Lezione n. 2

Equilibrio idrostatico

drr

rGM

gF

drr

PeP

iP

2

rMr

P

g

2r

GM

rP

r

r

rdrrM

0

24

Teorema del virialeUna sfera di gas autogravitante in equilibrio idrostatico, che irradia (e perde) energia dalla superficie deve contrarre per mantenere l’equilibrio tra la pressione e la gravita’. Se la sfera contrae da un raggio inziale molto grande fino ad un raggio R, indicando con g l’energia potenziale gravitazionale e T l’energia termica (cinetica) del gas, dall’equazione dell’equilibrio idrostatico, si ottiene:

gg

R R

gg

gg

Rr

Rr

R

Rr

R

r

UdVPdV

RRdVr

GM

drr

GMrPdrr

drr

GMrdr

r

Pr

r

GM

r

P

2

1

2

1

223

)()(

443

44

0 0

0

0

2

0

2

02

3

0

3

2

Per un gas perfetto non relativistico P=2/3U (U densita’ di energia interna)

Se la contrazione avviene in regime di equilibrio idrostatico, il 50% dell’energia gravitazionale rilasciata viene convertita in energia termica (riscaldamento) mentre l’altro 50% e’ emesso sotto forma di radiazione dalla superficie (irraggiamento)

Tempo scala di Kelvin-Helmotz

5.1

0

1

0

2

0

M

Md

M

R

r

Mq

R

GMq

r

dMMG

rr

Rrr

g

gg

g

TE

T

2

12

1

per il teorema del viriale

dt

dR

R

GMq

dt

dERL

R

GMqE

2

2

2

2

1)(

2

1

Se q ed M sono costanti

il tempo necessario per una contrazione da infinito a R’ sara’:

LR

GMqt

RLR

dRqGMt

KH

R

KH

2

22

2

1

)(2

1'

Assumendo L(R)=cost

Per il sole (L=3.84x1033 erg/sec, M=1.989x1033 g R=6.9x1010 cm)

tKH=2x107 anni

Valori medi dei parametri stellari

5.1

3

1

0

2

0

M

Md

M

R

r

Mq

VPRGMq

r

dMMG

rr

Rrr

g

3

2

3

442 MRMP

Tempo scala dinamico

22

2 1r

GM

rP

tr

r

accelerazione==forza/massa

Collasso:1

2 rP

r

GMr

In questo caso si ha un free folding (collasso) della stella. Il tempo necessario affinche’, il raggio vada a 0 e’ dell’ordine di :

GM

R

g

Rtff

3

In questo caso la pressione del gas fa esplodere la stella. Analogamente al caso precedente, il tempo necessario affinche’, il raggio vari di una quantita’ R sara’:

esplosione:1

2 rP

r

GMr

PR

aR

t

exp

PRt

exp

Ossia:

Per il sole il tempo scala dinamico e’ dell’ordine di 30 m, per una gigante rossa 18 giorni, per una nana bianca pochi secondi.