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La struttura del nucleone 90% del materiale dai proff. Ragusa e Mandelli

Lezione 4

Lezione 4 Fisica delle Particelle 3 – A. Andreazza – a.a. 2011/12

Scattering elettrone-nucleone Capitolo 8: “The Structure of the Nucleon”

•  Negli anni ‘50 con la formulazione del modello a quark (statico) si poteva dare una classificazione degli adroni.

•  Non era però possibile andare a studiare la struttura degli adroni in esperimenti di collisioni adroniche: –  Interazioni forti: non è applicabile un’analisi perturbativa

•  Si costruiscono così i primi esperimenti per studiare lo scattering elettrone-nucleone: –  Interazione elettromagnetica; –  Informazioni sulla struttura del nucleone possono essere ottenute

anche solo osservando l’elettrone.

•  All’aumentare del momento trasferito si osserva uno spettro sempre più complesso di fenomeni: –  Scattering elastico –  Formazione di risonanze e sistemi adronici complessi –  Scattering profondamente inelastico: “osservazione” dei quark

DIPARTIMENTO DI FISICA 2


Scattering elastico

•  Primi studi sulla struttura interna del nucleone effettuati con esperimenti di scattering elastico.

•  Stanford Linear Accelerator: acceleratore lineare di elettroni

•  Serie di esperimenti con elettroni di energia 150-550 e diversi tipi di bersaglio.

•  McAllister e Hofstadter, Phys. Rev. 102 851 (1956) –  Articolo 8.1 del testo

•  Premio Nobel nel 1961



Cinematica

•  Consideriamo un elettrone incidente su un nucleo a riposo. –  Per fissare le idee definiamo l’asse

z come la direzione del moto. –  Possiamo trascurare la massa

dell’elettrone. –  mN massa del nucleo.

•  L’elettrone scambia un fotone con il nucleo, trasferendogli un tetramomento q. –  W massa dello stato adronico

finale:


k = E 0 0 E( )!k = !E !E sinθ 0 !E cosθ( )p = mN 0 0 0( )q = E − "E − "E sinθ 0 E − "E cosθ( )

W 2 = p+ q( )2 =mN2 + 2 pq( )+ q2


Cinematica: Invarianti relativistiche

•  Ci sono tre tetraverttori indipendenti: p, k, k’ –  Possono venire combinate a dare tre quantità scalari

•  Energia nel centro di massa •  Due a scelta tra:

–  Momento trasferito –  Per comodità si definisce Q2 come quantità positiva:

–  Frazione di energia trasferita

–  xB

•  Caso elastico: –  un vincolo aggiuntivo


s = p+ k( )2 =mN2 + 2mNE

q2 = k − "k( )2 = −2 k "k( ) = −2E "E (1− cosθ ) = −4E "E sin2 12θQ2 = −q2

y =2 pq( )2 pk( )

=E − "EE

0 < y <1

x = Q2

2 pq( )0 < x <1

W 2 =mN2

W 2 = p+ q( )2 =mN2 + 2 pq( )+ q2 ⇒ mN

2 =mN2 + 2 pq( )+ q2 ⇒ x = −q2

2 pq( )=1

2E !E (1− cosθ )2mN E − !E( )

=1⇒"EE=

11+ E /mN( )(1− cosθ )

=1

1+ 2E /mN( )sin2 12θ


Cinematica: sezione d’urto

•  La formula usuale della sezione d’urto è: dove dΦadroni è lo spazio delle fasi del sistema adronico.

•  Trascurando la massa dell’elettrone:

•  Nel caso elastico: –  Il termine di spazio fasi diventa –  L’integrazione su dE’ è immediata:


dσ =M 2

4 (kp)2 −mN2me

22π( )4δ k + p− "k − "p( ) d3k

2π( )3 2 "EdΦadroni

dσ =M 2

16mNE2π( )δ (4) k + p− "k − "p( ) "E d "E dΩdΦadroni

dΦadroni =d3 "p

2π( )3 2(mN +E − "E )

dσdΩ

=M 2

64π 2mN2

1

1+ 2EmN

sin2 12θ=

M 2

64π 2mN2

"EE


L’elemento di matrice

•  L’elemento di matrice è dato dall’interazione delle correnti elettronica ed adronica:

•  Per il quadrato dell’elemento di matrice abbiamo i tensori:

•  Il tensore leptonico è sempre il solito:

•  Bisogna determinare la forma di Wµν.


M = (−ie)Jeµ −igµνq2

(−ie)Jhν

M = ie2JeµJh,µq2

M 2=e4

q4LµνWµν

Lµν = Je*µJe

ν W µν = Jh*µJh

ν

Jeµ =12

ue !k( )γ µue k( )spin∑ Le

µν = 4 k µ !k ν + kν !k µ − (k !k )gµν( )


Eercizio 4.1

Sezione d’urto di Rutherford

•  Nel caso di particelle scalari puntiformi, le correnti sarebbero:

•  Verificare che, nel limite mN>>E si ottiene la sezione d’urto di Rutherford:


Jeµ = k + !k( )

µ

J hµ = p+ !p( )

µ

dσdΩ

=α 2

4E 2 sin4 12θ


Il tensore adronico

•  Il tensore adronico può dipendere solo da p e q: –  Funzioni scalari dipendenti solo da Q2

–  Tensori combinazione di componenti di p e q

•  La forma più generale è data da:

•  Imponendo la conservazione della corrente si possono esprimere W4 e W5 in funzione di W1 e W2 (con x=1):

•  Ottenendo


W µν =W1 Q2( ) −gµν( )+

W2 Q2( )

mN2 pµ pν +

W4 Q2( )

mN2 qµqν +

W5 Q2( )

mN2 (pµqν + pνqµ )

qµWµν = 0

W4 =mN

2

q2 W1 +14W2, W5 =

12W2

W µν =W1 Q2( ) −gµν + q

µqν

q2"

#$

%

&'+

W2 Q2( )

mN2 pµ + 1

2 qµ( ) pν + 1

2 qν( )


Sezione d’urto di Mott

•  Nel caso in cui il protone fosse uno scalare puntiforme:

•  Si ottiene la sezione d’urto di Mott:


W1 Q2( ) = 0, W2 Q

2( ) = 4M 2

W µν = pµ + !p µ( ) pν + !p ν( )

dσdΩ

=α 2 cos2 12θ4E 2 sin4 12θ

"EE


Protone di Dirac

•  Se il protone fosse una particella di Dirac:

•  Che equivale a

•  Ed alla sezione d’urto:


J hµ =12

up !p( )γ µup p( )spin∑ Wh

µν = 2 pµ !p ν + pν !p µ − ( p !p −mN2 )gµν( )

W1 Q2( ) = 2( p !p −mN

2 ) =Q2 W2 Q2( ) = 4mN2

dσdΩ

=α 2 cos2 12θ4E 2 sin4 12θ

"EE1+ Q2

2mN2 tan

2 12θ

#

$%

&

'(


Formula di Rosenbluth

•  Nel caso generale:

•  Solitamente le funzioni W sono espresse in termine dei fattori adimensionali F1 ed F2.

•  Che si possono interpretare come i termini che definiscono il contributo della carica e del momento magnetico anomalo κ alla corrente del protone:


dσdΩ

=α 2 cos2 12θ4E 2 sin4 12θ

"EE

W2 Q2( )

4mN2 +

W1 Q2( )

2mN2 tan2 12θ

#

$%%

&

'((

W1 Q2( ) =Q2 F1(q

2 )+κF2 (q2 )( )

2W2 Q

2( ) = 4mN2 F12 (q2 )+ κ2Q2

4mN2F22 (q2 )

!

"##

$

%&&

J hµ = up !p( ) F1 q2( )γ µ + i qνσ

µνκ

2mNF2 q

2( )!

"##

$

%&&up p( )


Interpretazione dei fattori di forma

•  Se il processo di scattering avviene non in un punto, ma su una distribuzione di densità compare un contributo dovuto alla propagazione delle onde piane corrispondenti alle funzioni d’onda della particelle incidente e di quella diffusa:

•  A basso momento trasferito, la densità può venire approssimata da una δ ed il fattore di forma è quello di una particella puntiforme:

•  Sviluppando l’integrale si ottiene una serie di potenze in q:

•  Assumento ρ a simmetria sferica:


F(q2 ) = dre−i "k ⋅rρ(r)eik⋅r∫ = dreiq⋅rρ(r)∫

F(0) =1

F(q2 ) = dreiq⋅rρ(r) =∫ drρ(r) 1+ iq ⋅ r− 12q ⋅ r( )2 +...

$

%&'

()=∫

drρ(r) =1∫drρ(r)iq ⋅ r =∫ 0

−12

drρ(r) q ⋅ r( )2 =∫ −16q2 r2

Primo termine dello sviluppo: 0ggetto della misura di Hofstadter


La struttura del nucleone (Hofstadter)

•  Il grafico mostra la sezione d'urto in funzione dell'angolo per lo scattering di elettroni di 188 MeV su bersaglio di idrogeno

•  Notare che –  il grafico comincia da 30o

–  l'asse verticale è logaritmico –  fino ad angoli ~50o l'accordo è

buono –  solo ad angoli grandi (alto Q2)

ci sono discrepanze

Evidenza di deviazioni dal comportamento di particella di

Dirac



L'apparato da 190 MeV

•  La figura mostra uno schema semplificato dell'apparato da 190 MeV utilizzato da Hofstadter

•  Gli elettroni dell'acceleratore Mark III arrivano da sinistra

•  Vengono deflessi dal magnete C •  Vengono selezionati dal collimatore Slit •  Sono ulteriormente deflessi dal magnete R

dal quale sono finalmente focalizzati nella camera di scattering

•  Lo scopo dei magneti C e R è di –  selezionare elettroni di energia ben

definita: ΔE = 2 MeV a 188 MeV –  di eliminare l'enorme numero di

fotoni e neutroni che accompagnano il fascio di elettroni

•  L'acceleratore fornisce pacchetti di elet-troni (impulsi): circa 60 al secondo

•  Un impulso durava circa 0.5 µs •  Nel normale funzionamento dell'accelera-

tore arrivavano alla camera di scattering circa 2-3 × 109 elettroni per impulso

•  La frequenza istantanea è estremamente elevata 4-6 × 1015 elettroni al secondo

•  Tecniche di conteggio con scintillatori e coincidenza non si possono utilizzare –  occorre misurare con precisione

l'intensità del fascio per misurare la sezione d'urto



•  La figura mostra uno schema semplificato della camera di scattering

•  Gli elettroni normalmente attraversano la camera di scattering senza interagire con il bersaglio e vengono misurati dal rivelatore monitor che permette così di misurare il numero di elettroni di ogni impulso

La camera di scattering

•  Occasionalmente gli elettroni interagiscono nel bersaglio

•  Se l'angolo di deflessione è uguale all'angolo a cui è posto il rivelatore allora gli elettroni che hanno interagito entrano nel rivelatore

•  Per lo studio della struttura del nucleone il bersaglio era costituito da idrogeno, deuterio o elio ad alta pressione –  per aumentare la densità



L'apparato sperimentale

•  Dati del bersaglio –  bersaglio di idrogeno a 2000 PSI = 136 atm –  lunghezza 3 1/8 inches = 7.94 cm

•  La figura mostra un schema semplificato del rivelatore e del bersaglio

•  gli elettroni arrivano nella direzione indicata dalla freccia

•  se sono deflessi all'angolo corretto colpiscono il rivelatore

•  il rivelatore è costituito da uno spettrometro magnetico

•  se gli elettroni hanno l'energia su cui è regolata la corrente del magnete, il campo magnetico, perpendicolare alla pagina deflette gli elettroni e li focalizza su un contatore Cherenkov

•  I motivi per realizzare un rivelatore relativamente complicato sono –  potere misurare con precisione

l'energia dell'elettrone deflesso –  eliminare gli eventi in cui lo scat-

tering non è elastico –  poter posizionare il rivelatore vero

e proprio (il contatore Cherenkov) in una zona con basso fondo

•  La scelta di un contatore Cherenkov è anch'essa dettata dalla richiesta di diminuire il fondo: –  dà un segnale solo quando la

velocità della particella supera un valore di soglia (β>1/n)



L'apparato sperimentale

•  Il rivelatore può ruotare rispetto alla camera di scattering per potere selezio-nare l'angolo di scattering

•  La misura contemporanea di E' e di θ permette di eliminare gli eventi di fondo



Risultati sperimentali

•  Innanzitutto il funzionamento dell’apparato •  Per lo scattering elastico l'energia dello

elettrone deflesso è fissata dall'angolo di scattering:

•  I dati sperimentali sono ottenuti posizionando lo spettrometro ad un dato angolo

•  Si misura l'energia dell'elettrone variando il campo magnetico

•  Separazione del picco elastico dal fondo.


!EE=

1

1+ 2 EmN

1− cosθ( )


Esercizio 4.2

Effetto del materiale nell’esperimento di Hofstadter •  Gli elettroni prima di arrivare al rivelatore

attraversano del materiale: –  250 µm di acciaio nella parete frontale –  460 µm / sinθ di acciaio nella parete laterale

•  Calcolare la perdita di energia per elettroni diffusi a 40°, 90° e 140°.

•  Calcolare θrms dovuto allo scattering multiplo. –  Calcolare il conseguente allargamento

del picco elastico.



Risultati per idrogeno

a)  Sezione d’urto di Mott

b)  Particella di Dirac

c)  Sezione d’urto di Rosenbluth per protone puntiforme

La curva sperimentale indica una correzione: con


F1 Q2( ) = F2 Q2( ) =1−Q

2

6rp2

rp2 = 0.74± 0.24fm

F1 Q2( ) = F2 Q2( ) =1

dσdΩ

=α 2

4E 2 sin4 12θ"EEcos2 12θ F1

2 +κ 2Q2

4mp2 F2

2#

$%%

&

'((+

Q2

2MF1 +κF2( )

2tan2 12θ

)

*++

,

-..

dσdΩ

=α 2

4E 2 sin4 12θ"EEcos2 12θ

dσdΩ

=α 2

4E 2 sin4 12θ"EEcos2 12θ 1+

Q2

2Mtan2 12θ

#

$%

&

'(


Risultati per particelle α

•  Siccome il nucleo di He ha spin 0, il confronto viene fatto con la formula di Mott

–  Scalata per Z2

•  Anche in questo caso accordo con un fattore di forma:


F1 Q2( ) =1−Q

2

6rHe2

rHe2 =1.60± 0.10fm

dσdΩ

=Z 2α 2

4E 2 sin4 12θ* cos

2 12θ

*F12 Q2( )


Esercizio 4.3

Analisi dell’esperimento di Hofstadter •  Verificare che la sezione d’urto osservata a 90° è quella attesa

dall’interazione coulombiana? •  Usando i dati delle dispense e del testo, stimare che tasso di

eventi è atteso nel rivelatore.


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