P

C

BA

D

P1 T

LIMAS DAN MACAMNYA

Limas merupakan salah satu budang banyak, salah satu bidang batasnya

berbentuk segi banyak dan bidang batas yang lain berupa segitiga-segitiga yang alasnya

masing-masing merupakan sisi segi banyak, dan puncak-puncak segitiga tersebut

berimpit di suatu titik.

Contoh gambar 1 di bawah ini menunjukkan limas TABCD. Dalam limas

tersebut ada beberapa istilah, yakni :

Gambar 1

1. Segiempat ABCD merupakan bidang alas limas

2. Titik P di luar bidang atas merupakan puncak limas

3. Rusuk-rusuk AB, CD, DE dan EA yang berada pada bidang alas disebut rusuk alas

limas.

4. Rusuk-rusuk selain rusuk alas (AP, BP, CP, DP dan EP) disebut rusuk tegak limas

5. Segitiga-segitiga yang masing-masing memuat satu rusuk alas dan titik puncak

(segitiga PAB, PBC, PCD, PDE dan PEA) disebut bidang-bidang sisi tegak limas.

6. Jarak dari titik puncak ke bidang alas (PP1) merupakan tinggi limas (attitude)

7. Garis tinggi pada tiap-tiap bidang sisi tegak disebut dengan apotema. PT adalah

salah satu apotema.

Limas teratur adalah limas yang bidang alasnya merupakan segi n beraturan dan

proyeksi puncak pada bidang alas, berimpit dengan pusat bidang alas.

T

E

D

CB

A T1

A

B

C

D

Pada gambar 2 limas TABCDE adalah limas segilima beraturan. Bidang alas

ABCDE berbentuk segilima beraturan, T1 merupakan proyeksi T pada bidang alas, dan

T1 merupakan pusat segilima beraturan ABCDE.

Gambar 2

Dari defenisi mudah dibuktikan bahwa pada limas teratur memiliki sifat-sifat :

1. Rusuk-rusuk alasnya sama panjang

2. Rusuk-rusuk tegaknya sama panjang

3. Semua bidang sisi tegaknya kongruen.

Bidang Empat

Bidang empat adalah limas yang alasnya berupa segitiga.

Gambar 3

Pada gambar 3, limas ABCD berupa bidang empat dan mudah dilihat bahwa

banyaknya bidang batas adalah empat, sesuai dengan namanya. Adapun bidang-bidang

batasnya adalah ABC, ABD, BCD dan ACD.

Berbeda dengan limas segi n (n> 3), pada bidang empat setiap titik sudutnya

dapat dianggap sebagai titik puncak.

Kesimpulan :

Pada bidang empat ABCD, unsur-unsurnya, dan kemungkinan pemberian

namanya adalah sebagai berikut :

TitikPuncak

BidangAlas

Tinggi Nama

ABCD

CBDACDABDABC

Jarak A terhadap CBDJarak B terhadap ACDJarak C terhadap ABDJarak D terhadap ABC

A.BCDB.ACDC.ACDD.ABC

1. Bidang empat teratur adalah bidang empat yang keempat bidang batasnya kongruen

2. Bidang empat tegak adalah bidang empat yang salah satu rusuknya tegak lurus pada

bidang alas

3. Bidang empat siku-siku adalah bidang empat yang mempunyai tiga rusuk bertemu

pada satu titik sudut saling tegak lurus

4. Bidang empat sebarang adalah bidang empat yang tidak termasuk salah satu diatas.

Macam-macam bidang empa dan keistimewaannya yang masing-masing dapat

dilihat pada gambar 4.

a. Teratur b. Tegak c. Siku-siku d. SebarangGambar 4

Pada bidang empat teratur, kekongruen bidang-bidang batasnya mengakibatkan

semua rusuknya sama panjang sehingga masing-masing bidang tegak berupa segitiga

sama sisi.

P

A B

CD

P

A B

CD

T

P

A B

CDZ

Catatan :

Setiap limas segitiga merupakan bidang empat, akan tetapi limas segitiga teratur

tidak selalu merupakan bidang empat teratur.

TitikBerat Bidang Empat

Setiap bidang banyak dapat dibagi beberapa bidang enpat, adapun pada bidang

empat dikenal beberapa istilah antara lain :

1) Bidang berat adalah bidang yang memuat suatu

rusuk dan melalui pertengahan rusuk yang

berhadapan. Dalam bidang empatP.ABCD,

ADP merupakan salah satu bidang beratnya.

2) Garis berat bidang empat adalah garis

penghubung titik sudut dengan titik berat sisi

yang di depannya.

PT merupakan salah satu garis berat.

3) Titik berat bidang empat adalah perpotongan

sebarang dua garis berat bidang empat. Titik Z

merupakan titik berat.

Gambar 5

Irisan Suatu Bidang dengan Limas

Prinsip dan cara-cara yang digunakan untuk menentukan penampang irisan suatu

bidang dengan limas hampir sama dengan cara-cara penentuan irisan-irisan sebuah

bidang pada prisma.

Bidang pemotong sejajar bidang alas

Pada gambar 6 alas limas P

ABC terletak pada bidang β

Bidang α merupakan bidang pemotong limas yang

Sejajar dengan β

dengan demikian bidang sejajar bidang alas.

Gambar 6

Bidang α membagi limas menjadi dua bagian, bagian atas berbentuk limas (limas

P.KLM) bagian bawah disebut limas terpancung sederhana (limas terpancung

sederhana ABC.KLM).

Jika bidang pemotong tidak sejajar alas, maka bagian bawah limas disebut limas

terpancung tidak sederhana.

Anda telah mempelajari, jika dua bidang sejajar dipotong suatu bidang, maka garis

potongnya merupakan dua garis yang sejajar. Dengan demikian :

a. Garis KL//AB, karena kedua garis tersebut merupakan perpotongan bidang

sejajar α dan β dengan bidang PAB.

b. Garis LM//BC, karena kedua garis tersebut merupakan perpotongan bidang

sejajar α dan β dengan bidang PBC.

c. Garis KM//AC, karena kedua garis tersebut merupakan perpotongan bidang

sejajar α dan β.

Bidang Pemotong Tidak Sejajar dengan Bidang Alas

Jika bidang pemotong tidak sejajar dengan bidang alas, maka bidang pemotong

tersebut berpottngan dengan perluasan bidang menurut suatu garis yang disebut dengan

sumbu affinitas.

Pada limas terpancung, rusuk atas dan rusuk alas yang terletak pada suatu bidang

tegak limas tidak harus sejajar.

α

β

P

K M

L

A

B

C

P

C

BA

D

T

K L

M

Ada kemiripan dalam menentukan bidang irisan pada limas dan bidang irisan

pada prisma. Untuk menentukan bidang irisan pada limas juga ada tiga cara :

a. Dengan menggunakan sumbu affinitas

b. Dengan menggunakan bidang diagonal

c. Dengan menggunakan perluasan bidang tegak.

a. Dengan menggunakan sumbu affinitas

Jika diketahui tiga titik yang merupakan titik sudut dari bidang irisan limas, dalam

hal ini bukan limas segitiga, langkah pertama dalam cara ini menentukan sumbu

affinitasnya terlebih dahulu, selanjutnya menentukan titik sudut bidang iris limas

yang diketahui.

Diketahui limas segi empat dan tiga titik sudut pada

bidang irisan limas seperti pada gambar 7.

Tentukan bidang irisannya

Bidang irisan memuat titik L pada AP, L pada BP

dan M pada PC

Gambar 7

b. Dengan menggunakan bidang diagonal

Bidang diagonal limas adalah suatu bidang yang melalui puncak dan dua titik sudut

pada alas yang tidak berurutan dinamakan bidang diagonal.

Defenisi ini mengakibatkan, bahwa limas segitiga tidak memiliki bidang diagonal,

sebab sebarang dua titik sudut yang dipilih pasti berurutan.

Banyaknya bidang diagonal limas segi n adalah ½ n(n-1)

c. Dengan menggunakan perluasan bidang tegak

Prinsip utama dari cara ini adalah menentukan perpotongan dua bidang tegak limas,

masing-masing memuat satu titik, dan titik-titik tersebut terletak pada bidang irisan.

A B

CD

T

L

MK

Contoh :

Diketahui limas T.ABCD, pada gambar 8

Titik R pada rusuk TA

Titik L pada rusuk TB

Titik M pada rusuk TC

Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Dengan

perpotongan-perpotongan bidang diagonal lukis irisan

bidang α dengan limas T.ABCD.

Gambar 8

Penyelesaian :

1. Lukis perpotongan bidang tegak TAB dan TCD dengan cara :

Menentukan titik R yang merupakan perpotongan garis AB dan DC. Hubungkan

R dengan T yang merupakan perpotongan dua bidang tegak TAB dan TAC.

2. Titik tembus TD pada bidang irisan ditentukan dengan cara :

Menentukan titik S yang merupakan perpotongan garis LK dengan TR.

Menentukan titik N yang merupakan perpotongan garis SM dan rusuk TD.

Dengan demikian bidang KLMN adalah irisan bidang α dengan limas T.ABCD.

Catatan :

Perpotongan perluasan dua bisang sisi tegak yang berupa garis lurus tidak selalu

menembus bidang alas. Kejadian demikian terjadi apabila rusuk alas yang

termuat pada bidang tegak yang diperluas sejajar.

Gambar 9Perhatikan bahwa perluasan dua bidang tegak yang memuat rusuk alas sejajar,

perpotongannya merupakan suatu garis yang melalui puncak dan sejajar rusuk alas

tersebut.

T

C

BA

D

T

C

BA

D

Gambar 10Sifat tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan latihan berikut!

Contoh :

Titik P pada rusuk TA

Titik Q pada rusuk TB

Titik R pada rusuk TD

Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Dengan perpotongan-

perpotongan bidang diagonal lukis irisan bidang α dengan

limas T.ABCD.

Gambar 11

Langkah penyelesaian :

1. Lukis garis g melalui T dan sejajar AB atau DC, garis tersebut merupakan

perpotongan dan perluasan bidang TAB dan TAC.

2. Tentukan titik tembus TC pada bidang α dengan cara :

Menentukan titik S yang merupakan perpotongan garis QP dengan garis q.

selanjutnya garis hubungan SD akan memotong TC di N. perhatikan gambar 12.

Gambar 12

Dengan demikian bidang PGRN adalah bidang irisan limas.

N

QP

R

T

QP

RS

T

A B

DC

QP

RS

S

A B

DC

QP

R

P

IMK

L

C

B

A

LUAS IRISAN, VOLUME DAN JARING-JARING LIMAS

Luas Irisan Limas

Suatu limas yang terpotong oleh bidang yang sejajar alas akan terbagi atas dua

bagian, yaitu bagian atas berupa suatu limas dan bagian bawah yang disebut limas

terpancung sederhana.

Perhatikan gambar 13, limas T.ABCD terpotong oleh bidang α. Bagian atas

berupa limas T.PGRS, dan bagian bawah berupa limas terpancung sederhana

ABCD.PGRS.

Gambar 13

Pada setiap limas segitiga terpancung sederhana, luas alas bagian atas dan luas

alas limas semula berbanding sebagai kuadrat tinggi bagian atas dengan tinggi limas

semula.

Pada gambar 14, limas P.ABC dengan tinggi h dipotong bidang sejajar alas,

maka akan didapat bagian atas berupa limas P.KLM dengan tinggi k.

Gambar 14

P

HG

F

E

DC

B

A

Antara luas alas limas P.ABC dan luas alas limas P.KLM terdapat hubungan :

Luas KLMLuas ABC

= k2

h2

Bukti :

Pernyataan Alasan

1. Bidang KLM // bidang ABC 1. Diketahui

2. KA : AB = PK : PA = PL : PB 2. KL // AB

3. LM : BC = PL : PB 3. LM // BC

Perhatikan juga PAO :

4. PK : PA = PT : PO = k : h 4. KT // AQ, PT = k dan PO = h

5. KL : AB = LM : BC = k : h 5. Dari pernyataan 2 dan 3

6. α = β 6. KL // AB dan LM // BC

Luas KLM = ½ KL.LM.sin α

Luas BC = ½ B.BC. sin α; karena α = β

Dengan demikian

Luas KLMLuas ABC

= KL. LMAB .BC

¿ k2

h2 (Terbukti)

Perluasan luas limas yaitu bahwa perbandingan luas alas bagian atas dengan luas alas

limas asal berlaku untuk sebarang limas segi-n.

Pada limas segiempat terpancung sederhana, luas bidang atas dibanding luas bidang

bawah sama dengan perbandingan kuadrat tinggi limas bagian atas dan tinggi limas asal.

Bukti :

Limas segiempat P.ABCD terdiri atas dua limas

segitiga, yaitu P.ABD, dan PBC. Lihat gambar 15.

Setelah dipotong oleh bidang sejajar alas, terdapat 2

A B

D C

E F

H G

O

limas segitiga terpancung sederhana.

Menurut dalil luas 1.

1. Pada limas segitiga terpancung ABD.EFH :

Luas EFHLuas A BD

= k2

h2

2. Pada limas segitiga terpancung BCD.FGH :

Luas HFGLuas BCD

= k2

h2

3. Luas AFH + luas HFG = k2

h2 luas ABD + k2

h2 luas ABD

Luas EFGH = k2

h2 (luas ABD + luas ABD

Luas EFGH = k2

h2 luas ABCD

Jadi : Luas EFGHLuas ABCD

= k2

h2

Volume Limas

Untuk menghitung volume limas dapat dilakukan dengan dua cara, cara

pertama secara intuisi dan yang kedua secara matematis.

Berikut ini ditunjukkan volume limas segiempat secara intuitif.

Gambar 16

Gambar 15

A B

D C

E F

H G

O

Pada kubus ABCD.EFGH (Gambar 16) titik O merupakan perpotongan

diagonal ruang, sehingga kubus tersebut terbagi menjadi enam limas segiempat yang

kongruen.

Karena limas segiempat tersebut adalah : O.ABFE, O.ABCD, O.DCGH,

O.BFGC, O.BHEG dan O.HADE. perhatikan bahwa tinggi masing-masing limas adalah

setengah panjang rusuk kubus.

Mengingat bahwa keenam limas tersebut kongruen, karena masing-masing

bidang alasnya beupa bidang sisi kubus, dan bidang sisi tegaknya kongruen, dengan

demikian volume masing-masing limas segiempat tersebut sama, sehingga :

Volume masing-masing limas = 1/6 . volume kubus

= 1/6 . S3

= 1/3 (½ . S) S2

= 1/3 S2 (½ S)

= 1/3 luas alas x tinggi

Contoh :

Pada gambar 17, kubus ABCD.EFGH dibagi menjadi tiga limas, yaitu

F.ABCD, FADHE dan F.CDHG.

Tunjukkan bahwa masing-masing limas memiliki colume 1/3 x luas alas x

tinggi.

Gambar 17

Penyelesaian :Kubus ABCD.EFGH hanya terbagi menjadi tiga limas yang kongruen. Ketiga

limas tersebut adalah F.ABCD, F.ADHE dan F.CDHG. lihat gambar 17.

T

A

B

C

T

T

Ketiga limas kongruen mudah dibuktikan, yaitu masing-masing limas

merupakan limas segiempat siku-siku dengan alas berupa bujursangkar yang merupakan

bidang sisi kubus. Selanjutnya sisi tegaknya lurus alas beruturut-turut adalah BF, EF dan

FG merupakan rusuk-rusuk kubus ABCD.EFGH. Rusuk-rusuk tersebut sekaligus

merupakan tinggi limas.

Apabila rusuk ABCD.EFGH adalah satuan, maka luas alas limas = a2, dan

tingginya adalah = a.

Andaikan volume masing-masing limas = V, maka

V = 1/3 vol. kubus

V = 1/3 a3

V = 1/3 . a2 . a

V = 1/3 . luas alas . tinggi

Terbukti volume limas = V = 1/3 luas alas x tinggi

Jaring-jaring Limas

Perhatikan gambar 18, limas T.ABCD dari karton yang diiris menurus rusuk

TA, TB, TC dan TD. Oleh suatu rotasi dengan poros rusuk alas, masing-masing bidang

tegak direbahkan ke arah ke luar, poros rotasi terletak pada bidang tegak. Sehingga

akhirnya semua bidang tegak terletak pada bidang pemuat alas. Bangun geometri yang

diperoleh merupakan jaring-jaring limas.

Gambar 18

Jika limas dari karton diiris menurut beberapa rusuk-rusuknya, dan direbahkan

pada bidang rata sehingga semua bidang batas membentuk suatu bangun geometri, tidak

ada bagian yang saling menutup, maka bangun rebahan dinamakan jaring-jaring limas.

Pada defenisi memuat pengertian bahwa cara mengiris limas dari karton tidak

harus menurut rusuk tegak, tetapi boleh juga menurut sebagian rusuk alas.

Berbagai bentuk jaring-jaring limas

Di atas telah dibicarakan bahwa cara mengiris rusuk-rusuk limas dari karton

tidak selalu menurut rusuk tegaknya. Kombinasi pemilihan rusuk yang diiris

menghasilkan berbagai macam bentuk jaring-jaring.

Berikut ini akan dibahas macam-macam jaring, khususnya untuk limas segitiga

beraturan dan limas segiempat beraturan.

Jaring-jaring limas segitga beraturan

Jika limas segitiga beraturan dari karton diiris menurut rusuk-rusuk tegaknya,

kemudian bidang sisi tegak direbahkan pada bidang alas, akan diperoleh bentuk jaring-

jaring sebagai berikut :

Gambar 19.

Untuk satu rusuk tegak dan dua rusuk alas yang diiris, dapat diperoleh bentuk

jaring-jaring seperti tampak pada gambar 20`.

T

A

B

CF

D E

CE

F D

Gambar 20 Gambar 21.

Untuk dua rusuk tegak dan rusuk alas yyang diiris dapat diperoleh bentuk

jaring-jaring seperti tampak pada gambar 21.

Melukis Jaring-Jaring Limas Teratur

Untuk melukis jaring-jaring limas teratur dengan baik, kita harus mengenal

sifat-sifat yang dimiliki oleh limas teratur tersebut.

Perhatikan limas teratur T.ABC pada gambar 22, kita mengenal sifat-sifat yang

dimiliki pada bidang batasnya, yaitu antara lain :

Sifat 1

Pada limas segitiga teratur garis berat pada bidang tegak, tegak lurus alas yang

termuat pada bidang tegak.

Pada ∆TAB sama kaki, garis berat dari puncak, yaitu TD

tegak lurus alas.

Demikian pula garis berat pada bidang tegak TBC yaitu

TE ┴ BC, garis berat pada bidang tegak TAC, yaitu

TE ┴ AC, lihat gambar 22.

Gambar 22

Sifat 2

Pada limas segitiga teratur, garis berat pada alas yang ditarik dari setiap titik

sudut tegak lurus pada alas di depan titik sudut tersebut.

Pada limas teratur, T.ABC gambar 23 garia berat pada limas dan sifat-sifatnya

adalah :T

A

T1

T2

T3

B

C

A

D

FC

B

A

T

Gambar 23

Kedua sifat tersebut sangat membantu dalam melukis jaring-jaring limas beraturan.

Sebagai akibat dari kedua sifat tersebut adalah :

Garis berat pada rebahan bidang tegak lurus TAB pada alas, maka garis berat CF dan

garis berat TF membentuk satu garis lurus.

Demikian pula pasangan dua garis berat yang lain, akan membentuk garis lurus, yaitu

AD dengan DT, dan BE dan ET.

Perhatikan hasil rebahan bidang tegak tersebut pada gambar 24.

Gambar 24

Jika bidang TAB, TBC dan TAC direbahkan, maka hasil rebahannya berturut-

turut adalah T1AB, T2BC, T3AC.

Titik-titik yang terletak pada satu garis adalah :

a. A, D dan T2

b. B, E dan T3

c. C, F dan T1

Mengingat limas T.ABC merupakan limas segitiga beraturan, yang memiliki

sifat bahwa semua rusuk tegaknya sama, maka TA = TB = TC, sehingga hasil rebahan

ketiga rusuk tersebut juga sama, yaitu :

T1A = T1B = T2B = T2C = T3C = T3A

B

T

D

CB

M

AH

T

D

CB

M

AH

T1

Jaring-jaring Limas Sebarang

Cara-cara melukis jaring-jaring limas sebarang memiliki prinsip yang mirip

dengan cara-cara melukis jaring-jaring limas teratur.

Pada limas segi-n beraturan, proyek, titik puncak pada bidang alas merupakan

pusat bidang alas. Tidak demikian halnya dengan limas sebarang.

Pada limas sebarang sebelum melukis rebahan bidang sisi tegak ke bidang alas,

perlud iketahui bentuk alas lima.

Berikut ini akan dibahas cara-cara melukis jaring-jaring limas sebarang jika

diketahui ketiga syarat tersebut.

Sebelum pembahasan lebih lanjut, perlu diketahui salah satu sifat yang sangat

membantu dalam menentukan rebahan bidang sisi tegak yaitu :

Bidang yang dibuat melalui puncak limas, dan tegak lurus salah satu rusuk pada

alas, memotong limas menurut garis tinggi pada bidang tegak yang memuat rusuk alas,

dan melalui proyeksi puncak pada alas.

Untuk lebih memahami sifat tersebut dapat anda lihat gambar 25

Pada limas T.ABCD H proyeksi T pada alas.

Bidang TMH ┴ rusuk AB, M pada AB, maka TM

merupakan garis tinggi pada bidang TAB

MH ┴ AB

Gambar 25

Sifat tersebut membawa akibat, rebahan bidang TAB pada alas, maka titik-titik

T, M dan H segaris. Lihat gambar 26.

Gambar 26