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LezionePONTI E GRANDI STRUTTUREIng. Eugenio FerraraUniversità degli Studi di Catania
Metodo di ripartizione dei carichi di Guyon‐Massonnet‐Bareš
2
EsempioDati geometrici dell’impalcato
• Lunghezza impalcato 22.30 m
• Larghezza impalcato 11.50 m
• Larghezza marciapiede 1.75 m
• Larghezza carreggiata 8.00 m
• Luce tra le travi 1.00 m
• Lunghezza traverso 11.50 m
3
EsempioDati della sezione trasversale
RETTANGOLO 1 2 3 4
Base 100 54 14 98 cm
Altezza 20 7 91 12 cm
baricentro yGi 120 106.5 57.5 6 cm
Area Ai=bh 2000 378 1274 1176 cm2
Momento statico Si=AyGi
240000 40257 73255 7056 cm3
Momento d'inerzia Il=bh3/12
66667 1544 879166 14112 cm4
Momento trasporto A(yG‐yGi)2
4107318 382665 376142 5547558 cm4
4
1
2
3
498
100
54
207
9112
14
EsempioDati della sezione trasversale
SEZIONE
baricentro dell'intera sezione
74.683 cm
area totale 4828 cm2
momento statico totale 360568 cm3
momento d'inerzia totale 961488.33 cm4
momento di trasporto totale
10413683 cm4
momento d'inerzia della sezione
11375171 cm4
5
1
2
3
498
100
54
207
9112
14
EsempioDati sezione trasversale
I rettangoli 1 e 2 vengono uniti così da ricondursi ad una sezione a I.
Unione del rettangolo 1 e 2: Larghezza:100 cmAltezza: (A1+A2)/b=(2000+378)/100=23.78 cm
6
12
3
498
100
54
207
9112
14
1
2
398
100
54
207
9112
14
EsempioDati sezione trasversale
RETTANGOLO 1 2 3
lato maggiore (l) 100 91 98 cm
lato minore (δ) 23.78 14 12 cm
rapporto l/δ 4.20521 6.5 8.16667
β=ψ/3 0.28467 0.30185 0.30828
momentoinerzia torsionale
382805 75373 52204 cm4
INTERA SEZIONEmomento inerzia
torsionale510383 cm4
7
1
2
398
100
54
207
9112
14
EsempioLarghezza collaborante della soletta dei traversi
I traversi presenti sono tre, di cui due posti alle estremità ed uno in mezzeria.
tratto da: Eurocodice 2 Parte 1 – 5.3.2.1
Per sezioni in cls, la larghezza efficace dell’ala è basata sulla distanza l0tra i punti di momento nullo, come mostrato in figura :
8
Per essi si considera una larghezza collaborante di soletta secondo quanto stabilito nell’Eurocodice 2.
EsempioLarghezza collaborante della soletta dei traversi
La larghezza efficace dell’ala beffper una trave a T o a L può essere definita come:
tratto da: Eurocodice 2 Parte 1 – 5.3.2.1
eff eff,i wb b bdove:beff,i = 0.2bi + 0.1l0 ≤ 0.2l0beff,i ≤bi
9
EsempioLarghezza collaborante della soletta dei traversi
La larghezza efficace dell’ala beff,1 = beff,2 è il minimo valore tra:
tratto da: Eurocodice 2 Parte 1 – 5.3.2.1
0 0.15 0.15 2230 334.5 cml l
Nell’esempio in esame, la lunghezza l0 vale :
eff,1 0.2 542.5 0.1 334.5 141.95 cmb eff,1 0.2 334.5 66.9 cmb
La larghezza efficace beff è pertanto :
eff 66.9 2 30 163.8 cmb
10
beff,i = 0.2bi + 0.1l0 ≤ 0.2l0beff,i ≤bi( )
EsempioDati traversi
RETTANGOLO 1 2
base 163.8 30 cm
altezza 20 110 cm
baricentro 120 55 cm
area 3276 3300 cm2
momento statico 393120 181500 cm3
momento d'inerzia 109200 3327500 cm4
momento di trasporto 3485579 3460229 cm4
11
INTERA SEZIONE
baricentro intera sezione 87.38 cm
area totale 6576 cm2
momento statico totale 574620 cm3
momento d'inerzia totale 3436700 cm4
momento di trasporto totale 6945808 cm4
momento inerzia sezione 10382507 cm4
1
2
163.8
30
110
20 1
2
y
EsempioDati traversi
RETTANGOLO 1 2
lato maggiore (l) 163.8 110 cm
lato minore (δ) 20 30 cm
rapporto (l/δ) 8.19 3.67
β=ψ/3 0.31 0.28
momento inerzia torsionale 404058 824246 cm4
INTERA SEZIONE
momento inerzia torsionale 1228304 cm4
12
1
2
163.8
30
110
20 1
2
EsempioDati traversi
La precedente relazione per la determinazione della larghezza della solettacollaborante risulta essere molto conservativa. In passato si utilizzava unarelazione che teneva in considerazione l’altezza della soletta.
13
coll w 2 5 30 2 5 20 0 230 cm b b s r
EsempioParametri di Guyon e di Massonnet
14
Si suppone che gli elementi siano realizzati con calcestruzzo C28/35 avente le seguenti caratteristiche :
Modulo elastico E=32308 N/mm2
Modulo di taglio G=13461.8 N/mm2 (ν=0.2)
I coefficienti di rigidità flessionale e torsionale della trave e del traverso valgono:
l
z 3675119 kNmEI
D
tx
t
291688 kNmEI
D
l
zx 68707 kNmGJ
D
txz
t
14378 kNmGJ
D
(trave)
(traverso)
EsempioParametri di Guyon e di Massonnet
15
Il parametro di rigidezza trasversale (parametro di Guyon) vale :
z4
x
0.4862B Dl D
zx xz
z x
0.042D D
D D
mentre il parametro di rigidezza torsionale (parametro di Massonnet) è :
dove :
B larghezza dell’impalcatol lunghezza dell’impalcato
EsempioSviluppo in serie del carico
k kk,m
k k
4sin sin
p m c m dp
m l l
Carico p carico per unità di superficie tra xk = dk – ck e tra xk = dk + ck
con m=1,2,3...
ck
dklk
ck
16
EsempioSviluppo in serie del carico
k,m4p
pm
k,m4p
pbm
k
k,mk k
2sin
P m dp
bl l
Carico p carico per unità di superficie tra xk = 0 e tra xk = lk
con m=1,3,5...
Carico p carico per unità di lunghezza tra xk = 0 e tra xk = lk
con m=1,3,5...
Carico concentrato P in xk = dk
k k
k k
m=1,2,3... per d l /2con
m=1,3,5... per d l /2
17
EsempioSviluppo in serie del carico
d2
d3
d1
F
q
1 2 3 p p p p
Carico sinusoidale medio
F
18
1
2 3
EsempioSviluppo in serie del carico
CARICO AGENTE Ampiezza del carico
Distanza dall’appoggio
Intensità del carico Carico p
m m kN/m2
1 22.3 11.5 27 kN/m 17.19
2 ‐ 10.55 300 kN 26.81
3 ‐ 11.75 300 kN 26.81
270.81 kN/mp
2k
2k k
2 2 300 (kN) 10.55 (m)sin sin 26.81 kN/m
1 (m) 22.30 (m) 22.30 (m)P d
pbl l
Stesso discorso si applica per i carichi da considerare nella seconda corsia.
19
Ad esempio :
Carico sinusoidale medio
EsempioSviluppo in serie del carico
21 100% 70.81 kN/mp p
Carichi da applicare alla sezione trasversale
22 40.52 kN/mp
1e marciapiede 2
35 1.75
4 4 11.14 kN/mq l
p
Ampiezza dei carichi
20
1p
2p 3p3p
50 250
487.5487.5
3 m
3 m
1.75 m
………………………………
………………………………
……………
R
EsempioSviluppo in serie del carico
2 2
1 1 2 2
22.3/2 70.81 3567.7 kNm
lM l p
Il momento in mezzeria dato dallo sviluppo sinusoidale dei carichi vale :
22.30 m
2 2
2 2 2 2
22.3/2 40.53 2041.7 kNm
lM l p
2 2
3 3 2 2
22.3/2 11.14 561.3 kNm
lM l p
21
EsempioCarichi descritti da norma NTC08
1 0.5 27 22.3 2 300 601.1 kNR
La reazione agli appoggi vale:
Dall’equilibrio alla rotazione si ricava il momento massimo in mezzeria:
2
max22.3 11.5
/2 601.1 27 300 0.6 4843.4 kNm2 2
M l
2 0.5 7.5 22.3 2 200 283.63 kNR
22
R R
F
q
F
1
2 3
22.30 m
EsempioCarichi descritti da norma NTC08
I momenti in mezzeria, per ogni condizione di carico di normativa, valgono:
1 max/2 /2 4843.4 kNmM l M l
2 max corsia 2/2 /2 2576.2 kNmM l M l
2 2
3 122.3
/2 5 1.75 543.9 kNm8 8el
M l q b
23
R R
F
q
F
1
2 3
22.30 m
EsempioCarichi descritti da norma NTC08
I momenti calcolati utilizzando i carichi da norma sono leggermente maggiori (ad eccezione del carico del marciapiede) dei momenti dati da carichi con andamento sinusoidale (solo primo termine della serie).
1 4843.4 kNmM
2 2576.2 kNmM
3 561.3 kNmM
24
Nel seguito verranno considerati i carichi massimi :
EsempioCalcolo del coefficiente Kα
Il coefficiente K0 (cosi come il coefficiente K1) è calcolato per interpolazione a partire dai valori ricavati dalle tabelle fornite da Guyon‐Massonnet‐Bareš.
K0 (θ0=0.45)
K0 (θ1=0.5)
00 1 0
1 0
x x x x
e/by/b ‐1 … 1
0 0.7355 … 0.735… … … …1 ‐1.6003 … 4.5496
e/by/b ‐1 … 1
0 0.6203 … 0.6203… … … …1 ‐1.4286 …. 4.7981
Ad esempio, per e/b=1 ed y/b=1(=0.486)
00.486 0.45
K 4.55 4.8 4.55 4.730.5 0.45
25
Formula di interpolazione
EsempioCalcolo del coefficiente Kα
Il coefficiente Kα è calcolato per interpolazione a partire dai valori ricavati dalle tabelle fornite da Guyon‐Massonnet‐Bareš. Si considera ad esempio il caso di y/b=1
K0 (θ=0.486)
K1 (θ=0.486)
e/by/b ‐1 ‐0.75 ‐0.5 ‐0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
1 ‐1.4773864 ‐1.00587 ‐0.51849 0.019239 0.653033 1.427799 2.374029 3.491269 4.727492
e/by/b ‐1 ‐0.75 ‐0.5 ‐0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
1 0.394052 0.472667 0.569387 0.698204 0.870106 1.093728 1.374075 1.709133 2.082612
26
EsempioCalcolo del coefficiente Kα
α 0 1 0K =K + K ‐K α
‐2
‐1
0
1
2
3
4
5
‐1.00 ‐0.50 0.00 0.50
y/b=1
y/b
Il coefficiente Kα viene calcolato in funzione di K0 e K1al variare del valore dell’eccentricità del carico.
e/by/b ‐1 ‐0.75 ‐0.5 ‐0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
1 ‐1.1025217 ‐0.70971 ‐0.30058 0.155241 0.696514 1.360882 2.17373 3.134292 4.1977
27
S
EsempioCalcolo del coefficiente Kα
‐2
‐1
0
1
2
3
4
5
‐1 ‐0.5 0 0.5 1
(y/b=0.75)
‐2
‐1
0
1
2
3
4
5
‐1 ‐0.5 0 0.5 1
(y/b=0.25)
‐2
‐1
0
1
2
3
4
5
‐1 ‐0.5 0 0.5 1
(y/b=0)
‐2
‐1
0
1
2
3
4
5
‐1 ‐0.5 0 0.5 1
(y/b=0.50)
28
‐2
‐1
0
1
2
3
4
5
‐1.00 ‐0.50 0.00 0.50
EsempioCalcolo momenti sull’impalcato
Calcolo di Kα y=b y=0.75b y=0.5b y=0.25b y=0
marciapiede dx 3.550 2.779 2.036 1.369 0.787
corsia 1 1.962 1.798 1.610 1.357 1.055
corsia 2 0.508 0.705 0.912 1.072 1.189
marciapiede sn ‐ ‐ ‐ 0.312 0.797
29
1p
2p 3p3p
0.5081.962
3.550
‐0.863
S (y/b=1)
EsempioCalcolo del momento sulla nervatura
Individuata la condizione di carico più gravosa per il momento flettente Mx si ha :
y/b=1Mi Pi Kαi Pi∙Kα,i
(kNm) (kN/m)
marciapiede dx 561.34 11.14 3.55 39.55
corsia 1 4843.35 70.81 1.96 138.90
corsia 2 2576.21 40.52 0.51 18.98
totale 122.47 199.05
Mmedio Mx(kNm) (kNm)
725.54 1179.23
n
i α,i ii=1
x medio
ii=1
K ,
n
p y eM M
p
n
ii 1
medio numero travi
MM
30
EsempioCalcolo del momento sulla nervatura
Per y/b=0.25 dall’andamento della linea di influenza si avranno tutti momenti positivi. Tuttavia, ciò non determina la condizione più sfavorevole.
31
y/b=0.25Mi Pi Kαi Pi∙Kα,i
(kNm) (kN/m)
marciapiede dx 561.34 11.14 1.37 15.25
corsia 1 4843.35 70.81 1.36 96.12
corsia 2 2576.21 40.52 1.07 43.45
marciapiede sn 561.34 11.14 0.31 3.47
totale 133.6 158.3
Mmedio Mx(kNm) (kNm)
776.57 920.05
1p2p
3p 4p
R
EsempioCalcolo Mx sull’impalcato
Si procede allo stesso modo per il calcolo del momento minimo M.
Per y=0 ed y=0.25b la linea di influenza non consente il posizionamento di alcun carico al fine di determinare il momento minimo
32
y/b=1Mi Pi Kαi Pi∙Kα,i
(kNm) (kN/m)
marciapiede dx 561.34 11.14 ‐0.86 ‐9.62
corsia 1 4843.35 70.81 ‐0.18 ‐12.51
totale 81.95 ‐22.48
Mmedio Mx(kNm) (kNm)
491.34 134.80
2p1p
EsempioDefinizione coefficiente μα
Per il calcolo del momento flettente nel traverso si utilizza il coefficiente μα definito nelle tabelle di Guyon‐Massonnet‐Bareš. Si riportano i risultati per y/b=0
μ0 (θ=0.486)
μ1 (θ=0.486)
e/by/b ‐1 ‐0.75 ‐0.5 ‐0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
0 ‐2076.0591 ‐1068.65 ‐40.5289 1048.301 2238.538 1048.3014 ‐40.5289 ‐1068.65 ‐2076.06
e/by/b ‐1 ‐0.75 ‐0.5 ‐0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
0 ‐771.095 ‐501.471 ‐144.787 421.4754 1385.419 421.4754 ‐144.787 ‐501.471 ‐771.095
33
‐2500
‐1500
‐500
500
1500
2500
‐1 ‐0.5 0 0.5 1
y=0
EsempioDefinizione coefficiente μα
La funzione che si determina (μα) viene utilizzata come linea di influenza
0 1 0
e/by/b ‐1 ‐0.75 ‐0.5 ‐0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
0 ‐1814.6638 ‐955.039 ‐61.4126 922.7429 2067.651 922.74295 ‐61.4126 ‐955.039 ‐1814.66
34
EsempioDefinizione coefficiente μα
‐2500
‐1500
‐500
500
1500
2500
‐1 ‐0.5 0 0.5 1
y/b=1
‐2500
‐1500
‐500
500
1500
2500
‐1 ‐0.5 0 0.5 1
y/b=0.75
‐2500
‐1500
‐500
500
1500
2500
‐1 ‐0.5 0 0.5 1
y/b=0.25
‐2500
‐1500
‐500
500
1500
2500
‐1 ‐0.5 0 0.5 1
y/b=0.50
35
EsempioCalcolo del momento My sul traverso
Per massimizzare l’effetto dei carichi, si posiziona il blocco di carico più gravoso a cavallo della cuspide della linea di influenza.
n
y i α ii 1
,M b p y e
b =5.75 m (semilarghezza dell’impalcato)dove :
36
y/b=0.25Pi α,i Pi∙α,i
(kN/m)
corsia 1 70.81 1881.04 133193.35
corsia 2 40.52 51.55 2089.06
totale 13.53∙104
My(kNm)
77.79
2p1p
R
EsempioCalcolo del momento My sul traverso
Per massimizzare l’effetto dei carichi, si posiziona il blocco di carico più gravoso a cavallo della cuspide della linea di influenza.
37
y/b=0Pi α,i Pi∙α,i
(kN/m)
corsia 1 70.81 2067.65 146406.79
My(kNm)
84.18
n
y i α ii 1
,M b p y e
b =5.75 m (semilarghezza dell’impalcato)dove :
1p
R R
EsempioCalcolo del momento My sul traverso
Lo stesso procedimento si effettua per il calcolo del momento minimo My .
38
y/b=0.25Pi α,i Pi∙α,i
(kN/m)
marciapiede dx 11.14 ‐1291.41 ‐14387.44
marciapiede sn 11.14 ‐1291.41 ‐14387.44
totale 28774.88
My(kNm)
‐16.55
R R
EsempioCalcolo del momento torcente nella trave
La condizione di carico che massimizza il momento torcente prescritta da normativa è quella indicata in figura.
q
F F
R’Ad2
d3
39
1 2
3
EsempioCalcolo del momento torcente nella trave
CARICO AGENTE Ampiezza del carico Distanza dall’appoggio Intensità del carico
(m) (m)
1 ‐ 0 300 kN
2 ‐ 1.2 300 kN
3 22.3 11.15 27 kN/m
Data la presenza della forza concentrata all’appoggio non è possibile procedere allo sviluppo in serie del carico in quanto questa forza non verrebbe considerata.
40
EsempioCalcolo del momento torcente nella trave
Si opererà calcolando l’intensità massima delle condizioni di carico sinusoidale.
2
'1
22.3300 22.3 300 22.3 1.2 27
2 884.91 kN22.3AR
'1
1
884.9 1.472601.1
A
A
RR
'
1 1 70.81 1.472 104.25 kN/mA
A
Rp p
R
'2
2 22
40.52 1.667 67.56 kN/mA
A
Rp pR
3 3 11.14 kN/mp p
'2
2
472.87 1.667283.63
A
A
RR
41
EsempioDefinizione del coefficiente τα
Per il calcolo del momento torcente nella trave si utilizza τα . Esso è funzione di τ1 definito nelle tabelle di Guyon‐Massonnet‐Bareš.Si riportano i risultati per e/y=0
τ1 (θ=0.486)
1
e/by/b ‐1 ‐0.75 ‐0.5 ‐0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
0 ‐0.1689178 ‐0.1517 ‐0.1274 ‐0.08379 0 0.0837908 0.127403 0.151699 0.168918
e/by/b ‐1 ‐0.75 ‐0.5 ‐0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
0 ‐0.0338356 ‐0.03039 ‐0.02552 ‐0.01678 0 0.016784 0.02552 0.030387 0.033836
42
EsempioDefinizione del coefficiente τα
‐0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
‐1 ‐0.5 0 0.5 1
y/b=1
‐0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
‐1 ‐0.5 0 0.5 1
y/b=0.75
‐0.04
‐0.02
0
0.02
0.04
0.06
‐1 ‐0.5 0 0.5 1
y/b=0.50
‐0.03
‐0.02
‐0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
‐1 ‐0.5 0 0.5 1
y/b=0.25
43
EsempioCalcolo del momento torcente sulla trave
Data la simmetria della linea di influenza, il momento torcente massimo coincide in valore assoluto con il valore minimo
nzx
zx i ii 1zx xz
2 ( , )D
T b p y eD D
λ = 1 (interasse travi)dove :
44
y/b=0Pi α,i Pi∙α,i
(kN/m)
marciapiede dx 11.14 0.03 0.35
corsia 1 104.25 0.02 2.42
totale 2.77
Tzx(kNm)
‐26.4
R
1p2p
EsempioCalcolo del momento torcente sul traverso
Stessa soluzione vale per il momento torcente nel traverso, considerando l’inversione dei coefficienti di rigidità torsionale
45
nzx
zx i ii 1zx xz
2 ( , )D
T b p y eD D
λ = 11.15 (interasse traversi)dove :
y/b=0Pi α,i Pi∙α,i
(kN/m)
marciapiede dx 11.14 0.03 0.35
corsia 1 104.25 0.02 2.42
totale 2.77
Tzx(kNm)
‐5.53
R
1p2p
EsempioCalcolo Taglio
Il taglio nella trave è somma del contributo del momento flettente nella trave (coefficiente Kα) e del contributo del momento torcente nei traversi (μα). Il secondo termine risulta trascurabile rispetto al primo .
n
i α i nxzi 1
x x,med i α ini 1x
ii 1
( , )cos ( , )
p k y eD x
V V b p y eD l lp
n n
zxx i α i i α i
i 1 i 1xz zx
( , ) 2 ,D
V p k y e b p y eD D l
Il taglio nel traverso è somma del contributo del momento flettente nella traverso (coefficiente Kα) e del contributo del momento torcente nella trave (μα).
46
FINE
47