1PROBLEMAS RESUELTOSDE FSICA I (Mecnica - Movimiento Ondulatorio Calor) ATILIO DEL C. FABIAN ISBN N 950-746-121-3 Editor Responsable: Secretar a de Ci enci a y Tecnol og a de l a Uni versi dadNaci onalde Catamarca

EDITORIAL CIENTFICA UNIVERSITARIA DE LA SECRETARIA DE CIENCIA Y TECNOLOGIA UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA. Fax: 03833-431180/432136 Avda. Belgrano 300 - Predio Universitario Pabelln Variante I - 2do piso. San Fernando del Valle de Catamarca - C.P. 4700 Prohi bi dal areproducci nt otal oparci al del ostrabaj osconteni dosenest el i bro.Enunci adodeResponsabi l i dad:Las opiniones expresadas por los autores son exclusivas de los mismos. CATAMARCA-2004 REPUBLICA ARGENTINA CONTENIDOS TEMA1: MAGNITUDES DE LA FSICA TEMA2: MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIN TEMA3: FUERZA Y LAS LEYES DE NEWTON TEMA4: MOVIMIENTO DEL PROYECTIL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME TEMA5: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO COLISIONES TEMA6: CINEMTICA ROTACIONAL TEMA7: MOMENTO ANGULAR LEYES DE NEWTON EN LA ROTACIN.TEMA8: TRABAJO Y ENERGA TEMA9: GRAVITACIN TEMA 10: MECANICA DE FLUIDOS TEMA 11: ELASTICIDAD TEMA 12: OSCILACIONES TEMA 13: ONDAS TEMA 14: TEMPERATURA Y CALOR

2 INTRODUCCIN Lapresenteguatieneporobjetivobrindarloselementosbsicosquesedebe tenerencuentapararesolverlosproblemasqueseplanteandesdeelpuntode vistafsicoyaplicarlosalosproblemasquesepresentanenelestudiodela Geologa,paraellocuentacondesarrollosmatemticosnecesariosparaqueel alumno que provenga del polimodal tenga las mismas posibilidades de aprender. La presente gua se encuentra ordenada por temas, todo de acuerdo a los que se encuentran en el programa terico 2004, en el inicio de cada tema se entrega las frmulas fundamentales que se empleanyunametodologaquesedebellevara cabo para resolver los problemas referido al tema de anlisis, posteriormente una serie de enunciados de problemas tipos con sus respectivas soluciones explicados yfinalmenteproblemasconresultadosalosquedebearribar,nicamentepara que el interesado practique. Losproblemashansidotomadosdelosdiferentestextos(quesepueden consultar al final de la Gua), tal como han sido editados y en otras ocasiones han sidorecreadosatemasdeGeologa,porloquehansufridolasmodificaciones necesarias, para que as el estudiante pueda visualizar rpidamente la vinculacin directa entre estas dos ciencias. Metodologa general para resolver problemas Lo primero que se debe hacer cuando estamos frente a un problema de fsica, es laderealizarunalecturarpida,paratenerunpanoramageneral,luegoleer nuevamenteenformapausada,paraaspoderestablecercualessonlasleyes fsicas que nos van a servir de base para plantear el problema. Posteriormenteseprocedeaestablecer,porunladolosdatosquenosdael enunciado, y por otro las incgnitas, para as de esta manera escribir las frmulas queexpresanlasleyescorrespondientes,yquenosayudaranaencontrarla solucin primeramente en forma literal, para luego introducir los datos numricos, conelcuidadodecolocarsiempreexpresadoenunidadesdelmismosistemade medidas. Luegodeobtenerelresultadonumricohayqueprestaratencinalgradode exactitud del mismo.

3 TEMA 1 MAGNITUDES DE LA FSICA Comolafsicaesunacienciafundamentalmenteexperimental,esnecesariola utilizacin de medidas precisas y se expresan en magnitudes diferentes como ser: masa, tiempo, longitud, fuerza, rapidez, temperatura, etc. ElSistemaInternacionaldeUnidades(SI)haseleccionadocomounidadesbase, siete magnitudes que a continuacin se detallan: MAGNITUDNOMBRESMBOLO Tiemposegundos Longitudmetrom Masakilogramokg Cantidad de sustanciamolmol TemperaturaKelvinK Corriente elctricaampereA Intensidad Luminosacandelacd A medida que se avance en los temas se darn a conocer unidades derivadas. Para la unidad de la fuerza en el SI, se denomina Newton (N) y se define: 1N = 1 kg. m/s2. Otros Sistemas de medidas es el Ingls, vigente en Estados Unidos, para lo cual tenemos: MAGNITUDNOMBRESMBOLO LongitudPieft FuerzaLibralb TiempoSegundos

(para mayor informacin sobre otros sistemas, puede consultar a tablas de conversin que se encuentran en cualquier texto de Fsica I.) Enloquehacealaprecisinpodemosdecirquesemejoraconstantementela calidaddelosinstrumentosdemedicinylaprecisinesmayor,porloqueal tenermayorinformacindeunamedidatenemosmascifrassignificativasporlo quesepodracometererroresaltenerdemasiadosomuypocas.Loscuales dependerndelosparmetrosenlosquenosestamosmoviendo.Porejemplo: estamospesandoobjetosdemasde100kg.,yderepenteapareceunpesode menosde1kg.,supongamos0,153kg.,suincidenciaenlasumaespoco

4significativa, y sera conveniente tomar una sola cifra significativa, 0,1 kg, porque a partir de la segunda cifra aporta poca informacin en el contexto de la pesada. PROBLEMAS: Pb. 1. 01.-Un estudiante de Geologa de la UNCa le escribe a un amigo de Estados Unidos y le dice que mide 1,87 m., cunto medir en unidades inglesas?. Solucin: Si tenemos que: 1m (metro) es equivalente a 3,28 ft (pie), entonces el estudiante tendr 6,1336 ft. Pb. 1. 02.- Resnick EntreNuevaYorkylosngeleshayunadistanciaaproximada de 3000 millas, la diferencia temporal entre las dos ciudades es de 3 horas. Calcule la circunferencia de la Tierra. Solucin: 38.622,42 Km.(a esa latitud). Pb. 1. 03.- Resnick Unapersonapierde0,23kg(equivalenteaaproximadamente0,5lb)porsemana, exprese la tasa de prdida de masa en miligramos por segundo. Solucin: 0,38mg/s. Pb. 1. 04.- Resnick Los granos de arena fina de las playas de California tienen un radio promedio de 50m.Qumasadegranosdearenatendrunreasuperficialtotaligualala deuncuboexactamentede1menunborde?.Laarenasecomponededixido de silicio, 1 m3 tiene una masa de 2600 Kg. Solucin: 0,260 Kg. Pb. 1. 05.- Resnick Suponga que tarda 12 horas en vaciar un contenedor de 5700 m3 de agua. Cul es el gasto de masa (en kg/s) del agua proveniente del contenedor?. La densidad del agua es de 1000kg/m3. Solucin: 131,94 kg/s. Pb. 1. 06.- Suponga que usted es un gran ciclista, y en un tramo recto de una pista, tuvo un record de 85 Km/h.,exprselo en m/s. Solucin: 23,61 m/s. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

5 TEMA 2 MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION En esta unidad tenemosproblemas de la cinemtica con aplicaciones a temas de la geologa. Los principales sistemas de medidas son: SI cuyas unidades fundamentales son el Metro (m), el Kilogramo masa (kg) y el Segundo (s). El sistema CGS cuyas unidades fundamentales son el centmetro (cm), el Gramo masa (g) y el Segundo (s). Las principales frmulas aplicables a este tema son las siguientes:En el caso general del movimiento rectilneo la velocidad: v=ds/dt,comolaunidaddelongitudeselmetroyladeltiempoelsegundo,la unidad de la velocidad en el sistema SI ser 1 m/s., y como la aceleracin es: ., a = dv/ dt, se medir en 1 m/s2. Cuando el movimiento es rectilneo y uniforme tenemos que la v = constante, y la aceleracin a = 0. Sielmovimientoesrectilneoyuniformementevariadotenemos:el desplazamiento ser: 20.21. t a t V S + =

Yla velocidad ser: t a V V .0 + = , la aceleracin a = constante. PROBLEMAS: Pb.2.01.Nosencontramostomandoeltiempodetrasladodeuncompaerode estudioenunamotocicleta,durantelaprimeramitaddeuntiempodeterminado que estuvo en movimientollevounavelocidadde80Km/h, y durante la segunda mitad la velocidad de 40 Km/h., cul fue la velocidad media de este estudiante?. Solucin: Datos: 2 1t t = ;hkmV 801 =; hkmV 402 =y las frmulas a utilizar son:

6 t S St tS SV2 12 12 1+=++= (1) tSV= ;t V S = .espacio = velocidad uniforme por tiempo

1S 2S 2 1S S 21tt = 22tt= 1 1 1.t V S = 2.1 1tV S =por lo tanto2.2 2tV S = y reemplazando en (1) y sacando factor comn y simplificando los tiempos obtenemos: hkmV Vtt V VttVtVV 602). (2 2 2 1 2 1 21 2 1=+=+=+= Pb.2.02.Unestudiantesetrasladadiariamenteenunamotocicletahastala Universidad,controlamossuvelocidadydeterminamosque:recorrilaprimera mitaddelcaminoconunavelocidadde80Km/h,ylasegundamitadconuna velocidad de 40 Km/h., cul fue la velocidad media de esta partcula?. Solucin: Datos: hkmV 801 =y hkmV 402 =2 1S S =: 2 1t t 1S2S tSV= VSt= 112VSt = y222VSt= Por lo que

7hkmV V V VSSVSVSSt tS StSV 33 , 531 12)1 1(2 2 22 1 2 1 2 12 12 1=+=+=+=++= = Pb.2.03.Albajarporunaladeraunapartcularocosaadquiereunavelocidad peroalllegaralazonaplana,estaadquiereunmovimientouniformemente retardado, cuya aceleracin negativa es igual a = 0,5 m/s2., la velocidad inicial de lapartculaenlazonaplanaerade54Km/h.,cuntotiempotardaren depositarse en la zona plana, y a que distancia del punto inicial?. Solucin: Datos 2 5 , 0segma =y hkmV 540 =., Alserunmovimientoaceleradotenemosquerecurriralasfrmulasquese encuentren en este tipo de movimiento, para lo cual tenemos que: .,1)2..211 0 0t at V S S + = ., de donde 0S= 0 ., pero aqu tenemos dos incgnitas que sonelespacioyeltiempo,porloquetenemosquerecurriraotrasfrmulasque nos involucren menor cantidad de incgnitas: 2)aS V Vf2202 =3)t a V Vf.0 = .,estas dos parecen las ms adecuadas para resolver nuestro problema,yastomamosparalaprimerapreguntasobreeltiempoque tardarendepositarse,la3era.,frmula,yelsignonegativopuesla aceleracin es negativa ya que esta frenando el movimiento, por lo tanto se encuentra en sentido contrario a ste: .,lavelocidadfinalserporloexpuestoporelproblema,igualacero.,y despejando el tiempo obtenemos: ., aVt0= ; 2 5 , 054segmhkmt = peroaquobservamosquelosvaloresnumricosse corresponden con unidades distintas por lo que tendremos que reducirla a una de losdos,paraestosaplicamosloquesedenominalaregladel1x1.,yas obtenemos: segmkmmxseghxhk277 , 0110003600111= oseaqueesteresultadoesequivalentea1 hkm, por lo que:

8. 91 , 29 91 , 29 277 , 05 , 054 2seg tmsegsegm= = =

una vez obtenido el tiempo, ya podemos utilizar las frmulas 1) o la 2) si usamos la 2), obtenemos: 0 =fV., por lo tantoS a V . . 220 = (en este caso tambin mantenemos la aceleracin negativapuestieneunsentidoalmovimientoyluegorealizamoslospasajesde trminos correspondiente), y por lo tanto el espacio recorrido es: ( ). 74 , 2235 , 0 2277 , 0 54. 22 20mxxaVS = = = Oseaqueladistanciaquesedepositardesdeelpuntoinicialesde223,74 metros. Pb.2.04.Unestudiantedegeologaseencuentrafrenteauncorteverticalen roca, al cual no le es fcil acceder y desea medir la altura de dicho corte, para lo cual provisto de un cronmetro lanza un fragmento rocoso en forma vertical hasta elbordedelcorte,elfragmentoregresaalcabode3seg,notenerencuentala resistencia del aire y calcular a) la velocidad inicial de lanzamiento, b) cul es la altura del corte?. Solucin: Como el tiempo total de ida y regreso es: 1t +tt s t = = 32 ; por lo tantotenemos que. 5 , 11s t = smssmt g Vt g V V t a V Vf f4 , 14 5 , 1 . 8 , 9 .. 0 , .2 00 0= = = = = + = para calcular la altura podemos recurrir a dos frmulas: mgVh obteniendoh g V V tambin t g t V hf57 , 102:. 2 ; . .21.202020= = = = Pb. 2. 05.- Volkenshtein, (modificado) Un gelogo se encuentra parado sobre una ladera vertical de una altura

9 h = 19,6 m, dejando caer un fragmento rocoso. qu camino recorrer este cuerpo? a) durante el primer 0,1seg de estar en movimiento y 2) durante el ltimo 0,1seg de su cada, la resistencia del aire no se tiene en cuenta. Solucin:

Datos: Vo = 0; a = g , t1 = 0,1seg, t2 = tt 0,1seg., h = 19,6 m. ., tt = tiempo total de cada libre la frmula a utilizar en un movimiento acelerado, en una cada libre la aceleracin actuanteeslaaceleracindelagravedad,porloquereemplazamosporg.Astenemos que, donde 2..211 0t gt V h = ., donde el primer trmino0 .0= t V., por lo que nos queda: ( ). 045 , 021 , 0 . 8 , 92.2212msegt ghsegm= = = luegopasamosacalculareltiempototalparalacadalibre,parapoderas saber que camino recorri el ltimo 0,1seg. 2.2t gh = ., luegoght. 2=para 2) 1 , 0 (., 1 , 02seg t gh seg ttt= reemplace en la ecuacin algebraica por los valores correspondiente y obtenga el resultado. Pb. 2. 06.- Volkenshtein, (modificado). Un estudiante parado en la parte superior de un corte natural vertical, intenta medirelespesordelestratohorizontalsuperior,paralocualdejacaerun fragmentoderocaencadalibre,perosolamentelogracronometrarelultimo segundo de la cada que recorre la mitad del espesor del estrato, hallar a) que espesor tiene el estrato, y b) cuanto dura la cada total del fragmento. Solucin: Datos:0 ., ., ., 10 2 1 2 1 2= = + = = V h h h h H seg t Comosetratadeunmovimientoacelerado,recurrimosalasfrmulasque aporta este movimiento y reemplazamos a la aceleracin por la aceleracin de la gravedad g. Partimos que 2..20t gt V h + = (se usa el signo + porque la aceleracin de la

10gravedadaumentalavelocidadoseaquetieneelmismosentidodel movimiento). 1 22112.,2..,2.h H ht ghT gH = = =ahora con el planteamiento del problema pasamosaescribirlaecuacinquenosayudararesolverlo,teniendoen cuenta que 2 1h h = : por lo tanto en la ecuacin reemplazamos ambos valores y procedemos algebraicamente: ., 2 .,2.. .,2.2.2..,2.2.2 21221212 212122T tT gt gt g T g t g t g T gh = = = = con esta ecuacin obtenemos el valor de 2 . 2121t t T = =

como 2 . 2 . ., 2 ) ( 2 .2 2 1 ., 2 1t T T t T t T t T t = = = = sacando factor comn el tiempo total de cada, obtenemos; ) 1 2 (2 .)., 1 2 ( 2 .22= =tT despejando T t comopodemosobservarlariquezadeestaexpresinalgebraica,yaquepara cualquier t2 se puede sacar la altura total de la cada libre, obviamente no teniendo en cuenta la friccin con el aire. Paraestecasoeltiempototalesde3,41s,yelespesordelestratoesde57,5m, bien queda como prctica el de comprobar si los resultados son idnticos para la expresiones de las frmulas: ,2.211t gh =para2..2202 2t gt V h + =.,donde Vo2se calcula de la expresin: 1 0 1.t g V Vf+ = donde 02 1V Vf = ., ya que 001 = V

Pb. 2. 07.-Seaunplanetaconunagravedadigualalamitaddelaterrestre(g)cunto tiempo ms necesitara un cuerpo para caer desde el reposo con respecto a una que cae de la misma altura en la tierra?. Solucin: Datos:gp = g.,donde gp = gravedad del planeta y g = gravedad terrestre.

11Entonces tenemos que: ., 2 . 2.2ppt gh = = altura de cada en el planeta ., 2.2ttt gh = = altura de cada en la tierra como t ph h = tenemos que:2.4.22tpt gt g=y de esta manera obtenemos luego de las correspondientes simplificaciones: 2 .t pt t = Pb. 2. 08.- Resnick. (modificado). Sedejacaerunarocadesdeelbordedeunacantiladode100mdealtura. Cunto tarda en caer: a) los primeros 50 m, y b) los segundos 50 m. R = a) 3,19 s. b) 1,32 s. Pb. 2. 09.- Resnick. Se arroja un fragmento rocoso verticalmente hacia arriba. En su ascenso cruza el punto A, con una rapidezV , y el punto B, que se encuentra 3,0 m ms alto que A, con una rapidez2V. Calcule: a) La rapidez Vb) la altura mxima alcanzada por el fragmento rocoso arriba del punto B. R = a) smV 85 , 8 = B h = mxima b). 99 , 0 m h =3m. A Pb. 2. 10.- Resnick. Un automvil sube una colina con una rapidez constante de 40 Km/h, y en el viaje deregresodesciendeconunarapidezconstantede60Km/h.Calculelarapidez promedio del viaje redondo. R= 48 km/h.

12-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- TEMA 3 FUERZA Y LAS LEYES DE NEWTON Introduccin y metodologa para resolver problemas Si sobre un cuerpo no actan fuerzas, o actan varias fuerzas cuya resultante es 0,decimosqueelcuerpoestenequilibrio.Enequilibrio,uncuerpoesten reposoosemueveenlnearectaconvelocidadconstante.Parauncuerpoen equilibrio, la fuerza neta es cero, esto nos indica la 1era. Ley de Newton. = = =0 ., 0 ., 0y xF F F., para que se cumpla que las sumatorias de las fuerzas sea igual a 0, cada componente de la fuerza neta deber ser 0. Pero que ocurre si la fuerza neta no es 0., entonces tenemos que la presencia de una fuerza neta que acta sobre un cuerpo hace que ste se acelere. La direccin de la aceleracin es la de la fuerza neta. Si la magnitud de la fuerza es constante, tambin lo ser la magnitud de la aceleracin. Esto tambin se aplica a un cuerpo quesemueveenunatrayectoriacurva.Perosiunacombinacindefuerzasse aplica a un cuerpo, ste tendr la misma aceleracin (magnitud y direccin), que si seaplicaraunasolafuerzaigualalasumavectorial,tantoparaunatrayectoria curvaorectilnea,resumidoenunsoloenunciadollamadaSegundaLeyde Newton: = a m F .(segunda ley de Newton) normalmenteselausaenformadecomponentes,conunaecuacinparacada componente de fuerza y la aceleracin correspondiente: = = =z z y y x xa m F a m F a m F . ., . ., . ., cada componente de la fuerza total es igual a la masa multiplicada por la componente correspondiente de la aceleracin. Tenerencuentaqueestaecuacinsoloesvlidasilamasaesconstante.,y tambin tener cuidado que a m.no es una fuerza, sino que es igual en magnitud y direccin a la resultante F ., de todas las fuerzas que actan sobre el cuerpo. SielcuerpoAejerceunafuerzasobreelcuerpoB(unaaccin),entoncesB, ejerceunafuerzasobreA(unareaccin).Estasfuerzastienenlamisma magnitudydireccinperosentidoopuesto,yactansobrediferentescuerpos. Esta es la Tercera Ley de Newton. =A sobre B B sobre AF F. . . .

13 Abocndosealproblemaprimeramentedefinasusistemadecoordenadas, indicandoelorigenyladireccindelejepositivo,siconoceelsentidodela aceleracin,sueleserconvenientetomarlacomodireccinpositiva.Alaplicarla primeraolasegundaleydeNewtondibujeeldiagramadecuerpocontodaslas fuerzasqueactansobrel,sinincluirlasqueactensobreotroscuerpos.,es convenienteusarcoloresparaindicarlasdistintasfuerzas.Alescribirtantola primera como la segunda ley, hgalo en forma de componentes usando el sistema decoordenadasdefinidopreviamente,nodejandodeladolaexactituddelos ngulossiloshubiera.Noolvidarqueunasuperficieencontactoconelcuerpo ejerceunafuerzanormalperpendicularalasuperficie,yunafuerzadefriccin paralelaalasuperficie.,yqueunacadenaounacuerdanopuedenempujarun cuerposinotirardelenladireccindesulongitud,Luegopodrdespejarlas incgnitas en estas ecuaciones. CuandoestamosusandolasegundaleydeNewtonyhaymasdeuncuerpo, repitalospasosparacadaunodeellos,usandounaecuacinparacada componentes,antesdepasaradespejarincgnitas,yaquepuedehaber relaciones entre los movimientos de los cuerpos. Si por ejemplo estn unidos por unacuerdaocadenayaccionanenformaconjunta,laaceleracineslamisma para todos los cuerpos actuantes, cuando actan en el mismo sentido. PROBLEMAS: Pb. 3. 01.- Resnick. LospuntosAyBcoincidenantesdeproducirselafalla,enuncuerpoderoca grantica, que luego de producirse el desplazamiento de un bloque con respecto al otro, queda en la posicin actual, donde la componente horizontal es la lnea AC, lacomponenteverticaldeldesplazamientomedidasobrelalneademayor inclinacin es AD. a)Cul es el desplazamiento neto, si el desplazamiento horizontal es de 22 m y el vertical de 17 m?. b)Sielplanodelafallatieneunainclinacinde52conelhorizonte,culesel desplazamiento vertical neto de B como resultado de la falla en a)?. Grfico:

C A B E D 52

14 a)Para resolver este punto tenemos que tomar el tringulo que forma sobre el planodedesplazamiento(planodefalla)lospuntosA,B,C,dondeel desplazamientonetoeslahipotenusa,porlotantorecurrimosaPitgoras, para encontrar el resultado: ( ) ( )2 2BC AC AB + = = 27,8 m. b)En este caso tenemos que proyectar un tringulo entre los puntos A, D, E, y calcularelladoopuestoalngulodadocomodato,ydeestamanera obtenemos el rechazo o desplazamiento vertical neto de B., ya que el punto D, se encuentra al mismo nivel que B. = = . . 52 AD sen AE 13,39 m. Pb. 3. 02.-Si las cuerdas utilizadas para soportar una muestra de roca, como muestra la fig., puedensostenernicamente120kg.,culeselpesomximoWquepuede resistirse sin que se rompan aquellas?. 30 27 W Solucin: T1T2

T1sen T2sen

T1cos T2cos W = = 0 cos . cos .1 2 T T Fx = + = 0 . .2 1W sen T sen T Fy

15 ( ) . 47 , 114 . 1202 1kgf sen sen T W kg T T = + = = = Pb. 3. 03.- Una caja con muestras de rocas de 100 kg, es empujada hacia arriba a velocidad constante sobre un tabln, para subirlo a la caja de un camin. El tabln tiene 30 grados con respecto a la horizontal., a) qu fuerza horizontal F es requerida?., b) cunto vale la fuerza ejercida por el tabln sobre la caja?. F30 yX N Fx=F.cos - mg.sen = 0 F.cos30 Fy= N mg.cos F.sen = 0 F F = mg.tag. = 565,5 N. ,mg.sen30 N = mg.cos + F.sen = 1131,45 N. mg.cos30 + F.sen30mg

F = 565,5 N. N = 1131,45 N. Pb. 3. 04.-Suponiendo que un estudiante hace deslizarun bloque de roca grantica hacia la izquierda(verfig),alolargodelasuperficieavelocidadconstante,empujndola con una barreta que forma un ngulo , por encima de la horizontal. a)Dibuje un diagrama que muestre todas las fuerzas que actan en el bloque. b)Hllese la fuerza normal N.; la fuerza de rozamiento fk y la fuerza P.

16SiW = 100 N; = 30.; k = 0,25c)Hlleseelvalordeporencimadelcualelestudiantenopuedemantenerel bloque en movimiento, cualesquiera que sea la fuerza con que empuje. P y NP N

P.cosfkfkx P.sen W W + = = = sen P W N sen P W N Fy. ., 0 . (1) = = =cos., 0 cos .kk xfP P f F(2) reemplazando la ecuacin (2) en (1), obtenemos: tag f W Nk. + = .,como k kN f u . = ., nos queda que: u tag N W Nk. . + = ., luego: u utagWN W tag Nkk. 1., ) . 1 .(= = senW NP= cos . P fk = Reemplacelosvalorescorrespondientesyobtengalosresultados,paraelpunto c), deduzca de las frmulas obtenidas. Pb. 3. 05.-Elbloquedetoba,verfig.,esarrastradoconunacuerdahacialaderechaa velocidad constante., a) demuestre que la fuerza F est dada porla expresin:

17 u useW Fkk. cos.+=F y N F F.sen

x fkF.cos W. Pb. 3. 06.-Un estudiante se encuentra en tarea de campo y ubica un bloque de roca en una ladera de filita en un perfecto plano inclinado de 22 respecto a la horizontal, y lo sujetaconuncable.Sesuponeuncoeficientederozamientoestticode0,25y cinticode0,15.,a)culeslafuerzaFmnima,paralelaalplano,queimpedir queelbloquesedesliceporelplanohaciaabajo?.,b)culeslafuerzaF necesariaparamoverelbloquehaciaarribaavelocidadconstante?.Analice algebraicamente y obtenga los siguientes resultados: a)11 N. b)47,3 N., para el inicio del movimiento y 40,1 N, para moverlo a velocidad constante. F

18Pb. 3. 07.- Una casa esta construida en la cima de una colina que tiene un talud de 42., un desplomeposteriordelmaterialdelasuperficiedeltaludindicaquesugradiente deberaserreducido.Sielcoeficientedefriccindesuelocontrasueloesde 0,55.,enquenguloadicional(vasefig.)deberasercorregidalasuperficie del talud. (tenga en cuenta que: u tags = )

42R. 14 Pb. 3. 08.- Un gelogo audaz en busca de un fsil cruza de un risco a otro colgando de una cuerdatendidaentrelosriscos.Elsedetienealamitadparadescansar(ver figura). La cuerda se rompe si su tensin excede el valor de 3 x 104 N, y la masa de nuestro hombre es de 81,6kg. a) Si el ngulo es de 15, calcule la tensin en la cuerda., b) Qu valor mnimo puede tener sin que se rompa la cuerda?. mg R = a) 1,54 x 103 N. b) 0,764. Pb. 3. 09. Resnick. Lafig.muestralaseccintransversaldeuncaminocortadoenlaladeradeuna montaa, la lnea A - A., representa al plano de estratificacin dbil en el cual es posibleundeslizamiento.ElbloqueBdirectamentearribadelcaminoest separado de la roca ladera arriba por una grieta grande (producto de una diaclasa de descompresin) de manera tal que slo la fuerza de friccin entre el bloque y la probable superficie de falla impide el deslizamiento. La masa del bloque es de 1,8

19x 107kg, el ngulo de inclinacin del plano de la falla es de 24, y el coeficiente de friccin esttica entre el bloque y el plano es de 0,63., a) Demuestre que el bloque no se deslizar. F B A 24 A b)Enlagrietasefiltraagua,ejerciendounafuerzahidrostticaFparalelaala inclinacin del bloque. qu valor mnimo de F provocara un deslizamiento?. Solucin: a) tag.24= s = 0,445 ,s >s; 0,63 > 0,445

y

N x F mg.sen24 fs mg.cos24 mg. = = = 24 cos . . ., 0 24 cos . . g m N g m N Fy = = = = 24 . . . 24 . . ., 0 24 . . sen g m N sen g m f F F sen g m f Fs s s xu

20 = 24 . . . 24 cos . . sen g m g m Fsu Pb. 3. 10.- Resnick. Una nave de aterrizaje se aproxima a la superficie de Calixto, uno de los satlites (luna) de Jpiter, si el motor del cohete le imprime un empuje hacia arriba de 3260 N, la nave descendera a velocidad constante, considerando que Calixto no tuviera atmsfera. Si el empuje hacia arriba es de 2200 N, la nave acelerara hacia abajo a 0,390 m/s2. a) Cunto pesa la nave de aterrizaje cerca la superficie de Calixto? b) Cul es su masa?. c) Cul es la aceleracin debida a la gravedad cerca de la superficie de Calixto?. Solucin: Datos: Si. 3260 ., 0 .,1N F a cte V = = = . 2200 ., 390 . 0 .,2 2N Fsma cte V = = a) . 3260011N F mg mg F= == F . cte V = b) . 271839 , 0) 2200 3260 (.222kgsmNa F mgma m F mg==== F

2390 , 0sma = c) . 20 , 127183260.211smkgNmFgg m F= = == Pb. 3. 11.- Resnick. (modificado). Enunaminadeexplotacinsubterrnea,seemplea3vagonesparaextraerel mineral desde el interior, los vagones tienen una masa: m1 = 310 kg; m2 = 240 kg y m3 = 120 kg, y se encuentran unidos por un cable, cuya masa se desprecia. Si se tirade ellos con una fuerza horizontal P = 650 N, sin considerar la friccin de las ruedas, obtenga: a)La aceleracin del sistema. b)La fuerza ejercida por el segundo vagn sobre el tercero. c)La fuerza ejercida por el primer vagn sobre el segundo.

21Solucin:m3m2m1 F2F1 . 6703 2 1kg m m m m = + + = P a) = a m F . ., despejando la aceleracin tenemos: . 97 , 06706502smkgNmFa = = = b) N a m F 5 , 116 .3 2= = c) ( ) . 3 , 349 .3 2 1N a m m F = + = Pb. 3. 12.- Sears. Cul es la aceleracin de un bloque sobre un plano inclinado liso que forma un ngulo determinado con la horizontal?. N a m F . =

m.g.sen a m sen g m . . . = m.g.cos sen g a . = m.g Pb. 3. 13. Resnick (modificado). Unosminerosestnintroduciendoequiposenunelevadordecarga,quese encuentraenunpiquevertical,sinembargo,anteunafalladeseguridadlo sobrecargan y el cable desgastado se corta. En el momento del accidente la masa delelevadorcargadoesde1600kg.Alcaer,loscarrilesguasejercensobrel una fuerza retardadora de 3700 N. Con que rapidez chocara el elevador contra el fondo del pique72 m abajo?. Solucin: . 72 ., 700 . 3 ., 1600 m h N f kg m = = =Empleamos la segunda Ley de Newton:a m F . =Tomamos positivo en sentido descendente. a m f F . = f1600kg.9,8m/s2 3700 N = 1600kg.a a22487 , 71600/ . ) 3700 8 , 9 . 1600 (smkgs m kga ==

22 F=mgh = 72msmh a Vh a V V comoff8 , 32 . . 2. . 2 :202= =+ = Pb. 3. 14.- Unascensorenunpiquedeunaminadeexplotacinsubterrnea,esllevadoal reposo desde una velocidad de 6 m/seg., con aceleracin constante en un trayecto de15metros.Qufuerzaejercersobreelpisounmuestreadorysucargaque pesan 100 Kgf., a) cuando el ascensor sube?., b) cuando el ascensor baja., y c) que ocurre si se corta el cable. Solucin: . 15m d =smV Kgf W 6 ., 1000 = = ., 0 =fV0 . . 2202= = d a V Vf dVa. 220=g m W . =a)para un ascensor que sube: ) 1 ( ., . ., . .gaW F agWW F a m g m F + = = = deber colocar los valores correspondiente para el peso W, previo clculo de la aceleracin., siguiendo el ejemplo calcule b) y c). Pb. 3. 15. Un gelogo de 80 kg, y un paquete de muestras de rocas de 12 Kg., estn sobre lasuperficiedeunlagocongeladoseparados15m,atravsdeunasogael gelogoejerceunafuerzahacial,de5,2Nsobreelpaquete.,a)culesla aceleracindelpaquete?.,b)culeslaaceleracindelgelogo?.,c)aque distancia con respecto a la posicin inicial del gelogo se encuentran, suponiendo que la fuerza permanece constante?. Asuma que no existe rozamiento. Solucin: Altratardetraerelpaquetedemuestrahacial,aplicandounafuerza,yalno tenerfriccinquelomantengaenellugar,generaunmovimientodelgelogo hacia el paquete y de ste hacia el gelogo.

ga mraDatos: . 2 , 5 ., 15. 12 ., 80N F m dkg m kg mmr g= == =., F

23

gxmrx. / 4333 , 0122 , 5)2seg mkgNmFa amrmr= = ==aceleracin del paquete de muestra. 2/ 065 , 0802 , 5) seg mkgNmFa bgg= = = = aceleracin del gelogo. Aqutenemosuncasoenlaquelasaceleracionessondesentidocontrario,sus masassondistintasyporlotantolamagnituddelaaceleracindecadaobjeto son diferentes. maadxaax d xaax daxax taxaxt t a x cgmrggmrg ggmrgggmrmrmrmrggg g96 , 111 . .. 2.2., .2. 2., . .21)22 2=+= ||.|

\|+ = = = == =mr gx x d = comosepuedeobservar,lostiemposdedesplazamientossoniguales,yla distanciaquelosseparad=15metros.Reemplazandolosvalores correspondientes obtenemos la distancia de encuentro desde la posicin inicial del gelogo. Pb. 3. 16.- Unbloquederocasedeslizaporunaladerayadquiereunavelocidadde80 Km./h, al llegar a una superficie de un camino, se detiene a los 40 metros, el peso aproximadoesde13.000N,encuentre:a)lafuerzaqueejerceelpisosobreel bloque para frenarlo., b) el tiempo requerido para pararse. Tomando la aceleracin defrenado,encuentre:c)ladistanciayd)eltiemporequeridoparapararsesiel bloque tuviera una velocidad inicial de 40 Km/h. Solucin:

24 S a,b)N agWa m F seg mSVa S a V Va m Ff69 , 8184 . . .., / 17 , 62., . . 2.220 202= = = = = == c,d) . 80 , 1 ., / 17 , 6. 2. 10. 2 ... 2. . ., / 11 , 11 / 40. 60 , 3012201202000 0segaVt seg mSVamF g V WSSVgWa m F seg m h km VsegaVttVa= = = == = = = = == = = Pb. 3. 17.- Resnick. Como se indica en la figura, una cuerda de masa m, tira un bloque de masa M en unasuperficiehorizontalsinfriccin,unafuerzahorizontalPseaplicaenun extremodelacuerda.Suponiendoqueelpandeodelacuerdaesdespreciable, calcule:a)laaceleracindelacuerdayelbloqueyb)lafuerzaquelacuerda ejerce sobre el bloque.

M mP R: a)) ( M m Pa+=b) ) (.M m M PF+= Pb. 3. 18.- Resnick. Unbloquesesueltadelreposoenlapartesuperiordeunplanoinclinadoysin friccin de 16 m de largo, llega al fondo 4,2 s despus. En el momento en que el primerosesuelta,selanzaunsegundobloquehaciaarribadelplanodesdeel fondo, de manera que vuelve al fondo junto con el primero. a)Calcule la aceleracin de cada bloque en el plano inclinado. b)Cul es la velocidad inicial del segundo bloque?. c)Qu altura del plano inclinado alcanza?.

25Puede suponer que los dos bloques presenta la misma aceleracin. R:a) 1,8 m/s2. b) 3,8 m/s. c) 4,0 m. TEMA 4 MOVIMIENTO DEL PROYECTIL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME. Metodologa para resolver problemas de trayectoria de un proyectil: Loqueprimeramentesedeberealizaresestablecerelsistemadecoordenadas, dibujandosusejes,trazarlaparbolaparauntrayectocompleto,coneleje horizontal x y el eje y hacia arriba, de esta manera tenemos x0 = 0; y0 = 0; ax = 0;y ay = 0. Unaveztrazadalatrayectoria,unanuevalecturaalenunciadodelproblemay marcamos las coordenadas donde nos encontramos en la trayectoria parablica, a partir de all, marcamos todos los datos que nos sern de utilidad, tanto los dados por el enunciados como los que estn implcitamente, como ser cuando alcanza el proyectil su punto ms alto Voy = 0, y el tiempo de vuelo en ese punto es la mitad deltiempodevuelototaldelatrayectoriacompleta.,tambinrecordarqueVox= constante.,oseaquelavelocidadhorizontalesconstanteentodalatrayectoria, obviamentenoteniendoencuentalaresistenciadelaire,yparaladeduccinde cualquier frmula que nos permite encontrar la solucin al problema planteado es partiendo de la ubicacin de las coordenadas con: cos . ., .. .,2.2o ox oxo oy oyV V t V Ssen V Vgtt V h= == =; para cualquier altura y distancia horizontal. Pb. 4. 01.-Duranteunaerupcinvolcnica,trozosderocasslidaspuedenserarrojados fuera del volcn, en la fig. se muestra el corte de un volcn., a)con que velocidad inicial debe ser arrojado un bloque a 35 con respecto a la horizontal desde A para caer a los pies del volcn en el punto B?. b)cul es el tiempo de vuelo?. Vo35

26 H S H = 3,3 km., yS = 9,4 km. Solucin: Datos: = 35., H = 3,30 Km.,S = 9,4 km., Incgnitas: Vo = ?yTv = ?

Tenemos que la distancia horizontal en la trayectoria de un proyectil es igual a: v x t V S .0= donde . cos .0 0V V x = ,o sea la componente horizontal de la velocidad, de all obtenemos el tiempo de vuelo vt. . cos .0VStv =pero aqu no tenemos la Velocidad inicial Vo, Ahora recurrimos a la otra frmula que se emplea para determinar la altura: 2..20vv yt gt V h = ., y reemplazamos vty nos queda de la siguiente manera: . cos . 2.. .2 202VS gtag S h =( )20222 202. .cos . 2.., .cos . . 2.V h tag SS gh tag SVS g = = ., realizando los pasajes de trminos correspondientes obtenemos: ( ) h tg SS gV= . . cos . 2.220

reemplazando numricamente los datos correspondientes encontramos la Vo, para luegovolversobrelafrmuladeltvyreemplazarlaVoobtenidaaqu,deesta maneranuestroproblemaquedaresuelto.,tambinpodramoshaberutilizadola siguiente frmula para obtener en este caso Vo : ). 2 .( .20 sen V S =

27 Pb. 4. 02.-Demuestre que la altura mxima alcanzada por un proyectil es: gsen VH. 2) . (. max20=Solucin: Pararesolveresteproblematenemosqueconsiderarque:laalturaganadaen todalatrayectoriaesigualaceroydealldespejamoseltiempototaldevuelo para luego reemplazarlo en la formula general de altura, veamos: 2.. . 020t gt sen V h = = .,paraluego 2.. .20t gt sen V = .,ahorasimplificamosel tiempo del primer trmino con el cuadrado del segundo trmino y nos queda de la siguiente manera: gsen Vt . . 20= paracalcularlaalturamximasetomalamitaddeltiempodevuelototal,porlo que: 20 00 . max0.2.. .,.2||.|

\| = =gsen V ggsen Vsen V Hgsen V t gsen VHgsen V ggsen VH. 2) . (.,. 2. . .2. max22 202 20. max = = de esta manera queda demostrado la frmula de altura mxima. y Hmax. V0

x

28 Smax.

Pb. 4. 03.-UnvolcndeunaalturaH=2800metros,lanzahorizontalmenteunfragmento rocosoconunavelocidadinicialV0=15m/seg.Hallar:a)cuntotiempose encontrar el fragmento rocoso en movimiento?., b) a que distancia S de la base delvolcncaeratierra?.,c)conquevelocidadVyllegaralsuelo?.,d)qu nguloformarlatrayectoriadelfragmentoconelhorizonteenelpuntode cada?., no debe tenerse en cuenta la friccin con el aire. R: a) 23,9 seg., b) 358,5 m., c) 234,22m/seg., d) = 86 20. Pb. 4. 04.- Sears (modificado). UnestudiantedeGeologaseencuentrarealizandounapracticadeveranoenel sector Este de La Sierra de Ancasti, y decide regresar a la ciudad Capital, toma su motocicleta y aprovechando la penillanura de la sierra, decide acortar la distancia y tiempo, para lo cual circula a campo traviesa,pero no se da cuenta que llega al borde oeste y se lanza al precipicio, su velocidad en ese instante era de 9,0 m/s, obtenga la posicin, distancia desde el borde y la velocidad de la moto despus de 0,5 segundo. R = para su posicin horizontal x = 4,5 m. Para su posicin vertical y = - 1,2 m. Distancia desde el borde (resultante) r = 4,7 m. Velocidada los 0,5 segundo: Vx = Vox = 9,0 m/s. Vy = - 4,9 m/s. La magnitud de la velocidad (velocidad tangencial) V = 10,2 m/s. El ngulo que forma con la horizontal en ese instante = - 29. Movimiento Circular Uniforme Introduccin:Cuandounobjetoopartculasemueveenunatrayectoriacircularconuna velocidadconstante,loqueimplicaunacomponentedelaaceleracin perpendicularalatrayectoria,ancuandolarapidezseaconstante,sta aceleracindenominadaradialocentrpetaeslacausadelcambiodedireccin de la velocidad. La relacin de esta aceleracin radial con la velocidad es sencilla:

29RVarad2= Tambinpodemosdecirqueenunmovimientocircular,eltiempodeunavuelta completa o revolucin, o sea el tiempo necesario para recorrer una longitud igual a la circunferencia y la relacin con la velocidad es: T RV. . 2= , donde como podemos observar la longitud de una circunferencia es: R L . . 2 = porlotantoalsustituirenlaprimeraecuacindelaaceleracinradialotambin llamada centrpeta, queda: 22. . 4TRarad= Pb. 4. 05.Cual es la aceleracin radial que experimenta un clasto bien redondeado que cae deunaladerayadquiereunavelocidadde10m/seg.,alllegaraunacanaleta horizontal toma una curva de 25 m de radio. Solucin: Datos:. 25 ., / 10 m R seg m V = = . / 425) / 10 (.,22 2seg mmseg maRVar r= = = Pb. 4. 06.-Unclastoredondeadodeslizndosesobreunacanaletacirculartieneuna velocidad de 9,2 m/seg, sufre una aceleracin de 3,8 m/seg2. a) cul es el radio de la trayectoria., b) cunto tiempo le tomar completar el circuito?. Solucin: Datos:., . . 2 ., / 8 , 3 ., / 2 , 92rraVR R e seg m a seg m V = = = = a)., 27 . 22/ 8 , 3) / 2 , 9 (22 2mseg m seg maVRr= = =

30 b). 49 , 15/ 2 , 97 , 22 . 14 , 3 . 2 . . 2segseg mmV RVet = = = = Pb. 4. 07.-a)Cunto vale la aceleracin centrpeta de un objeto ubicado sobre el ecuador de la Tierra, debida a la rotacin de la misma?., b) cunto debe valer el periodo de rotacin de la tierra para que la aceleracin centrpeta sea igual a 9,8 m/seg2?. R . a) 0,0336 m/s2. b) 5063,09 s. Pb. 4. 08. Resnick.LaLunagiraentornoalaTierra,completandounarevolucinen27,3das. Suponga que la rbita es circular y que tiene un radio r = 238.000 millas. Cul es la magnitud de la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce sobre ella?. Solucin:En este caso debemos el dato del radio pasarlo a metro, posteriormente tomar el dato de la masa de la luna de cualquier texto y el tiempo pasarlo a segundos, de esta manera tenemos que: smT rV 1018. . 2= = entonces tenemos que la segunda ley de Newton nos dice: ( )( )= = = = N xm xsmkg xrVm a m F208222210 00 , 210 82 , 31018 . 10 36 , 7. .

Pb. 4. 09.- Volkenshtein. Hallar el radio de una rueda giratoria (R1), sabiendo que la velocidad lineal V1 de lospuntossituadosenlasuperficiedesullantaes2,5vecesmayorquela velocidad lineal V2 de los puntos que se encuentran 5 cm ms prximos al eje de la rueda (R2). V1

R1 R2 V2 5cm. R: R1 = 5,9523 cm.

31

TEMA 5 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO - COLISIONES Metodologa para resolver problemas: Primeramentedebemosteneralgunosconceptosbienclaroscomoser:quela cantidad de movimiento de una partcula, es una cantidad vectorial, es el producto de la masa por su velocidad, que la cantidad de movimiento total es constante y se conserva. Unchoqueenelquelaenergacinticatotal se conserva es un choque elstico. Silaenergacinticanoseconserva,elchoqueesinelstico,aunquelaenerga totaldelsistemaseconserva(yaseaquelaenergacinticasetransformeen energapotencialenalgunoscasosyenotrospaseaenergapotencialelstica, por ejemplo). Elcambiodelacantidaddemovimientodeuncuerpoosistemaesigualal impulso de la fuerza neta que acta sobre l. EnalgunostextoscomoelResnickdenominaalacantidaddemovimiento: mpetu, o en otros casos como momentum. ElimpulsocomoelmpetuderivandelasegundaleydeNewton: ( ) = = = V mdtddtdVm F a m F . . ., . m.V = p = cantidad de movimiento o mpetu. F.dt = J = impulso ., J = p2 p1 = teorema del impulso - cantidad de movimiento. Elcambiodelacantidaddemovimientodeuncuerpoduranteunintervalo detiempoesigualalimpulsodelafuerzanetaqueactasobreelcuerpo durante ese intervalo. Ladiferenciaentrelacantidaddemovimientoconlaenergacintica,esquela cantidaddemovimientoompetuesunvectorproporcionalalavelocidad, mientrasquelaenergacinticaesunescalarproporcionalalcuadradodesu rapidez. Elmpetuocantidaddemovimientodeuncuerpoesigualalimpulsoquelo aceler desde el reposo a su rapidez actual. Conestasconsideracionesgeneralespasamosalaconservacindelacantidad demovimientosiempreycuandoseconserve.Sinoesasnopodemosusarlo.

32Unavezdefinidoelproblemaencuestinpasamosadefinirelsistemade coordenadas mas conveniente, tratando que el ejex coincida con la direccin de una de las velocidades iniciales. Posteriormenteescribaunaecuacinparalacomponentexinicialdelacantidad de movimiento igualando con la componente x final ( o sea igualar la cantidad de movimiento antes con la cantidad de movimiento posterior a la interaccin)., luego escriba otra ecuacin para la componente del eje y., para cada partcula. Es muy importante tener en cuenta que las componentes de las velocidades para cada eje nunca se suman en la misma ecuacin., y siempre tener especial cuidado con los signos, que aunque estn en el mismo eje estaspueden ser positivas o negativas. Problemas: Pb. 5. 01.- Una bala que pesa 0,01(lbf) se dispara contra cierto bloque de madera que pesa 2 (lbf) suspendida de una cuerda de 5 ft de longitud. Se observa que el centrodegravedaddelbloqueseelevaaunaalturade0,0192ft.Hllesela velocidaddelabalacuandosaledelbloque,sisuvelocidadinicialerade1000 ft/seg. Solucin: Datos: | || | lbf Plbf PMb2., 01 , 0==

| || |

====segftMVft hft lbb1000?0192 , 05lM mb h M

l mbM mb M (1) (2)

33Entrelasposiciones(1)y(2)nohayintervencindelasfuerzasexternasal sistemadelacomponentedelagravedaddelbloqueM,poresolaimpulsin exterior vale cero (0), y se conserva la cantidad de movimiento del sistema.

= =0 . p dt F M M b b M M b bV m V m V m V m2 2 1 1. . . . + = +(1)(2) tenemos que0 .1=M M V m entonces es: M M b b b bV P V P V P2 2 1. . . + =como podr observar que dividimos todos los miembros por g (gravedad) para trabajar directamente con los pesos. con la energa cintica que adquiere M (en 2), es capaz de aumentar su energa potencial, desde 0, en (2) hasta que se eleva (h), que vale: h P h P EM M p. 0 . = = EstaconservacindelaEnergamecnicasedebeaquedesde(2)hastala elevacin en h, la nica fuerza que acta sobre M es la conservacin de gravedad. Resulta entonces: a) h gmh PVh P V mMMMM M M. . 2. . 2. . .212= == a esta velocidad del bloque la sustituimos en la ecuacin de la cantidad de movimiento y tenemos: ||

=

|.|

\|=||.|

\| = + =segftftsegftsegftVh gPPV V entoncesh g P V P V PbbMb bM b b b b778 0192 , 0 . 32 . 2 .01 , 021000. . 2 .. . 2 . . .21 22 1 Pb. 5. 02.- Una bala de 5,0 gr, que se mueve horizontalmente a una velocidad de 100m/seg., choca y se incrusta en un bloque de 20 Kg, colocado sobre una mesa plana.Elbloquesedesliza2,0m,despusdelacolisin,antesdellegaral reposo. Encuentre: a) la velocidad del bloque despus de la colisin.

34b) la fuerza de friccin que retarda el movimiento del bloque. VbVb

fk S fk Datos:

||| || |??201000 , 50 , 2===

===fVkg msegmvg mm SBBbb ( )segmm m mv VV m m v mb Bbb Bb B b b b025 , 0 .. 0=||.|

\|+=+ = +

ahora bien: | |||| | Nm segmkgSVm fSVmfaaVaVaaVV SaVt t a Vt a t V SBBBBB B BBBBB003 , 02 . 2) 025 , 0 (. 20. 2. .,2. 2.21.; . 0.21.2222 22222=

= = = == == = =

Pb.5.03.-Unapelotade500gr,seaproximaaunbateaunavelocidadde30 m/seg,ydespusdechocarregresaalolargodelamismalneaconlamisma velocidad. de que magnitud fue el impulso ejercido por el bate contra la bola?. Solucin:v J V

35

Datos:| | | |?30305 , 0 500=

=

== =JsegmVsegmvkg gr m

( )( ) | | ( ) | | | | seg Nsegmkg v V m v V m JV m dt F J. 30 30 . 2 . 5 , 0. .=

= + = = = =

Como podemos observar, la variacin de cantidad de movimiento es la resta de la cantidaddemovimientofinalmenoslainicial.Comoelegimospositivoala derecha, entonces la velocidad inicial es negativa, y de all es que tenemos que el resultado final es la suma de las cantidades de movimiento que nos da el impulso ejercido.LasdimensionesaquestndadaenN.seg,queeslomismoque kg.m/seg.

Pb.5.04.-Unagotitadelluviade4,05mgr.,quecaeaunavelocidadde20 m/seg.,chocacontraunplanolisohorizontaldeunalutitaysedetiene. Considerandoquelagotitasedetieneaunadistanciaigualasudimetro, encuentre la fuerza media que ejerce sobre el plano de la lutita. Solucin:V0 F Datos:

36| |

= = =|.|

\|= == =

= =33301000 .,6.2.340 ., 0 ., 20 ., 0 , 4cmmgrdensidadd dv VolumenF VsegmV mgr m

v m . =., la masa es igual a la densidad por volumen. | | cmmddm 197 , 0.. 6., .6.33= = = recorre d (distancia = dimetro) hasta detenerse aVt t a VaVaVaVd t a t V do o o002 2 220., . 0. 2 . 2., . .21.= == = = como:( ) = =V m dt F J . . la aceleracin producida por Fes: dVa. 220=el tiempo en detenerse es: 0200. 2. 2VddV Vt = = la impulsin de F es: dV mVdV mF V m t F J. 2.. 2.., . 0 .20000 = = = = la fuerza que impulsa a la gota a detenerse vale: dVm F. 220 = por la tercera ley de Newton, igual fuerza pero de sentido contrario, golpea la superficie que detiene la cada, que vale:

37| | ( )| || || || | | | . 41 41 , 0 620 . 40110.20 , 0 . 220. 004 , 022 4 222grf N dinasmcmcmsegmgr F = = =

= -------------------------------------------------------------------------------------------------------- AlosfinesdepoderabordarlosproblemasdeColisiones,pasaremosaver algunas consideraciones importantes: ParaunacolisinelsticalaEnergaCinticaseconserva,yconsiderandolas ecuaciones del mpetu como la de la Energa Cintica, obtenemos: i f f iV V V V2 2 1 1+ = + ., donde:iV1= velocidad inicial de la masa 1., y=fV1 Velocidad final de la masa 1. =iV2velocidad inicial de la masa 2.,y=fV2 velocidad final de la masa 2. Para obtener las velocidades finales de ambas masas a partir de sus velocidades iniciales es: i i fi i fVm mm mVm m mVVm m mVm mm mV22 11 212 11222 1212 12 11. .2.2.||.|

\|++||.|

\|+=||.|

\|++||.|

\|+= estasecuacionesnospermitenobtenerlasvelocidadesfinalesencualquier colisin elstica unidimensional (Resnick). i fi fV VV V1 22 1==estas se corresponde cuando las masas son iguales( )2 1m m = otrocasoescuandolasegundapartculaseencuentraenreposoinicialmente, entonces: i fi fVm m mVyVm mm mV12 11212 12 11.2.||.|

\|+=||.|

\|+=

38Paracolisionesinelsticas,enlasquepordefinicinlaenergacinticanose conserva, aunque la conservacin de la cantidad de movimiento (mpetu) siempre se cumple. Enuncasodelacolisincompletamenteinelstica,laspartculassemuevenen una velocidad final comn, o sea que se quedan pegadas despus de la colisin. Por lo tanto tenemos: i i fVm m mVm m mV22 1212 11. .||.|

\|++||.|

\|+= cuando 2mse encuentra en reposo, esta ecuacin queda: i fVm m mV12 11.||.|

\|+= estaecuacinnosmuestraquecuandomasgrandesea 1m ,msrpidose mover la combinacin. Con estas consideraciones pasamos a resolver algunos problemas. Pb. 5. 05.- Resnick.SecreequeelMeteorCrater,enArizona,(EEUU),seformoporelimpactode unmeteoritoconlaTierrahaceunos20.000aos.,lamasadelmeteoritose calculaquefuede| | kg x1010 5 ,ysuvelocidaden

segkm2 , 7 .quvelocidad impartira a la Tierra tal meteorito en una colisin frontal?. R =| |aomm2 Pb.5.06.-Dosrodadosquesedesprendendeunaladerasedeslizanhaciaun valle y chocan en una superficie de hielo en una colisin completamente inelstica, yaqueambosrodadosquedanunidosdespusdelimpacto,elrodadodemasa m1 = 10kg., se mova originalmente hacia el este a una velocidad V1 = 4,1 km/h, elsegundorodadodemasam2=6kg.,semovaoriginalmentehaciaelnortea unavelocidadV2=6,1km/h.,a)culeslavelocidadfinaldelosdosrodados luegodelimpacto?.,b)cualeselcambiofraccionarioenlaEnergaCinticade los rodados a causa de la colisin?. Solucin: y (norte) M V

39mAVAx (este) VB mB como la cantidad de movimiento (mpetu) se conserva, se escriben las ecuaciones para ambos ejes. B ABy BAx Am m Msen V M V mV M V m+ ===. . .., cos . . . de donde obtenemos: Ax ABy BV m V m..tan.= ., de donde se obtiene el valor del ngulo. sen M V mVBy..= .,reemplazando los valores obtenemos la velocidad final. La Energa Cintica inicial es: 2 2.21.21B B A A iV m V m K + = La Energa Cintica final es: 2.21V M K f = La fraccin de la Energa Cintica que pregunta el problema es: ii fK K Kf= .,reemplazandolosvalorescorrespondienteobtenemoslaEnerga Cintica que se pierde en la colisin. Pb. 5. 07.- Un peso de 2,9 Tn que cae desde una distancia de 6,5 ft., se hunde 1,5 in.,enunmontndeTierrade0,5Tn.,suponiendoquelacolisin.Peso-montn deTierra,completamenteinelstica,hallelafuerzapromedioderesistencia ejercida por la Tierra. Solucin:

40Datos: ?5 , 05 , 1. 5 , 69 , 221=====FTn Pin xft hTn P Primeramentedebemosutilizarlasecuacionesyaconocidasparadespejarla velocidad aproximada con la cual se aproximo al montn de Tierra. xV mVxV mt V mF V m t FxVa ahora x a V V peroaVt t a VVff. 2.. 2. .., . .. 2.,. . . 2 ., ., . 00200020 202 00= == == + = = == Pb. 5. 08.- En una tormenta de granizo, cada uno de ellos tiene un dimetro de 1.0 cmaunavelocidadde25m/seg.Seestimaquehay120granizospormetro cbicodeaire.Desprcieseelrebotedelgranizoalchocar.,a)culeslamasa decadagranizo.,b)qufuerzaesejercidaporelgranizosobreunestratode plano de 10m x 20 m., durante la tormenta?, supngase que, siendo hielo, 1 cm3 de granizo tiene una masas de 0,92 gr. Solucin: ??120 12513=====Fmgranizos msegmvcm dgranizovolumen del granizo: 33523 , 06.cmdV = = . 481 , 0 523 , 092 . 0 133gr cmgr cm a)la masa de cada granizo es de: 0,481 gramos. Comodiceelenunciadoquehay120granizopormetrocbico,ypreguntaque fuerza media ejerce durante la tormenta una superficie de 0,02 metros cuadrados, ycomosihay120granizosenunasuperficiede10.000centmetroscuadrados, enunasuperficiede200centmetroscuadradoshay2,4granizos,porlotanto tenemos que:

41tv mF v m v m dt F.., . 0 . . = = = pero como el tiempot a v saleavt . 0 ., = = ., pero la aceleracin esta dada por la ecuacin: ., .. 21.2t a t v d =distancia del dimetro del granizo, donde reemplazamos el tiempo con la ecuacin que antecede, obteniendo: vdtdva. 2.,. 22= = por lo tanto la fuerza media ejercida sobre el estrato plano es: | | Nxv mF 36. 2.2= = Pb. 5. 09.- Un fragmento rocoso de 100 gr, se encuentra en reposo sobre un plano de filita horizontal lisa, un segundo fragmento rocoso de masa 2,5 gr., esfrico se desliza por una ladera adyacente a la filita y adquiere una velocidad de 400 m/seg, alllegaralplanohorizontal,golpeaalotrofragmentorocosoyrebota horizontalmenteenunadireccinperpendicularalainicialconunavelocidadde 300m/seg.,a)calclenselamagnitudydireccindelavelocidaddelprimer fragmentoluegodehabersidogolpeadoeste.,b)eselchoqueperfectamente elstico?. Solucin: yantes del choque despusVf1 Datos: | || |? 0 ) ., ? )300904005 , 201002200022011= =

==

====E b V asegmVsegmVgr mVgr mff m1 m2Vf2 x

Silasuperficiesobrelaquedeslizanlosdosfragmentosrocososeshorizontal, significaquenohayningunacomponentedelospesosdem1ym2quepuedan impulsar a este sistema, pues la fuerza de gravedad es una fuerza exterior a este sistema. Tambin no hay fuerza exterior de rozamiento, pues la superficie es lisa,

42as que el sistema conserva su cantidad de movimiento, por no haber impulsin de ninguna fuerza exterior. Antes del choque tenemos nicamente que el 1er. fragmento se mueve y lo hace sobre el eje x, por lo tanto la cantidad de movimiento le corresponde a ese cuerpo y sobre el eje x., por lo que la ecuacin queda como sigue: . cos . . .1 1 02 2 =fV m V m(1) tambin en la direccin del eje y, antes del choque la velocidad es igual a cero, y despus del choque es: = 0 ., de aqu se tiene:2 2 1 1. . . . . 0f fV m sen f V m + = (2) dividiendo la ecuacin (2) en la (1), obtenemos: " 12 52 36400300. ..0022= ==tag arctagVVf una vez obtenido el ngulo procedemos a calcular la velocidad faltantes: sen mV mVff..12 21 =., colocando los valores correspondiente obtenemos que

=segmVf5 , 121 La energa Cintica es 202.21V m E = Y la energa final: 21 122 2.21.21V m V m Ekf+ = Si el choque era perfectamente elstico:

43( )( ) ( ) | | joule Ejoule Ekfk32 , 120 5 . 12 . 100 .21300 . 5 , 2 .21, 200 400 . 5 , 2 .212 220= + == = % 40200 200 32 , 1200 ==kEE hahabidounaprdidadeun40%deEnerga,entonceselchoquenofue perfectamente elstico. Pb. 5. 10.- En una exploracin a la Antrtida, dos estudiantes de Geologas estn recogiendomuestrasderocas,unodeelloquepesa70Kgf.,estparadoenun banco de hielo, y le tira a su compaero una muestra que pesa 3(kgf) en direccin horizontal con una velocidad de 8m/seg., Hallar hasta qu distancia retroceder el estudianteallanzarlamuestra,sabiendoqueelcoeficientederozamientoentre los patines y el hielo es igual a 0,02. Solucin: Datos: | || |?8370=

===SsegmVkgf Pkgf PpmH Vp Pm VhaV=0 ., = 0,02f f Ph

S Como en el movimiento uniformemente acelerado, tenemos que: aVt t a Vt a t V SHHH= = =., . 0. .21.2

fPgVSP f rozamientoaVaVaaVSH HHH H H.2.. 2. .212222 2== == =upor la segunda ley de Newton: gPfmfaH . = =al arrojar la muestra se conserva la cantidad de movimiento del sistema:

44HmmHmm H m m H HPPVmmV V V m V m = = + = ., . . 0 .,Yasabemosque Hm V y V sonde sentido contrario, entonces es:|| mx x PPmgVSHm30 , 070302 , 0 81 , 9 28. . 22222=||.|

\|=||.|

\|=u ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- TEMA 6 CINEMATICA ROTACIONAL Introduccin: A los fines de poder comprender la medicin del ngulo y como se loexpresaenunmovimientoderotacin,pasaremosarealizarunrepasodelas unidades: S = longitud del arco. Radio = S/R., siendo S = longitud del arco. Elngulo es igual a la longitud del arco dividido por el radio. Elradianporserlarazndedoslongitudesesunmiembropuroynotiene dimensiones. La circunferencia de un crculo de radio R es 2..R, as de esta manera tenemos que: 1 Revolucin = 1 Vuelta = 2..Radianes = 360o

45 tambin podramos decir que: 1 radin = 360o /6,28 = 57,3o Lo que podemos decir es que un arco de longitud igual al radio corresponde a un ngulo de 57,3o Ahora bien: 1 Rev. = 2 x 3,14 radianes = 6,28 radianes. 1 Radian = 1 Rev./6,28 = 0,59 Rev. Comopodemosobservarqueelarcodelongitudigualalradiosedenomina: Radin., Ahorabienpasemosarealizaralgunasoperacionesparapodercomprender mejor. 10 Rev. = 2R.NRev = 6,28 Rad. 10 = 62,8 radianes. Tambin podramos decir que: en una revolucin, o sea una vuelta, o bien en una circunferenciacaben6,28veceselradiodeesacircunferencia,obien2 radianes. Esta relacin de la cantidad de veces quecabe el radio en una circunferencia es vlido para todo tamao de circunferencia. Paraunavelocidadangular,enocasionessemideenrpm,loquesignifica: revoluciones en un minuto, o en otras palabras vueltas en un minuto, para tener la cantidaddevueltasorevolucionesenunsegundosetienequedividirpor60., como ejercicios de prctica tenemos: 11,7 radianes pasar a revoluciones 1 rev.6,28 radianes x11,7 radianes x = 11,7/6,28 = 1,863 rev.., o sea que 11,7 radianes es equivalente a 1,863 rev. Ahorabienlavelocidadangularsemideenradianessobresegundo,o revolucionessobresegundo,porlotantoparapasardeunsistemaaotrose procede de la misma manera: Pb. 6. 01.- Un vehculo se desplaza en la carretera a una velocidad de 50 ft/seg. Si eldimetrodesusruedasesde36in(pulgadas).,conquevelocidadgiranlas

46ruedas,enrevolucionesporsegundo,radianesporsegundoygradospor segundo?. Solucin: || in dsegftV36., 50=

= ||

= =

= == =segradinftinsegftdVwdrrVw33 , 333612 . 50 . 2121. 3650 . 2. 22., | || || |

=

=

=

=segrad segradwsegrevradrevsegradw1910180. 33 , 333 , 5. 21. 33 . 33 comosepodrobservartieneaqutodaslasequivalenciasparaunamisma velocidadangular.Ahorabienpasemosaverlasfrmulasqueseempleanen rotacin de un cuerpo rgido y sus analogas con el movimiento de traslacin: Movimiento de traslacinMovimiento de rotacin(direccin fija)(eje fijo) ( )20 000020220 00. .21..2. 2.21..t a t V x xtV Vx xx x a V Vt a t V x xt a V V + =++ = + =+ + =+ = ( )20 000020220 00. .21..2. 2. .21..t ttt t wt w w + =++ = + =+ + =+ = METODOLOGA PARA RESOLVER PROBLEMAS Comopodemosobservarenlasfrmulasanterioresexisteunaanalogaentreel movimientorectilneoylarotacindeuncuerporgido,porsupuestoqueestas

47frmulas solamente son vlidas siempre que la aceleracin sea constante, ya sea paralaaceleracinlinealoparalaaceleracinangular.Larelacinqueexiste entre la rapidez lineal y la angular es la siguiente: . .. ., .. tan22rdtdrdtdVarrVa r Vgrad= = == = =aqularelacinexistenteparalaaceleracinradialo tambinllamadacentrpetadeunpuntodeuncuerpoenrotacin,comola correspondientealaaceleracintangencialdeunpuntodeuncuerpoen rotacin. Alusarlasecuaciones,sedebenexpresarlosngulosenradianes,noen revoluciones ni en grados. Cuando necesitamos utilizar la relacin del Trabajo y la Energa y la conservacin delaEnerga,ladiferenciaquetenemosenuncuerpoenrotacinesquela Energa Cintica de Rotacin se expresa en funcin del Momento de Inercia I y delavelocidadangular ,delcuerpo(2.21 I K = )enlugardelamasamysu rapidez. VOtra cuestin importante es que cuando se trata de una cuerda o cable enrollada en un cuerpo rgido giratorio que funciona como polea, hay que tener en cuenta que el punto de la polea (cuerpo rgido) que toca la cuerda tiene la misma velocidadlinealquelacuerda,entantoquenosedesliceoresbalesobrela polea.,porlotantoenesoscasospodemosayudarnosrelacionandolavelocidad lineal y la aceleracin tangencial de un punto del cuerpo rgido con la velocidad y aceleracin angulares del mismo. Pb.6.02.-a)Quaceleracinangularpromedioserequiereparaobteneruna velocidadde1[rev],cada20[seg],paraunaruedaquearranquedelreposoy alcanza esta velocidad en 0,5 [min]?., b)Cul tendra que ser el radio de la rueda paraquelaaceleracincentrpetaqueactasobreunapersonaenlaruedasea undcimodelaaceleracindelagravedad,cuandolaruedahayaalcanzadola velocidad indicada?. Solucin: a) | | . min21 0201?0==

==tsegrevnb) 10?gaRrad == la velocidad angular alcanzada en el tiempo t., es:

48 | || || || || |

= =

= =

= =

=

=20105 , 0300min 160. min21201213 , 0201. . 212. ., .segradsegsegradtsegradrevradsegrevsegradtn b)|| mgRgRRVa 94 , 9. 10.,10.222= = = = = Pb. 6. 03.- Sears. Unvolantecuyaaceleracinesconstanteeiguala2(rad/s2),giraunngulode 100 (rad) en 5(s).Cunto tiempo ha estado en movimiento antes de comenzar el intervalo de 5 (s), si parti del reposo?. Solucin: tt t..21.020 + =+ + = 0000== 200. .21. ..t t tt + ==

ttt..2120 = haciendo distributiva queda: | || | | || |segundossssrad rad ttt 5 , 7255 . 2 1002 .20= = = Pb. 6. 04.- Sears. Unvolanteacelerauniformementeapartirdelreposohastaalcanzaruna velocidad angular de 900 (rev/min) en 20 (s). Hllese al cabo de 1 (s): a) el ngulo giradoporelvolante;b)calclenseyrepresntenseenundiagramaelvaloryla direccindelascomponentestangencialynormaldelaaceleracindeunpunto del volante que dista 6(in) del eje. Solucin: 200.21..t tt + =+ =

t== 00 2.21t = reemplazando: 2..212ttt = |.|

\|=

49 donde es ( )( )( )( ) 60. . 260min 1.1. 2.minns revrad revnsrad = |.|

\|= |.|

\| ( ) rad tntn1 , 47 .60..60. . 2.21= = = para el ngulo recorrido desde el inicio hasta los 20 seg., ahora calculamos el punto a): ttt ta a = = + = ., ..21.2|.|

\| + = |.|

\| + = + = tttnttt ttt taaaa a a. 21 .60. . 2. 21 . .21.2 ( ) radx6 , 9620 2 11 . 1 .60900 . . 2= |.|

\| + = b)| |sradn2 , 9460. . 2= =( ) ( )()( )RtR asmin minsRRvatr. .7 , 135310254 , 0. 6 .12 , 94 .2 22 22= =

=

= = = Z| |t rta asma=27 , 0

R

aR aY aT

X Cuando el ngulo formado entre el vector aceleracin y la aceleracin radial tiende a cero, el vector aceleracin casi coincide con la aceleracin tangencial. Pb. 6. 05.- Sears. a)demustrese que, cuando un cuerpo parte del reposo y gira alrededor de un ejefijoconaceleracinangularconstante,laaceleracinnormaldeun puntodelcuerpoesdirectamenteproporcionalasudesplazamiento

50angular.,b)Qungulohabrgiradoelcuerpocuandolaaceleracin resultante forma un ngulo de 60 con la aceleracin normal?. Z Solucin: ar v aT aR v ar aT a)RRvaR.22 = = . ., ., 00k a cteR = = = para0 ; 00 0= = v tenemos: 2.21.tt == . . 2 .,. 2.212222= = == t sustituyendo: ). . . 2 ( . . . 2 R R aR= =resulta que: R k . . 2 = . k aR = b) . . . 2.R aR aRT== | | " 24 ' 32 16 2887 , 060 . . 21. 21. 21. . . 2. = == == = =radtag tagRRaatagRT aaR= ==cos600

51 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- TEMA 7 MOMENTO ANGULAR LEYES DE NEWTON EN LA ROTACIN. Introduccin:Elmomentoangularesanlogoalmomentolinealocantidadde movimiento de una partcula, y es un vectorL . v m r p r Lr r r rr. . . = == = v m pr r.momento lineal. smkg L2. =r. Si al momento angular lo dividimos por el tiempo nos da: F rdtL drrr. = =rlaraznalaquecambiaelmomentoangulardeunapartculaes igual al momento de torsin de la fuerza neta que acta sobre ella. Tambin tenemos que: ( ) = = = . . .21 1I r m L Li. rr. I L =para un cuerpo rgido que gira alrededor de un eje de simetra. 2.r m I = = Inercia rotacional, depende de la masa y de la distancia perpendicular a ella. Conservacin del Momento Angular Sielmomentodetorsinexternonetoqueactasobreelsistemaes0,el momento angular de todo el sistema es constante (se conserva). . . .2 2 1 1 I I =(momento de torsin externo es cero). Losmomentosdetorsindelasfuerzasinternaspuedentransferirmomento angulardeuncuerpoaotro,peronopuedecambiarelmomentoangulardel sistema. Teorema de los ejes paralelos Lainerciarotacionaldeuncuerpocualesquieraalrededordeunejearbitrarioes igual a la inercia alrededor de un eje paralelo que cruza el centro de masa, ms la masa total multiplicada por la distancia al cuadrado entre los dos ejes. 2.h M I ICM + =

52=CMI inerciarotacionalalrededordeunejeparaleloquecruzaporelcentrode masa. = M masa total del objeto. = h distancia perpendicular entre los ejes. Latorcanetacorrespondientealsistemadedospartculas,eslasumadelas torcas netas de cada una de ellas. La torca denominada por Resnick, tambin es denominada como momento de torsin, por Sears. sen F r . . = (torca),suunidadpuedeserN.m(Newtonpormetro)olb.ft(libra por pie). + = ..2 1 z z z zI . = (la torca es igual a la inercia rotacional por la aceleracin angular). Tenemos que la inercia rotacional del sistema de dos partculas: = + = . . ...... . .2 22 221 1 n n r m r m r m I entonces tenemos: =z z extI .. (forma rotacional de la segunda ley de Newton). Aplicaciones de las leyes del Equilibrio de Newton para la RotacinParaqueuncuerpoestenequilibrio,lafuerzaexternanetaylatorcaexterna neta ha de ser cero (Resnick). Aqu tratamos el caso especial cuando el cuerpo se encuentra en reposo. = 0. extFr y= 0. extr de donde.= 0yF;= 0xF ;= 0zF y = 0y;= 0x ; = 0z Metodologa para resolver problemas de Equilibrio. En primer lugar se debe proceder a realizar el diagrama del cuerpo libre, donde se colocantodaslasfuerzasqueactanenelsistema,suspuntosdeaplicacin; posteriormenteseeligesistemadecoordenadasyseestablecenlosejesque servirn para resolver las fuerzas y las torcas. Tener en cuenta que para las torcas, su sumatoria es igual a 0, para cualquier eje elegido y se toma positivo para aquella torca que gire en el sentido contrario a las agujasdelreloj,porejemplositenemosunatorcaensentidopositivoquegira

53alrededor de un eje, debe existir necesariamente otra torca que gire sobre ste eje elegidoperodesentidocontrariooseanegativo,alosfinesqueelsistemase encuentre en equilibrio. Pb.7. 01.- Volkenshtein. Unvolante,cuyomomentodeinerciaes( )2. 6 , 63 m kg I = ,giraconlavelocidad angularconstante. 4 , 310srad= hallarelmomentodeceleradorbajocuya accin el volante se detiene al cabo de t = 20s. Solucin: ( )( )( ) m Ns sm kgtI Itt. 1002014 , 31. . 6 , 63 . .0 .2 000= = = === = Pb. 7. 02.- Volkenshtein. Unaplataformahorizontalde100Kg.demasagiraalrededordeunejevertical que pasa por un centro y da 10 r.p.m. Un hombre que pesa 60 kgf se encuentra en estas condiciones en el borde de la plataforma. Con qu velocidad comenzar a girarlaplataformasielhombresetrasladadesdeelbordehaciaelcentrodela misma?.Consideraquelaplataformaesundiscocircularhomogneoyqueel hombre es una masa puntual. Solucin: L vh R vR y x al inicio es) )( . ( .20 0RvR m I LHH p+ = . Se conserva el momento cintico cuando mH se traslada hasta el centro, ya que no hay impulsin angular exterior:

54 = = L dt . 0 ,entonces al final es: 0 . + = pI Lcuando el hombre se encuentra en el centro: . . . .00p H H pI v R m IL L= += aqu es: 2. .21R m Ip p = ., R vH.0 = | |( ) ( )( ) s revradrev60min 1.) ( 1. 2.min100 = . . . .21. . . .21.202 20 R m R m R mH p= + pHmm2 .0 0 + = | | ( )sradsradmmpH3 , 260. 2.10060. 2 1 . 10 2 10= |.|

\| + =||.|

\|+ = srad3 , 2 = Pb. 7. 03.- Bueche. Una calesita consta de un disco slido uniforme de 200 Kgf y gira alrededor de un eje vertical. El radio mide 6,0 m, y un hombre de 100 kgf est parado en su borde exterior cuando gira a 0,2 rev/s., a)Con qu velocidad girar si aqul camina 3,0 m, hacia el centro a lo largo de un radio?., b) Qu suceder si el hombre sale por el borde?. Solucin: El momento de inercia vale:( )2121. .21r R m R m IH + = (1)Se conserva . . .1 1 0 0cte I I L = = = (2) ( )sradrevradsrevkgf mm Rkgf mH256 , 1) ( 1) .( . 2. 2 , 0) ( 100 ). ( 0 , 6). ( 2000= ====

2 20. .21R m R m IH+ =(3) como el momento se conserva,de (1) y (3), tenemos:

55( ) |.|

\| + =|.|

\|+21212 20. .21. . .21r R m R m R m R mH H srevr R m R mR m R mHH.32 , 0) .( . .21. .21.2122 20 1= ++= b) En este caso es srevr.2 , 0 , 00 2 2= = = Pb. 7. 04.- Bueche. Endeterminadoinstantelamasaquesemuestraenlafig.,esempujadacon velocidad de 2,0 m/s. Si esta alcanza una distancia de 50 cm., antes de detenerse, De qu magnitud es el momento de inercia de la rueda?. Solucin:

R R = 8,0 cm M = 300 g S = 50 cm V0 = 2,0 m/s V = 0

(2) S m (1) v0

Sobreelsistemaunavezqueseencuentraenmovimientosolamenteactala fuerzagravitacional,comoesconservativa,hayconservacindelaenerga mecnica. . ., 0P K P KE E E E E = = + = (1)Rv00 =

560 . .. .21.2102020 = |.|

\|+ = S g m EI v m EPK regresando a (1) tenemos: 220 20.21.21. .RvI v m S g m + = con esta igualacin despejamos el momento de inercia de la rueda: =||.|

\| = |.|

\| = 1. . 2. .21. .. 2202 20202v S gR m v m S g mvRI | |2 4. 10 . 84 , 27 m kg otra manera de resolverlo: 0 0 0. . . I R v m L + = donde Rv00 = mientraselcuerpoasciendeesimpulsadoporlafuerzagravitacional,ensentido contrariodurantetodoeltiempodeascensin,quelohaceconmovimiento uniformementeretardadopuestoquelafuerzaimpulsora(elpeso)esconstante, por lo tanto tenemos: ; . .0L dt Mt = . . . cte R g m M = = resulta:( ) . . . 0 . . .0I R v m t R g m + = (1) como en un Movimiento Uniformemente acelerado, es: t avt a t v S. 0200. .21.= = avavaavSavt. 2.2120220200= == de aqu: 00. 2. .2 vSt tvS = = sustituyendo en (1) RvI R v mvSR g m000. . .. 2. . + = ,de donde obtenemos: RvI R m vv S g000. .. . 2=||.|

\| | |2 3 220. 10 . 8 , 2 . 1. . 2m kg R mv S gI=||.|

\| =

57 Pb. 7. 05.- Sears (modificado). Calcular la rapidez vcm, aceleracin y tensin de la cuerda de un yoyo, compuesto deuncilindroslido,demasaMyradioR,enrolladoenunacuerdademasa despreciable, que cae de una altura h. Solucin: h

mg

si parte de una altura, entonces tenemos energa potencial, y por lo tanto empleamos la ley de la conservacin de la energa: Ep = Ek Ep = mgh; (1) Ek = 2 2. .21.21 I v Mcm +(2) Pero como2.21R M IRvcmcm==

2 2 2222 2.43.41.21.2121.21cm cm cmcmcm Kv M v M v MRvR M v M E= + ==

+ = Regresando a (1) e igualando con (2), tenemos: h g v v M h g Mcm cm.34., .43. .2= = b)la nica fuerza que realiza momento de torsin o torca, es:

58 = = = a M g M T a M g M T Fy. . )., ( . (4) . . I R T = = (5) ; como: RaR a = = ., . 2. .Ra IRIT = = ahora igualamos las tensin de las dos ecuaciones (4) y (5): .32.,21., .21. .21. . .,.. .222g a a a g a a gRaR M a M g MRa Ia M g M= + = = = = ahora calculamos la tensin: g M Tg M g g M T g M g M T.313 2 3.32.,32. .=

= |.|

\| = = Pb. 7. 06.- Sears (modificado). Unrodadorocosoperfectamenteredondeado,ruedasinresbalarsobreuna superficie plana con una rapidez constante de 2 m/s. S se encuentra con un talud de 30, hasta que altura puede subir antes de pararse?. Solucin: =2.52R M IMomento de inercia de una esfera rellena. 222Rvcm= La energa cintica es: 222 22 2. . .52.21.21.21.21RvR M v M EI v M Ecmcm Kcm K+ =+ = . .1072cm Kv M E =con este valor y el de la energa potencial:h g m . . ., tenemos:

59gvh h g m v Mcm22107., . . .107= = = . 286 , 08 , 9 104 7mxx= Pb. 7. 07.- Quvelocidadadquirirunrodadoquesedesprendedeunaladera perfectamente lisa, y que rueda sin resbalar, S la ladera tiene una inclinacin de 60 y la distancia recorrida es de 20 m?. Solucin: RvR m II v m Eh g m Ecmcm kp2222 2.52.21.21. .==+ ==

hkmsmvm m sen hh gvv m h g m E Ev m Ecmcmcm k pcm k56 57 , 15. 32 , 17 20 . 607 . . 10.107. . .,.10722= == === == N 20m. mg.sen60 mg.cos.60

mg h 60 Pb. 7. 08.- Resnick (Ejes Paralelos). La fig. muestra un bloque uniforme de masa M y con longitud de borde a, b,y c. Calcule la inercia rotacional alrededor de un eje que pasa por una esquina, y que es perpendicular a la cara grande del bloque. a b

60 c R Solucin: El momento de inercia de una placa rectangular alrededor de un eje perpendicular que pasa por el centro es: ( )2 2121b a M I + =y por el teorema de los ejes paralelos, y empleando Pitgorasqueda: ||.|

\|+ =+ =4 4.2 222b aRR M I Icm ( ) ( )2 2 2 24 12b aMb aMI + + + =( )2 231b a M I + =

61 Problemas de Equilibrio: Pb. 7. 09.- Resnick. Una persona de 160 lb. de peso, camina por un puente plano y se detiene a tres cuartas partes de la distancia de un extremo. El puente es uniforme y pesa 600 lb., qu valores tiene las fuerzas verticales que los soportes ejercen sobre los extremos?. Solucin: L L F1PhF2

AB Pp Empleando la primera ley de Newton tenemos: + = + = =2 1 2 1., 0 F P P F P P F F Fh p h p yr(1) haciendo el centro de giro en el punto A, y empleando la sumatoria de las torcas o momentos de torsin, la F1no posee torca o momento de torsin, entonces tenemos: A =pPpeso del puente =hPpeso del hombre = + = 0 .43.2.2 L F L PLPh p A

62. 4204322lbPPFhp= + = regresemos con este valor de F2 a la ecuacin de (1): . 3402 1lb F P P Fh p= + = Pb. 7. 10.- Sears (modificado). Una estudiante desea medir una diaclasa que se encuentra en un talud vertical de uncorteenrocaenuncaminodemontaa.Provistodeunaescalerade6mde longitud, se apoya en el talud vertical liso, encontrndose su extremo inferior a 3,6 mdelapared;elpesodelaescaleraesde40kgf,yelcoeficienteestticode rozamiento entre el pie de la escalera y el suelo es 0,4. El estudiante cuyo peso es de80kgf,subelentamenteporlaescalera.,a)culeslamximafuerzade rozamiento que el suelo puede ejercer sobre la escalera, en su extremo inferior?., b)culeslafuerzaderozamientorealcuandoelestudiantehasubido3malo largodelaescalera?.,c)qulongitudpodrsubirelestudianteporlaescalera antesquestacomienceadeslizarse?.Considerequeenlaparedverticaldel talud donde apoya la escalera no existe rozamiento. Fig. 1.- y B F Ph1 Lph1 L Ph H L/2 PE N

OfS A

x D

63 D/2 Solucin Datos: L = 6mD = 3,6 m PE = 40 kgf.Ph = 80 kgf a) fmax. = ?.b) fPh = ?. c) LPh1 = ?.,fPh1 = fmax. Fig. 2.- B F F

Ph

PEH O A D/2

En primer lugar debemos cumplimentar con lo que dice la primera ley de Newton, donde: = 0 Fr., entonces observando la Fig. 1, tenemos las sumatorias para los ejes x e y: + = = = g M g m N Mg g m N Fy. . ., 0 .r(1)

64

= = =s s xf F f F F ., 0r(2) donde: = = g m PE.peso de la escalera = = g M Ph. peso del estudiante. = F fuerza que efecta la pared sobre la escalera =sf fuerza de rozamiento entre la escalera y el piso = Ddistancia de la pared al punto de apoyo escalera-piso. H =altura de la escalera. a) La mxima fuerza de rozamiento, se da ante la inminencia del deslizamiento y por lo tanto se cumple:

( ) . 4 , 470 48 80 40 . 4 , 04 , 0 : ., .N kgf fcomo N fss s s= = + == = u u b) ahora tenemos que aplicar el momento de torsin o tambin denominado torca, yparaellotomamoscomoejedegiroelpuntoA(Fig.2),alosfinesdeeliminar algunas operaciones (como prctica podemos tomar como eje de giro al punto B, o al punto O), por lo que tenemos: 02. .2. . . = Dg MDg m H F ., (3)., (se toma como brazo a D/2, tanto para la escalera comoparaelestudiante,yaqueparalaprimerasetomaelcentrodegravedad que es el punto donde se encuentra concentrado el peso y el estudiante est a 3 metrossobrelaescalera,porlotantotambinseencuentraenelcentrode gravedaddelaescalera,pueslaescaleraposee6metrosdelongitud,y proyectando sobre D, ser: D/2.). Regresando al punto A o centro de giro, lo que sepuedeobservartantoN,como sf ,noposeenmomentootorca,alnoposeerbrazodeaplicacin;porPitgorascalculamosH .,(yaplicandotangente obtenemos el ngulo ). De la ecuacin (3) despejamos: F . 441 458 , 48 , 1 . 80 8 , 1 . 402. .2. .N kgfmm kgf m kgfHDg MDg mF = =+=+=(4) comoN F fs441 = = 2 2 2D L H = tag arcDHtag . ., = = c) la longitud sobre la escalera que subir el estudiante antes de que comience a deslizar ser:

65 cos . l= longitud del brazo de aplicacin sobre la distancia horizontal D (Fig.3, en azul) con el peso Ph1 del estudiante, del cual despejamos la longitudque subir el estudiante sobre la escalera, y como:F fs = , por lo tanto de (4): cos . . .2. . l g MDg m H fs+ = .,deestaecuacindespejamosladistanciasobrela escalera que recorrer el estudiante en el momento que inicie el deslizamiento, en eseinstantelafuerzadefriccinserlamxima,osealacalculadaenelpunto a)., por lo que tenemos: 2. . cos . . .Dg m H f l g Ms = . 20 , 3cos . .2. .cos . ..mg MDg mg MH fls= = B F F = f Ph1

PEH O A D/2

66

cos . l Fig. 3. Pb. 7. 11.- Resnick. Qufuerzamnimaaplicadahorizontalmentealejedelaruedadelafig.,se requiereparalevantarlasobreunobstculodealturah?.,supongaqueResel radio de la rueda y W es su peso. Solucin: R

F h Fig.1 Cuerpo libre:

R R d h Fig.2 por Pitgoras (Fig.2): ( )2 2h R R d = ,ahoracomoseresuelveloqueocurreenla raz: ( )2 2 2 2 2 2 2. . 2 . . 2 . . 2 h h R h h R R R h h R R R = + = + ahora sacamos factor comn con h:

67( ) h R h d = . 2 .,ahorabientenemosquedeterminarlatorcaomomentode torsin que se encuentra en el sistema (Fig.3), se presenta una torca formada por la fuerza F y su brazo de aplicacin R h, con rotacin a la derecha, y la torca o momento con rotacin a la izquierda o sea que se opone a la primera constituida por el peso W y su brazo de aplicacin d, que es perpendicular y tiene su punto de aplicacin en el obstculo por lo tanto tenemos: F R R-h R d h W Fig.3 ( ) ( ) = = h R h W h R F . 2 . . 0 ( )h Rh R h WF=. 2 .eslafuerzaqueseencuentraenequilibrio,unamnima adisin positiva ser suficiente para que la rueda circule sobre el obstculo. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

68

TEMA 8TRABAJO Y ENERGIA Introduccin:elTrabajoincluyeunafuerzaejercidaconformeelpuntode aplicacinvarecorriendounadistancia.,ylaEnergadeunsistemaconsisteen medir su capacidad de realizar trabajo (Resnick), o bien de otro punto de vista el Trabajo de un sistema es la variacin de su Energa Cintica. s F W . = (fuerza constante). F

s Paraelcasodeunplanoinclinado,cuandoseejerceunafuerzaenelsentido horizontal formando un ngulo con el vector desplazamiento tenemos: cos . .s F W = . (fuerza constante). cos . F Fr sen F. Teorema del Trabajo y Energa: el trabajo realizado por las fuerzas que actan sobre un cuerpo, es igual al cambio de su Energa Cintica.

69i f netoK K K W = = = 2 2.21.21i fv m v m (tantoelTrabajocomolaEnergasemide en Joule)Joule m N msmkg = = . . .2. Energa potencial =h g m . ., masa por gravedad por altura. . . . K gh m s F = =Energa potencial elstica de un resorte:2.21x k Ws = ., donde tenemos que: = k constante de fuerza del resorte,mN =2x desplazamiento del resorte. Elsignomenosenlaecuacinesdebidoaquelafuerzadelresortesiemprees contraria al desplazamiento del cuerpo. laEnergamecnicatotalpermanececonstanteenunsistemaaislado donde slo intervienen fuerzas conservativas. Lasfuerzasqueoperandentrodeunsistemapuedentrasformarlaenerga cinticaenenergapotencial,oviceversa,perolaenergamecnicatotal permanece constante. Si fuerzas no conservativas, como la friccin, actan sobre el sistema, esta ltima no es constante. Ejemplo:

kE s F W = = .s . . . h g m W = v s f Wf. =h

2.21x k W = Tenemos un resorte comprimido. Al ser liberado el objeto adquiere una velocidad, ysedetieneaunaalturadeterminada.Enotraspalabrasdiremosquelaenerga potencialelsticadelresortesetransformaenenergacinticaystase transformaentrabajodelafuerzadefriccin(noconservativa)yenenerga potencial,

70h g m s F s f v m x k WE p. . . . .21.212 2.= = |.|

\| = = Potencia:sedefinecomolarapidezconqueserealizaeltrabajo.(potencia mecnica). segundoJouletWP = = Watt = ., v F v Fdts dFdts d FdtdWP . . ..= = = = =rrrrrr Metodologa para resolver problemas Comoprimeramedidaubiquelasposicionesinicialyfinaldelcuerpo,luego procedaarealizareldiagramadecuerpolibre,ubiquelasfuerzasyprocedaa calcular el trabajo efectuado por cada una de ellas, represente las incgnitas con smbolosalgebraicos.Esdesumaimportanciarevisarlossignos,yaquesila fuerzatienealgunacomponenteenelsentidodeldesplazamiento,sutrabajoes positivo,silotieneensentidocontrarioeltrabajoesnegativo,ysilafuerzayel desplazamientosonperpendicularesentresi,eltrabajoesigualacero.Si sumamoslostrabajosdelasfuerzasindividualesobtenemoseltrabajototal. Cuando estamos tratando la energa cintica, tenga en cuenta que sta nunca es negativa. Finalmente escribimos las expresiones para las energas inicial y final, y tambin cundo se usa la energa potencial, tanto de la gravedad como la elstica, ya que es de suma importancia determinar los estados iniciales y finales, y de esta manera poder escribir en forma de ecuacin las secuencia de cambios de tipos de energa,loquenosfacilitaeldespejedeincgnitasparapoderresolverel problema. Pb.8.01.-Unfragmentorocosode30gr.,expulsadoporunvolcn,viaja inicialmente a 500 m/seg., penetra 12 cm., en una pared rocosa. a)cul es el trabajo realizado por la pared para parar el fragmento?. b)Asuma que la fuerza de la pared sobre el fragmento es constante y calcule su valor. R. a) 3700 J. b) 31250 N. Pb.8.02.-Unbloquequepesa50kgf,esempujadounadistanciade6m, subiendo por la superficie de una laderade pared lisa con una inclinacin de 37

71medianteunafuerzaF=50kgf,paralelaalasuperficiedelplano.Elcoeficiente cintico de rozamiento entre el bloque y el plano es de 0,2. a)qu trabajo ha realizado la fuerzaF? b) Calclese el aumento de Energa Cintica del bloque. c) Hllese el aumento de Energa Potencial del mismo. d)Calcleseeltrabajorealizadocontralafuerzaderozamiento,yenquese convierte este trabajo. Solucin: S F f

P.sen P.cos P a)alserFconstanteyparalelaydelmismosentidoqueS,eltrabajo realizado por la fuerzaFvale simplemente: . 2443 . Julios S F W = =

b)comoelteoremadeltrabajoylaenergacinticadice:eltrabajodela fuerzaresultanteejercidasobreunapartculaessiempreigualal incrementodelaenergacinticadelapartcula.,ycomolafuerzade rozamiento vale:

( ) Julios S P sen P F EP fk32 , 706 . . cos . . .. cos . .= = = u u

c)El trabajo de la fuerza gravitacional vale: Julios sen S P Esen S P S sen P Wpgrav80 , 1765 .. .. . . 180 . cos . . .0.= = = =

72d)El trabajo contra el rozamiento es el de una fuerza igual a f, pero de sentido contrario al de la fuerza f de la figura. Por ser f constante, este trabajo vale: S F EJulios S P Wf.. 88 , 470 cos . . .1 = = = u Si no hubiera rozamiento porqueesteincrementodelaenergamecnicaesigualaltrabajodela resultantedetodaslasfuerzasexceptolaconservativa(enestecasoladela gravedad). . sen P peroalexistirrozamientoycomoelincrementodelaenergamecnicaes igual a la suma de los incrementos de las energas cintica y potencial, ser; ( )ES P S F Esen S P S P sen P F E E Ep k = + = + = . cos . . . .. . . . cos . . . u u ( )1. cos . . . .. . . . cos . . .E ES P S F Esen S P S P sen P F E E Ep k = + = + = u u y la diferencia vale:

( )fW S PperoS P S P S F S F E E== = u u ucos . . .. cos . . . cos . . . . .1 entonces resulta que el trabajo contra la fuerza de rozamiento es igual a unconsumo deenerga mecnica que vale: fW E E = 1 quealserigualaltrabajocontralafuerzadisipativaderozamiento,significa que ese consumo de energa es una prdida de energa mecnica, o sea que se ha transformado en energa calrica: fW E E Q = = 1 e)la suma de f p kW E E + + se obtiene sustituyendo sus resultados ( )f f p kW S F S P sen S P S P Psen F W E E = = + + = + + . . cos . . . . . . cos . . u u esto resulta inmediato si se considera que el trabajo de la fuerza F ha servido paraincrementarlasenergascinticaypotencialypararealizaruntrabajo contra la fuerza de rozamiento, numricamente:

73 706,32 + 1765,80 + 470,88 = 2943,00 2943,00 = 2943,00 verifica la igualdad. Pb.8.03.-Unacuerdaesusadaparabajarverticalmenteunbloquedesuelo conteniendounfsildemasaMunadistanciadconunaaceleracin constante g/4., a) encuentre el trabajo realizado por la cuerda sobre el bloque. , b) encuentre el trabajo hecho por la fuerza de gravedad. R., a)Mgd Wc43 = b)Mgd Wg =(paradesarrollarelpuntoa),deberrealizarlasumatoriadelasfuerzasque actan:ma mg Fc = ). Pb.8.04.-LafuerzadeatraccingravitatoriaejercidaporlaTierrasobreun cuerpo es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del cuerpo al centro de la Tierra. Hllese el trabajo necesario para elevar un cuerpo desde la superficieterrestreaunaalturaporencimadeestasuperficieigualalradio terrestre R. Exprsese la respuesta en funcin de R, la masa m del cuerpo y la aceleracin de la gravedad go en la superficie terrestre. Solucin: La relacin entre la fuerza de atraccin gravitatoria y la distancia al centro de la Tierra, la podemos expresar as: 2rkF = .,dondelaconstantedeproporcionalidadesk.,ydonderesla distancia al centro de la Tierra. El trabajo para elevar el cuerpo vale, de acuerdo a la definicin de trabajo: =|.|

\| = ==RRRRRkR Rk drrkWdr F W2222121.. sustituyendo y resolviendo la integral porotraparte,enlasuperficieterrestre,lafuerzadeatraccingravitatoria,de acuerdo a la 2da., ley de Newton, vale:

74 200 0., .RkFg m F==y tambin de donde obtenemos el valor de la constante:20. . R g m k = de donde el trabajo vale :R g m W . . .21= cuerpo F R r = 2R

RR Tierra Pb.8.05.-Unresortetieneunaconstantede15N/cm.,a)culeseltrabajo requeridoparaextenderelresorte7,6mm.,desuposicindeequilibrio?., b)cunto trabajo es necesario para extenderlo otros 7,6 mm?. R.,a) W = 0,0433 N.m c)W = 0,173N.m. Pb.8.06.-Elmuelledeunaescopetaderesortetieneunaconstantede3 libras por pulgadas. Se comprime 2 pulgadas y se coloca en el can, contra el resorte comprimido, una pelota que pesa 0,02 lb., a) si no hay rozamiento y s elcandelaescopetaesthorizontal,hlleselavelocidadconlacualla pelotaabandonalaescopetacuandoquedaenlibertad.,b)culesla

75velocidad si al estar el can es horizontal, mientras es acelerada acta sobre la pelota una fuerza constante de 2,25 lb?. Solucin: Datos: x 1) F = k.x R0 2a) F = - k.x | || || |?75 , 0 )? )02 , 0lg 2lg3=====

=vlbr Fconst b v albr Ppu xpulbrk en la posicin 1) el resorte est comprimido por la fuerza exterior F = k.x: | | | | lbr pupulbrF 6 lg 2 .lg3 =

= Enlaposicin2)yanoactaF=k.x,entonceslafuerzadeexpansindel resorte, tiende a recuperar la posicin central (0). Esta fuerza recuperadora F = -k.x, impulsa la pelota. Entre la posiciones (R) y (0) rige la conservacin d la energa mecnica porque la nica fuerza que realiza trabajo es la fuerza conservativa F = -k.x, entonces es:E = 0, Cuandoelextremodelresortealcanzalaposicin(0),lavelocidadahes mxima y all sale disparada la pelota con esa velocidad, pues a la derecha de (0)elextremodelresortevadisminuyendolavelocidad,encambiolapelota conserva la velocidad mxima V que adquiri en (0). Entonces entre (R) y (0) ser: 0 .210 0212 2=|.|

\|+ |.|

\|+ x k mVEkf (0) Epel EkiEpi (R) Ekf= Energa cintica final en (0) Epel = Energa potencial elstica en (0)

76Eki= Energa cintica inicial en (R) de mxima compresin del resorte. Epi= Energa potencial inicial, en (R). De aqu es: ||| |||| || |||

=

== =segftinftftinsftlbfinlbfin Vmkx V mV x k40121. 12 . 32 .02 , 03. 2.,21.2122 2 Debemos tener en cuenta que: gpm = Para b) en este caso sera un MUA, pues al ser F = cte., a = cte., y entonces es:

2. .21.t a xt a V==t = tiempo que dura la aceleracin producida por F = cte., a lo largo de x:, F = m.a. esta aceleracin vale: x a VaVaVa xaVtgPFmFa. . 2 .,2. .21., .222= = === = ||||||

=

= =segftinftinsegft ox gPFV 20121. 2 . 32 .2 , 075 ,. 2 . . 22

Pb. 8. 07.- Un estudiante en un da de campo llevo consigo una honda. Tens la goma de forma que su longitud aument 10cm, A qu velocidad sali lanzada la roca si su masa era de 20 gr ?. Para tensar la goma 1 cm., hay que aplicarle 1 kgf. La resistencia del aire al avance de la piedra se desprecia. Solucin:

77Datos: k FE Wkgf Fcm xgr mV cm x ===== =11., 20., ? ., 1000

(1) Eltrabajodelafuerzaelsticaesigualamenoselincrementodelaenerga potencial elstica: p FE W = (2) Pero la nica fuerza que interviene en la elstica, que es conservativa es: ( ) ( ) ( )( ) ( )k p k k p pk p k p k pE E E E E EE E E E E E E + = = + =+ + = + = =1 2 1 21 1 2 200(3) oseaqueesteltimoresultadoeslomismoque(1)y(2)igualadas,loque viene a afirmar que la energa cintica que adquiere la roca es a expensa de la perdida de la energa potencial elstica de deformacin., la (3) es: |.|

\| + = |.|

\| 0 . .21.2102 2V m x k ., y de aqu 00xFk = | || || | | |||| || ||| | || || || |||| |hkmVmkmhsegsegmkg mkgfsegmkgkgfm Vgr cmkgfcmmkx V80101.13600. 22020 , 0 . 01 , 01. 8 . 9. 1. 10 , 0201.11. 10 .32=

=

== =

Pb. 8. 08.- Dosestudiantesdegeologaseencuentrantomandomuestrassobreuna ladera de una montaa. Uno de ellos que se encuentra en la parte baja lanza haciaarribaporelplanodelaladeradeesquistosuna muestra de 2 kg. Este planotieneunainclinacinde30,lavelocidaddelanzamientoesde22 m/seg.,elcoeficientederozamientoentreelbloqueyelplanoesde0,3.a)

78Calclese la fuerza de rozamiento que acta sobre el bloque cuando se mueve hacia arriba sobre el plano; b) cunto tiempo se mueve el bloque hacia arriba sobreelplano?;c)qudistanciarecorreelbloqueensumovimiento ascendente?;d)cuntotiempotardaendeslizarsehaciaabajodesdesu posicin en el punto c hasta el punto de partida?; e) con que velocidad llega a ese punto?; f) si la masa del bloque fuese de 5 kg en lugar de 2kg, variaran las respuestas anteriores?. Solucin: Datos: | | 3 , 0 ; 22 : 20 1=

= =ksegmV kg m u NV0 fk fk

m.g.sen 30m.g.cos m.g

a)| | | | Nsegmkg N fk k09 , 5 cos . 8 , 9 . 2 . 3 , 0 .2=

= = u para calcular el tiempo, primeramente hay que calcular la aceleracin:

= = 2445 , 7. .segmamf sen g mk

b)| | segaVt 96 , 20= = c)|| m t a t V x 5 , 97 . .21.20= + = d) | | segaxtaxt t a xt V10 , 9. 2. 2., . .210 .22222 0= == ==., la aceleracin:

==235 , 2.segmmf sen wak

79e)

= == + =segmt a VV como t a V Vff38 , 21 .0 ., .20 2 0 f)| || ||| m t a t V xsegaVtsegmmf sen g maN g m N fkk k k3 , 97 . .21.95 , 2 ., 446 , 7. .73 , 12 cos . . . .21 010121= + == =

= == = = u u | | | || || |

= == =

=

==segmt a VsegaxtsegmkgNsegmkgmf sen wafk38 , 21 .1 , 9. 235 , 2573 , 12 5 , 0 . 8 , 9 . 5.2 2 222222 Como podemos observar si variramos el peso no hay variacin de los resultados de la aceleracin, ni del tiempo, y como lgica consecuencia no hay variacin de la velocidad. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

80 TEMA 9 GRAVITACIN Introduccin:JuanKepler(15711630)dedictodasucarreracientficaa analizar los datos obtenidos por Tycho Brahe (1546 1610) y sus conclusiones se resumen en 3 leyes: 1era. Ley: Cada planeta se mueve de modo que la lnea que lo une al Sol barre reas iguales en iguales intervalos de tiempo, cualesquiera que sea su longitud. 2da.Ley:LarbitadecadaPlanetaesunaelipse,ocupandoelsolunodesus focos. 3era.Ley:Loscuadradosdelosperiodosdedosplanetascualesquierason proporcionales a los cubos de sus distancias medias al Sol. PosteriormenteNewtonapartirdeestasleyesydelassuyas,sobreel movimiento, concluye que cada planeta esta sometido a una fuerza dirigida hacia elSoleinversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciaentreelSolylos planetas. 3 2.R k T =(1)., 3era. Ley de Kepler. = T tiempo empleado en una revolucin. k = constante de proporcionalidad que tiene igual valor para todos los planetas. Rvm F2= ., (2), 2da. Ley de Newton. (Rva a m Fr r2., . = = ) v RT. . 2= ., (3) periodo en un giro completo de una circunferencia. De (1) y (3), igualando T, tenemos:

8122 23. . 4.v RR k=(4) despejandovde (2) y de (4), luego igualamos ambas ecuaciones tenemos: 32 2. . . 4 .R kRmR F = ., y despejamos 22.. 4RmkF||.|

\|=., el trmino ||.|

\|k2. 4es la constante que incluye la segunda masa, denominndose a este trminom G. , por lo que la ecuacin de la fuerza queda: 2..Rm mG F = Ley de la Gravitacin Universal de Newton: Toda partcula de materia atrae a otracualesquieraconunafuerzaproporcionalalproductodelasmasasdelas partculas e inversamente proporcional al cuadrado de las distancias entre ellas y dirigida a lo largo de la lnea recta que las une. Metodologa para Resolver Problemas: Aparentemente la resolucin de problemas de este tema parece sencillo, con solo laaplicacindelaLeydeGravitacinUniversaldeNewton,perohayalgunos consejos a seguir: hay que tener en cuenta que la fuerza gravitatoria ejercida por un cuerpo es como si toda su masa estuviera concentrada en su centro, las leyes deKeplersonmuyimportante,puesdescribenlasformasdelasorbitasdeun planetaosatliteylasrelacionesentreeltamaoylaformadelarbitayla rapidez delcuerpo en esa rbita (Sears), esto es importante para aquel gelogo que se dedicare a la Geologa de otros pla