Libro Digital- Sesiòn 7.3

8/17/2019 Libro Digital- Sesiòn 7.3

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© Universid ad Peruana de Ciencias A plicadas 2

© Todos los derech os de pro piedad intelectual de esta obra pertenecen en exclus iva a laUniversidad Peruana de Ciencias Aplicadas. Queda terminantemente prohibida lareprodu cción, puesta a disp osic ión del público y en general cualqu ier otra forma deexplotación de tod a o parte de la mism a. La uti l ización no auto rizada de esta obra, así com o los per ju ic ios o casionados en los derechos de propiedad inte lectual e industr ia l dela Universid ad Peruana d e Ciencias A plicadas., darán lu gar al ejercicio de las acc ionesque legalmente le correspond an y, en su caso, a las respons abi l idades qu e de dichoejercicio se deriven.


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Índice del tema

Introducción……………………………………………………………………………………………………………………………..4

1. Revisión de la definición de integral ……………………………………………………………………………..……5 2. Volumen e integrales dobles…………….…………………………………………………………………………..……5

3. Definición ……………………………………………………………………………………………………………………………7

4. Propiedades de las integrales dobles …………………………………………………………………………………7

5. Integrales iteradas ………………………..……………………………………………………………………………………7

6. Teorema de Fubbini……………………………………………………………………………………………………………8

7. Cálculo de integrales dobles sobre regiones generales ………………………………………….………..8

8. Aplicaciones de la integral doble ………………………………………………………………………………………10

9. Ejercicios resueltos …………………………………………………………………………………………………………..11

10. Ejercicios propuestos………………………………………………………………………………………………………..16

11. Resumen…………………………………………………………………………………………………………………………..17

12. Bibliografía………………………………………………………………………………………………………………………..17


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Introducción

Si bien las integrales de funciones de una variable tienen diversas aplicaciones, estas mismas

se pueden extender para funciones de dos o más variables. En la presente sesión, se definirá la

integral doble, planteamiento y evaluación de las mismas. Y luego se presentará las

aplicaciones de las integrales dobles para cálculo de volumen de un sólido, área de una región

en el plano, así como masa y centro de masa.


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Integrales Dobles1. Revisión de la definición de integral

De una manera análoga a como se definió integral de una variable en cálculo I, se defineintegrales dobles en cálculo II. La aplicación principal de la integral para una función de una

variable, f , es el área de la región bajo la curva de f y sobre el eje x desde a x hasta

b x

)1()(lim)()(1

* x x f dx x f R Área

n

ii

b

a

n

2. Volumen e integrales dobles

Sea f una función de dos variables definida sobre el rectángulo cerrado:

d ycb xa y xd cba ;/R ,,, 2R Si se supone 0),( y x f . El gráfico de f es una superficie con ecuación ),( y x f z . Sea S

el sólido que esta sobre R y bajo el gráfico de f , es decir:

R S

),();,(0/R ,,

3

y x y x f z z y x (Ver figura 2). El objetivo es encontrar el volumen de S .

(R)

Fi u ra 2: Sólido S sobre la re ión R

S

Fi u ra 1: A roximación del área ba o la curva de f


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El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectàngulos. Y se forman subrectàngulos

j jii j jii

y y y x x x y x y y x x 1111

;/,,, 2

RijR

Cada uno con área y x A .

Si tomamos un punto ),( **ijij

y x en cada ij R , entonces se puede aproximar la parte de S que

está sobre ij R por un paralelepípedo, con base ij R y altura ),( **

ijij y x f , tal como se presenta

en la figura 4. El volumen de este paralelepípedo es la altura de la caja por el área del

rectángulo base:

A y x f ijij ),( **

Si se sigue este procedimiento para todos los rectángulos y los agregamos al volumen, se

obtiene una aproximación del volumen total de S :

)2(),( **

1 1

A y x f V ijijm

i

n

j

Se tiene una mejor aproximación respecto a la dada en (3), cuando m y n llegan a ser más

grandes y de esa manera:

)4(),(lim **

1 1,

A y x f V ijij

m

i

n

jnm

Figura 3. La región R divididaen sub rectángulos

Figu ra 4. Paralelepípedo y volumen por aproximación de volúmenesde paralelepípedos.


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Usaremos la expresión dada en (4) para definir el volumen del sólido S , bajo el gráfico

de f y arriba del rectángulo R .

3. Definición. La integral doble de una función se denota por y sedefine como

si el límite existe.

4. Propiedades de las integrales dobles

Si asumimos que todas las integrales existen, se tiene las siguientes propiedades:

5. Integrales Iteradas (integrales con orden de integración)

En la siguiente integral, primero se integra con respecto a y desde c hasta d y luego con

respecto a x desde a hasta b

De manera similar, en la siguiente integral. Primero se integra con respecto a x desde a

hasta b y luego con respecto a y desde c hasta d

R

dA y x f );(

)5();(lím);(1 1

**

,

R

m

i

n

j

jiijijnm

y x y x f dA y x f

f

);();();)(( 1. D DD dA y x g dA y x f dA y x g f

DD

);();(2. dA y x f cdA y xcf

21

21

);();();(.3

D D D

dA y x f dA y x f dA y x f D D D

D MAdA y x f DmA

M y x f m

D

);(

entonces;;.4

b

a

d

c R

dxdy y x f dA y x f );();(

d

c

b

a R

dydx y x f dA y x f );();(


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Ejercicio 1: Evaluar las siguientes integrales

a) b)

Solucióna) Tomando a y como constante, se obtiene:

y y y xy x xdx y x x

x 260)0(

2

1)0(4)22

2

1)2(4()

2

14()4( 22

2

0

2

2

0

Este resultado se integra respecto a y desde 1 hasta 2:

3)1()1(6)2)2(6()6()26( 2221

2

2

1

y

y y ydy y

b) Tomando a x como constante, se obtiene:

x x x y xy ydy y x y

y

25

)1(2

11)1(4)2

2

12)2(4()

2

14()4( 22

2

1

22

1

Este resultado se integra respecto a y desde 1 hasta 2:

3)0()0(2

5)2

2

1)2(

2

5()

2

1

2

5()

2

5( 22

2

0

2

2

0

x

x x xdx x

Tal como se puede observar se obtuvo el mismo resultado.

6. Teorema de Fubbini

Si f es continua en el rectángulo [a; b][c; d ], entonces

7. Cálculo de integrales dobles sobre regiones generales

7.1. Regiones del tipo I

Consideraremos regiones del tipo I a aquellas regiones del plano cuya descripción es:

2

1

2

0

4 dydx y x 2

0

2

1

4 dxdy y x

b

a

d

c R

dxdy y x f dA y x f );();(

d

c

b

a

dydx y x f );(

x f y xb, g x /a R I y x 2;D


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Grafica de la región Planteamiento de la integral

7.2. Regiones del tipo II

Consideraremos regiones del tipo II a aquellas regiones del plano cuya descripción es:

Grafica de la región Planteamiento de la integral

Ejercicio 2: Evalúe la integral doble donde R es la región acotada por las gráficas delas siguientes ecuaciones:

Solución:

Se grafica la región limitada por las curvas

Se identifica el tipo de región: tipo II

Se plantea y resuelve la integral:

b

a

x f

y g D

dydx y x f y x f

)(

)(

);(dA;

yh x yd, k y /c R I y x D 2;

d

c

yh

yk D

dxdy y x f y x f

)(

)(

);(dA;

dA xy R

62;1 2

x y x y

-2

4

4

2

1

2

62

y

y

xydxdy


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Integrando primero respecto a x :

Luego integrando respecto a y :

8. Aplicaciones de la integral doble

8.1. VolumenSi

0),(

y x f , entonces el volumen V del sólido que está sobre el rectángulo R y

bajo la superficie ),( y x f z es R

dA y x f V ),( .

Ejemplo:

Si R es el rectángulo R = [-1; 1] [-2; 2], evalúe la integral R

dA x )1( 2

Solución:

Sería difícil evaluar la integral usando directamente la definición, pero como

01 2

x , se puede calcular la integral directamente de interpretándola como un

volumen. Si2

1 x z , entonces 1

22

z x y 0 z , de esta manera la integraldoble representa el volumen del sólido S, bajo el cilindro circular y sobre el rectángulo

R. El volumen de S es el área de un semicírculo con radio 1 por la longitud del cilindro.

Así:

24)1(2

11 22

R

dA x

8

)6(

2

)1(

2

2221

2

6

21

2

62

2

y y x

xdx

y

y

y

y

368

)6(

2

)1( 2224

2

dy y y

y


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8.2. Área de una placa delgada

Se supone que 1),( y x f . La gráfica de f es una superficie con ecuación 1 z

Sea E el sólido que yace arriba de R y debajo de la gráfica de f , entonces el volumen de

E coincide con el área de R, y se determina

R

dA R A 1)(

8.3. Masa

Considere una placa delgada cuya densidad está dada por (x ; y ), donde el punto () estáen la región R. ¿Cómo se puede determinar la masa total?

8.4. Centro de masa de una lámina

Considere una placa delgada cuya densidad está dada por (x ; y ) donde el punto (x ; y )está en la región D .

Entonces:

D

x dA y x y M );(

Entonces:

D

x dA y x y M );(

Por lo tanto: el centro de masa:

9. Ejercicios resueltos

9.1. Sea 2

0

2

2

4

2

2

2 x xdydxdydx I .

a. Encuentre y grafique la región total de integración.

b. Exprese I como una (única) integral doble. .

c. Evalúe la integral.

Solución:

21

2

0

2

2

4

2

2

2

21

DDDdAdAdAdydx dydx I

DDD x x

;

22422220 11 y x x y x Dy x x y x D ;/,;;/,

R

m

i

n

j

jiijijnm

y x y xdA y xm1 1

,);(lím);(

D

D

D

D x y

dAy x

dAy x y

dAy x

dAy x x

m

M

m

M CM

);(

);(

;);(

);(

;

dM = y ( x ;y ) dA dMy = x (x;y) dA


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a.

222021

y x y y y x DDD ;/,

b.

2

0

2

2

2

0

2

2

4

2

2

2

y

y x x dxdy dydx dydx I

c.

0

0

2

0

2

2

2

0

2

2

42ydy dy x dxdy I y x

y x

y

y

9.2. Sea 6

0 0

9

6 183

x x

x dydx dydx I .

a. Encuentre y grafique la región total de integración.

b. Exprese I como una (única) integral doble. .

c. Evalúe la integral.

Solución:

a. 21

2

0

2

2

4

2

2

2

21

DDDdAdAdAdydx dydx I

DDD x x

;

x y x x y x D x y x y x D 183;96/,;0;60/, 21

63

;30/,

2

2

21

y x y y y x D D D

b.

3

0

3

186

0 0

9

6 183

2

2dydxdydxdydx I

y

y

x x

x

x

D1 D2

2

2 4

y

x

9

y

6

D1

D2

3


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14/17


dx x xm 0

1

22

masadeunidades333,03

1m

6

1;

3

1 0

1

22

0

1

2

dx dy x M dx xydy M

x

x y

x

x x

1;

2

1

3131

;

3161

9.5 Encuentre el centro de masa de una placa triangular delgada, de vértices )0;0( , )0;2( y

)1;1( ; si la densidad en cualquier punto de la placa es igual al valor de su ordenada.

Solución:

y y x ,

dA y xm D

,

y x y y y x D 2;10/,

dydx ym y

y

1

0

2

dx y ym 1

022

masadeunidades333,03

1m

6

1;

3

1 0

1

22

1

0

2

dydx y M dy xydx M y

y x

y

y y

2

1;1

31

61

;

31

31


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9.6 Calcule la masa de una lámina (placa delgada) con forma de triángulo rectángulo cuyoscatetos miden 2 y 4 si la densidad (masa por unidad de área) en cada punto P(x, y) es igual

a la suma de las distancias de P a los catetos.

Solución:

Se grafica la lámina:

y x y x ,

y x y y x D 240,20/);( 2

8)2(42

0

24

0

2

0

dy ydxdy y xdA y xm D

y

9.7 Calcule el volumen del sólido acotado por el cilindro 2 x y y los planos 4 z y y

0

z .Solución:

Se grafica el sólido

4,22/);;( 23 y x x z y x R

1

2

4

3.15)4(2

dydx yV x

x

y

2

4

y

x

D

Se describe la región

Se plantea y evalúa la integral


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10. Ejercicios propuestos

10.1 Evalúe la integral doble donde R es el rectángulo:

10.2 Exprese D (ver figura) como una unión de regiones, del tipo I o del tipo II y evalúe la

integral D

ydA

10.3 Al evaluar una integral doble sobre una región D, una suma de integrales iteradas seobtuvo como sigue.

Trace la región D y exprese la integral doble como una integral iterada con orden de

integración invertido.

10.4 Halle el área de una placa delgada que está limitada por la región

10.5 Halle el centro de masa de una lámina triangular con vértices (0;0), (1;0) y (0;2) si lafunción densidad es ( x ; y ) = 1 + 3 x + y .

10.6 La densidad en cualquier punto sobre una lámina semicircular es proporcional a ladistancia del punto al centro del círculo. Halle el centro de masa de la lámina.

10.7 Halle el volumen del sólido que se encuentra debajo del paraboloidey arriba de la región D del plano XY , limitada por y

10.8 Calcule el volumen del sólido E , limitado por la región

3

1

3

0

1

0

2

0

y y

D

dxdy x;y f dxdy x;y f dA x;y f

x y x x Ry x R 44;40 /; 22

20;20;2160/;; 22 y x y x z z y x E

R

dAy x )3( 2

21202 y ; x / R x;y R

22

y x z

x y 22

x y


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Preguntas - Resumen

¿Cómo define Ud. a las integrales dobles?

¿Cuál es el procedimiento para plantear la integral doble sobre una región general?

¿Cuál es el procedimiento para determinar el volumen de un sólido, el área de una

región plana, la masa y el centro de masa de una lámina?

Bibliografía

1. Bibliografía básica: 2008. STEWART, James, Cálculo de varias variables. Conceptos ycontextos, 4e editado por Cengage Learning. (515 STEW/C 2008)

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