LEZIONE N° 10 – IL CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO · Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria C l i i l d Ti i C dC orso di T ecn ica d elle Costruz ion i – II°

Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaC di T i d ll C i i I° M d l A/A 2007 08Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2007-08

LEZIONE N° 10 – IL CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSOPRECOMPRESSO

• DISPOSIZIONE DEI CAVI– Generalità– I concetti di momento utile e momento utile aggiunto– Il fuso del cavo risultante– Definizione dei punti limite inferiore e superiore– Il fuso di Guyon

Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaC di T i d ll C i i I° M d l A/A 2007 08

LA DISPOSIZIONE DEI CAVI NELLE TRAVI IN CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2007-08

(GENERALITA’)

Nelle strutture inflesse l’andamento dei cavi di precompressione deve essere progettato inmodo da contrastare efficacemente le azioni flessionali esterne sia in fase iniziale che diesercizio. A tale scopo di consideri la trave semplicemente appoggiata di figura nella qualeper semplicità sia presente un solo cavo di precompressione con configurazione rettilineapassante per il punto di nocciolo inferiore ci della trave (considerata a sezione costante).In assenza di carichi esterni la sezione di mezzeria risulta interamente compressa con l’assepneutro passante per il lembo superiore della trave.Nel caso di precompressione totale, all’atto dell’azione dei carichi esterni la situazione idealeè quella per cui lo sforzo di precompressione N in presenza del momento esterno si spostafino al punto di nocciolo superiore ce. In tal modo la sezione risulterebbe ancorap p einteramente compressa con asse neutro passante per il lembo inferiore.

Stato tensionale in mezzeria

ds

di

cs

ci

Retta limite superiore

Retta limite inferiore

Solo precomp. Precomp.+carichi est.

ci Retta limite inferiore




(GENERALITA’)

Per il caso appena esaminato man mano che ci si avvicina agli appoggi il momentodiminuisce fino ad annullarsi nelle sezioni terminali, nelle quali quindi potrebbero nascere, in, q q p ,presenza di precompressione, tensioni di trazioni elevate. Per ovviare a tale inconveniente sipotrebbe pensare di variare il tracciato dei cavi in modo tale che ogni sezione, all’attodell’applicazione dei carichi esterni, risulti interamente compressa. Per una trave a sezionecostante tale condizione si esprime semplicemente (ad es. per lungo termine) :p p ( p g )

[ ] ss dN

)x(M)x(eNd)x(e)x(M −=→+=

Utilizzando tale tracciato, all’attodella applicazione dei sovraccarichi,il centro di pressione nella genericasezione cade sempre nel punto diN sezione cade sempre nel punto dinocciolo superiore.Ad esempio, l’eccentricità del cavoall’appoggio, pari a –ds, garantiscela totale compressione anche nella

ds

la totale compressione anche nellasezione di estremità. Se N e dssono costanti e il carico è costanteil diagramma dei momenti eparabolico così come il diagramma

e(x)

cs

ci parabolico così come il diagrammadelle eccentrictà e(x).x




(MOMENTO UTILE)

[ ]NddM +=Il momento flettente Mu è detto momento utile della sezione. Unasezione è considerata ben progettata se il massimo momento dovuto[ ]NddM siu += sezione è considerata ben progettata se il massimo momento dovutoai sovraccarichi (permanenti e accidentali) coincide con il momentoMu. In tal modo all’atto della messa in carico la trave rimarrebbeinteramente compressa.La portanza di un trave può essere aumentata incrementando lo

Momento Utile

La portanza di un trave può essere aumentata incrementando losforzo normale (incremento limitato dalle tensione massime al tiro)oppure aumentando la distanza reciproca dei punti di nocciolo di+ds.Per tale motivo le travi in c.a.p. si realizzano normalmente utilizzandosezioni a T o doppio Tsezioni a T o doppio T.

L/2

ds

di

da




(MOMENTO UTILE AGGIUNTO)

In realtà il cavo, in mezzeria, non è sempre posizionato nel punto dinocciolo inferiore Detta d la distanza tra il cavo e il punto di noccioloNdM nocciolo inferiore. Detta da la distanza tra il cavo e il punto di noccioloinferiore, il momento Mu=daN è detto momento utile aggiunto.Se il momento dovuto al peso proprio coincide con il momento utileaggiunto, all’atto del tiro la trave risulterebbe interamentecompressa Questa condizione costituisce un’ulteriore indicazione di

NdM aua =

Momento utile aggiuntocompressa. Questa condizione costituisce un ulteriore indicazione disezione ben progettata.

L/2

ds

di

da




(IL FUSO DEL CAVO RISULTANTE)

Con riferimento ad una generica sezione di una trave in c.a.p. e alle due condizioni di verificausualmente considerate (a vuoto e in esercizio) si possono definire due andamenti limite del( ) pcavo risultante. Il primo si riferisce alla condizione a vuoto e alla sezione interamentecompressa con asse neutro tangente alla sezione al lembo superiore. Il secondo si riferisceinvece alle condizioni di esercizio sempre in presenza di sezione interamente compressa macon asse neutro passante per il lembo inferiore. La prima curva (verde) si costruisce conriferimento al momento dovuto al peso proprio MG , la seconda (arancione) con riferimento almomento in servizio (Mp+q+MG). Le distanze rispettivamente dalla rette limite sup. ed inf. Siesprimono come segue

)x(M G )x(MM + N0 = sforzo di precompressione al tiro

0

Gi N

)x(M)x(e =e

qpGs N

)x(MM)x(e ++= Ne = sforzo di precompressione in esercizio

Fuso del cavo risultante

ds

di

d

Fuso del cavo risultante

es(x)

da

ei(x)x


LA DISPOSIZIONE DEI CAVI NEL CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO


(PUNTI LIMITE)

L’area compresa tra le due curve è detto fuso del cavo risultante. Essorappresenta l’area entro la quale far cadere il cavo risultante al fine di ottenererappresenta l area entro la quale far cadere il cavo risultante al fine di ottenereper le due condizioni di carico considerate una sezione sempre interamentecompressa. Ammettendo la presenza al lembo superiore e inferiore di trazione(per normativa) le rette limite modificano la loro posizione originaria. I centri di

i h i d i d di i li it d tti ti li itpressione che corrispondono ai due diagrammi limite sono detti punti limite.

σc,meσt,mi

+2

mi,tmi,cmi

σσσ

+=

2me,tme,c

me

σσσ

+=Cs

y

ys

Ci

yi

Cond. iniziali Cond. di esercizio

σc,mi σt,me




(PUNTI LIMITE)

Indicando con σmi e σme le tensioni medie nella condizione iniziale e di eserciziorispettivamente, le distanze dal baricentro dei due nuovi punti limite si possonorispettivamente, le distanze dal baricentro dei due nuovi punti limite si possonoesprimere in funzione delle distanza dei punti di nocciolo dal baricentro stesso:

N0mi,tmi,c =+

=σσ

σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+=

mi,tmi,c

mi,tmi,ccii yy

σσσσσc,meσt,mi

A2mi ==σ

C⎠⎝

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ +

= me,tme,cyyσσ

Cs

Cyi

ys

yan

⎟⎠

⎜⎝ − me,tme,c

css yyσσ

Distanze dal baricentro dei σc,mi σt,me

AN

2eme,tme,c

me =+

=σσ

σCi

Distanze dal baricentro dei punti limite Cc e CiCond. iniziali Cond. di esercizio




(PUNTI LIMITE)

Ad esempio la prima delle due si ricava facilmente come segue:

Dall’equazione dell’asse neutro

i ò i l t l i

012 =+x

ani yyρ

ssxsxx yyWyJ2ρsi può ricavare la seguente relazione:

an

sci

an

s

s

x

s

s

an

x

an

xi y

yyyy

yyy

Ayyy −=−=−=−=

ρ

hy σDal digramma delle tensioni si può ricavare l’asse neutro:

li i i i i i h

hytc

an σσ +=

tc σσσ

−con semplici proporzioni si ricava che:

con la quale si può dimostrare quanto

2tσ =

( )( ) ( )

( )tc

citc

cii yh

hyyσσσσ +

=+

=2/

con la quale si può dimostrare quantoEspresso nella slide precedente ( ) ( )tc

citc

cii yh

yyσσσσ −−

2




(PUNTI LIMITE)

In tal modo si individua un nuovo fuso (limiti tratteggiati) entro il quale farvariare il cavo senza mai superare i limiti di trazione e/o compressione impostivariare il cavo senza mai superare i limiti di trazione e/o compressione impostidalla normativa. Naturalmente il raggiungimento contemporaneo della resistenzaa trazione e a compressione nei due estremi della sezione è una situazione ideale,di fatto mai realizzabile.

ye

yi

xN0/A Ne/A




(FUSO DI GUYON)

Generalmente, in fase di progetto vengono in qualche modo predimensionati lasezione e lo sforzo di precompressione; il fuso entro il quale fare variare il cavosezione e lo sforzo di precompressione; il fuso entro il quale fare variare il cavoviene allora individuato mantenendo entro il limiti normativi le tensioni massimedi trazione e compressione ammissibili nel calcestruzzo:

Il limite inferiore del fuso si( ) MeNNNN ΔΔ

( )Gp0p0 MeNNNN

)2Δ−Δ−

Il limite inferiore del fuso sivaluta come la minimaeccentricità ricavabile dallerelazione 1) e 2) (condizioni avuoto). Il limite superiore

( )s

G

s

p0

id

p0mi,t W

MW

eNNA

NN)1 +

Δ−−

Δ−≤σ

( )mi,c

i

G

i

p0

id

p0

WWA)2 σ≤−+ corrisponde alla massima

eccentricità ricavabile dallerelazione 3) e 4) (condizionidi servizio). Il fuso cosìcostruito va sotto il nome di

( ) qpGLp0Lp0 MMeNNNNNN)3 σ≤

++

Δ−Δ−Δ−Δ− +

( ) qpGLp0Lp0 MMeNNNNNN)4 ++

−Δ−Δ−

+Δ−Δ−

≤σ

costruito va sotto il nome difuso di Guyon.N.B. Le tensioni negativevanno considerate conproprio segno (negativo).

me,cssid WWA

)3 σ≤+−

iiidme,t WWA

)4 −+≤σ proprio segno (negativo).




(FUSO DI GUYON)

Il limite inferiore fuso di Guyon si individua quindi con le prime due relazioni:

( )p0

G

p0

idmi,t

id

si1

s

G

s

p0

id

p0mi,t NN

M1NN

AAWe

WM

WeNN

ANN

)1Δ−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ−−=⇒+

Δ−−

Δ−=

σσ

⎠⎝

( )p0

G

p0

idmi,c

id

ii2mi,c

i

G

i

p0

id

p0

NNM1

NNA

AWe

WM

WeNN

ANN

)2Δ−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Δ−=⇒=−

Δ−+

Δ− σσ

Il limite inferiore del fuso di Guyon è dato da emin = min (e1i, e2i)Il limite inferiore del fuso di Guyon è dato da emin min (e1i, e2i)




(FUSO DI GUYON)

Il limite superiore del fuso di Guyon si individua con le altre due relazioni:

( )me,c

s

qpG

s

Lp0

id

Lp0

WMM

WeNNN

ANNN

)3 ≤+

+Δ−Δ−

−Δ−Δ− + σ

Il limite superiore del fuso di Guyon è dato da

e = max (e e )

Lp0

qpG

Lp0

idme,c

id

ss1 NNN

MM1

NNNA

AWe

Δ−Δ−

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ−Δ−−=⇒ +σ

emin = max (e1s, e2s)

( ) qpGLp0Lp0me,t W

MMW

eNNNA

NNN)3

++

Δ−Δ−−

Δ−Δ−≤ +σ

Lp0

qpG

Lp0

idme,t

id

is2

iiid

NNNMM

1NNN

AAWe

WWA

Δ−Δ−

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Δ−Δ−=⇒ +σ

pp ⎠⎝




(FUSO DI GUYON)

Esempio: Tracciare il fuso di Guyon per la trave appoggiata di figura

28 m

110

15

15

18020

15

Dati

Materiali: cls Rck=40 MpaA 30 t f li 7φ5 41 23 2180

15

A p = 30 trefoli 7φ5 41.23 cm2

σt,mi 2.993 Mpaσt,me 2.324 Mpaσc,mi 17.76 Mpaσc,me 19.92 Mpa

60

30c,me p

Sezione: Ac,id 0.712 m2

yG 0.973 mWi 0.308 m2

Ws 0.358 m2

Forza di PrecompressioneN0-ΔNp= 5200 kNN0-ΔNp-ΔNL= 4500 kN

Forza di Precompressione




(FUSO DI GUYON)

Esempio

La condizione per individuare il limite inferiore del fuso di Guyon è

5200)(1

520071202993.0

7120358.01)( ,

1xM

NNM

NNA

AWxe GGidmits

i +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅−−=

Δ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ−=

σ

)(00019.02967.0)(

52005200712.0

1

00

xMxe

NNNNA

Gi

ppid

+=

⎠⎝Δ−⎟⎠

⎜⎝ Δ−

)x(M000192.0619.0NN

M1NN

AAW)x(e G

p0

G

p0

idmi,c

id

ii2 +=

Δ−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Δ−=

σ

ei = min (e1i , e2i) Limite inferiore del Fuso di Guyoni ( 1i , 2i) Limite inferiore del Fuso di Guyon




(FUSO DI GUYON)

Esempio

La condizione per individuare il limite superiore del fuso di Guyon è

)()(171202324.0308.01)(

xMxMMMAW qpGqpGidmeti ++ +⎟⎞

⎜⎛ ⋅−+⎟

⎞⎜⎛ σ

)]()([000222.05927.0)(

4500)()(

14500712.0

1)(

1

00

,1

xMxMxe

NNNNNNAxe

qpGs

qpG

Lp

qpG

Lp

idmet

id

is

+

++

++−=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Δ−Δ−+⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

−Δ−Δ−

=

[ ])x(M)x(M00022.0083.1NNN

MM1

NNNA

AWe qpG

Lp0

qpG

Lp0

idme,c

id

ss2 +

+ ++−=Δ−Δ−

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ−Δ−−=

σ

e = max (e e ) Limite superiore del Fuso di Guyon

Lp0Lp0id ⎠⎝

es = max (es1 , es2) Limite superiore del Fuso di Guyon




(FUSO DI GUYON)

Esempio

IL fuso di Guyon della trave considerata è rappresentato nella figura seguente:

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