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Álgebra Linear 1º Folha de apoio ao estudo Sumário: ü Operações algébricas com matrizes: adição de matrizes, multiplicação de um escalar por
uma matriz e multiplicação de matrizes. ü Característica de uma matriz.
Exercícios resolvidos
1. Considere as matrizes
úúú
û
ù
êêê
ë
é-=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
---
=úúú
û
ù
êêê
ë
é
-
-=
500121
401121301
4123010021
CBA e calcule:
a) BA+2 b) BA 2- c) CA´
Proposta de resolução: 1.a) Aplicação da operação multiplicação de um escalar por uma matriz
( )
( ) úúú
û
ù
êêê
ë
é
-
-=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
´-´´´´´´-´´
=úúú
û
ù
êêê
ë
é
-
-=
8246020042
4212223202102022212
4123010021
22A
Verificação de que a operação “soma de matrizes” é possível e identificação da dimensão da matriz que se pretende calcular ( )( ) ( ) ( )( )333333 22 ´´´ +=+ BABA
Aplicação da operação “soma de matrizes” ( )( )( ) ú
úú
û
ù
êêê
ë
é
-
-=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
++--+++-+++--+
=úúú
û
ù
êêê
ë
é
---
+úúú
û
ù
êêê
ë
é
-
-=+
12237219341
4802141620120300412
401121301
8246020042
2 BA 1.b)
Aplicação da operação “multiplicação de um escalar por uma matriz”
A B C D=-é
ë
êêê
ù
û
úúú
=-é
ë
êêê
ù
û
úúú
= --
é
ë
êêê
ù
û
úúú
=-é
ëê
ù
ûú
1 1 20 1 32 1 2
1 3 21 2 11 0 3
4 1 02 1 13 1 2
1 21 3
Verificação de que a soma de matrizes é possível e identificação da dimensão da matriz que se pretende calcular ( ) ( )( ) ( )( )333333 22 ´´´ -=-+ BABA
Aplicação da operação “soma de matrizes”
úúú
û
ù
êêê
ë
é
---
--=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
-+-+--+-+-+
=úúú
û
ù
êêê
ë
é
----
+úúú
û
ù
êêê
ë
é
-
-=-
4141412623
8401222340210600221
802242602
4123010021
2BA 1.c)
Verificação de que a operação “produto de matrizes” é possível e identificação da dimensão da matriz que se pretende calcular
( ) ( ) ( )( )232333 ´´´ =´ ACCA
Aplicação da operação “produto de matrizes”
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) úúú
û
ù
êêê
ë
é=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
´+´-+´´+-´-+´´+´+´´+-´+´´+´-+´´+-´-+´
=úúú
û
ù
êêê
ë
é-´
úúú
û
ù
êêê
ë
é
-
-=
243351023
54012204111253002100310110500221001211
500121
4123010021
AC
2. Sendo
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
-=ú
û
ùêë
é -=
4311
1210
54103121BA , determine a característica ( )BACar
Proposta de resolução: Verificação de que a operação “produto de matrizes” é possível e identificação da dimensão da matriz que se pretende calcular
( ) ( ) ( )( )444224 ´´´ =´ BAAB
Aplicação da operação “produto de matrizes”
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ú
úúú
û
ù
êêêê
ë
é
--=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
´+´´+-´´+´´+´´+´-´+-´-´+´-´+´-
´+´´+-´´+´´+´´+´´+-´´+´´+´
=úû
ùêë
é -´
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
-=
2315619141283315410
54314411142104115332431213220312
51314111112101115130411011200110
54103121
4311
1210
BA
Condensação da matriz
A B=-é
ëê
ù
ûú =
-
é
ë
êêêê
ù
û
úúúú
1 2 1 30 1 4 5
0121
1134
Identificação da característica da matriz A B=
-é
ëê
ù
ûú =
-
é
ë
êêêê
ù
û
úúúú
1 2 1 30 1 4 5
0121
1134
Exercícios propostos
1. Considere as matrizes úû
ùêë
é-
=úúú
û
ù
êêê
ë
é
--=
úúú
û
ù
êêê
ë
é-=
úúú
û
ù
êêê
ë
é -=
3121
213112014
301121231
212310211
DCBA e calcule:
a) BA 3+ b) CA 23 - c) CAB + d) ( )CBA+ e BCAC +
e) AB e BA f) ( )A32 e A6
g) 3D
2. Seja A =-é
ëê
ù
ûú
1 11 2
a) Mostre que a matriz A é permutável com 2A
b) Calcule ( )23 AA + 3. Determine a característica das seguintes matrizes:
A B C= -é
ë
êêê
ù
û
úúú
=- -
- -é
ë
êêê
ù
û
úúú
= -- -
é
ë
êêê
ù
û
úúú
1 0 11 2 31 1 2
0 3 32 0 21 4 5
0 1 2 37 1 0 42 2 5 1
4. Discuta a característica da matriz A em função de a e b
A ab
= -é
ë
êêê
ù
û
úúú
1 2 11 21 2
Exercícios de consolidação
1. Dada a matriz Bx
=é
ëê
ù
ûú
2 31
, calcular o valor de x para o qual a matriz Bx
=é
ëê
ù
ûú
2 31 satisfaz a
equação 032 =-- IBB
2. Sendo
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
---
--
=
57441331311123
4312a
a
A , calcule os valores de a para os quais ( ) 2=ACar
3. Sendo Aa b
a cb c
=-
--
é
ë
êêê
ù
û
úúú
00
0, calcule a matriz X , tal que ( ) 02223 =-+++ XAcbaA
4. Determine a matriz X que verifica a seguinte igualdade: ( )CBXA -=- 23
A B C=é
ëê
ù
ûú =
-é
ëê
ù
ûú =
- --é
ëê
ù
ûú
1 12 1
8 81 0
3 25 0
5. Seja ( ) 12 ++= xxxf , calcule ( )Af , sendo A =é
ëê
ù
ûú
1 05 4
6. Encontre uma matriz Bx
=é
ëê
ù
ûú
2 31 de 2ª ordem, sem elementos nulos, tal que B x
=é
ëê
ù
ûú
2 31
Soluções: Exercícios propostos
1. a)
-é
ë
êêê
ù
û
úúú
2 8 83 7 65 1 11
b)
- --é
ë
êêê
ù
û
úúú
5 5 64 1 110 5 2
c)
4 2 76 3 94 7 13
é
ë
êêê
ù
û
úúú
d)
úúú
û
ù
êêê
ë
é
-
-
912950226216
e)
16 2 622 0 529 1 9
-
-
é
ë
êêê
ù
û
úúú
,
16 2 622 0 529 1 9
-
-
é
ë
êêê
ù
û
úúú
f)
6 6 120 6 1812 6 12
-é
ë
êêê
ù
û
úúú
g) --é
ëê
ù
ûú
9 2211 13
3. ( ) 3=ACar , ( ) 2=BCar , ( ) 3=CCar Exercícios de consolidação 1.
0 0 00 0 00 0 0
é
ë
êêê
ù
û
úúú
2. 0 0 00 0 00 0 0
é
ë
êêê
ù
û
úúú
3.
0 0 00 0 00 0 0
é
ë
êêê
ù
û
úúú
4. - --
é
ëê
ù
ûú
19 172 3
5. 3 030 21é
ëê
ù
ûú
6. 1 11 1
--
é
ëê
ù
ûú , por exemplo
Álgebra Linear 2º Folha de apoio ao estudo Sumário: ü Cálculo de determinantes por aplicação do Teorema de Laplace. ü Cálculo de determinantes por aplicação das suas propriedades.
Exercícios resolvidos
1. Calcule o determinante D =- -
- --
5 2 07 2 49 2 3
pelo Teorema de Laplace:
Proposta de resolução: Cálculo dos menores complementares, jM 1 , considerando que a aplicação do Teorema de Laplace é
efectuada à 1ªlinha. Aplicação da regra prática para calcular os determinantes de 2ªordem.
D =- -
- --
5 2 07 2 49 2 3
Cálculo dos complementos algébricos, ( ) ijji
j MA +-= 11 , associados à 1ªlinha
D =- -
- --
5 2 07 2 49 2 3
Cálculo do determinante
( )( ) ( )( ) ( ) 1841147040572145
1111 =+=+--+--==D å
=
n
jjj Aa
2. Calcule os seguintes determinantes, utilizando apenas as propriedades:
121432001
1 =D e D1 =a b cc a bb c a
Proposta de resolução:
D =1 0 02 3 41 2 1
( )( )( )
( )( )
( )( )( )( )cdbcaba
cdbcbcabababaaaa
bdbcbcbcabababaaaa
adacabacacababababaaaa
dcbaccbabbbaaaaa
LLL
LLLLLL
LLLLLLLLL
---=
------
=
=
-------
=
---------
==D
+´-=
+´-=+´-=
+´-=+´-=+´-=
00000
0
0000
0
000
434
424323
414313212
1
11
1112
Exercícios propostos 1. Calcule os seguintes determinantes pelo teorema de Laplace: a) à 1ª linha b) à 2ª coluna c) à 3ª linha
D1
2 5 41 4 21 3 0
=-
- - D2
1 1 2 33 2 2 02 1 3 14 0 1 5
=
----
2. Calcule os seguintes determinantes utilizando as propriedades:
1221325231021211314520013
1
-----
--
=D
dcbadcbadcbadcba
------
=D2
bbabaabaa
ba
22132
01
3
---++-+
=D
D5
1 1 10 1 11 0 11 1 0
=
abcd
3333
22225
1111
dcbadcbadcba
=D
x
xx
...111...............1...111...111...111
6 =D
3. Determine as raízes das equações:
a) xx x
30= b)
x x x xx x x
x xx
12 13 2 1
0=
Exercícios de consolidação
1. Seja
1133121411323105
---
-
=D
a) Identifique 333123221211 ,,,,, aaaaaa .
b) Calcule o valor do determinante, pelo Teorema de Laplace; c) Indique um determinante de 5ª ordem, de valor simétrico ao calculado, e sem elementos nulos; d) Indique um determinante de 3ª ordem, de valor duplo ao do determinante dado, e cujos elementos
da 2ª linha sejam todos iguais a 1; e) Indique dois determinantes de 4ª ordem, sem elementos nulos, tais que D1+D2=D.
2. Utilizando as propriedades dos determinantes, mostre que sendo zyx ¹¹ , o determinante
32
32
32
111
zzzyyyxxx
+++
=D é nulo se e só se 01 =+ xyz
3. Mostre que o determinante D =0 5 41 5 018 3 12
é múltiplo de 6:
4. Determine o valor do parâmetro a, tal que
1 1 23 1 2 14 2 1 31 2 3 0
2 13 1 11 2 3
aa
-
-
=-
--
.
5. Decomponha num produto de factores lineares:
xxxxyyxxyzx
21 +
+=D D 2
2 33 23 2
=a
aa
D3
1 21 11
=a
bb c
6. Utilizando apenas as propriedades dos determinantes, represente um determinante de 3ª ordem, tal que
bcabca
bcaabccab
000
+=D
Soluções: Exercícios propostos 1. 61 -=D , 32 =D
2 3481 =D , abcd82 -=D , ( )( )( )bababa 223 +++=D , dcba ---=D 24 ,
( )( )( )( )( )( )cdbdbcadacab ------=D5 , ( ) 16 1 --=D nx
3. a) 30 -=Ú= xx b) ( )triplaraizxx 10 =Ú= Exercícios de consolidação 1. a) 511 =a , 012 =a , 322 =a , 123 =a , 431 =a , 233 -=a b) 33=D
4. 1338=a
5. ( )( )zyyxx --=D1 , ( )( )( )aaa --+=D 2352 , ( )( )123 --=D cb
Álgebra Linear 3º Folha de apoio ao estudo Sumário: ü Determinação da matriz inversa de uma matriz quadrada pelo método da condensação ü Aplicação das operações algébricas com matrizes na resolução de equações matriciais
Exercícios resolvidos
1. Dada a matriz A =-
--
é
ë
êêêê
ù
û
úúúú
2 0 2 11 1 1 10 1 1 12 1 2 1
, calcular a sua inversa:
Proposta de resolução:
( )( )
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
----
--
=
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
----
--
»
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
----
--
»
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
---
---
-
»
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
----
--
»
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
---
--
»
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
--
---
-
»
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
--
---
-
»
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
--
--
--
»
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
-
-
--
--
»
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
--
-
»
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
--
-
-
+-=+-=+=
+=+-=+=-=
+-=«
+=+=«
+-=+-=«
2021516230416172
2021516230416172
1000010000100001
2021516230413131
1000010000100011
2021516221212031
1000010001100111
2021112001000010
1000210011101111
2021112001000010
1000210011101111
0221112001000010
5200210011101111
1120022101000010
2100520011101111
1020002101000010
1010302011101111
1020010000210010
1010111030201111
1000010000010010
1212111012021111
1000010000100001
1212111011111202
1
2
2
2
22
121131232
14124234333
43443
42432332
41421221
A
LLLLLLLLL
LLLLLLLLLLL
LLLLL
LLLLLLLL
LLLLLLLL
2. Determine a matriz X , tal que 0=- TT BXA , sendo A =-
-é
ë
êêê
ù
û
úúú
1 1 01 3 22 2 5
e [ ]B = 1 2 3 ,
Proposta de resolução:
Resolução da equação matricial 0=- TT BXA
( ) ( )( )( ) TT
TT
TTTT
TT
TT
BAX
BAIX
BAXAA
BXABXA
1
1
11
0
-
-
--
=
=
=
=
=-
Cálculo da matriz ( ) TT BAX 1-=
A =-
-é
ë
êêê
ù
û
úúú
1 1 01 3 22 2 5
A =-
-é
ë
êêê
ù
û
úúú
1 1 01 3 22 2 5
[ ]B = 1 2 3
Verificação de que a operação “produto de matrizes” é possível e identificação da dimensão da matriz que se pretende calcular
( )[ ]( ) ( ) ( )1313331
´´´
-=´ XBA TT
Aplicação da operação “produto de matrizes”
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
´+´-´-´-´+´´-´+´
=úúú
û
ù
êêê
ë
é´úúú
û
ù
êêê
ë
é
----
=0312111
32213421
321
11124
2325
25
25
29
211
25
25
59
511
X
Exercícios propostos 1. Calcular a inversa das seguintes matrizes pelos dois processos que conhece
A B=-
é
ë
êêê
ù
û
úúú
= -é
ë
êêê
ù
û
úúú
3 1 54 1 33 2 3
0 1 21 1 32 0 1
2. Sendo A B=-é
ëê
ù
ûú =
é
ëêù
ûú
1 21 3
12
calcule
a) a matriz X tal que BAX = b) a matriz Y tal que IAY =
3. Dadas as matrizes A B=-é
ëê
ù
ûú =
-é
ëê
ù
ûú
1 2 1 30 1 1 2
0 1 1 12 0 1 3
a) calcular X tal que IXABT =
b) calcular )( BACar T Exercícios de consolidação
1. Dadas as seguintes matrizes: A B C=-
- -
é
ë
êêê
ù
û
úúú
=- --
-
é
ë
êêê
ù
û
úúú
=-
--
é
ë
êêê
ù
û
úúú
1 2 31 0 23 2 1
2 3 11 0 12 1 0
1 1 02 3 13 1 2
e dtermine a
matriz X tal que:
a) TTCBXA =+2
b) ABXACT =+
c) ( ) IACXBT =++2
d) ( ) ABCX T -=
e) ( ) ( ) ( )TTTT CBXAC 322-=+
f) ( )22 TCAX -=
2. Determine para que valores de a a matriz M tem inversa. Maaa
=
é
ë
êêêê
ù
û
úúúú
1 1 1 11 1 11 1 11 1 1
3. Dadas as matrizes A
a ba
aa b
=
é
ë
êêêê
ù
û
úúúú
1 23 4 25 0 1
2 3
e B
a b
b=
- -- -- -
- -
é
ë
êêêê
ù
û
úúúú
2 1 2 21 1 1 110 1 70 1 1 2
, determine a e b tais que 1-= BA
Soluções Exercícios propostos
1.
-
-
-
é
ë
êêêêêêê
ù
û
úúúúúúú
931
1331
231
331
631
1131
1131
931
131
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
-
--
-
-
31
32
32
32
34
37
31
31
31
1B
2. a) -é
ë
êêê
ù
û
úúú
15
35
b) úû
ùêë
é -
51
51
52
53
3. a) úû
ùêë
é -
7175
21
0 b) ( ) 2=BACar T
Exercícios de consolidação
1. a)
5 11 510 5 20 13 8
-- -
é
ë
êêê
ù
û
úúú
b)
18 5 152 1 61 3 3
-- -
- -
é
ë
êêê
ù
û
úúú
c)
- - -- --
é
ë
êêê
ù
û
úúú
2 8 52 8 109 3 4
d)
---
é
ë
êêê
ù
û
úúú
10 0 111 0 74 4 2
e)
- --
- -
é
ë
êêê
ù
û
úúú
26 19 1136 27 1574 35 37
f)
- -
-
- -
é
ë
êêêêêêê
ù
û
úúúúúúú
203
403 20
293
703 21
143
403 6
2. 21 ¹Ù¹ aa 3. 34 =Ù= ba
Álgebra Linear e Geometria Analítica 4º Folha de apoio ao estudo Sumário: ü Sistemas de equações lineares – sua representação matricial e classificação. ü Resolução de sistemas de equações lineares não-homogéneos: O método de Cramer e o
método da matriz inversa. ü Resolução de sistemas de equações lineares não-homogéneos: o método de eliminação
de Gauss (com análise da característica da matriz do sistema e determinação o seu grau de indeterminação). Resolução de sistemas de equações lineares homogéneos.
Exercícios resolvidos
1. Considere o seguinte sistema
x x x
x x xx x x
1 2 2 3 13 1 2 4 3 0
1 2 3 4
+ - =- + =
- + + = -
ì
íï
îï
a) Prove que é um sistema de Cramer b) Resolva-o aplicando as fórmulas de Cramer
Proposta de resolução:
a)
x x x
x x xx x x
1 2 2 3 13 1 2 4 3 0
1 2 3 4
+ - =- + =
- + + = -
ì
íï
îï
b) 021¹-=D , logo o sistema é de Cramer
b)
x x x
x x xx x x
1 2 2 3 13 1 2 4 3 0
1 2 3 4
+ - =- + =
- + + = -
ì
íï
îï
x x x
x x xx x x
1 2 2 3 13 1 2 4 3 0
1 2 3 4
+ - =- + =
- + + = -
ì
íï
îï
2. Resolva, por condensação, os seguintes sistemas:
a)
- - + =+ - = -- + =
= -- + =- + =
ì
í
ïïïï
î
ïïïï
x y zx y zx y zx zx y zx y z
3 12 2
4 4 10 23 4 14 5 8 33 2 0
b)
x x x xx x x
x x x
1 2 3 4
1 2 4
2 3 4
13 2 14 2
+ - + =- + - =
- - =
ì
íï
îï
Proposta de resolução:
a)
- - + =+ - = -- + =
= -- + =- + =
ì
í
ïïïï
î
ïïïï
x y zx y zx y zx zx y zx y z
3 12 2
4 4 10 23 4 14 5 8 33 2 0
- - + =+ - = -- + =
= -- + =- + =
ì
í
ïïïï
î
ïïïï
x y zx y zx y zx zx y zx y z
3 12 2
4 4 10 23 4 14 5 8 33 2 0
Car A( ) =Car A( ) = 3G.I = nº inc.−Car A( ) = 3−3= 0
SPD
x = −1− y+3zy = −1− 2zz = −2
38 = −119
"
#$
%$
⇔
−
y = −1+ 219 = −
1719
−
"
#$
%$
⇔
x = −1+ 1719 −
319 = −
519
−
−
"
#$
%$
[ ]19119
17195: ---Sol
a)x x x xx x x
x x x
1 2 3 4
1 2 4
2 3 4
13 2 14 2
+ - + =- + - =
- - =
ì
íï
îï
1 1 −1 1−1 3 0 −20 4 −1 −1
112
"
#
$$$
%
&
'''
≈L2=L1+L2
1 1 −1 10 4 −1 −10 4 −1 −1
122
"
#
$$$
%
&
'''
≈L3=−L1+L3
1 1 −1 10 4 −1 −10 0 0 0
120
"
#
$$$
%
&
'''
Car A( ) =Car A( ) = 2G.I = nº inc.−Car A( ) = 4− 2 = 2
SP2× Ind
[ ]43441
341
21
445
343
21: xxxxxxSol ++-+
x1 =1− x2 + x3 − x44x2 = 2+ x3 + x4x3 = x3x4 = x4
"
#$$
%$$
⇔
−
x2 = 12 +
14 x3 + 1
4 x4−
−
"
#$$
%$$
⇔
x1 =1− 12 +
14 x3 + 1
4 x4( )+ x3 − x4 = 12 +
34 x3 − 5
4 x4x2 = 1
2 +14 x3 + 1
4 x4−
−
"
#
$$
%
$$
Exercícios propostos
1. Resolva, por condensação, os seguintes sistemas:
a)
x xx xx xx x x
2 3
1 3
1 2
1 2 3
12 0
13 1
+ =- =
+ =+ - =
ì
íïï
îïï
b)
x x xx x xx x
1 2 3
1 2 3
1 2
13 2 05 3
+ - =- + =+ =
ì
íï
îï
c)
x x x xx x x xx x x xx x x xx x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4
2 3 13 2 12 3 12 2 2 13 3 1
+ + - =+ + - =+ + + =+ + - =+ =
ì
í
ïïï
î
ïïï
d)
3 2 7564
3 2 1
x yy z
x y zx zx y z
+ =+ =
+ + =- =
- + - = -
ì
í
ïïï
î
ïïï
e)
x y z tx y z tx y z tx y z t
- - - =+ + + =
- + - + = -+ + + =
ì
íïï
îïï
12 3 2 2
2 12 3 2
Exercícios de consolidação
1. Dado o seguinte sistema
x y zy z
x y z
+ - =+ =
+ + =
ì
íï
îï
2 134
a) prove que é um sistema de Cramer b) calcule y utilizando as igualdades de Cramer c) calcule x, y, e z através da matriz inversa.
2. Resolva, por condensação, os seguintes sistemas:
a)
x y z tx y z tx y z t
+ - + =- + + =+ - + =
ì
íï
îï
2 4 22 1
7 4 11 5 b)
10 16 42 6 1
2 6 2 4 23 14 3 14 5
y wx y z wx y z wx y z w
=+ - + =
- + =- + + + =
ì
íïï
îïï
c)
2 2 3 14 4 2 06 6 3 4 1
x y z wx y z wx y z w
+ - + =- - + - =
+ - + =
ì
íï
îï
Soluções Exercícios propostos
a) [ ]010:Sol b) ..IS c) úûù
êëé +-+ 4444 6
561
67
61
65
61: xxxxSol d) ..IS
e) úûù
êëé -- ttttSol
21
613
321:
Exercícios de consolidação 1. b) 1=y c) [ ]211:Sol
2. a) úûù
êëé -+-- tztztzSol
5733
564:
b) úû
ùêëé --+ wzwwzSol
582
51451:
c) úûù
êëé +--
52
21
101: zyzySol
Álgebra Linear e Geometria Analítica 5º Folha de apoio ao estudo Sumário: ü Discussão de sistemas de equações lineares com base no conceito de característica de
uma matriz e grau de indeterminação. Exercícios resolvidos
1. Discuta o seguinte sistema
3 2 4
2 2
x y zx ay z bx y z
+ + =+ + =+ + =
ì
íï
îï
Proposta de resolução:
3 2 4
2 2
x y zx ay z bx y z
+ + =+ + =+ + =
ì
íï
îï
- - + =+ - = -- + =
= -- + =- + =
ì
í
ïïïï
î
ïïïï
x y zx y zx y zx zx y zx y z
3 12 2
4 4 10 23 4 14 5 8 33 2 0
Se - - + =
+ - = -- + =
= -- + =- + =
ì
í
ïïïï
î
ïïïï
x y zx y zx y zx zx y zx y z
3 12 2
4 4 10 23 4 14 5 8 33 2 0
então ( ) ( )
( )SPD
ACarincnIGACarACar
033.º.3
=-=-===
Se
- - + =+ - = -- + =
= -- + =- + =
ì
í
ïïïï
î
ïïïï
x y zx y zx y zx zx y zx y z
3 12 2
4 4 10 23 4 14 5 8 33 2 0
então
úúú
û
ù
êêê
ë
é
+----b5
8
22
000510211
Se - - + =
+ - = -- + =
= -- + =- + =
ì
í
ïïïï
î
ïïïï
x y zx y zx y zx zx y zx y z
3 12 2
4 4 10 23 4 14 5 8 33 2 0
então ( )( ) SIACar
ACar
3
2
=
=
Se - - + =
+ - = -- + =
= -- + =- + =
ì
í
ïïïï
î
ïïïï
x y zx y zx y zx zx y zx y z
3 12 2
4 4 10 23 4 14 5 8 33 2 0
então ( ) ( )
( ).1
123.º.2 indSPACarincnIG
ACarACar´
=-=-===
Exercícios propostos
1. Dado o sistema:
Ax y zx y zx zx y z
+ + =+ - =
+ =+ + =
ì
íïï
îïï
2 03 2 04 2 07 2 0
a) Classifique, à priori, o sistema b) classifique o sistema para os diferentes valores de A c) resolva-o para 7¹A
2. Considere o sistema:
2 12 2
3 0
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x axx x xax x x
+ + =- - = -+ - =
ì
íï
îï
a) Mostre que, para 1=a , o sistema é possível e determinado, e encontre a sua solução. b) Determine a de modo que [ ]111:Sol seja a solução do sistema dado. 3. Discuta os seguintes sistemas:
a)
x ay zx y zx y az
- + =+ - = -- + =
ì
íï
îï
42 1
2 b)
ax y z bx y z ax y z
- + =- + + =- + - = -
ì
íï
îï
22 3
2 2 c)
x axx bx a1 2
1 2
1+ =+ =
ìíî
d)
2 2 3 13 1 2 3 1 1
1 1 2 2 2
ax ay a z aa x ay a za x a y a z a
+ + + =+ + + + =+ + + + + =
ì
íï
îï
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
e)
( )
( ) ( )
a x y azx az b
a x y a z
+ + + =+ =
+ + + + =
ì
íï
îï
1 223 1 3
f)
x axx bx ax ax c
1 2
1 2
1 2
1+ =+ =+ =
ì
íï
îï
g)
a x ay z
bx yaz
xby
az
2
2
1
1 1
1 1 1
+ + =
+ + =
+ + =
ì
í
ïïïï
î
ïïïï
h)
x y zx zx yax y zx y z b
- + =- =
- =+ + =- + =
ì
í
ïïï
î
ïïï
10
2 12 2
i)
x y z ax ay z bx ay bz ax y bz b
+ + =+ + =+ + =+ + =
ì
íïï
îïï
Exercícios de consolidação
1. Dado o sistema
ax y z tx ay z tx y az tx y z at
+ + + = -+ + + =+ + + =+ + + =
ì
íïï
îïï
1010
a) calcular os valores de a para os quais o sistema é de Cramer b) verifique que, sendo 2=a , o sistema é de Cramer e determine o valor correspondente de t , utilizando a
fórmula de Cramer respectiva c) resolva o sistema para 3-=a , pelo método da condensação
2. Dado o seguinte sistema
x ax xx x bx ax ax bx c
1 2 3 1
1 2 31 2 3
+ + =+ + =
+ + =
ì
íï
îï
a) discuta-o e resolva-o num caso de indeterminação b) resolva-o para o caso 1,0,0 === cba 3. Comente a seguinte afirmação: “Um sistema de 4 equações a 3 incógnitas é um sistema determinado”.
Exemplifique o comentário feito.
4. Considere o seguinte sistema de Cramer:
x y bzax zx y z
+ + =- = -
- - = -
ì
íï
îï
2 81
4 10
a) determine os valores dos parâmetros a e b, sabendo que [ ]321:Sol b) considere que os termos independentes são multiplicados por 3. Nesta situação diga, justificando, qual a
solução do sistema.
5. Considere o seguinte sistema:
x y z tx y z tx y z tx y z t
+ + + =+ - - =+ - - =+ + + =
ì
íïï
îïï
13 47 3 95 3 3
a) classifique o sistema, utilizando a condensação de matrizes b) reescreva o sistema, não alterando o número de equações e incógnitas, e fazendo unicamente as alterações
necessárias para tornar o sistema possível
Álgebra Linear e Geometria Analítica 6º Folha de apoio ao estudo Sumário: • Espaços vectoriais sobre o corpo R e sub-espaços vectoriais. • Combinação linear de vectores. Vectores linearmente independentes e dependentes. • Vectores geradores de um espaço linear. Base e dimensão de um espaço linear. Construção de
uma base.
Exercícios resolvidos 1. Verificar se o conjunto ( ){ }xyRyxV 3:, 2 =Î= é um sub-espaço vectorial
Proposta de resolução:
Seja ( ) ( )( ) ( )î
íì
====
22222
11111
3,,3,,xxyxvxxyxv
i. Verificação da existência da operação soma de vectores ( ) VvvVvv Î+$Î" 2121 ,,
( ) ( ) ( )( )21212121212121 3,33,, xxxxxxxxyyxxvv ++=++=++=+ ii. Verificação da existência da operação multiplicação de um escalar por um vector
( ) VvkVvRk Î$ÎÎ" 11 .,,
( ) ( ) ( )( )1111111 3,3,, kxkxxxkyxkkv === Logo, verificadas as condições i) e ii), posso concluir que o conjunto V é um sub-espaço vectorial
2. Verificar se o conjunto ( ){ }22 :, xyRyxV =Î= é um sub-espaço vectorial
Proposta de resolução:
Seja ( ) ( )( ) ( )ïî
ïíì
==
==222222
211111
,,
,,
xxyxv
xxyxv
i. Verificação da existência da operação soma de vectores ( ) VvvVvv Î+$Î" 2121 ,,
( ) ( ) ( )( )2212122
2121212121 ,,, xxxxxxxxyyxxvv ++¹++=++=+
Logo, como a condição i) não é verificada, posso concluir que o conjunto V não é um sub-espaço vectorial
3. Verificar se o vector !u é combinação linear dos vectores
!u e !v .
Proposta de resolução:
22113 vkvkv +=
( ) ( ) ( )1,3,23,2,19,13,8 21 kk +=
úúú
û
ù
êêê
ë
é»
úúú
û
ù
êêê
ë
é
--
--»
úúú
û
ù
êêê
ë
é
038
012
001
1538
512
001
9138
132
321
!!!
!!!
!!!
32 21 =Ù=Þ kkSPD
Logo, como 21,kk existem e são não nulos, posso concluir que 3v é combinação linear de 1v e
2v , sendo !u
4. Sejam os vectores ( )cbav ,,1 = , !u e !v . Determine 1v , tal que 321 ,, vvv
sejam linearmente dependentes
Proposta de resolução: !u
úúú
û
ù
êêê
ë
é
++---»
úúú
û
ù
êêê
ë
é
-+
-»
úúú
û
ù
êêê
ë
é-
000
352
012
001
000
2132
001
000
312
211
!!!
!!!
!!!
cbaac
a
acaba
cba
Para que 321 ,, vvv sejam linearmente dependentes, o sistema tem de ser indeterminado. Logo, 0351 =++-Þ´ cbaindSP
Por exemplo para a=1, c=1, b=2 Þ 1v =(1, 2, 1) 5. Sejam ( )cbav ,,1 = , !u e !v . Determine 1v tal que 321 ,, vvv sejam
linearmente independentes Proposta de resolução: !u
úúú
û
ù
êêê
ë
é
++---»
úúú
û
ù
êêê
ë
é
-+
-»
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ë
é-
000
352
012
001
000
2132
001
000
312
211
!!!
!!!
!!!
cbaac
a
acaba
cba
Para que 321 ,, vvv sejam linearmente independentes, o sistema tem de ser determinado. Logo, 035 ¹++-Þ cbaSPD
Por exemplo para a=1, c=1, b¹2 Þ 3v =(1, 1, 1)
6. Seja o conjunto ( ){ }yxzRzyxV -=Î= :,, 3 . Averigúe se os vectores ( )1,1,01 -=v e
( )0,2,22 =v formam uma base desse sub-espaço. Proposta de resolução:
i. os vectores 21,vv geram a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
ì
íïï
îïï
!!!!!!
"!!!
?
( ) ( ) ( )yxyxkk -=+- ,,0,2,21,1,0 21
( ) ( ) ( )yxyxkkkk -=+- ,,0,2,2,,0 2211
( ) ( )yxyxkkkk -=-+ ,,,2,2 1212
ïî
ïí
ì
-=-=+
=
yxkykk
xk
1
21
2
22
úúú
û
ù
êêê
ë
é --»
úúú
û
ù
êêê
ë
é --»
úúú
û
ù
êêê
ë
é
-- 0020
001
220
001
022
110
xyx
xxyx
yxyx
!!!
!!!
!!!
Como este sistema é sempre possível, para qualquer ( )zyx ,, , existem a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
ì
íïï
îïï
!!!!!!
"!!!
, logo !u são
geradores de V ii. os vectores 21,vv são linearmente independentes?
( ) ( ) ( )0,0,00,2,21,1,0 21 =+- kk
ïî
ïí
ì
=-=+
=
002
02
1
21
2
kkk
k
úúú
û
ù
êêê
ë
é-»
úúú
û
ù
êêê
ë
é-»
úúú
û
ù
êêê
ë
é
- 000
020
001
000
220
001
000
022
110
!!!
!!!
!!!
SPD îíì
==00
2
1
kk
Como este sistema é possível e determinado, a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
ì
íïï
îïï
!!!!!!
"!!!
, logo !u são linearmente independentes
Logo, verificadas as condições i) e ii), posso concluir que os vectores !u formam uma base de
V 7. Verificar se os vectores
a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
ì
íïï
îïï
!!!!!!
"!!!
formam uma base de a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
ì
íïï
îïï
!!!!!!
"!!!
Proposta de resolução: i. !u são geradores ?
( ) ( ) ( ) ( )1,1,30,1,11,2,1,, 321 -+--+= kkkzyx
úúú
û
ù
êêê
ë
é
+---
-»
úúú
û
ù
êêê
ë
é
--
--
-»
úúú
û
ù
êêê
ë
é
---
Ûïî
ïí
ì
=-=+-=+-
zyxxy
x
xzxy
x
zyx
zkkykkkxkkk
2100510311
2410510311
101112311
23
31
321
321
Como este sistema é sempre possível, para qualquer ( )zyx ,, , existem a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
ì
íïï
îïï
!!!!!!
"!!!
, logo !u são
geradores de 3R ii. !u são linearmente independentes ?
( ) ( ) ( ) ( )1,1,30,1,11,2,10,0,0 321 -+--+= kkk
úúú
û
ù
êêê
ë
é-
-»
úúú
û
ù
êêê
ë
é
--
-»
úúú
û
ù
êêê
ë
é
---
Ûïî
ïí
ì
=-=+-=+-
000
100510311
000
410510311
000
101112311
00203
31
321
321
aaaaaaaa
Como este sistema é possível e determinado, a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
ì
íïï
îïï
!!!!!!
"!!!
, logo !u são linearmente independentes Logo, verificadas as condições i) e ii), posso concluir que os vectores !u formam uma base
de 3R 8. Construir uma base do espaço linear !u
Proposta de resolução: Podemos escrever ( ){ }RyxyxyxV Î"+= ,,,, . Neste caso ( ) 2dim =V Escolho 2 vectores que pertençam ao espaço linear !u : a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
ì
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i. !u são geradores ?
( ) ( ) ( )1,1,01,0,1,, 21 kkyxyx +=+
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ù
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é
+Û
ïî
ïí
ì
+=+==
0010
001
110
001
110
101
21
2
1
yx
yyx
yxyx
yxkkykxk
Como este sistema é sempre possível, para qualquer ( )zyx ,, , existem a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
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"!!!
, logo !u são
geradores de a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
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îïï
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"!!!
ii. !u são linearmente independentes?
( ) ( ) ( )1,1,01,0,10,0,0 21 kk +=
úúú
û
ù
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ù
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û
ù
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éÛ
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ì
=+==
000
010
001
000
110
001
000
110
101
000
21
2
1
kkkk
Como este sistema é possível e determinado, a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
ì
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"!!!
, logo !u são linearmente independentes
Logo, verificadas as condições i) e ii), posso concluir que os vectores !u formam uma base
de a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
ì
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îïï
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"!!!
9. Dados os vectores
a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
ì
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îïï
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"!!!
, determine um sub-espaço linear de a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
ì
íïï
îïï
!!!!!!
"!!! gerado
pelos 4 vectores e indique uma base e a dimensão desse sub-espaço Proposta de resolução:
O espaço linear gerado pelos vectores é obtido pelas condições que tornam a combinação linear possível. a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
ì
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"!!!
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--Û
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ì
=-++=-+=++
yxzyx
xzyx
zyx
zkkkkykkkxkkk
2000011101101
222011101101
132111101101
32 4321
432
431
Para que este sistema seja sempre possível ter-se-á de ter a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
ì
íïï
îïï
!!!!!!
"!!!
. Logo,
02 =-- yxz , pelo que o sub-espaço é dado por a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
ì
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îïï
!!!!!!
"!!!
Neste sistema !u , logo !u . O número de vectores que constitui a base é dado pela !u , logo escolho, por exemplo
!u e 2v (Nota: qualquer outro par de vectores do E.V. que garantisse !u formaria também uma base)
( ) ( ) ( )2,1,01,0,12,, 21 kkyxyx +=+
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û
ù
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é»
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û
ù
êêê
ë
é»
úúú
û
ù
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ë
é
+Û
ïî
ïí
ì
+=+==
0001001
2201001
2211001
22 21
2
1
yx
yyx
yxyx
yxkkykxk
Como este sistema é sempre possível, para qualquer ( )zyx ,, , existem a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
ì
íïï
îïï
!!!!!!
"!!!
, logo !u são
geradores de S ( ) ( ) ( )2,1,01,0,10,0,0 21 kk +=
úúú
û
ù
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ë
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úúú
û
ù
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ë
é»
úúú
û
ù
êêê
ë
éÛ
ïî
ïí
ì
=+==
000
001001
000
201001
000
211001
0200
21
2
1
kkk
k
Como este sistema é possível e determinado, a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
ì
íïï
îïï
!!!!!!
"!!!
, logo !u são linearmente independentes
Logo, verificadas as condições i) e ii), posso concluir que os vectores !u formam uma base
de S
10. Calcule os valores e os vectores próprios da matriz úû
ùêë
é=
3241
A
Proposta de resolução:
Matriz característica: úû
ùêë
é-
-=ú
û
ùêë
é-úû
ùêë
é=-
ll
ll3241
1001
.3241
IA
Determinante característico: l
ll
--
=-3241
IA
Equação característica: a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
ì
íïï
îïï
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"!!!
Valores próprios: 150542 -=Ú=Û=-- llll Vectores próprios: • para o valor próprio 5=l a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
ì
íïï
îïï
!!!!!!
"!!!
logo, os vectores próprios associados a 5=l formam o conjunto þýü
îíì
¹úû
ùêë
é0u:
uu
11
1
• para o valor próprio 1-=l a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =+ + + =
+ + + =
ì
íïï
îïï
!!!!!!
"!!!
logo, os vectores próprios associados a 1-=l formam o conjunto þýü
îíì
¹úû
ùêë
é0u:
u2u
22
2
Exercícios propostos
1. Averigúe se os conjuntos ( ){ }2:,, 3 =Î= zRzyxA , ( ){ }1:,, 223 £+Î= yxRzyxB ,
( ){ }1:,, 3 £+Î= yxRzyxC , ( ){ }1:,, 3 =+Î= yxRzyxD são sub-espaços vectoriais. 2. Considere os seguintes vectores do espaço vectorial real 3R : ( )3,2,41 =v , ( )1,0,32 --=v e
( )8,2,73 =v .
a) Verifique que 321 ,, vvv formam uma base de 3R .
b) Qual o espaço vectorial gerado por { }21,vv . 3. Considere os seguintes vectores do espaço vectorial real 3R : ( )0,1,21 =v , ( )1,1,32 -=v e
( )4,1,13 -= av . a) Determine o valor do parâmetro a para o qual os três vectores são linearmente independentes b) Para 3=a , escreva o vector ( )0,2,14 =v como combinação linear dos vectores 321 ,, vvv
c) Para 1a = - , encontre o sub-conjunto de 3R que é gerado pelos vectores 321 ,, vvv
4. Calcule os valores e os vectores próprios da matriz
úúú
û
ù
êêê
ë
é
---
=466353331
B .
Soluções 1. Nenhum dos conjuntos é sub-espaço vectorial
2. ( ){ }yzxRzyxS 253 3:,, -=Î=
3. a) 1-¹a b) 343
21423
4 3 vvvv --= c) ( ){ }zyxRzyxS -=Î= 2:,, 3
4. Os vectores próprios associados a 2-=l formam o conjunto ïþ
ïý
ü
ïî
ïí
ì¹Ù¹
úúú
û
ù
êêê
ë
é -0u0u: 32
3
2
32
uuuu
, os
vectores próprios associados a 4=l formam o conjunto ïþ
ïý
ü
ïî
ïí
ì¹
úúú
û
ù
êêê
ë
é= 0u:
22
2
2
2
uuu
u
Exercícios de consolidação
1. Considere o conjunto þýü
îíì
úû
ùêë
éúû
ùêë
éúû
ùêë
é=
1100
,0143
,1021
A
a) Verifique que os elementos de A são linearmente independente b) Verifique se os elementos de A geram o espaço das matrizes quadradas de 2ªordem.
2. Mostre que o conjunto ( ) ( ) ( ){ }1,1,1,1 23 xxxA ---= gera um espaço de polinómios reais de grau
3£ . 3. Dados os vectores ( )1,2,21 -=v! e ( )1,0,12 -=v! , obtenha um vector 3v tal que os vectores
321 ,, vvv formem uma base de 3R . 4. Dado o conjunto ( ){ }02:,, 3 =+-Î= zyxRzyxA .
a) Verifique que A é um sub-espaço de 3R . b) Indique, justificando, um conjunto de vectores que, embora sendo geradores de A , não
formam uma base. Soluções 3. ( )1,0,13 -=v , por exemplo
4. b) ( ) ( ) ( )1,1,0,1,1,1,0,2,1 321 =--== vvv , por exemplo
