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Lezione 9Dinamica RotazionaleBiomeccanica
Ezio Maina
Corso di Laurea in FarmaciaAnno accademico 2019 -2020
Corso di Fisica
Lezione 9Corso di Laurea in Farmacia: Fisica
2019/2020 2
L’elasticita’ in un solido e la legge di Hooke
La lezione di oggi
L’equilibrio statico e le leve
L’elasticità delle ossaF F
Lezione 9Corso di Laurea in Farmacia: Fisica
2019/2020 2
L’elasticita’ in un solido e la legge di Hooke
La lezione di oggi
L’equilibrio statico e le leve
L’elasticità delle ossaF F
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2019/2020 3
Si definisce corpo rigido un corpo che non si può deformare,qualunque sia l’entità delle forze che agiscono su di esso.
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Momento di una forzaEquilibrio staticoLe leveL’elasticitàSforzo e stiramento nelle ossa
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Il momento di una forza
Fr τ!!!
Ù=
Il momento di una forza mi permette di quantificare la
capacità di una forza di causare una rotazione
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Il momento di una forza
Fr τ!!!
Ù=Il vettore t ha:l Modulo: r F senql Direzione: perpendicolare al piano di r e Fl Verso: regola della mano destra (r:pollice, F: indice, t:medio)
Unità di misura: N m (non joule !)Dimensionalmente: [L][MLT-2] = [M][L2][T-2]t > 0 se produce un’accelerazione angolare (a) inverso antiorariot < 0 se produce un’accelerazione angolare (a) inverso orario
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Il momento di una forza
F e r
perpendicolari
rF )sen(90Fr τ o =××=
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Il momento di una forza
F e r
paralleli
0 )sen(0Fr τ o =××=
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Il momento di una forza
F e r
con angolo
qualunque
senθFr τ ××=
Nota. Dovrei mettere un segno ‘-’ per tener conto del fatto che
l’accelerazione è in verso orario (ovvero, negativo)
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Momento di una forzaEquilibrio staticoLe leveL’elasticitàSforzo e stiramento nelle ossa
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Momento ed equilibrio statico
Se F1+F2=mg, il sistema èin equilibrio
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Momento ed equilibrio statico
Se F1+F2=mg, il sistema e’in equilibrio
Ma se F1=mg e F2=0, ilsistema non è in equilibrio
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Momento ed equilibrio statico
Se F1+F2=mg, il sistema èin equilibrio
Ma se F1=mg e F2=0, ilsistema non è in equilibrio
Condizione di equilibrio staticoLa risultante delle forze deve essere 0 0 F =å
!
0 τ =å !La risultante dei momenti deve essere 0
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Momento ed equilibrio statico
0 mg - F F 21 =+
Problema unidimensionale (y)
0 F =å!
0 τ =å!0 senθF r senθmg r senθF r 222bb111 =××+××+××
0 )sen(90F L )sen(270mg 4
3L senθF 0 o2
o11 =××+××+××
-1 1mg 4
3L F L 2 ×=×
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Momento ed equilibrio statico
0 mg - F F 21 =+
mg 4
3L F L 2 ×=×
mg41 F1 =
mg43 F2 =
Condizione
di
equilibrio statico
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Centro di massa ed equilibrioCondizione di equilibrio statico
0 τ =å!
0 )sen(270gm x )sen(90gmx o22
o11 =××+××
q
x1
w1
x2
w2
q
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Centro di massa ed equilibrioCondizione di equilibrio statico
0 τ =å!
0 )sen(270gm x )sen(90gmx o22
o11 =××+××
0 m x mx 2211 =×-×
Calcolo la xcentro di massa
M
xmx ii
CM == åi
Un sistema è in equilibrio quando il suo centro di massa è nel punto di sospensione
0 mm
xmxm- 21
2211 =++
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Momento di una forzaEquilibrio staticoLe leveL’elasticitàSforzo e stiramento nelle ossa
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Le leveLa leva è una macchina semplice composta da
una forza motrice, una forze resistente e un fulcro
1o tipo
2o tipo
3o tipo
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Le leve nel
corpo umano
1o tipo
2o tipo
In punta di piedi
3o tipo
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Le leve e il guadagno meccanico
0Fb - Fb mmrr =
r
m
m
r
bb
FF G.M. ==
Guadagno meccanico è il rapporto tra le forze
motrice
resistente
FF G.M.=
Vale per tutti i tipi di leva
Condizione di equilibrio statico
con forze perpendicolari alla leva
0 τ =å!
x
y
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Le leve e il guadagno meccanico
Tipo di leva Guadagno meccanico
1o tipoPuò essere
<1 o >1
2o tipo Sempre > 1
3o tipo Sempre <1
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Le leve del corpoSe la forza è perpendicolare alla leva
r
m
bb G.M.=
Quindi br piccoli à grandi GMMa lo spostamento dell’estremità è proporzionale a brà grande velocità, grande br
Cavallo da corsa, zampa anteriore: GM 0.08l Poca forza, grande velocità
Armadillo, zampa anteriore: GM 0.25l Grande forza per scavare,
bassa velocità
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La colonna vertebrale
Persona piegata con il dorso orizzontale:l Fr ~ 65% del peso totale, applicato
circa a metà della colonna vertebralel FM muscoli della schiena, con q~12o
l Fulcro: osso sacro
Colonna vertebrale: 24 vertebre, separate da dischi pieni di liquidoDisco lombosacrale (separa l’ultima vertebra dall’osso sacro) deve sopportare grandi forze
FM q
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La colonna vertebrale
La condizione di equilibriodelle forze sull’asse xrichiede che
La condizione di equilibrio dei momenti sull’asse y richiede che
0 mgr - sen168 Fr mgo
mm =×
Con m=75 kg, la forza sul disco lombosacrale è ~ 2200 N
FMq
x
y ma rmg ~ rM e quindi
0.2mg Fm =
mo
mfulcro sul x, F0.98 cos12 F F ×==
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La colonna vertebrale
La condizione di equilibriodelle forze sull’asse xrichiede che
La condizione di equilibrio dei momenti richiede che
0 mgr - sen12 Fr mgo
mM =×
Con m=75 kg, la forza sul disco lombosacrale è ~ 2200 N
FMq
x
y ma rmg ~ rM e quindi
0.2mg Fm =
mo
mfulcro sul x, F0.98 cos12 F F ×==
Se applico una massa di 15 kg all’estremo destro, la forza diventa di ~ 3200 N
15 kg
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La colonna vertebraleSoluzione: tenere la colonna vertebrale verticaleI momenti sono quasi nulli (q tra mg e colonna vertebrale ~ 0o)Con m=75 kg, la forza sul disco lombosacrale e’ ~ 500 NSe aggiungo un peso di 15 kg, la forza sul disco lombosacrale diventa ~600 N)
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Momento di una forzaEquilibrio staticoLe leveL’elasticitàSforzo e stiramento nelle ossa
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L’elasticitàCorpo elastico è un corpo che riprende la sua forma
originale una volta rimosse le cause della deformazione
Corpo plastico è un corpo che rimane deformato, anche dopo aver rimosso le cause della deformazione
l
F è modulo della forza applicata
A è area della sezione del corpo
Y è modulo di elasticità di Young
Corpi elastici è Legge di Hooke
ll Y
AF D=
gm P !!=
Dl
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La legge di Hooke e il modulo di Young
Legge di Hooke
ll Y
AF D=
Un campione lungo è allungato più di uno corto
Dl lUn campione
sottile è allungato più di
uno spessoDl 1/A
es Y =Se definisco
F/A = s (sforzo)Dl/l = e (stiramento)
µ
µGrande Y ⇒ piccolo "l
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La legge di Hooke e il modulo di Young
Materiale Y (N m-2)
Acciaio 2 1011
Ossa lungo l’asse (trazione) 1.8 1010
Ossa lungo l’asse (compressione)
0.9 1010
Vasi sanguigni 2 105
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Momento di una forzaEquilibrio staticoLe leveL’elasticitàSforzo e stiramento nelle ossa
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Sforzo e stiramento nelle ossa
trazione
compressione
Sforzo terminale compressivo (S)
Sforzo terminale tensile (S)
s (F/A) Nm-2 x 107
e (Dl/l) x 10-3
5
10
15
-15
-10
-5
-5-10-15 5 10 15
Le pendenze sono diverse (trazione ~
2x compressione)
I valori di S sono diversi tra compressione e
trazione
F=mg~103 N
A~1 cm2=10-4 m2
Le ossa sono più deformabili in compressione che in trazione
Lezione 9Corso di Laurea in Farmacia: Fisica
2019/2020 34Prossima lezione: I fluidi
Riassumendo
Le ossa hanno valori diversi per lo stiramento a seconda che lo sforzo sia in compressione o trazione
La legge di Hooke è valida per molti casi reali
I momenti delle forze sono molto usati nel corpo umano (le leve).
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Esercizioda fare a
casa
Calcolare la forza FA che il supporto A esercita sul trampolino se una persona di 58 kgsta sulla sua estremità:
A) ignorando la massa del trampolino;B) tenendo conto della massa del trampolino di 35 kg e assumendo che il centro digravità del trampolino sia nel centro geometrico;
C) ignorando la massa del trampolino, con una persona che abbia una massa del 15%maggiore.
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Soluzione
A) FA = LmPg/l = 1700 N
B) FA = LmPg/l + (L-l)mTg/2l = 2000 N
C) FA’ = 1.15. FA = 2000 N
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Esercizio 1
Il femore di un adulto ha una sezione di circa 6 cm2 e la sostanza ossea di cui ècomposto ha un modulo di elasticità in compressione di 9x109 Nm-2. Prima dirompersi può sopportare un carico Smax pari a 1.7x108 Nm-2.Quanto vale l’intensità massima della forza che può essere applicata ?
Qual è l’accorciamento relativo che esso subisce subito prima dellarottura se assumiamo sempre valida una relazione di proporzionalità fra ilcarico e la deformazione?
N101.0)Nm10(17)m 10(6 A F 5-272-4MaxMax ´=´´´== s
100 volte il peso corporeo
% 1.90.019Nm109Nm1017
Yll
2-9
-27Max ==
´´
==D s
~ 1 cm
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Esercizio 2
Calcolare lo stiramento di un vaso sanguigno della sezione di 1 cm2 alquale sia applicata una forza di 10 N.
(ppm) milioneper parti 5.0105.0102
10 611
5
=´=´
= -e
Quanto varrebbe lo stiramento se il materiale fosse acciaio ?
2-524-2 Nm 10
m10N 10
cm 1N 10 ===s
% 505.0102
105
5
==´
=e
SforzoStiramento
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N 2000 sm 9,8 kg 210 2 »×=F
Per ogni gamba F ~ 1000 N
A=10 cm2
l = 40 cmPer le ossa:Y= 0,9·1010 N/m2 compressioneY= 1,8·1010 N/m2 trazione
lΔlY
AF=
La gamba si accorcia di:
mN100,9
cm 40cm 10
N 1000 Yl
AF Δl
210
2×
×=×=cm 100,9
m 104 11
24
××
=
m 100,9
104 9
4
××
= m 0,94 9410 -×= m 10 4,4 -5×=
m 10100,9m 104 2-11
24
×××
=
Esercizio 3
F F