differente utilizzo delle probabilitàcondizionate

( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A B P B P A B P A P B A∩ = =

Lezione 1 18

Diagrammi ad AlberoUno strumento efficace e di facile costruzione per calcolare le

probabilità di ogni evento è rappresentato dal diagramma ad albero.

EsempioUna moneta,modificata in modo che P(T)=2/3 e P(C)=1/3,Viene lanciata. Se si presenta croce, viene scelto a caso un numero

tra 1 e 5, se si presenta testa, viene scelto un numero a caso tra 1 e 9.

Si determini la probabilità che venga scelto un numero pari.

Lezione 1 19

Lezione 1 20

Teorema di BayesSiano H1, H2 ,…,Hn una partizione dello spazio campionario Ω, cioè

che gli eventi Ai siano incompatibili e che la loro unione sia Ω.La probabilità condizionata che si verifichi l’evento Hi dato l’evento A

è pari a

P(Hi|A) probabilità a posterioriP(Hi) probabilità a prioriP(A|Hi) probabilità probativa

1 1

( ) ( | )( | )( ) ( | ) ( ) ( | )

i ii

n n

P H P A HP H AP H P A H P H P A H

=+ +L

Lezione 1 21

EsempioDei ragazzi fanno uno scherzo ad un amico, accompagnandolo ad

una festa a tema dove tutti, uomini e donne sono vestiti da donne e sono indistinguibili a vista.

Alla festa partecipa il 20% di donneIl 40% delle donne ed il 70% degli uomini sono favorevoli ad una

love story.Il ragazzo mentre balla con un partecipante alla festa

(uomo/donna??), lo invita a bere qualcosa e si appartano nel privé del locale.

All’uscita della festa, gli amici gli raccontano dello scherzo. Il ragazzo, preoccupato si rivolge ad uno statistico e gli chiede: “Qual è la probabilità che, dato che abbia avuto una relazione con questa persona, sia donna?”