Álgebra II Práctica (clase 2)cms.dm.uba.ar/academico/materias/1ercuat2020/algebra_II/Clase2020-04-17.pdfI. Sadofschi Costa ´Algebra II Pr ´actica (clase 2) 2020/04/17. Algunos

Algebra II Practica (clase 2)

Ivan Sadofschi Costa

Universidad de Buenos Aires

17 de Abril de 2020

Prerrequisitos

Para leer estas diapositivas se recomienda haber leıdo el apunte teoricohasta la Seccion 1.4 (inclusive).

I. Sadofschi Costa Algebra II Practica (clase 2) 2020/04/17

El grupo opuesto

Dado un grupo (G , ∗) podemos considerar el grupo opuesto Gop cuyoselementos son los elementos de G y cuya operacion ∗op esta definida porg ∗op h = h ∗ g .

El ejercicio 6 de la Practica 1 nos pide probar que Gop es un grupo.Ahora, antes de continuar leyendo, es un buen momento para resolver esteejercicio!

ProposicionSea G un grupo. Entonces G y Gop son isomorfos.

En efecto i : G → Gop

dado por g 7→ g−1 es un isomorfismo.

Antes de ver la demostracion de esta proposicion es buena idea haceralgunos comentarios generales.


El grupo opuesto


El ejercicio 6 de la Practica 1 nos pide probar que Gop es un grupo.

Ahora, antes de continuar leyendo, es un buen momento para resolver esteejercicio!






El grupo opuesto








El grupo opuesto








El grupo opuesto



ProposicionSea G un grupo. Entonces G y Gop son isomorfos. En efecto i : G → Gop




El grupo opuesto







Algunos comentariosEn la materia (y en algebra en general) vamos a encontrarnos conejercicios que dicen

“probar que G es un grupo”“probar que f es un morfismo”“probar que el diagrama conmuta”“probar que f se extiende a un morfismo”“probar que ... es una accion por automorfismos”...

Algunas de estas frases todavıa no aparecieron en la materia, no sepreocupen!

A veces frases similares aparecen como afirmaciones en el medio de unademostracion: “Se tiene que f es morfismo y entonces...”.En cualquier caso hay que hacer verificaciones!Para esto es importante tener claro cual es el conjunto de verificacionesque debemos realizar.




Algunas de estas frases todavıa no aparecieron en la materia, no sepreocupen!A veces frases similares aparecen como afirmaciones en el medio de unademostracion: “Se tiene que f es morfismo y entonces...”.

En cualquier caso hay que hacer verificaciones!Para esto es importante tener claro cual es el conjunto de verificacionesque debemos realizar.




Algunas de estas frases todavıa no aparecieron en la materia, no sepreocupen!A veces frases similares aparecen como afirmaciones en el medio de unademostracion: “Se tiene que f es morfismo y entonces...”.En cualquier caso hay que hacer verificaciones!

Para esto es importante tener claro cual es el conjunto de verificacionesque debemos realizar.




Algunas de estas frases todavıa no aparecieron en la materia, no sepreocupen!A veces frases similares aparecen como afirmaciones en el medio de unademostracion: “Se tiene que f es morfismo y entonces...”.En cualquier caso hay que hacer verificaciones!Para esto es importante tener claro cual es el conjunto de verificacionesque debemos realizar.


Algunos comentarios (cont.)

En algebra es usual que la definicion de un objeto matematico estepensada para minimizar la cantidad de verificaciones que debemos hacerpara ver que algo cumple la definicion.

Por ejemplo, para chequear que f : G → H es morfismo de grupos hay quechequear que f (g1g2) = f (g1)f (g2) para todos g1, g2 ∈ G . Porque esta esla definicion de morfismo.

Un morfismo de grupos ademas cumple f (1G) = 1H , pero esto es unapropiedad que cumple cualquier morfismo de grupos, no parte de ladefinicion. No hay que verificar esto para ver que f es morfismo!

Siempre hay que tener en claro que cosas son propiedades del objeto y cuales la definicion.





















Otra cosa a tener en cuenta. No tendrıa sentido probar que f : G → H esmorfismo si no sabemos de entrada que G y H son grupos. Por ejemplo sidefinimos la operacion ∗op en G y aun no verificamos que Gop es un grupono tendrıa sentido preguntarnos si i : G → Gop es morfismo.

En resumen, siempre es buena idea pensar que cosas hay que verificarantes de mandarse a probar una afirmacion.

Organizarse de esta forma ayuda mucho en algebra (y en matematica engeneral).












Demostracion de que G y Gop son isomorfos



Por el Ejercicio 6 de la Practica 1 sabemos que Gop es un grupo. Paraprobar la proposicion debemos verificar que:

i(g1 ∗ g2) = i(g1) ∗op i(g2) para g1, g2 ∈ G .i : G → G es una biyeccion.

Ahora a hacer la cuenta! Tenemos

i(g1 ∗ g2) = (g1 ∗ g2)−1 = g−12 ∗ g−1

1 = i(g2) ∗ i(g1) = i(g1) ∗op i(g2)

para g1, g2 ∈ G .

Ademas i(i(g)) = (g−1)−1 = g y entonces i es biyectiva (es su propiainversa).








i(g1 ∗ g2) = (g1 ∗ g2)−1 = g−12 ∗ g−1

1 = i(g2) ∗ i(g1) = i(g1) ∗op i(g2)

para g1, g2 ∈ G .







i(g1 ∗ g2) = i(g1) ∗op i(g2) para g1, g2 ∈ G .

i : G → G es una biyeccion.Ahora a hacer la cuenta! Tenemos

i(g1 ∗ g2) = (g1 ∗ g2)−1 = g−12 ∗ g−1

1 = i(g2) ∗ i(g1) = i(g1) ∗op i(g2)

para g1, g2 ∈ G .









i(g1 ∗ g2) = (g1 ∗ g2)−1 = g−12 ∗ g−1

1 = i(g2) ∗ i(g1) = i(g1) ∗op i(g2)

para g1, g2 ∈ G .








Ahora a hacer la cuenta!

Tenemos

i(g1 ∗ g2) = (g1 ∗ g2)−1 = g−12 ∗ g−1

1 = i(g2) ∗ i(g1) = i(g1) ∗op i(g2)

para g1, g2 ∈ G .









i(g1 ∗ g2) = (g1 ∗ g2)−1 = g−12 ∗ g−1

1 = i(g2) ∗ i(g1) = i(g1) ∗op i(g2)

para g1, g2 ∈ G .









i(g1 ∗ g2) = (g1 ∗ g2)−1 = g−12 ∗ g−1

1 = i(g2) ∗ i(g1) = i(g1) ∗op i(g2)

para g1, g2 ∈ G .



Mas sobre permutaciones

La convencion que vamos a utilizar de ahora en mas para operar conpermutaciones es que se multiplican al reves de como se componen lasfunciones.

Por ejemplo (1 2 3) · (3 5) = (1 2 5 3).

O sea que la convencion que tomamos es que la operacion en el gruposimetrico Sn es ◦op donde ◦ es la composicion de funciones.

Es razonable pensar esto como una convencion porque sabemos que G yGop son isomorfos.




Por ejemplo (1 2 3) · (3 5) = (1 2 5 3).






Por ejemplo (1 2 3) · (3 5) = (1 2 5 3).






Por ejemplo (1 2 3) · (3 5) = (1 2 5 3).




Matrices de permutacion (nuevamente!)Ahora que sabemos algo de morfismos tenemos herramientas para expresarcosas de la clase pasada de forma muy conceptual.

Fijado un n, recordemos que Eij es la matriz de n × n que tiene un 1 en ellugar (i , j) y 0 en las demas entradas.

Viene bien recordar la notacion de la delta de Kronecker

δx ,y ={

1 si x = y0 en caso contrario.

Dado σ ∈ Sn la matriz de permutacion Pσ esta dada porPσ =

∑ni=1 Ei ,σ(i).

Proposicionϕ : Sn → GL(n,Z), dado por σ 7→ Pσ, es un monomorfismo de grupos.

EjercicioAntes de avanzar intentar probar la proposicion anterior.





δx ,y ={



∑ni=1 Ei ,σ(i).







δx ,y ={



∑ni=1 Ei ,σ(i).







δx ,y ={



∑ni=1 Ei ,σ(i).







δx ,y ={



∑ni=1 Ei ,σ(i).







δx ,y ={



∑ni=1 Ei ,σ(i).




El signo de una permutacion


Correstringiendo el morfismo ϕ vemos que el grupo Sn es isomorfo alsubgrupo de GL(n,Z) formado por las matrices de permutacion.

Esto responde una de las cosas que les deje para pensar la clase anterior!












El signo de una permutacion (cont.)

ProposicionEl determinante det : GL(n,R)→ R× es morfismo de grupos y serestringe a un morfismo det : GL(n,Z)→ G2 = {1,−1} .

La demostracion queda de ejercicio. Si no es inmediato puede quenecesiten repasar un poco algebra lineal.

Ahora podemos definir el signo por sg = det ◦ ϕ. Inmediatamente de ladefinicion tenemos:

CorolarioEl signo sg : Sn → G2 es morfismo de grupos

Con un poquito de teorıa la definicion hace inmediatas varias propiedadesimportantes del signo!






























Demostracion de que ϕ es (mono)morfismoNotar que Ei ,jEk,l = δj,kEi ,l . En otras palabras Ei ,jEk,l es igual a Ei ,l sij = k y 0 en caso contrario.

Luego

ϕ(σ)ϕ(τ) = PσPτ =( n∑

i=1Ei ,σ(i)

) n∑j=1

Ej,τ(j)

=∑i ,j

Ei ,σ(i)Ej,τ(j)

=∑i ,jδσ(i),jEi ,τ(j)

=∑

iEi ,τ(σ(i))

= Pτ◦σ

= Pστ= ϕ(στ)

Por lo tanto ϕ es morfismo. Que es inyectivo es claro y que su imagenesta dada por las matrices de permutacion tambien.


Demostracion de que ϕ es (mono)morfismoNotar que Ei ,jEk,l = δj,kEi ,l . En otras palabras Ei ,jEk,l es igual a Ei ,l sij = k y 0 en caso contrario. Luego


i=1Ei ,σ(i)

) n∑j=1

Ej,τ(j)

=∑i ,j

Ei ,σ(i)Ej,τ(j)


=∑

iEi ,τ(σ(i))

= Pτ◦σ

= Pστ= ϕ(στ)



Demostracion de que ϕ es (mono)morfismoNotar que Ei ,jEk,l = δj,kEi ,l . En otras palabras Ei ,jEk,l es igual a Ei ,l sij = k y 0 en caso contrario. Luego


i=1Ei ,σ(i)

) n∑j=1

Ej,τ(j)

=∑i ,j

Ei ,σ(i)Ej,τ(j)


=∑

iEi ,τ(σ(i))

= Pτ◦σ

= Pστ= ϕ(στ)



El grupo alternante An

El grupo alternante en n elementos es An = ker(sg : Sn → G2).

Entoncescasi por definicion tenemos An / Sn.Sabemos que Sn tiene n! elementos. ¿Podemos saber cuantos elementostiene el grupo alternante con las herramientas vistas hasta ahora?Nuevamente, es buen momento para pensarlo!Pista: Como el signo es morfismo, el producto de una permutacion designo 1 y una de signo −1 tiene signo −1; el producto de dospermutaciones de signo −1 tiene signo 1.Demostracion: Elijamos una permutacion τ de signo −1 (esto se puedehacer si n ≥ 2, por ejemplo podemos tomar τ = (1 2)).Multiplicar a izquierda por τ da una funcion

{ permutaciones de signo 1 } → { permutaciones de signo −1 }cuya inversa es multiplicar a izquierda por τ−1 (notar que sg(τ−1) = −1).Entonces estos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos y por lotanto |An| = 1

2 |Sn| = n!2 si n ≥ 2.



El grupo alternante en n elementos es An = ker(sg : Sn → G2). Entoncescasi por definicion tenemos An / Sn.

Sabemos que Sn tiene n! elementos. ¿Podemos saber cuantos elementostiene el grupo alternante con las herramientas vistas hasta ahora?Nuevamente, es buen momento para pensarlo!Pista: Como el signo es morfismo, el producto de una permutacion designo 1 y una de signo −1 tiene signo −1; el producto de dospermutaciones de signo −1 tiene signo 1.Demostracion: Elijamos una permutacion τ de signo −1 (esto se puedehacer si n ≥ 2, por ejemplo podemos tomar τ = (1 2)).Multiplicar a izquierda por τ da una funcion


2 |Sn| = n!2 si n ≥ 2.



El grupo alternante en n elementos es An = ker(sg : Sn → G2). Entoncescasi por definicion tenemos An / Sn.Sabemos que Sn tiene n! elementos. ¿Podemos saber cuantos elementostiene el grupo alternante con las herramientas vistas hasta ahora?Nuevamente, es buen momento para pensarlo!

Pista: Como el signo es morfismo, el producto de una permutacion designo 1 y una de signo −1 tiene signo −1; el producto de dospermutaciones de signo −1 tiene signo 1.Demostracion: Elijamos una permutacion τ de signo −1 (esto se puedehacer si n ≥ 2, por ejemplo podemos tomar τ = (1 2)).Multiplicar a izquierda por τ da una funcion


2 |Sn| = n!2 si n ≥ 2.



El grupo alternante en n elementos es An = ker(sg : Sn → G2). Entoncescasi por definicion tenemos An / Sn.Sabemos que Sn tiene n! elementos. ¿Podemos saber cuantos elementostiene el grupo alternante con las herramientas vistas hasta ahora?Nuevamente, es buen momento para pensarlo!Pista: Como el signo es morfismo, el producto de una permutacion designo 1 y una de signo −1 tiene signo −1; el producto de dospermutaciones de signo −1 tiene signo 1.

Demostracion: Elijamos una permutacion τ de signo −1 (esto se puedehacer si n ≥ 2, por ejemplo podemos tomar τ = (1 2)).Multiplicar a izquierda por τ da una funcion


2 |Sn| = n!2 si n ≥ 2.



El grupo alternante en n elementos es An = ker(sg : Sn → G2). Entoncescasi por definicion tenemos An / Sn.Sabemos que Sn tiene n! elementos. ¿Podemos saber cuantos elementostiene el grupo alternante con las herramientas vistas hasta ahora?Nuevamente, es buen momento para pensarlo!Pista: Como el signo es morfismo, el producto de una permutacion designo 1 y una de signo −1 tiene signo −1; el producto de dospermutaciones de signo −1 tiene signo 1.Demostracion: Elijamos una permutacion τ de signo −1 (esto se puedehacer si n ≥ 2, por ejemplo podemos tomar τ = (1 2)).

Multiplicar a izquierda por τ da una funcion{ permutaciones de signo 1 } → { permutaciones de signo −1 }

cuya inversa es multiplicar a izquierda por τ−1 (notar que sg(τ−1) = −1).Entonces estos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos y por lotanto |An| = 1

2 |Sn| = n!2 si n ≥ 2.



El grupo alternante en n elementos es An = ker(sg : Sn → G2). Entoncescasi por definicion tenemos An / Sn.Sabemos que Sn tiene n! elementos. ¿Podemos saber cuantos elementostiene el grupo alternante con las herramientas vistas hasta ahora?Nuevamente, es buen momento para pensarlo!Pista: Como el signo es morfismo, el producto de una permutacion designo 1 y una de signo −1 tiene signo −1; el producto de dospermutaciones de signo −1 tiene signo 1.Demostracion: Elijamos una permutacion τ de signo −1 (esto se puedehacer si n ≥ 2, por ejemplo podemos tomar τ = (1 2)).Multiplicar a izquierda por τ da una funcion

{ permutaciones de signo 1 } → { permutaciones de signo −1 }cuya inversa es multiplicar a izquierda por τ−1 (notar que sg(τ−1) = −1).

Entonces estos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos y por lotanto |An| = 1

2 |Sn| = n!2 si n ≥ 2.



El grupo alternante en n elementos es An = ker(sg : Sn → G2). Entoncescasi por definicion tenemos An / Sn.Sabemos que Sn tiene n! elementos. ¿Podemos saber cuantos elementostiene el grupo alternante con las herramientas vistas hasta ahora?Nuevamente, es buen momento para pensarlo!Pista: Como el signo es morfismo, el producto de una permutacion designo 1 y una de signo −1 tiene signo −1; el producto de dospermutaciones de signo −1 tiene signo 1.Demostracion: Elijamos una permutacion τ de signo −1 (esto se puedehacer si n ≥ 2, por ejemplo podemos tomar τ = (1 2)).Multiplicar a izquierda por τ da una funcion


2 |Sn| = n!2 si n ≥ 2.


¿Que sigue?

Las proximas secciones del apunte Teorico son Coclases y Cocientes.

Las ideas que aparecen en esas secciones generalizan ampliamente elargumento “a mano” que utilizamos para probar que |An| = 1

2 |Sn|.

Esto sera un corolario inmediato de los resultados de esas secciones.


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