ÁLGEBRA DE BOOLE B.1 - DIAGRAMA DE VENN No século XIX Georges Boole desenvolveu uma teoria matemática com base nas leis da lógica - a Álgebra de Boole - cuja aplicação nos circuitos digitais e computadores é de primordial importância. A lógica matemática tem por base a teoria dos conjuntos, podendo utilizar-se meios gráficos como forma de representar propriedades.

1

Diagrama de Venn

A A

Fig 26

Admitindo que o conjunto Universo é o dos números inteiros, pode definir-se:

A - conjunto dos números pares B - conjunto dos múltiplos de 3

Aplicando sobre estes conjuntos as operações lógicas básicas, obtém-se:

2

A.B - Conjunto dos números pares e múltiplos de 3 Conjunção, intersecção ou produto lógico

A B

Fig 27

3

A+B - Conjunto dos números pares ou múltiplos de 3 União, disjunção ou soma lógica

A B

Fig 28

4

A_

- Conjunto dos números ímpares Complemento ou negação

A B

Fig 29

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B.2 - AXIOMAS DA ÁLGEBRA DE BOOLE Sendo B, definem-se as propriedades seguintes para a estrutura {B, +, .}. B.2.1 - Soma e produto são operações fechadas

a, b B : a + b B

a, b B : a . b B

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B.2.2 – Comutatividade

a, b B : a + b = b + a

a, b B : a . b = b . a

B.2.3 - Existência de elemento neutro

u B, a B : a + u = a

v B, a B : a . v = a

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B.2.4 - Distributividade das duas operações uma em relação à outra

a, b, c B : a + (b . c) = (a + b) . (a + c)

a, b, c B : a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

B.2.5 – Complementação

a B, a B : a + a = v

a B, a B : a . a = u

_ _

_ _

8

B.3 - TEOREMAS DA ÁLGEBRA DE BOOLE B.3.1 - Unicidade dos elementos neutros O elemento u é único. Demonstração Sejam u1 e u2 dois elementos neutros da soma.

u1 + u2 = u1 (B.2.3) u1 + u2 = u2 (B.2.3) u1 + u2 = u2 + u1 (B.2.2) u1 = u2

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O elemento v é único. Demonstração Sejam v1 e v2 dois elementos neutros do produto.

v1 . v2 = v1 (B.2.3) v1 . v2 = v2 (B.2.3) v1 . v2 = v2 . v1 (B.2.2) v1 = v2

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B.3.2 - Idempotência

a B : a + a = a Demonstração

a + a = (a + a) . 1 (B.2.3) a + a = (a + a) . (a + a) (B.2.5) = a + (a . a) (B.2.4) = a + 0 (B.2.5) = a (B.2.3)

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a B : a . a = a Demonstração

a . a = (a . a) + 0 (B.2.3) a . a = (a . a) + (a . a) (B.2.5) = a . (a + a) (B.2.4) = a . 1 (B.2.5) = a (B.2.3)

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B.3.3 - Elementos absorventes

a B : a +1 = 1 Demonstração

a + 1 = (a + 1) . 1 (B.2.3) = (a + 1) . (a + a) (B.2.5) = a + (1 . a) (B.2.4) = a + a (B.2.3) = 1 (B.2.5)

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a B : a . 0 = 0 Demonstração

a . 0 = (a . 0) + 0 (B.2.3) = (a . 0) + (a . a) (B.2.5) = a . (0 + a) (B.2.4) = a . a (B.2.3) = 0 (B.2.5)

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B.3.4 - Absorção

a, b B : a + (a . b) = a Demonstração

a + (a . b) = (a . 1) + (a . b) (B.2.3) = a . (1 + b) (B.2.4) = a . 1 (B.3.3) = a (B.2.3)

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a, b B : a . (a + b) = a Demonstração

a . (a + b) = (a + 0) . (a + b) (B.2.3) = a + (0 . b) (B.2.4) = a + 0 (B.3.3) = a (B.2.3)

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B.3.5 - Princípio da dualidade Toda a afirmação ou identidade algébrica dedutível dos axiomas e definições de uma Álgebra de Boole permanece válida se as operações (+) e (.), e os elementos neutros u e v forem trocados. Este princípio resulta da simetria das definições e axiomas em relação às duas operações e aos dois elementos neutros.

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B.3.6 - Unicidade do elemento a

Demonstração

Supor que a1 e a2 são ambos complementos de a.

a1 . 1 = a1 (B.2.3) a1 . (a + a2) = a1 (B.2.5) a1 . a + a1 . a2 = a1 (B.2.4) 0 + a1 . a2 = a1 (B.2.5) a1 . a2 = a1 (B.2.3) a2 . a1 = a1 (B.2.2) a2 . a1 + 0 = a1 (B.2.3) a2 . a1 + a2 . a = a1 (B.2.5) a2 . (a1 + a) = a1 (B.2.4) a2 . 1 = a1 (B.2.5) a2 = a1 (B.2.3)

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B.3.7 - Involução

Pela definição de complemento conclui-se que

a = a B.3.8 - Leis de De Morgan

1 2 = 1 2a + a a . a 1 2 = 1 2a . a a + a

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Prova-se o teorema recorrendo às igualdades

(a1 + a2) + (a1 . a2) = 1 (a1 + a2) . (a1 . a2) = 0

que por B.3.6 e B.2.5 permitem concluir que a1 . a2 é o complemento único de a1 + a2. Para a demonstração recorre-se aos lemas:

L1a : a1 + (a1 + a2) = 1 L1b : a1 . (a1 . a2) = 0

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Demonstração de L1a a1 + (a1 + a2) = 1 . [a1 + (a1 + a2)] (B.2.3) = (a1 + a1).[a1 + (a1 + a2)] (B.2.5) = a1 + [a1 . (a1 + a2)] (B.2.4) = a1 + a1 (B.3.4) = 1 (B.2.5) A demonstração de L1b é dual de L1a.

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Demonstração de B.3.9 (a1+a2)+(a1.a2)=[(a1+a2)+a1].[(a1+a2)+a2] (B.2.4) = 1 . 1 (L1a) = 1 (B.2.3) (a1+a2).(a1.a2)=a1.(a1.a2)+a2.(a1.a2) (B.2.4) = 0 . 0 (L1a) = 0 (B.2.3) Por B.2.5 e B.3.6 conclui-se que

1 2 = 1 2a + a a . a

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A demonstração de 1 2 = 1 2a . a a + a é dual da anterior. As leis de De Morgan generalizam-se para n elementos.

1 ... n = 1 ... na + + a a . . a 1 ... n = 1 ... na . . a a + + a

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B.3.9 – Associatividade

a, b, c B : (a + b) + c = a + (b + c)

a, b, c B : (a . b) . c = a . (b . c)

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B.4 - ÁLGEBRA DE BOOLE A DOIS VALORES A Álgebra de Boole a dois valores baseia-se na utilização de 2 estados - 0 e 1, ou verdadeiro e falso - tal como o funcionamento dos circuitos digitais binários. Convenciona-se representar o conjunto vazio por 0 e o universo por 1.

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B.4.1 - Tabelas das operações

Soma lógica Produto lógico Complementação

0 + 0 = 0 0 . 0 = 0 0 + 1 = 1 0 . 1 = 0 0 = 1 1 + 0 = 1 1 . 0 = 0 1 = 0 1 + 1 = 1 1 . 1 = 1

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B.4.2 - Leis da Álgebra de Boole a 2 valores Soma lógica Produto lógico

El. neutro 0 + a = a 1 . a = a El. absorvente 1 + a = 1 0 . a = 0 Idempotência a + a = a a . a = a Complementaridade a + a = 1 a . a = 0 Comutatividade a + b = b + a a . b = b . a Associatividade a + (b + c) = (a + b) + c a . (b . c) = (a . b) . c Distributividade a + b.c = (a + b).(a + c) a.(b + c) = a.b + a.c Absorção a + a.b = a a.(a + b) = a Absorção a + a.b = a + b a.(a + b) = a.b Leis de De Morgan 1 2 1 2a + a = a . a 1 2 1 2a . a = a + a

Leis de De Morgan 1 n 1 na + ... + a = a . ... . a 1 n 1 na . ... . a = a + ... + a

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B.4.3 - Simplificação algébrica de funções lógicas A um circuito lógico corresponde uma determinada expressão lógica ou booleana. Simplificar uma expressão corresponde a chegar-se a um circuito menos complexo e com menos portas.

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Exemplo de simplificação

d = c.b.a + c.b.a + b.a + c.b.a Utilizando as propriedades comutativa (B.2.2) e distributiva (B.2.4) obtém-se

d = c.a.(b + b) + b.a.(1 + c) Pela propriedade de complementação (B.2.5) e elemento absorvente (B.3.3) vem

d = c.a.1 + b.a.1

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Assim

d = c.a + b.a O método algébrico não garante a obtenção da expressão mais simples. Para tal utiliza-se um método gráfico de simplificação.

30

B.4.4 - Aplicação da Álgebra de Boole aos circuitos digitais Exemplo de aplicação da propriedade do elemento neutro do produto lógico para transformar uma porta AND de 3 entradas numa porta AND de 2 entradas.

AB

S1

Fig 30

A equação do circuito é S = 1 . A . B

31

A saída S só é 1 quando A e B são simultaneamente 1. Logo pode-se considerar que o circuito acima é equivalente a um circuito AND de 2 entradas.

AB

S1 A

BS Fig 31

Prova-se deste modo que o 1 lógico é o elemento neutro do AND ou produto lógico.

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Se ligarmos uma das entradas do circuito AND ao 0 lógico, a equação S = A.B.C fica

S = A.B.0 Pela definição do AND basta haver uma entrada a zero para que a saída seja 0. Assim vem S = A.B.0 = 0. Esta propriedade indica que 0 é o elemento absorvente do circuito AND ou produto lógico.

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Uma outra aplicação da propriedade do elemento neutro permite a transformação de um circuito NAND numa porta NOT.

SA

1

S = A . 1

Fig 32

Sendo A.1 = A a equação do circuito reduz-se a

S = A Logo, o circuito anterior é equivalente a uma negação, desde que a outra entrada esteja ligada ao 1 lógico.

34

Outra forma de realizar uma negação pode ser com base num circuito NAND ou NOR.

Fig 33

35

Uma outra propriedade, a involução, pode ser verificada com 2 circuitos NOT.

A A AS

Fig 34 Quando A=0 então A=1 e A=0, pois é a negação de A. Quando A=1 então A=0 e A=1, pois é a negação de A. Fica assim provado que duas negações seguidas formam uma afirmação, ou seja

A = A

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Também as leis de De Morgan podem ser aplicadas aos circuitos digitais. A 1ª lei de De Morgan diz que um AND com saída negada é equivalente a um OR com entradas negadas.

Fig 35

O 2º circuito é dual do 1º mas são ambos NAND.

37

Tabela de verdade dos símbolos NAND

A B A . B A + B 0 0 0 . 0 = 0 = 1 0 + 0 = 1 + 1 = 1 0 1 0 . 1 = 0 = 1 0 + 1 = 1 + 0 = 1 1 0 1 . 0 = 0 = 1 1 + 0 = 0 + 1 = 1 1 1 1 . 1 = 1 = 0 1 + 1 = 0 + 0 = 0

As duas colunas da direita são iguais pelo que fica provada a igualdade

A . B = A + B

38

A 2ª lei de De Morgan afirma que um OR com a saída negada é equivalente a um AND com as entradas negadas.

Fig 36

O 2º circuito é dual do 1º mas são ambos NOR.

39

Tabela de verdade dos símbolos NOR

A B A + B A · B 0 0 0 + 0 = 0 = 1 0 . 0 = 1 . 1 = 1 0 1 0 + 1 = 1 = 0 0 . 1 = 1 . 0 = 0 1 0 1 + 0 = 1 = 0 1 . 0 = 0 . 1 = 0 1 1 1 + 1 = 1 = 0 1 . 1 = 0 . 0 = 0

As duas colunas da direita são iguais pelo que fica provada a igualdade

A + B = A . B

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Exemplo de realização de um AND a partir apenas de portas NOR.

Fig 37

Os circuitos NOR 1 e 2 são utilizados para fazer as negações dos sinais de entrada.

Tem-se assim à entrada do NOR 3: A e B.

41

Considerando o NOR 3 composto por um OR seguido de um NOT, à saída do OR tem-se a soma A + B.

À saída do circuito total tem-se então A + B. A 2ª lei de De Morgan diz que A + B = A . B . Do ponto de vista prático pode utilizar-se a seguinte regra: o 2º membro obtém-se do 1º dividindo em duas a barra por cima do sinal (+) e trocando-o por (·). Aplicando esta regra à expressão A + B obtém-se

A . B

que por sua vez é A · B .

42

Do mesmo modo pode realizar-se um circuito OR a partir apenas de portas NAND.

A

B

A

B

A . B = A + B

Fig 38 Aplicando a 1ª lei de De Morgan divide-se a barra e substitui-se o (·) pelo (+).

A . B = A + B = A + B

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Exemplo de circuito típico em sistemas digitais

A

B

C

D

A.B

C.D

S = A.B + C.D

Fig 39

O circuito da figura acima tem a equação

S = A.B + C.D

44

Para realizar este circuito é necessário utilizar 2 circuitos integrados: um com portas OR e outro com portas AND.

Através de um artifício pode alterar-se esta situação, uniformizando o tipo de portas a usar.

Sabendo que 2 negações seguidas são uma afirmação vem

Fig 40

Apesar do circuito ser diferente, a função lógica realizada é a mesma.

45

Substituindo agora a porta da direita (NAND) por outra equivalente tem-se

Fig 41

Aplicando a 1ª lei de De Morgan à saída deste circuito seguida da involução fica

A.B . C.D = A.B + C.D = A.B + C.D

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Os circuitos NAND e NOR são os mais largamente utilizados pois permitem construir quaisquer circuitos básicos, nomeadamente AND, OR e NOT. Para além disso têm uma estrutura electrónica mais simples o que é vantajoso em termos de espaço e energia consumida.

47

B.4.5 - Portas "XOR" e Equivalência Um circuito que existe também na forma integrada é o somador de 1 bit, "ou exclusivo" ou XOR (exclusive or). A

BS S = A B

Fig 42

Este circuito tem saída 1 quando uma das entradas é 1, mas tem saída 0 se ambas as entradas forem simultaneamente 0 ou 1.

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Tabela de verdade do circuito XOR

A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Como a saída é 1 quando A=0 e B=1 ou A=1 e B=0, então o circuito XOR pode ser realizado pela expressão seguinte:

S = A.B + A.B

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A B S = A.B + A.B 0 0 0.0 + 0.0 = 0 + 0 = 0 0 1 0.1 + 0.1 = 1 + 0 = 1 1 0 1.0 + 1.0 = 0 + 1 = 1 1 1 1.1 + 1.1 = 0 + 0 = 0

Para a realização deste circuito são necessários dois AND, um OR e dois NOT.

50

Fig 43

Pode, no entanto, realizar-se a mesma função XOR só com circuitos NAND.

Fig 44

51

Confirmação:

A.A.B . B.A.B = A.A.B + B.A.B (B.3.8) = A.A.B+B.A.B (B.3.7) = A.(A + B) + B.(A + B) (B.3.8) = A.A + A.B + B.A + B.B (B.2.4) = 0 + A.B + B.A + 0 (B.2.5) = A.B + B.A (B.2.3)

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Outro circuito simples existente na forma de circuito integrado é o circuito equivalência. É um circuito com 2 entradas que tem saída 1 quando A=B, ou seja, quando A=1 e B=1 ou A=0 e B=0. O circuito equivalência tem uma tabela de verdade que é a negação da tabela do cirucito NOR, logo pode obter-se negando a saída do NOR.

Fig 45

53

Tabela de verdade do circuito equivalência

A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

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B.4.6 - Funções booleanas de 2 variáveis Tabela de funções

x1 0 1 0 1 Designação x2 0 0 1 1 y0 0 0 0 0 zero y1 0 0 0 1 produto lógico, ou AND (y = x1.x2) y2 0 0 1 0 inibição, ou NIX (y = x1 NIX x2) y3 0 0 1 1 x2 (y = x2) y4 0 1 0 0 inibição, ou NIX (y = x2 NIX x1) y5 0 1 0 1 x1 (y = x1) y6 0 1 1 0 soma módulo 2, ou exclusivo, ou

XOR (y = x1 x2) y7 0 1 1 1 soma lógica, ou OR (y = x1 OR x2) y8 1 0 0 0 NOR (y = x1 NOR x2 ,

ou y = x1 + x2) y9 1 0 0 1 equivalência (y = x1 x2)

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y10 1 0 1 0 complementação de x1, (y = x1) y11 1 0 1 1 implicação material (x1 x2) y12 1 1 0 0 complementação de x2, (y = x2) y13 1 1 0 1 implicação material (x2 x1) y14 1 1 1 0 NAND (y = x1 NAND x2 ,

ou y = x1 . x2) y15 1 1 1 1 unidade ou identidade

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Estas funções podem ser escritas com base nas 3 operações básicas AND, OR e NOT.

57

y0 = 0 y8 = x1 + x2 y1 = x1.x2 y9 = x1.x2 + x1.x2 y2 = x1.x2 y10 = x1 y3 = x2 y11 = x1 + x2 y4 = x2.x1 y12 = x2 y5 = x1 y13 = x1 + x2 y6 = x1.x2 + x1.x2 y14 = x1 . x2 y7 = x1 + x2 y15 = 1