Libro Mates Para Alumnado

5/17/2018 Libro Mates Para Alumnado

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S.E.Per. Tartessos.


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Acceso Ciclo Formativo Superior. Curso2012/13

S.E.PER: Tartessos. Maribel Vzquez Sousa Pgina 2

Temporalizacin

1er Trimestre 2 Trimestre 3er TrimestreUnidad 1 Unidad 5

Tema 1. Nmerosreales.

Tema 3. Semejanzas yescalas.

Tema1: Estadsticadescriptiva

Tema 2. Potencias.

Notacin cientfica.

Tema 4. ngulos.

Razonestrigonomtricas de unngulo agudo.

Tema 2: Probabilidad

Tema 3.Ecuaciones deprimer y segundo grado

Unidad 3

Tema 4. Sistemas dedos ecuaciones linealescon dos incgnitas

Tema 1. Funciones

Tema 5. Inecuaciones. Tema 2.Estudio defunciones

Unidad 2 Tema 3.Funcinconstante, lineal y afn.

Tema 1: Figuras planas.rea de polgonos.

Tema 4.La parbola

Tema 2: Poliedros.reas y volmenes

Tema 5.Funcin inversa.


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Unidad 1. Aritmtica y lgebra

Tema 1. Nmeros reales.

1. Necesidad de los nmeros reales.

1.1. La recta real.

2. Intervalos.

2.1. Representacin de intervalos.

2.2. Valor absoluto. Distancias.

3. Aproximacin y error.

3.1. Mtodos de aproximacin.

3.2. Error absoluto y error relativo.


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1. Necesidad de los nmeros reales.

1.1. La recta real.

Los nmeros reales abarcan a los nmeros racionales Qy a los irracionales II.

IN Naturales= Z

Enteros positivos

Enteros

Z Enteros negativos Z N Racionales

QExactos.

Decimales Peridicos puros.

Peridicos mixtos.

N REALES

IR

Radicales

N Irracionales

II

Trascendentes


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1.1. La recta real.

2. Intervalos.2.1. Representacin de intervalos.

Utilizamos los intervalos para designar tramos de la recta real. Losintervalos reales pueden ser de diferentes tipos, segn los extremos seincluyan o no en el intervalo:

Intervalo abierto: (a, b) = . Son todos los nmeros reales

comprendidos entre a y b sin incluir ni a ni b.

Intervalo cerrado: [a, b] = . Son todos los nmeros realescomprendidos entre a y b ambos incluidos.

Intervalos semiabiertos:[a, b) = . Son todos los nmeros reales comprendidos entre a y bin incluido a pero no b.(a, b] = . Son todos los nmeros reales comprendidos entre a y

b incluido b pero no a.

Semirrectas:(- , a) = . Son todos los nmeros reales menores que a.(- , a] = . Son todos los nmeros reales menores o iguales que a.(a, + ) = . Son todos los nmeros reales mayores que a.[a, + ) = . Son todos los nmeros reales mayores o iguales que a.

Representacin de los intervalos


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En la Recta Real:

Expresin algebraica:

Intervalo: [0,7)

[ , Los valores entran dentro del intervalo.

( , Los valores no entran dentro del intervalo.

2.2. Valor absoluto. Distancias.

Si aes un nmero real, el valor absoluto de aes

a si a 0

| a | =

-a si a 0

Ejemplo: a = -4

| a | = | -4 | = - (-4) = 4

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos a y b de la recta real esd= | a - b | = | b - a |

Distancia entre a y b

a b

| a b |


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3. Aproximacin y error.

3.1. Mtodos de aproximacin.

Truncamiento:consiste en cortar el nmero exacto sin preocuparnos decmo contina la expresin decimal despus.Ejemplo:Aproxima por truncamiento de = 3,14159... Truncamiento de las unidades 3 Truncamiento de las dcimas 3,1 Truncamiento de las centsimas 3,14 Truncamiento de las milsimas 3,141Ojo!

La aproximacin por truncamiento(en nmeros positivos) es siempre pordefecto, es decir, el valor aproximado x* es ms pequeo que el valorexacto x; x* x.

Redondeo:consiste en aproximar el nmero exacto preocupndonos de cmocontina la expresin decimal despus

Si la cifra siguienteal orden de aproximacin es menor que 5laaproximacin por redondeo es la misma que la de truncamientoy portanto la aproximacin es por defecto.

Si la cifra siguienteal orden de aproximacin es mayor o igual que 5la aproximacin por redondeo es por exceso, con lo que sumamos unaunidada la ltimacifra decimal que ponemos.

Ejemplo:aproximacin por redondeo de = 3,14159...

A las unidades 3 (por defecto),

A las dcimas 3,1 (por defecto),

A las centsimas 3,14 (por defecto),

A las centsimas 3,14 (por defecto), las milsimas 3,141+0,001=3,142 (por exceso).


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3.2. Error absoluto y error relativo.

Error absoluto

Cuando aproximamos estamos cometiendo un error, siendo ste ladiferencia entre el valor exacto y el aproximado. Este error se llamaabsoluto y lo denotaremos por Ea, y como hemos explicado su valor es:

Ea = x - x*X= valor exacto X*= valor aproximado

Suele utilizarse el valor absoluto en el error absoluto.Ea= |Vreal-Vaproximado | = |x - x* |

Segn el signo de Ea podemos distinguir entre error por exceso o pordefecto:

Si Ea>0error por defecto; la aproximacin es ms pequea que elvalor real.

Si Ea


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ActividadesEjercicio 1,-

Escribe en notacin cientfica.

a - La capacidad de una gran computadora para almacenar datos es dequinientos billones de bytes.

b- El radio del tomo de oxgeno mide sesenta y seis billonsimas de metro.

c- La superficie de la Tierra es aproximadamente de quinientos diezmillones de kilmetros cuadrados.

Ejercicio 2.-

Expresa en notacin cientfica.a- La velocidad de la luz es de trescientos millones de metros por segundo.

b- El virus de la gripe tiene un dimetro en mm de cinco cienmilsimas.

c- En la Va Lctea hay aproximadamente ciento veinte mil millones deestrellas.

Ejercicio 4.-Escribe en notacin cientfica los siguientes nmeros.

a.- 125 100 000 000

b.- La dcima parte de una diezmilsima. c 0,0000000000127

d.- 5 billones de billnc- 60 250 000 000

Ejercicio 5.-Efecta con ayuda de la calculadora.

1,3. 1010 _ 2,7 . 1093 . 10-5 _ 2,36 . 10-4

3,8 .1092,5 . 10-8


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+ 4,2 . 1016

3. 10-5 + 7.10-4108 + 5 . 10-4

1,35 . 10-231,5 .10-18

- 2,14 . 10

-8

5,28 . 104 + 2,01. 1053,2 . 10-7

Ejercicio 6.-

Aproxima a centenas, unidades y milsimas el nmero 2.374'3376

Ejercicio 7.-

En un auditorio circular de 53 m de dimetro se desean instalar asientos de

manera que no pueda haber menos de 2 m2. por persona, tal y comoestablecen las normas del Ayuntamiento.

Ejercicio 8.-

Dado el nmero 47894 efecta su redondeo a centenas, a decenas y aunidades

Ejercicio 9.-

Redondea a dcimas, centsimas y milsimas el nmero 127'2008


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Tema 2. Potencias. Notacin cientfica.

1. Potencia de exponente natural.

1.1. Propiedades.

2. Potencia de exponente entero.

3. Potencia de exponente fraccionario.

4. Notacin cientfica.

4.1. Operaciones en notacin cientfica.

5. Uso de la calculadora.

6. Aplicaciones a problemas.


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1. Potencia de exponente natural.

Una potenciaes una forma abreviada de escribir un productoformado porvarios factores iguales.

6 6 6 6 6 = 65

1.1. Propiedades.

1. Un nmero elevado a 0 es igual a 1.

a0= 1

50

= 12. Un nmero elevado a 1 es igual a s mismo.

a1= a

51= 5

3. Producto de potencias con la misma base:

Es otra potenciacon la misma basey cuyo exponentees la suma delos exponentes.

am a n = am+n

25 22 = 25+2 = 27

4. Divisin de potencias con la misma base:

Es otra potenciacon la misma basey cuyo exponentees la diferenciade los exponentes.


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am : a n = am - n

25 : 22 = 25 - 2 = 23

5. Potencia de una potencia:Es otra potenciacon la misma basey cuyo exponente es el productode los exponentes.

(am)n= am n

(25)3= 215

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

Es otra potenciacon el mismo exponentey cuya basees el productode las bases.

an b n = (a b) n

23 43 = 83

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

Es otra potenciacon el mismo exponentey cuya basees elcociente de las bases.

an : bn = (a : b)n

63 : 33 = 23

2. Potencia de exponente entero.

Para determinar el signode la potencia de un nmero entero tendremos encuenta que:

1. Las potencias de exponente parson siempre positivas.

26

= 64


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(2)6= 64

2. Las potencias de exponente impartiene el mismo signode labase.

23= 8

(2)3= 8

Potencias de exponente negativo

La potenciade un nmero enterocon exponente negativoes igual al inversodel nmeroelevado a exponente positivo.

3. Potencia de exponente fraccionario.

Potencias de exponente racional


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Potencias de exponente racional y negativo

4. Notacin cientfica.

Hay nmeros que son tan grandes o tan pequeos que resulta difcil

nombrarlos y escribirlos y por eso nos ayudamos de las potencias paraexpresarlos de forma ms simplificada empleamos la notacin cientfica.

As la forma de expresar la distancia de la Tierra al Sol como 1,5 108Km, ola masa de un electrn como 9,1 10-31Kg se llama notacin cientfica.

La notacin cientfica tiene una parte entera que es de solo una cifra,comprendida entre el 1 y el 9 multiplicado por una potencia de base 10.

Ejemplo: 1,5 108

4.1. Operaciones en notacin cientfica.

PRODUCTO

(2,35 1023) (6,43 1026) = (2,35 6,43) (1023 1026) = 15,1105 1049

= 1,51105 1050

COCIENTE

(2,35 1023) : (6,43 1026) = (2,35 : 6,43) (1023: 1026) = 0,36547 10-3

= 3,6547 10-4

SUMA Y RESTA

(2,35 1023) + (6,43 1026) = (2,35 + 6,43 103) 1023= (2,35 + 6430) 1023

= 6432,35 1023

= 6,43235 1026


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(2,35 1023) - (6,43 1026) = (2,35 - 6,43 103) 1023= (2,35 - 6430) 1023

= - 6427,65 1023= - 6,42765 1026

Para sumar y restar hay que sacar factor comn la potencia de 10 cuyoexponente (en valor absoluto) sea ms pequeo.

5. Uso de la calculadora.

La tecla EXP

Esta tecla la tenemos en la parte de abajo de la calculadora, junto a la tecladel punto decimal, y nos sirve para escribir la potencia de 10 de nmero ennotacin cientfica. Veamos un ejemplo para explicarnos mejor.

Supongamos que queremos escribir en la calculadora la expresin:, pues bien, en ese caso debemos teclear en la calculadora lo

siguiente:

y la calculadora nos mostrar

Si queremos introducir la expresin: ; debemos hacerlo comosigue:

y la calculadora nos mostrarEsto tambin nos debe valer para cuando recibamos la informacin de lacalculadora ante una operacin realizada por nosotros, por ejemplo si anteuna operacin la calculadora nos muestra:

esto quiere decir

Suma y restas con nmeros en notacin cientfica

Veamos ahora como podemos hacer una suma, o resta, de dos nmeros quetenemos en notacin cientfica con nuestra calculadora cientfica.


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Supongamos que tenemos que hacer la suma siguiente:; bastara con tener cuidado con meter cada nmero

entre parntesis para poder calcular su suma. As haremos

y la calculadora nos mostrar la solucin, cual es:

que como bien sabes quiere decir:

Producto, divisin y races con nmeros en notacin cientficaExactamente igual que antes, esto es, teniendo cuidado con escribir cadanmero entre parntesis, y siendo cuidadosamente ordenado, podemosintroducir en la calculadora cualquier expresin con nmeros en notacincientfica. Veamos como ejemplo algo complicado, con cocientes, producto ypotencias. Sirva como ejemplo el siguiente problema de fsica, en el que setratan cuestiones de astronoma:

Calcula la fuerza de atraccin gravitatoria entre la Tierra y la Luna, cuyafrmula es , sabiendo los siguientes datos:

;;

;

Con estos datos podemos calcular F, vamos a ver las teclas a introducir(como no estamos en fsica vamos a obviar las unidades para facilitar lacomprensin del clculo). En esta ocasin pondremos cada nmero en unaslo tecla para simplificar, y tenemos en cuenta que en realidad G est ennumerador de la fraccin, o sea, multiplicando a m1y a m2:


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la solucin que nos dar la calculadora es:

, que debemos interpretar, una vez redondeado a dosdecimales, como:

En cuanto a las races, veamos otro ejemplo de astronoma, la Tercera leyde Kepler, que nos dice que "el cuadrado de periodo de revolucin de unplaneta alrededor del Sol, es proporcional a cubo de la distancia del planetaal Sol". Esto lo podemos formular de la siguiente manera:

; donde k es la constante de proporcionalidad que es igualpara todos los planetas. En realidad,

Podemos ahora calcular el periodo de revolucin de nuestra querida Tierraalrededor del Sol. Para ello solo necesitamos saber el valor de k y la

distancia media de la Tierra al Sol:

;

En la calculadora tecleamos:

Y la calculadora nos contestar: ; que tenemos queleer como: evidentemente en segundos, que al pasarlo a dasnos sale aproximadamente 365 das, al pasarlo a meses la solucin es 12, yen aos la solucin es 1 ao.


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6. Aplicaciones a problemas.

1 ao luz es 9.460.000.000.000 km, es decir la distancia que recorre la luzen un ao (velocidad de la luz = 300.000 km/sg).

1 segundo luz es, por tanto, 300.000.000 m= m

a) Expresa 1 ao luz en metros y notacin cientfica.

b) Sabiendo que la luna esta a 1,3 seg-luz cuntos metros son?

c) El sol esta a metros de la tierra cuntos seg-luz son?qusignifica este resultado?

d) El telescopio Hubble ha encontrado una estrella, segn los cientficos lams alejada de la Tierra, a 0,4 trillones de seg-luz de cuntos kilmetrosestamos hablando?cuntos aos tardaramos, en apreciar, de empezar abrillar ahora, la luz de esa estrella? (1 trillon es ).

Resultado:

a)

b)

c) Como el sol dista de la Tierra metros dividiendo entre los metrosque tiene un seg-luz obtentendriamos el resultado, es decir,

. Podemos decir que un rayo de sol tarda 500seg en llegar a la Tierra.

d) 0,4 trillones son , como un seg-luz es m


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Como un ao luz son km dividiendo resulta

aos. Imagina! 12.700.000.000 doce milsetecientos millones de aos!

Actividades

Ejercicio 1.

Resuelve las siguientes potencias:

a)

32

10

b)

c)

d)0

1

e)


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Ejercicio 2.

Resuelve las siguientes potencias, aplicando las propiedades estudiadas en eltema:

a) b) c) d) e)

f) g) h) i) j)

k)

Ejercicio 3.

Comprueba la certeza o falsedad de las siguiente afirmaciones:

a)

Verdadero Falso

b)

Verdadero Falso

c)

Verdadero Falso

Ejercicio 4.

Pasa de exponente fraccionario a raz, y viceversa, segn los casos:

Nota: debes dejar las soluciones sin exponentes negativos.

a) ; b) ; c) ; d)

e) ; f) .

Ejercicio 5.

Pasa de notacin cientfica a ordinaria, y viceversa, los siguientes nmeros:


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a) ; b) ; c) ; d)

e) ; f) ; g) ; h)

Ejercicio 6.Elige la respuesta correcta en cada una de los siguientes apartados:

a)

b)

c)

d)

Ejercicio 7.

Una persona duerme una media de 8 horas diarias. Cunto ha dormido unapersona de 50 aos? Expresa la cantidad en minutos.

La solucin es: , que se obtiene del producto:


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Ejercicio 8.

Resuelve las siguientes potencias, con ayuda de la calculadora:

a) ; b) ; c) ; d)

Ejercicio 9.

Resuelve las siguientes potencias:

a) b) c) d) e) f)

g) h) i) j) k)

Ejercicio 10.

Utiliza la definicin de potencia de exponente entero, para dejar lassiguiente potencias con exponentes positivos:

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ;

f) ; g) ; h)

Ejercicio 11.

Pasa de exponente fraccionario a raz, y viceversa, segn los casos:

Nota: debes dejar las soluciones sin exponentes negativos.

a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

Ejercicio 12.

Pasa de notacin cientfica a ordinaria, y viceversa, los siguientes nmeros:

a) ; b) ; c)


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d) ; e) 0,00000000093; f)

Ejercicio 13.

Resuelve con calculadora las siguientes operaciones:a)

b)

c)

d)

Ejercicio 14.

Calcula las siguientes cantidades:

a) Los segundos que tiene un mes.

b) Los segundos que tiene un ao.

c) Los segundos que tiene un lustro.

d) Los segundos que tiene una dcada.

Ejercicio 15.

Dada la tabla siguiente, que nos muestra la distancia media de cada uno delos planetas del sistema solar (hemos omitido a Plutn), obtn la suma detodas las distancias medias. Obtn, tambin, la distancia de Marte en km, ladistancia de Jpiter en cm, y la distancia de Urano en dm (decmetros).


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fuente propia

Ejercicio 16.

Sabemos que una arena de calidad tiene un peso de 2,510-3kg por cm3. Laplaya que nos ocupa tiene una arena de bastante calidad, y podemos suponerque ese es su peso. Sabemos que longitud de nuestra playa es de 100metros. Adems hemos medido en un momento determinado la distanciadesde el comienzo de la playa, hasta el agua, y hemos obtenido una cantidadde 50 metros. Suponiendo que queramos pesar hasta 5 metros deprofundidad, a cunto asciende el peso total de la arena?

Ejercicio 17.

Resuelve con la calculadora cientfica las siguientes operaciones.

a)

b)

c)

d)

e)

Ejercicio 18.

1 ao luz es 9.460.000.000.000 km, es decir la distancia que recorre la luzen un ao (velocidad de la luz = 300.000 km/sg).

1 segundo luz es, por tanto, 300.000.000 m= m

a) Expresa 1 ao luz en metros y notacin cientfica.


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b) Sabiendo que la luna esta a 1,3 seg-luz cuantos metros son?

c) El sol esta a metros de la tierra cuantos seg-luz son?quesignifica este resultado?

d) El telescopio Hubble ha encontrado una estrella, segn los cientficos lams alejada de la Tierra, a 0,4 trillones de seg-luz de cuantos kilmetrosestamos hablando?cuntos aos tardaramos, en apreciar, de empezar abrillar ahora, la luz de esa estrella? (1 trilln es ).

Ejercicio 19.

En Espaa, el papel reciclado cada ao equivale a 30 millones de rboles no

talados.a) Expresa el nmero de rboles no talados durante un siglo en notacincientfica.

b) Halla la raz cuadrada del nmero de rboles no talados en 30 aosgracias al reciclado y expresa el resultado en notacin cientfica

Ejercicio 20.

El periodo de revolucin de la Tierra en torno al Sol es de un ao,aproximadamente 365,25 das, y el periodo de Plutn es de 7.820.000.000segundos.

a) Expresa en notacin cientfica y en segundos el periodo de la Tierra yPlutn.

b) Cuntos aos terrestres tarda Plutn en dar una vuelta alrededor del

Sol?


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Tema 3. Ecuaciones de primer y segundo grado.

1. Ecuaciones de primer grado.

1.1. Planteamiento general.

1.2. Resolucin de una ecuacin de primer grado.

1.3. Aplicaciones a problemas.

2. Ecuaciones de segundo grado.

2.1. Ecuaciones completas.

2.2. Otros casos.



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1. Ecuaciones de primer grado.

1.1. Planteamiento general.Identidad: Es una expresin con una igualdad que se cumple siempre.

Identidad numrica: Slo aparecen nmeros.

Identidad algebraca: Aparecen nmeros y letras.

Ecuacin: Es una expresin con letras y nmeros en una igualdad que se

cumple slo para ciertos valores de las letras.Una ecuacin es una igualdad que se cumple para

algunos valores de las letras.

x + 1 = 2 x = 1

Los miembros de una ecuacin son cada una de lasexpresiones que aparecen a ambos lados del signo igual .

Los trminos son los sumandos que forman losmiembros.

Las incgnitas son las letras que aparecen en laecuacin.

Las soluciones son los valores que deben tomar lasletras para que la igualdad sea cierta.


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1.2. Resolucin de una ecuacin de primer grado.

Resolver una ecuacin es hallar sus soluciones:Ecuacin Soluciones

x + 3 = 7 Una Compatibles

x + 3 = y + 2 Infinitas---------Identidad

x + 5 = x 1 Ninguna _______ Incompatible

No hay ningn nmero tal que al sumarle 5 y restarle 1 d lo mismo

Ejemplo 1

5x 3 = 7 (1 2x)5x 3 = 7 1 + 2x5x 3 = 6 + 2x5x = 9 + 2x

3x = 9

x = 3

Ejemplo2

x 6 = 2(3x 4)x 6 = 6x + 8x = 6x + 14

7x = 14x = 2

Ejemplo 3:

1.

a. El mnimo comn mltiplo de 2,3 es 6.


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b. Se divide el comn denominador entre cada uno de los denominadores yel resultado se multiplica por el numerador.

6 entre 3 = 2 por lo tanto 2(2 + x).

6 entre 2 = 3 por lo tanto 3( 3 - x).

2(2 + x) = 3(3 x ).

c. Eliminamos parntesis y agrupamos los trminos semejantes.

4 + 2x = 9 - 3x

2x + 3x = 9 - 4

d. Sumamos trminos semejantes.

5x = 5

e. Despejamos la incgnita

x = 1

f. Comprobamos.


Expresar en lenguaje algebraico una informacin

El ancho del cuadro es el doble del alto ms 5 cm.

Cmo podemos expresar de una manera ms abreviada esa informacin?

Si el alto lo indicamos con la letra "x", podemos escribir:

Alto del cuadro: x

Doble del alto: 2*x


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Doble del alto ms 5 cm : 2*x + 5

La forma 2 *x + 5 se llama algebraica.

El lenguaje algebraico utiliza letras, nmeros y signos de operacionespara expresar informaciones

Problemas de relojes

El ngulo o arco descrito que recorre el minutero es siempre 12 vecesmayor que el arco que describe la aguja horaria.

a.-Un reloj marca las 3 en punto. A qu hora entre las 3 y las 4 sesuperpondrn las agujas?

x es el arco que describe la aguja horaria.(15 + x) es el arco que describe el minutero.15 + x = 12x

x = 15/11 minLas agujas se superpondrn a la 3 h 16 min 21 s

b.-Un reloj marca las 2 en punto. A qu hora formarn sus agujas porprimera vez un ngulo recto?


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Las agujas del reloj forman un ngulo recto a las 2 h 25 min y un poco ms,que llamaremos x.

x es el arco que describe la aguja horaria.25 + x, es el arco que describe el minutero.25 + x = 12xx = 25/11 min

Las agujas del reloj conformarn un ngulo de 90 a las 2h 27 min 16 s.

Problemas de mviles

Para plantear problemas sobre mviles que llevan velocidad constante seutilizan las frmulas del movimiento rectilneo uniforme:

espacio = velocidad tiempo1er caso

Los mviles van en sentido contrario.

eAB+ eBC= eAB

Dos ciudades A y B distan 300 km entre s. A las 9 de la maana parte de laciudad A un coche hacia la ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y de laciudad B parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de 60 km/h. Sepide:

1.- El tiempo que tardarn en encontrarse.

90t + 60t = 300 150t = 300 t = 2 horas

2.- La hora del encuentro.

Se encontraran a las 11 de la maana .

3.- La distancia recorrida por cada uno.


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e AB= 90 2 = 180 kme BC= 60 2 = 120 km2 caso

Los mviles van en el mismo sentido.

eACeBC=eAB

Dos ciudades A y B distan 180 km entre s. A las 9 de la maana sale de uncoche de cada ciudad y los dos coches van en el mismo sentido. El que salede A circula a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se pide:

1.- El tiempo que tardarn en encontrarse.

90t 60t = 180 30t = 180 t = 6 horas

2.- La hora del encuentro.

Se encontraran a las 7 de la tarde.

3- La distancia recorrida por cada uno.

e AB= 90 6 = 540 km

eBC= 60 6 = 360 km

3er caso

Los mviles parten del mismo punto y con el mismo sentido.

e1= e2Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90 km/h. Tres horas mstarde sale de la misma ciudad otro coche en persecucin del primero conuna velocidad de 120 km/h. Se pide:

1-El tiempo que tardar en alcanzarlo.


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90t = 120 (t 3)90t = 120t 360 30t = 360 t = 12 horas

2- La distancia a la que se produce el encuentro.

e1= 90 12 = 1080 km

Problemas de grifos

En una hora el primer grifo llena 1/t1 del depsito.

En una hora el segundo grifo llena 1/t2 del depsito.

Si existe un desage:En una hora el desage vaca 1/t3 del depsito.En una hora los dos grifos juntos habrn llenado:

Sin desage

Con desage

Un grifo tarda en llenar un depsito tres horas y otro grifo tarda enllenarlo cuatro horas. Cunto tiempo tardarn en llenar los dos grifosjuntos el depsito?

En una hora el primer grifo llena 1/3 del depsito.En una hora el segundo grifo llena 1/4 del depsito.

En una hora los dos grifos juntos habrn llenado:


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Problemas de mezclas

C1 1 cantidad. C1 = x

C2 2 cantidad. C2 = Cm - xCm Cantidad de la mezcla Cm = C1 + C2P1 Precio de la 1 cantidadP2 Precio de la 2 cantidadPm Precio de la mezcla

C1 P1 + C2 P2 = Cm Pm

Cantidad Precio Coste

1 sustancia C1 P1 C1 P12 sustancia C2 P2 C2 P2Mezcla C1 + C2 P C1 P1+ C2 P2

C1 P1 + C2 P2 = (C1 + C2) Pm

Un comerciante tiene dos clases de caf, la primera a 40 el kg y lasegunda a 60 el kg.

Un comerciante tiene dos clases de caf, la primera a 40 el kg y lasegunda a 60 el kg.

Cuntos kilogramos hay que poner de cada clase de caf para obtener 60kilos de mezcla a 50 el kg?

1 clase 2aclase Total

N de kg x 60 x 60Valor 40 x 60 (60 60 50


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x)

40x + 60 (60 x) = 60 5040x + 3600 60x = 3000; 60x + 40x = 3000 3600; 20x = 600

x = 30; 60 30 = 30

Tenemos que mezclar 30 kg de la 1 clase y otros 30 de la 2 clase .

Problemas de aleaciones

La ley de la aleacin es la relacin entre el peso del metal fino, es decir,

ms valioso, y el peso total.Se resuelven del mismo modo que los problemas de mezclas, teniendo encuenta que la ley de la aleacin equivale al precio de la mezcla.

C1 L1 + C2 L2 = (C1 + C2) La

Se tienen dos lingotes de plata, uno de ley 0.750 y otro de ley 0.950. Qupeso hay que tomar de cada lingote para obtener 1800 g de plata de ley0.900?

1 ley 2 ley TotalN de g x 1800 x 1800

Plata 0.750 x 0.950 (1800x) 0.900 1800

0.750 x + 0.950 (1 800x) = 0.9 18000.750 x + 1 710 0.950x = 1 620

0.750x 0.950x = 1 620 1 7100.2x = 90 x = 450

1 ley 450 g

2 ley 1350 g

Problemas geomtricos con ecuaciones de primer grado

Halla el valor de los tres ngulos de un tringulo sabiendo que B mide 40ms que C y que A mide 40 ms que B.


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C- xB- x + 40A- x + 40 + 40 = x+ 80

x + x + 40 + x+ 80 = 180; x + x + x = 180 40 80;3x = 60; x = 20

C = 20 B = 20 + 40 = 60 A = 60 + 40 = 100

Actividades

1.-Expresa algebraicamente:

a. El doble o duplo de un nmero:

b. El triplede un nmero:

c. El cudruplode un nmero:

d. La mitad de un nmero:

e. Un terciode un nmero:

f. Un cuartode un nmero:

g. Un nmero es proporcionala 2, 3, 4, . . . :

h. Un nmero al cuadrado :

i . Un nmero al cubo :

j. Dos nmeros consecutivos:

k . Dos nmeros consecutivos pares :

l . Dos nmeros consecutivos impares :


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m. Descomponer 24 en dos partes :

n. La suma de dos nmeros es 24:

o. La diferenciade dos nmeros es 24:

p. Elproducto de dos nmeros es 24:

q. El cocientede dos nmeros es 24;

2.- Escribe estas frases mediante lenguaje algebraico:a.- Un nmero aumentado en 6

b.- Un nmero disminuido en 4

c.- El cudruple de un nmero

d.- La tercera parte de un nmero

e.- El cuadrado de la suma de dos nmeros.

f.- La diferencia del cuadrado de dos nmeros

g.- La suma de dos nmeros naturales consecutivos

h.- El cuadrado de un nmero ms el doble del mismo nmero

i.- rea del rectngulo de base b y altura a

j.- El nmero natural anterior al nmero n.

3.- Expresa en lenguaje algebraico:

a.- El doble de un nmero menos su tercera parte.

b.- Aos de Ins dentro de doce aos.

c.- Aos de Juan hace seis aos.

d.- La mitad de un nmero ms su siguiente.


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e.- Un nmero par.

f.- Un nmero impar.

g.- Un mltiplo de 8.h.- Dos nmeros que se diferencian en tres unidades.

i.- El triple de un nmero menos su tercera parte.

j.- El doble de un nmero ms su quinta parte.

4.- Expresa en lenguaje algebraico:

a.- La edad de un seor es el doble de la de su hija menos 7 aos.

b.- Dos nmeros se diferencian en 22 unidades.

c.- Dos nmeros suman 19.

d.-Un hijo tiene 28 aos menos que su padre.

e.-El cuadrado de un nmero menos su cuarta parte.

f.- rea de un rectngulo en el que su largo tiene 4 metros ms que elancho.

g.-Un tren tarda dos horas ms que otro en ir de Madrid a Barcelona.

h.- Repartir una caja de naranjas entre doce personas.

i.- Un nmero menos su mitad ms su doble.j.- Treinta y dos menos el cubo de un nmero.

Resolver las ecuaciones de primer grado

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Problemas de ecuaciones de primer grado

1.- Un padre tiene 35 aos y su hijo 5. Al cabo de cuntosaos ser la edad del padre tres veces mayor que la edad del

hijo?


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2.-Si al doble de un nmero se le resta su mitad resulta 54.Cul es el nmero?

3 . - La base de un rectngulo es doble que su altura. Cules

son sus dimensiones si el permetro mide 30 cm?4 . -En una reunin hay doble nmero de mujeres que dehombres y triple nmero de nios que de hombres y mujeresjuntos. Cuntos hombres, mujeres y nios hay si la reunin lacomponen 96 personas?

5 . - Se han consumido 7/8 de un bidn de aceite. Reponemos 38l y el bidn ha quedado l leno hasta sus 3/5 partes. Calcula la

capacidad del bidn.6 . - Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y116 patas. Cuntos cerdos y pavos hay?

7 . -Lus hizo un viaje en el coche, en el cual consumi 20 l degasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera,consumi 2/3 de la gasolina que tena el depsito y en lasegunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide:

1.Litros de gasolina que tena en el depsito.

2. Litros consumidos en cada etapa.

8 . -En una l ibrera, Ana compra un l ibro con la tercera parte desu dinero y un cmic con las dos terceras partes de lo que lequedaba. Al salir de la l ibrera tena 12 . Cunto dinerotena Ana?

9 . - La dos cifras de un nmero son consecutivas. La mayor esla de las decenas y la menor la de las unidades. El nmero esigual a seis veces la suma de las cifras. Cul es el nmero?

10 . -Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juanexcede en 15 aos a la edad de ste. Hace cuatro aos la edadde la padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades deambos.


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11 . -Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer untrabajo 14 horas. Cunto tiempo tardarn en hacerlo porseparado si uno es el doble de rpido que el otro?

12 . -Halla el valor de los tres ngulos de un tringulo sabiendoque B mide 40 ms que C y que A mide 40 ms que B.

13.-Juana tiene 5 aos ms que Amparo. Si entre los dos suman 73 aos,qu edad tiene cada una?

14. Un padre tiene 3 veces la edad de la hija. Si entre los dos suman 48aos, qu edad tiene cada uno?15.-Determinar tres nmeros consecutivos que suman 444.

16.-Tengo 3/2 de lo que vale un ordenador. Cunto vale el ordenador sime faltan slo 318 paracomprarlo?

17.-Despus de caminar 1500 m me queda para llegar al colegio 5/3 delcamino. Cuntos metros tiene el trayecto?

18.-Un pastor vende 7/5 de las ovejas que tiene. Despus compra 60 y astendr el doble de las que tena antes de la venta. Cuntas ovejas tena en

un principio?

19.-Determinar un nmero que sumado con su mitad y su tercera parte de55.

20.-Tres socios tienen que repartirse 3.000 de beneficios. Cunto letocar a cada uno, si el primero tiene que recibir 3 veces ms que el segundoy el tercero dos veces ms que el primero?

21.-Mi padre tiene 6 aos ms que mi madre. Qu edad tiene cada uno, sidentro de 9 aos la suma de sus edades ser 84 aos?

22.-Una bicicleta sale de una ciudad con una velocidad de 25 km/h. 3 horasms tarde sale un coche a la velocidad de 120 km/h. Cunto tiempo tardarel coche en alcanzar a la bicicleta?

23.-Qu nmero tengo que sumar a los dos trminos de la fraccin135/15 para que se convierta en 7/2?


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24.-La diferencia entre dos nmeros es 656. Dividiendo el mayor entre elmenor, resulta 4 de cociente y 71 de resto. Determinar los nmeros.

25.-La suma de tres nmeros impares consecutivos es igual al doble del

menor ms 1. Determinar los nmeros.

26.-Determinar un nmero de dos cifras sabiendo que la suma de las cifrases 6 y que la diferencia entre este nmero y el que resulta de invertir elorden de las cifras es 18.

27.- Dos obreros hacen un trabajo en 3 horas. Uno de ellos solo lo hara en4 horas. Determinar el tiempo que tardara el otro solo.28.- De los tres conductos que afluyen en una balsa, uno la llena en 36

horas, otro en 30 horas, y el tercero en 20 horas. Calcular el tiempo quetardarn en llenarla juntos.

29- Un da compre 5 libretas y 8 bolgrafos y pagu 24. Al da siguientecompr 8 libretas y 5 bolgrafos y pagu 20,85. Cunto pagar otro dapor 2 libretas y 3 bolgrafos?

30.- Un padre tiene 42 aos y sus hijos 7 y 5. Cuntos aos tienen quepasar para que la edad del padre sea igual que la suma de las edades de loshijos?

31.-Encuentra dos nmeros de forma que su diferencia sea 120 y el menorsea la quinta parte del mayor.

32.-Si de los tres quintos de los libros que tiene Juan le quitamos la mitadde los mismos, nos quedan todava 50. Cuntos libros tiene Juan?

33.-Ernesto tiene 3 aos ms que Mercedes y esta tiene 5 ms que Luis.Calcula la edad de cada uno si entre los tres suman 58 aos.

34.-Necesitamos repartir 27 naranjas en dos cajas de forma que en laprimera haya 3 ms que en la segunda. Cuntas naranjas habr en cadacaja?

35.-Despus de gastar las 4/7 partes de un depsito quedan 78 litros.Cul es la capacidad del depsito?


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36.-Al comprar una camisa he pagado 27,59. Si me han rebajado un 15%.Cunto costaba la camisa antes de las rebajas?

37.-Juan tiene 400 y Rosa tiene 350. Despus de comprar las dos el

mismo libro a Rosa le queda las 5/6 partes de lo que le queda a Juan. Cules el precio del libro?

38.-Un reloj marca las 3 en punto. A qu hora entre las 3 y las 4 sesuperpondrn las agujas?

39.-Un reloj marca las 2 en punto. A qu hora formarn sus agujas porprimera vez un ngulo recto?

40.-Dos ciudades A y B distan 300 km entre s. A las 9 de la maana partede la ciudad A un coche hacia la ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y dela ciudad B parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de 60 km/h. Sepide:

1 El tiempo que tardarn en encontrarse.

2 La hora del encuentro.

3 La distancia recorrida por cada uno.

41.-Dos ciudades A y B distan 180 km entre s. A las 9 de la maana sale deun coche de cada ciudad y los dos coches van en el mismo sentido. El quesale de A circula a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se pide:

1 El tiempo que tardarn en encontrarse.

2 La hora del encuentro.

3 La distancia recorrida por cada uno.42.-Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90 km/h. Tres horas mstarde sale de la misma ciudad otro coche en persecucin del primero conuna velocidad de 120 km/h. Se pide:

1 El tiempo que tardar en alcanzarlo.

2 La distancia a la que se produce el encuentro.


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43.- Un camin sale de una ciudad a una velocidad de 40 km/h. Una hora mstarde sale de la misma ciudad y en la misma direccin y sentido un coche a60 km/h. Se pide:

1. Tiempo que tardar en alcanzarle.2. Distancia al punto de encuentro.

44.-Dos ciclistas salen en sentido contrario a las 9 de la maana de lospueblos A y B situados a 130 kilmetros de distancia. El ciclista que sale deA pedalea a una velocidad constante de 30 km/h, y el ciclista que sale de B,a 20 km/h. A qu distancia de A se encontrarn y a qu hora?

45.-Un grifo tarda en llenar un depsito tres horas y otro grifo tarda enllenarlo cuatro horas. Cunto tiempo tardarn en llenar los dos grifosjuntos el depsito?

46.-Un comerciante tiene dos clases de caf, la primera a 40 el kg y lasegunda a 60 el kg.

Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de caf para obtener 60kilos de mezcla a 50 el kg?

47.-Se tienen dos lingotes de plata, uno de ley 0.750 y otro de ley 0.950.Qu peso hay que tomar de cada lingote para obtener 1800 g de plata deley 0.900?

48.-Un lingote de oro de ley 0.950 pesa 6 300 g. Qu cantidad de cobrepuro se habr de aadir para rebajar su ley a 0.900?

49.- La suma de las edades de cuatro miembros de una familia es 109 aos.El padre es 7 aos mayor que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a

los 21 aos. Cul es la edad de cada uno?50.- Con los 25.5 euros que tengo, podra ir dos das a la piscina, un da alcine y an me sobraran 4.5 euros. La entrada a la piscina cuesta 3 eurosmenos que al cine. Cunto cuesta la entrada al cine? Y la entra a lapiscina?

51.- Un repostero ha mezclado 3 kg de azcar con una cierta cantidad demiel. El precio del azcar es 2 euros/kg, el de la miel 7 euros/kg y el de lamezcla ha resultado a 4 euros/kg. Qu cantidad de miel mezcl?


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52.- Antonio tiene 11 aos, su hermano Roberto 16 y su padre 30. Cuntosaos han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad delpadre?

53.-Una pea deportiva contrat un autobs para seguir a su equipo. Si elautobs se hubiera llenado, cada uno habra pagado 6 euros; pero quedaron15 plazas vacas y el viaje cost 11 euros. Cuntas plazas tena el autobs?.

54.- Un depsito est lleno el domingo. El lunes se vacan sus 2/3 partes, elmartes se gastan 2/5 de lo que quedaba y el mircoles 146. Si an qued1/10, cul era la capacidad del depsito?

55.- Se han mezclado 20 litros de aceite barato con 30 litros de aceitecaro, resultando la mezcla a 6.8 euros/litro. Calcula el precio del litro de

cada clase, sabiendo que el de ms calidad es 5 veces ms caro que el otro.

56-Con los 23 euros que tengo, podra ir dos das a la piscina, un da al ciney an me sobraran 3 euros. La entrada a la piscina cuesta 2 euros menosque al cine. Cunto cuesta la entrada al cine? Y la entra a la piscina?

57.-Calcula tres nmeros sabiendo que:

El primero es 20 unidades menor que el segundo.

El tercero es igual a la suma de los dos primeros. Entre los tres suman 100.

58.- Si a un nmero le restamos 36, se reduce a su tercera parte. Cul esese nmero?

59.- La suma de tres nmeros pares consecutivos es 138. Halla esosnmeros.

60.- En el mes de agosto cierto embalse estaba a los 3/5 de su capacidad.

En septiembre no llovi y se gast 1/5 del agua que tena. En octubre serecuperaron 22484000 m3, quedando lleno en sus tres cuartas partes. Cules su capacidad?

61.-Me faltan 2.71 para comprar mi revista de informtica preferida. Situviera el doble de lo que tengo ahora, me sobraran 1.91 euros. Cuntotengo? Cunto cuesta la revista?

62.-Por un videojuego, un cmic y un helado, Andrs ha pagado 104 euros. El

videojuego es cinco veces ms caro que el cmic, y ste cuesta el doble queel helado. Cul es el precio de cada artculo?


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63.-En el mes de agosto cierto embalse estaba a los 3/5 de su capacidad. Enseptiembre no llovi y se gast 1/5 del agua que tena. En octubre serecuperaron 46501000 m3, quedando lleno en sus tres cuartas partes. Cules su capacidad?

2. Ecuaciones de segundo grado.

2.1. Ecuaciones completas.

Una ecuacin de segundo grado es toda expresin de la forma:

ax2+ bx +c = 0 con a 0

Se resuelve mediante la siguiente frmula:

2.2. Otros casos.


Si es a


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2.2. Otros casos.Se dice que una ecuacin de segundo grado es incompleta cuandoalguno de los coeficientes, b o c, o ambos, son iguales a cero.

Ax2+ bx = 0Ax2+ c = 0_____________siempre que c sea negativo tendr solucinAx2= 0

ax2= 0.

Por lo tanto, las ecuaciones de la forma ax2 = 0 tienen comosolucin nica x= 0.Ejemplo:

2x2=0

X2= 0/2 =0 x = 0 x=0La ecuacin no tiene como solucin nica, el cero.

ax2+bx= 0.

Sacando factor comn x en el primer miembro, resulta: x(ax+ b) = 0.


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Para que un producto de dos factores x y (ax+ b), d como resultadocero, uno de ellos debe ser cero:

En consecuencia, las ecuaciones de la forma ax2+bx= 0 tienen dos

soluciones:

Ejemplo:

2x2+ 4x= 0

1. Sacando factor comn x, resulta:

La ecuacin tiene dos soluciones: x= 0 y x= -2.

ax2+c = 0.


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Porque la raz cuadrada de un nmero negativo no existe

Ejemplo:

3x2- 27 = 0

La ecuacin tiene dos soluciones, x = 3 y x = -3.

Estudio de las soluciones de la ecuacin de 2 grado

ax2+bx +c = 0

b2 4ac se llama DISCRIMINANTE de la ecuacin y permite

averiguar en cada ecuacin el nmero de soluciones. Podemosdistinguir tres casos:

b2 4ac=0, la ecuacin tiene una sola solucin


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b2 4ac< 0, la ecuacin no tiene solucin

b2 4ac> 0. La ecuacin tiene dos soluciones.

Propiedades de las soluciones de la ecuacin de 2 grado

La suma de las soluciones de una ecuacin de segundo grado es igual a:S = x1+ x2

El producto de las soluciones de una ecuacin de segundo grado es igual a:P = x1 x2

Ecuacin de 2 grado a partir de sus soluciones

Si conocemos las races de una ecuacin, podemos escribir sta como:

Siendo S = x1+ x2y P = x1 x2

Ejemplo:Escribe una ecuacin de segundo grado cuyas soluciones son: x1=3 yx2=2.S= 3 2 = 1P = 3 2 = 6

x2 x + 6 = 0


El problema de los grifos (regla inversa):Un estanque se llena con un grifo en x1 horas, con un segundo grifo en x2 yas sucesivamente. Cunto tardara con todos a la vez? La ecuacin seplantea con la siguiente expresin:


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Ejemplo 1: Un grifo tarda en llenar un depsito 3 horas, otro solo necesita 2horas Cunto tiempo emplearan los dos a la vez?

La ecuacin planteada ser siendo x el tiempo total empleado por ambos

Ejemplo 2: Un obrero necesita 9 horas ms para terminar el trabajo soloque otro compaero, pero si lo hacen juntos el tiempo se reduce en 3 horasrespecto al que menos tarda. Cunto se tarda?

Un obrero tarda 9 horas, el otro 18 y en total lo haran juntos en 6 horas (lasolucin negativa no se tiene en cuenta) 19 de

Ejemplo 3: Para vallar un terreno rectangular de 3000 m2 se ha necesitado110 metros de cerca. Calcula las dimensiones del terreno.


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Actividades

1) Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

a) x2

- 3x = 0b) x2+ 6x = 0c) x2- 9 = 0d) 3x2-12 = 0e) 2x2+10x = 0f) x2- 3x = x - 2x2g) x2- 3x = 5xh) x2- 3x +1 = 6 - 3xi) x2-5x = 0

j) x2+ x = 0k) x2- 7x = 0l) 5x2- 2x = 0m) 3x - x2 = 0n) 6x2+12x = 0o) x2- 9 = 0p) 4 = x2q) x2- 5 = 0r) 7x2- 63 = 0

s) x2-3x + 4 = 4t) 2 + x2= x + 2

2) Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) 2x + 4 + 6x2= 5x2+ 6xb) (x 2) 3 4x 2+ - =c) (x 4)2 (4x2 4x 1) 8x + - - + =d) 10x + 4 - 6x2= 2x2+ 5x - 27e) x2+ 3x = 5x - 5f) x2- 3x + 2 = 0g) x2- 7x + 6 = 0h) x2-11x + 30 = 0i) x2+ x - 6 = 0j) x2 - x - 6 = 0k) 3x2-18x +15 = 0l) 2x2+10x +12 = 0


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m) x2+ x + 2 = 0n) 12x2-11x + 2 = 0o) 40x2-13x +1 = 0

3.-Realiza las siguientes ecuaciones:


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4.-Resuelve las siguientes ecuaciones:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-x2+ (7 x)2= 25

9.-7x2+ 21x 28 = 0

10.- x2+ 4x 7 = 0

11.-

12.- 6x25x +1 = 0

13.-

14.-

15.-

16.-

17.-

18.-

19.-


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20.-

21.-

22.-12x2 3x = 0

23.-

24.-

25.-

Problemas de ecuaciones de segundo grado

1.-Escribir una ecuacin de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y 2.

3.-Determinar k de modo que las dos races de la ecuacin x2 kx + 36 = 0sean iguales.

4.- La suma de dos nmeros es 5 y su producto es 84. Halla dichosnmeros.

5 .-Dentro de 11 aos la edad de Pedro ser la mitad del cuadrado de laedad que tena hace 13 aos. Calcula la edad de Pedro.

6.-Para vallar una finca rectangular de 750 m se han utilizado 110 m decerca. Calcula las dimensiones de la finca.

7.-Los tres lados de un tringulo rectngulo son proporcionales a losnmeros 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el rea deltringulo es 24 m.

8.-Un jardn rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho est rodeadopor un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si sesabe que su rea es 540 m.

9.-Calcula las dimensiones de un rectngulo cuya diagonal mide 75 m,sabiendo que es semejante a otro rectngulo cuyos lados miden 36 m y 48 mrespectivamente.

10.-Halla un nmero entero sabiendo que la suma con su inverso es 26/5.


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11.-Dos nmeros naturales se diferencian en dos unidades y la suma de suscuadrados es 580. Cules son esos nmeros?

12.-Dos caos A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por s

solo en tres horas menos que B. Cuntas horas tarda a cada unoseparadamente?

13.-Los lados de un tringulo rectngulo tienen por medidas en centmetrostres nmeros pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.

14.-Una pieza rectangular es 4 cm ms larga que ancha. Con ella seconstruye una caja de 840 cm3cortando un cuadrado de 6 cm de lado encada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.

15.-Un cao tarda dos horas ms que otro en llenar un depsito y abriendolos dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. Cunto tiempo tardar enllenarlo cada uno por separado?

16.- Halla dos nmeros consecutivos cuyo producto sea 182.

17.- Calcula un nmero que sumado con el doble de su raz cuadrada d 24.

18.- La raz cuadrada de la edad de un padre da la edad de su hijo. Al cabode 24 aos la edad del padre ser doble que la del hijo. Cuntos aos tienecada uno?

19.- Halla tres nmeros impares consecutivos tales que sus cuadrados sumen5051.

20.- Dentro de 11 aos, la edad de Pedro ser la mitad del cuadrado de laedad que tena hace 13 aos. Calcula la edad de Pedro.

21,-Un nmero se dice que es idempotente si su cuadrado es el mismo.Prueba que solo hay dos nmeros con esta propiedad y calcula cuales son.

Y = Y2 Y2 - Y = 0 Y(Y-1) =0 Y = 0 ; Y = 1

22.- El nmero irracional conocido como nmero de oro, , es la mayor de lassoluciones de la ecuacin

x2x 1 = 0.

Calcula el valor de redondeando a lasmilsimas


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Tema 4. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas.Resolucin grfica y algebraica.

1. Definicin de un sistema de ecuaciones.

1.1. Nmero de soluciones de un sistema.

2. Mtodos de resolucin de sistemas.

2.1. Mtodo de sustitucin.

2.2. Mtodo de igualacin.

2.3. Mtodo de reduccin.

2.Resolucin grfica de un sistema.

4. Aplicacin a la resolucin de problemas.


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1.Definicin de un sistema de ecuaciones.

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas es unaexpresin del tipo: a1x + b1y= c1 ejemplo: x + y = 4

a2x + b2= c2 5x- 2y=-1

Donde x e y las incgnitas y a1, a2, b1, b2los coeficientes de la xe yLa solucin de un sistema es una pareja de valores que al sustituirlos en lasincgnitas verifican a la vez las dos igualdades.

1.1. Nmero de soluciones de un sistema.

El nmero de soluciones de un sistema de ecuaciones de dos

incgnitas sern:

El sistema tiene una nica solucin y se llama: Sistemacompatible determinado(SCD)

El sistema no tiene solucin y se llama: Sistemaincompatible(SI)

El sistema tiene infinitas soluciones y se llama: Sistemacompatible indeterminado(SCI)

Ejemplo

x + y = 14

x - y = 6

1/1 1/-1; 1-1; tiene una solucin

2. Mtodos de resolucin de sistemas.

Para resolver los sistemas de ecuaciones de dos incgnitas tenemos tresmtodos.

2.1. Mtodo de sustitucin.

Un sistema de ecuaciones se resuelve por el mtodo de sustitucin a travsde los siguientes pasos:


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1.En una de las ecuaciones se despeja una de las incgnitas en funcin de laotra.

2.La incgnita despejada se sustituye en la otra ecuacin, con lo queobtenemos una ecuacin donde solo hay una incgnita.

3.Se resuelve la ecuacin obtenida obteniendo el valor de una de las

variables.

4.Se sustituye el valor obtenido en la variable despejada en el apartado 1y se obtiene la otra incgnita.

x=2; y=3

2.2. Mtodo de igualacin.

Los pasos a seguir en el mtodo de igualacin son los siguientes:1.Despejamos en las dos ecuaciones la misma incgnita.

2. Igualamos entre s los dos valores despejados. De esa maneraobtenemos una ecuacin donde slo aparece la otra incgnita.


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3.Se resuelve la ecuacin obtenida. As tenemos el valor de una de lasincgnitas.

4.Se sustituye el valor de la incgnita encontrada en cualquiera de las dosexpresiones despejadas en el paso 1 y se halla el valor de la otra incgnita.

Solucin: x=2; y=3

2.3. Mtodo de reduccin.

Tenemos que seguir los siguientes pasos:

1.Se multiplican una o las dos ecuaciones por nmeros convenientes paraque nos queden dos ecuaciones en las que una de las incgnitas vayamultiplicada por el mismo nmero cambiado de signo.

2.Se suman las dos ecuaciones trmino a trmino.

3.Ahora nos queda una ecuacin con una sola incgnita, la resuelves.


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4.El valor de la incgnita resuelta se sustituye en cualquiera de las dosecuaciones primeras, se resuelve la ecuacin que nos queda y ya tienes lasolucin completa del sistema.

3.Resolucin grfica de un sistema.

La representacin grfica de cada una de las ecuaciones de un sistema, esuna recta. Para representarlas grficamente, se despeja la "y" y se danvalores a la "x".

Por ejemplo, consideremos el sistema:

Vamos a despejar la "y" de cada una de las ecuaciones:

Ahora, en una tabla, daremos valores a la "x", y realizando las operacionesobtendremos los correspondientes valores de la "y". As, conseguiremos las

coordenadas (x, y) de algunos puntos de cada recta, y unindolosobtendremos sus grficas.

0 8

1 10-1 6

0 5

1 4-1 6


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La solucin del sistema es el punto donde se cortan las dos rectas, comopodemos ver en la tabla, dicho punto es A(-1, 6), es decir, la solucin es: x=-1 y= 6.

Veamos la representacin grfica de este sistema y su solucin, hemosllamado "a" a la recta: , "b" a la recta: , y A(-1, 6) esel punto de corte de las dos rectas ay b.

Si resolvemos grficamente un sistema de ecuaciones, es decir, sirepresentamos grficamente las rectas que lo forman pueden ocurrir lossiguientes casos:

Las dos rectas se cortan en un punto, entonces, ese punto es lasolucin del sistema y el sistemaes compatible determinado.

Las dos rectas son paralelas, entonces, no se cortan en ningnpunto, por tanto, el sistema no tiene solucin, es incompatible. Las dos rectas resultan ser la misma recta, es decir, se cortan en

infinitos puntos, por tanto el sistema tiene infinitas soluciones, escompatible indeterminado


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4. Aplicacin a la resolucin de problema

Dentro del proceso de resolucin de problemas, se pueden diferenciar seisetapas:

1. Leer el problema2. Definir las incgnitas principales de forma precisa3. Traduccin matemtica del problema4. Resolucin del problema matemtico5. Interpretar las soluciones6. Contrastar la adecuacin de esas soluciones

Ejemplo:

En una granja se cran gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas,son 50, si las patas, son 134. Cuntos animales hay de cada clase?

1. Leemos el problema.2. Definimos las incgnitas:

Conejos: x

Gallinas: y

3. Traduccin matemtica del problema

x + y = 50

4x + 2y = 134

4. Resolucin del problema matemtico

x + y = 50 - 4 ( x + y) = -4 . 50 - 4 x -4 y = -200

4x + 2y = 134 4x + 2y = 134 4x + 2y = 134

0 -2y = -66

-2y = -66 y = -66/-2 = 33

5. Interpretar las soluciones:

y = 33 gallinas; 50 cabezas 33 gallinas = 17 conejos=x


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y =33 gallinas; x = 17 conejos

6. Contrastar la adecuacin de esas soluciones

x + y = 50; 17 + 33 =504x + 2y = 134; 4 * 17 + 2* 33 = 68 + 66 = 134

ActividadesResuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:1 De forma algebraica.

2 De forma grfica.1) x + y = 14

x - y = 6

2) 2x - 3y = - 14

3x + 3y = 39

3) - 4x - 4y = 30

4x + 5y = - 44

4) 5x + y = 84

x + y = 6

5) 6x + 4y = 14

6x - 3y = - 21

6) 3x + 5 = y

y - 11 = 6x

7)

8)

9) 4x + 0.3y = 16.9

0.5x - 3y = - 7

10) 0.2x + 5y = 7

0.3x + 0.4y = 3.4

11) 2(x + y) - 4 = 10x

0.3x + 0.4y = 3.4

12) 4x - 2y + 8 = 8y - 6x 2

3(x - y +1) = 3y - 2x - 9

13) 2(x + y) = 3(x - y)

3y = x + 2

14) 2(3x - 4y) = 38

3(2x + 3y) + 4 = 5x

15)

16)(x - y) - (6x + 8y) = - (10x +

5y + 3)

(x + y) - (9y - 11x) = 2y - 2x


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17) x(y - 2) - y(x -3) = - 14

y(x - 6) - x(y + 9) = 54

18)

19) 3x - 4y - 2(2x - 7) = 0

5(x - 1) - (2y - 1) = 0

20) 5x - 0.5 = 5y + 0.5

8y + 3 = 4x + 9


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Problemas

1.-Juan compr un ordenador y un televisor por 2000 y los vendi por

2260 .S:800 precio del ordenador.

1200 precio del televisor.

Cunto le cost cada objeto, sabiendo que en la venta del ordenador ganel 10% y en la venta del televisor gan el 15%?

S:6 cm base del rectngulo.

2 cm altura del rectngulo

2.-Cul es el rea de un rectngulo sabiendo que su permetro mide 16 cmy que su base es el triple de su altura?

S:6 cm base del rectngulo.

2 cm altura del rectngulo.

3.-Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas.Cuntos cerdos y pavos hay?

S:32 nmero de pavos.

26 nmero de cerdos

4.-Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes t",y Pedro contesta: "si t me das seis euros tendremos los dos igual

cantidad". Cunto dinero tena cada uno?

S:24 dinero de Antonio.

12 dinero de Pedro.

5.-En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombresy el 20% de las mujeres. Si el nmero total de personas que usan gafas es11. Cuntos hombres y mujeres hay en la empresa?

S:25 nmero de hombres.


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35 nmero de mujeres.

6.-La cifra de las decenas de un nmero de dos cifras es el doble de lacifra de las unidades, y si a dicho nmero le restamos 27 se obtiene el

nmero que resulta al invertir el orden de sus cifras. Cul es ese nmero?S:Nmero 63

7.-Por la compra de dos electrodomsticos hemos pagado 3500 . Si en elprimero nos hubieran hecho un descuento del 10% y en el segundo undescuento del 8% hubiramos pagado 3170 . Cul es el precio de cadaartculo?

S:2500 precio del 1.1000 precio del 2.

8.-Encuentra un nmero de dos cifras sabiendo que su cifra de la decenasuma 5 con la cifra de su unidad y que si se invierte el orden de sus cifrasse obtiene un nmero que es igual al primero menos 27.

S:Nmero 41

9.-.Una empresa, tras realizar el balance anual y observar que ha obtenidoimportantes beneficios, decide obsequiar a sus 32 empleados con unordenador porttil para cada uno.

Este regalo le ha supuesto a la empresa un coste total de 22.040.

La empresa ha elegido un modelo valorado en 835 para los jefes de equipoy un modelo con un coste de 640 para los operarios que componen losdistintos equipos.

Cuntos jefes de equipohay en la empresa? y operarios?

10.-Tengo que vallar un terreno que he comprado, de forma rectangular.Recordaba que tiene 6 metros de largo ms que de ancho y su superficie esde 775 m2. Cuntos metros de valla debo de comprar?

11.-Un examen tipo test para unas oposiciones consta de 100 preguntas. Laconvocatoria establece que cada pregunta acertada suma 1 punto y cada

pregunta errnea o no respondida penaliza con 025 puntos.


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Si el aprobado es a partir de 60 puntos. Cuantas preguntas correctas,como mnimo, has de tener para aprobar?

12. En una granja se cran gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son

50, si las patas, son 134. Cuntos animales hay de cada clase?13. Un granjero cuenta con un determinado nmero de jaulas para susconejos. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres enuna jaula. Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan dos conejos libres.Cuntos conejos y jaulas hay?

14. En una lucha entre moscas y araas intervienen 42 cabezas y 276 patas.Cuntos luchadores haba de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6

patas y una araa 8 patas).15. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dosy cinco litros. Cuntas botellas de cada clase se han utilizado?

16. Se quieren mezclar vino de 60 ptas. con otro de 35 ptas., de modo queresulte vino con un precio de 50 ptas. el litro. Cuntos litros de cada clasedeben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla?

17. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a losestudiantes con 30 cuestiones sobre Matemticas. Por cada cuestincontestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestin incorrectao no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos.Cuntas cuestiones respondi correctamente?

18. En mi clase estn 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buencomportamiento 2 bolgrafos a cada chica y un cuaderno a cada chico. Si entotal han sido 55 regalos, cuntos chicos y chicas estn en mi clase?

19. Un ama de casa compra en un supermercado 6 Kg. de caf y 3 de azcar,por lo que paga 1530 ptas. Ante la amenaza de nuevas subidas, vuelve al dasiguiente y compra 1 Kg. de caf y 10 Kg. de azcar por lo que paga 825ptas. No se fija en el precio y plantea el problema a su hijo de 13 aos. Estedespus de calcular lo que su madre hubiera pagado por 6 Kg de caf y 60de azcar halla el precio de cada artculo. Podras llegar t a resolver elproblema?

20. Con 1000 ptas. que le ha dado su madre Juan ha comprado 9 paquetes deleche entera y leche semidesnatada por un total de 960 ptas. Si el paquete


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de leche entera cuesta 115 ptas. y el de semidesnatada 90 ptas. Cuntospaquetes ha comprado de cada tipo?

21. En un puesto de verduras se han vendido 2 Kg de naranjas y 5 Kg de

patatas por 835 ptas. y 4 Kg de naranjas y 2 Kg de patatas por 1.285 ptas.Calcula el precio de los kilogramos de naranja y patata.

22. Un comerciante de ultramarinos vende el Kg de azcar a 120 ptas.Adems, tiene caf de dos clases; cuando toma 2 Kg de la primera calidad y3 Kg de la segunda resulta la mezcla a 75 ptas. el Kg y cuando toma 3 Kg dela primera clase y 2 Kg de la segunda entonces resulta la mezcla a 80 ptas.el Kg Cul es el precio de cada calidad de caf?

23. El da del estreno de una pelcula se vendieron 600 entradas y serecaudaron 196.250 ptas. Si los adultos pagaban 400 ptas. y los nios 150ptas. Cul es el nmero de adultos y nios que acudieron?

24. En una librera han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a 800ptas. y otros a 1200 ptas. con los que han obtenido 19.200 ptas. Cuntoslibros han vendido de cada precio?

25. En una pastelera se fabrican dos clases de tartas. La primera necesita2'4 Kg de masa y 3 horas de elaboracin. La segunda necesita 4 Kg de masay 2 horas de elaboracin. Calcula el nmero de tartas elaboradas de cadatipo si se han dedicado 67 horas de trabajo y 80 Kg de masa.

26. Un pastelero compra dulces a 65 ptas. la unidad y bombones a 25 ptas.cada uno por un total de 585 ptas. Como se le estropean 2 pasteles y 5bombones calcula que si vende cada bombn a 3 ptas. ms y cada pastel a 5ptas. ms de lo que le costaron perdera en total 221 ptas. Cuntospasteles y bombones compr?

27. Halla dos nmeros tales que si se dividen el primero por 3 y el segundopor 4 la suma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y elsegundo por 5 la suma es 174.

28. Un nmero consta de dos cifras cuya suma es 9. Si se invierte el ordende las cifras el resultado es igual al nmero dado ms 9 unidades. Halladicho nmero.

29. Determina dos nmeros tales que la diferencia de sus cuadrados es 120

y su suma es 6.


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30. Halla una fraccin equivalente a 3/5 cuyos trminos elevados alcuadrado sumen 544.

31. Calcula dos nmeros positivos tales que la suma de sus cuadrados sea

193 y la diferencia sea 95.32. Un nmero est formado por dos cifras cuya suma es 15. Si se toma lacuarta parte del nmero y se le agregan 45 resulta el nmero con las cifrasinvertidas. Cul es el nmero?

33. Calcula dos nmeros que sumen 150 y cuya diferencia sea cudruple delmenor.

34. Calcula el valor de dos nmeros sabiendo que suman 51 y que si alprimero lo divides entre 3 y al segundo entre 6, los cocientes se diferencianen 1.

35. Tengo 30 monedas. Unas son de cinco ptas. y otras de una pta. Puedotener en total 78 ptas.?

36. Juan y Roberto comentan:Juan: "Si yo te tomo 2 monedas, tendr tantas como t"Roberto: "S, pero si yo te tomo 4, entonces tendr 4 veces ms que t".Cuntas monedas tienen cada uno?

37. En una bolsa hay 16 monedas con un valor de 220 ptas. Las monedas sonde 5 y 25 ptas. Cuntas monedas hay de cada valor?

38. Tena muchas monedas de 1 pta. y las he cambiado por duros. Ahoratengo la misma cantidad pero 60 monedas menos. Cunto dinero tengo?

39. En la fiesta de una amigo se han repartido entre los 20 asistentes el

mismo nmero de monedas. Como a ltima hora ha acudido un chico ms noshan dado a todos 1 moneda menos y han sobrado 17. Cuantas monedas parareparta se tena?

40. El otro da mi abuelo de 70 aos de edad quiso repartir entre sus nietoscierta cantidad de dinero. Si nos daba 300 ptas. a cada uno le sobraba 600ptas. y si no daba 500 ptas. le faltaba 1000. Cuntos nietos tiene? Qucantidad quera repartir?


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41. Al preguntar en mi familia cuntos hijos son, yo respondo que tengotantas hermanas como hermanos y mi hermana mayor responde que tienedoble nmero de hermanos que de hermanas. Cuntos hijos e hijas somos?

42. Hace 5 aos la edad de mi padre era el triple de la de mi hermano ydentro de 5 aos slo ser el duplo. Cules son las edades de mi padre y demi hermano?

43. Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 aos. Si mi abuelo tiene 50 aosms que mi hermano, qu edad tienen cada uno?

44. Mi padrino tiene 80 aos y me cont el otro da que entre nietas ynietos suman 8 y que si les diese 1.000 ptas. a cada nieta y 500 a cada nieto

se gastara 6.600 ptas. Cuntos nietos y nietas tiene mi padrino?45. Sabemos que mi to tiene 27 aos ms que su hijo y que dentro de 12aos le doblar la edad. Cuntos aos tiene cada uno?

46. La edad de mi ta, hoy es el cuadrado de la de su hija; pero dentro denueve aos ser solamente el triple. Qu edad tiene cada una?

47. Mi to le dijo a su hija. "Hoy tu edad es 1/5 de la ma y hace 7 aos noera ms que 1/7". Qu edad tienen mi to y su hija?

48. Un obrero ha trabajado durante 30 das para dos patrones ganando207.000 ptas. El primero le pagaba 6.500 ptas. diarias y el segundo 8.000ptas. Cuantos das trabaj para cada patrn?

49. Dos obreros trabajan 8 horas diarias en la misma empresa. El primerogana 500 ptas. diarias menos que el segundo; pero ha trabajado durante 30jornadas mientras que el primero slo 24. Si el primero ha ganado 33.000ptas. ms que el segundo calcula el salario diario de cada obrero.

50. Un rectngulo tiene un permetro de 392 metros. Calcula susdimensiones sabiendo que mide 52 metros ms de largo que de ancho.

51. Un rectngulo mide 40 m2 de rea y 26 metros de permetro. Calculasus dimensiones.

52. El permetro de un rectngulo mide 36 metros. Si se aumenta en 2metros su base y se disminuye en 3 metros su altura el rea no cambia.

Calcula las dimensiones del rectngulo.


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53. Calcula las dimensiones de un rectngulo tal que si se aumenta la base en5 metros y se disminuye la altura en otros 5 la superficie no vara; pero sise aumenta la base en 5 y disminuye la altura en 4, la superficie aumenta en4 metros cuadrados.

54. El rea de un tringulo rectngulo es 120 cm2y la hipotenusa mide 26cm. Cules son las longitudes de los catetos?

56. Uno de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo es 18 mayor que elotro. Cunto mide cada ngulo del tringulo?

57. La altura de un trapecio issceles mide 4 cm, la suma de las bases es de14 cm, y los lados oblicuos miden 5 cm. Averigua las bases del trapecio.

58. El permetro de un tringulo rectngulo mide 30 m y el rea 30 m2.Calcula los catetos.

59. La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 m. Si a las dos lasaumentamos en 2 m el rea aumenta en 16 m2. Calcula las longitudes de lasdiagonales, el permetro y el rea de dicho rombo.

60. Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm,respectivamente, y los no paralelos 13 y 20 cm. Calcula la altura deltrapecio.

61. En un pueblo, hace muchos aos, se utilizaba, como unidades de medidade peso, la libra y la onza. Recientemente se encontr un documento delsiglo pasado en el que aparecan los siguientes pasajes: "... pesando 3 libras y4 onzas, es decir 1495 gramos..." y "... resultando 2 libras y 8 onzas, cuandoel extranjero pregunt por el peso en gramos le contestaron 1150 gramos".Sabras calcular el valor, en gramos, de la libra y la onza?

62. En el mismo documento antes mencionado nos encontramos el siguientepasaje: "... las dimensiones del mural eran 5 toesas y 3 pies de largo y 3toesas y 5 pies de alto..." Como ese mural se conserva en la actualidad se hamedido con la mxima precisin posible: 4'82 m de largo por 2'988 m dealto. Con estos datos puedes decir cunto mide una toesa y un pie enmetros?

63. A las tres de la tarde sale de la ciudad un coche con una velocidad de 80Km/h. Dos horas ms tarde sale una moto en su persecucin a una velocidad

de 120 Km/h. A qu hora lo alcanzar? A qu distancia de la ciudad?


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64. Dos pueblos, A y B, distan 155 Km. A la misma hora salen de cada puebloun ciclista. El de A viaja a una velocidad de 25 Km/h y el de B a 33 Km/h. Aqu distancia de cada pueblo se encuentran? Cunto tiempo hatranscurrido?

65. Un crucero tiene habitaciones dobles (2 camas) y sencillas (1 cama). Entotal tiene 47 habitaciones y 79 camas. Cuntas habitaciones tiene de cadatipo?

66. Dos grifos han llenado un depsito de 31 m3corriendo el uno 7 horas y elotro 2 horas. Despus llenan otro depsito 27 m3corriendo el uno 4 horas yel otro 3 horas. Cuntos litros vierte por hora cada grifo?

67. Un depsito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas.Cunto tardar en llenarse abriendo los dos grifos a la vez?

68. Dos grifos alimentan simultneamente un depsito tardando 2'4 horasen llenarlo. Si se abriera cada grifo por separado el primero tardara 2horas menos que el segundo. Cunto tiempo tardara cada uno de ellos enllenarlo de manera independiente?

69. Un reloj seala las tres en punto. A partir de esa hora, a qu horacoincidirn las manecillas por primera vez?

69. Un reloj seala las tres en punto. Por tanto las manecillas del relojforman un ngulo recto. Cunto tiempo debe transcurrir para que formende nuevo un ngulo recto?

70. Un reloj marca las doce horas. A qu hora la manecilla que marca losminutos se encontrar otra vez con la manecilla que marca la hora?


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Tema 5. Inecuaciones.

1. El orden en los nmeros reales.2. Relaciones entre orden y operaciones.

2.1. Relacin entre orden y suma.

2.2. Relacin entre orden y producto.

3. Inecuaciones. Definiciones.

4. Resolucin de inecuaciones.

4.1. Resolucin de inecuaciones mediante la suma.

4.2. Resolucin de inecuaciones mediante el producto.

4.3. Resolucin de inecuaciones.

5. Resolucin de problemas.


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1. El orden en los nmeros reales.

Dados dos nmeros reales cualesquiera, a y b, se pueden dar estas tressituaciones:

a < b ; a menor que b. A la expresin la llamamos desigualdad

a = b ; a igual que b. A la expresin la llamamos igualdad

a > b ; a mayor que b. A la expresin la llamamos desigualdad

Esta propiedad que cumplen todos los nmeros reales, hace que su conjunto,el conjunto de los nmeros reales, sea totalmente ordenado. Hablamosentonces, del orden de los nmeros reales.

2. Relaciones entre orden y operaciones.

2.1. Relacin entre orden y suma.

Dada la siguiente desigualdad: 3 < 5. Realiza:a) Suma 2 a cada uno de los miembros de la desigualdad y comprueba si escierta.b) Suma ahora 1,72 a cada miembro y comprueba.

c) Suma esta vez -5 a cada miembro, y verifica si se mantiene ladesigualdad.

Una vez realizado los tres apartados, debes llegar a la conclusin:

2.2. Relacin entre orden y producto.

Dada la siguiente desigualdad: 2 < 5. Realiza:

a) Multiplica los dos miembros por 3, y comprueba si se mantiene la

desigualdad.b) Multiplica ahora por 4,5 y vuelve a comprobar.

Si a los dos miembros de una desigualdad se le suma unmismo nmero positivo o negativo, la desigualdad siguesiendo cierta


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c) Multiplica esta vez por 1/2, o lo que es lo mismo, divide por 2 ambosmiembros, y comprueba la desigualdad.

Una vez hayas hecho los tres apartados y hayas llegado a una conclusin:

Sea la desigualdad: 2 < 4. Realiza:

a) Multiplica por -1, y comprueba a ver si se mantiene la desigualdad o seobtiene otra distinta.b) Multiplica ahora por -4, y vuelve a comprobar.c) Divide ahora por -2, a ver que ocurre.

Cuando hayas llegado a una conclusin

3. Inecuaciones. Definiciones.

Una inecuacines una desigualdad entre letras y nmeros, relacionadosmediante operaciones aritmticas. A las letras las llamaremos incgnitas.

Recordemos que las operaciones aritmticas son las siguiente: suma, resta,producto, divisin y potenciacin.

Una inecuacin de primer grado con una incgnita es una inecuacin conuna sla incgnita, y cuyo exponente es necesariamente 1.

Si multiplicamos los dos miembros de una desigualdad por un nmeronegativo, la desigualdad cambia de sentido

Si multiplicamos los dos miembros de una desigualdad porun nmero positivo la desigualdad contina siendo cierta


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Ejemplos:

2x-5 < 7

3-x > 2x-5Llamaremos soluciones de una inecuacin a todos los nmeros reales queverifican la inecuacin cuando sustituimos su valor en la incgnita de lamisma.

Ejemplo:

En la inecuacin 2x-5 < 7, el nmero 3 verifica la inecuacin, ya que: 23-5 =1 que es menor que 7.Tambin el 2 lo verifica, ya que 22-5 = -1, que tambin es menor que 7. Y el1, y el 0, y el -7, y muchos ms, y es que la solucin de una inecuacin es,generalmente, un conjunto de infinitos nmeros reales.

4. Resolucin de inecuaciones.

4.1. Resolucin de inecuaciones mediante la suma.

Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 3x - 5 > 2x - 3

3x - 5 > 2x - 3 ; 3x - 5 + 5 > 2x - 3 + 5 ; 3x > 2x + 2 ; 3x -2x > 2x - 2x + 2 ;

Solucin: x > 2 ; o tambin en intervalos (2,+ ).

Grficamente sera:

b) x - 2 2x + 5

x - 2 2x + 5 ; x - 2 - 5 2x + 5 - 5 ; x - 7 2x ; x - x - 7 2x - x ;Solucin: -7 x, en intervalos: [-7, + ).


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Grficamente:

4.2. Resolucin de inecuaciones mediante el producto.

Hay que tener cuidado en resolver una inecuacin cuandomultiplicamos por un nmero negativo, puesto que en tal caso ladesigualdad cambia de sentido.

Resolver la siguiente inecuacin: 2x -3 < 4x + 5

2x - 3 < 4x + 5 ; 2x -4x < 5 + 3 ; -2x < 8 ; x > -4 , o por intervalos:( -4 , + )

-4 -3 -2 -1 -

4.3. Resolucin de inecuaciones.

Consideremos la inecuacin:

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

1 Quitar corchetes.

2Quitar parntesis.

3Quitar denominadores.


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4Agrupar los trminos en x a un lado de la desigualdady los trminos independientes en el otro.

5Efectuar las operaciones

6Como el coeficiente de la x es negativomultiplicamos por 1, por lo que cambiar el sentido de la

desigualdad.

7Despejamos la incgnita.

Obtenemos la solucin como una desigualdad, pero sta

tambin podemos expresarla:

De forma grfica:

Como un intervalo:

[3, +)


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5. Resolucin de problemas.

A la hora de comprar un coche es bueno mirar que tipo de combustible nosconviene utilizar, dependiendo evidentemente de la cantidad de kilmetros a

realizar. Simplificando un poco el tema, para que podamos utilizar lasinecuaciones, vamos a ver cuntos kilmetros nos hace falta realizar paracompensar el gasto que realizar a la hora de comprarnos un coche diesel.

Supongamos que hemos decidido comprar el coche de la marca A, y enconcreto del modelo B. Pero para este modelo tenemos dos versiones, la GT,que es un turismo de gasolina, y el TD, que un turismo exactamente igual queel anterior pero con motor turbo-diesel. Los precios de compra de los doscoches son:

Modelo GT: 19500 Modelo TD: 22000

Adems mientras al modelo de gasolina, cada kilmetro le cuesta 0,12 , almodelo diesel el coste es de 0,07 por kilmetros. La pregunta es obvia:cuntos kilmetros hacen falta recorrer para que nos salga rentablecomprar un diesel?

Ejercicios y Problemas


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1.- Escribe las siguientes informaciones utilizando las desigualdades:

a) He sacado en el ltimo control de matemticas, al menos un 7.

b) La tarifa de mi mvil es plana desde las 10 de la maana hasta las 6 de latarde.

c) La edad del seleccionador espaol Vicente Del Bosque es 59 aos, cifraque supera las edades de Busquet y Javi Martnez (ambos tienen 21)

d) Como todo el mundo sabe el valor del nmero real es menor que 4.

2.- Clasifica las siguientes expresiones en desigualdades e inecuaciones:a) 4x < 2 b) -3 < 7 c) -4 < x d) 2+5-3 < 17+1 e) 4+x > 6

3.-Escribe las siguientes afirmaciones en forma de inecuaciones:

a) Normalmente suelo dormir menos de ocho horas.

b) Todas las familias tienen en estos das ms de dos televisores en casa.

c) Las notas posibles en un examen de matemticas.

d) Yo suelo leerme al menos 3 libros cada verano.

4.-Resuelve las siguientes inecuaciones:

5.- Resuelve las siguientes inecuaciones:

6.- Resuelve las siguientes inecuaciones:


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7.-Resuelve ahora las siguientes inecuaciones:

a) 5x - 9 4x +2

b) 2x +5 < 3x + 5

c) x - 2 + 2x > 4x - 6

8.-Resuelve la siguiente inecuacin:

3x - 5 > 3 -5x

x < 1

x > 1

9.-Resuelve la siguiente inecuacin:

10.-Resuelve

R= x>1

R= x1/4

R= x


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11.- El coste de fbrica de un producto es de 30000 , a lo que hay queaadir un coste de 1,35 de distribucin por cada producto. Cada producto

se vende a 3,50 , y los ingresos por publicidad total del producto son de12000 . Cuntos productos se deben vender para obtener beneficios?

12.- Supongamos que tienes dos ofertas de trabajo de dos empresas delibros. La oferta de la empresa A, es un cantidad fija mensual de 1200 sinincentivos, mientras que la empresa B te hace una ofer

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