Limes slijeva i zdesna Izračunajte

   

Rješenje. Izračunajmo prvo limese zdesna i slijeva funkcije u točki :

   

Prema [M1, teorem 4.3] je

 

Limes oblika u beskonačnosti Izračunajte:

(a)

, (b)

.

Rješenje.

(a)

Zadani limes je neodređenog oblika . Izlučimo li iz brojnika i nazivnika funkcije pod limesom, dobivamo

   

     

pri čemu koristimo

(b)

Zadani limes je neodređenog oblika . Izlučimo li iz brojnika i nazivnika funkcije pod limesom, dobivamo

   

     

jer je

Limes racionalne funkcije oblika Izračunajte

   

Rješenje. Zadani limes je neodređenog oblika , jer nakon uvrštavanja funkcija u brojniku i funkcija u nazivniku poprimaju vrijednost nula. Budući da su obje funkcije polinomi, njihovim rastavljanjem na faktore dobivamo i u brojniku i u nazivniku (x-1). Točnije

Limes racionalne funkcije oblika Izračunajte

   

Rješenje. S obzirom da je

limesi zdesna i slijeva zadane funkcije u su neodređenog oblika . Svođenjem na zajednički nazivnik dobivamo

   

     

 

Limes iracionalne funkcije oblika Izračunajte:

(a)

, (b)

.

Rješenje.

(a) Zadani limes je neodređenog oblika . Racionalizacijom funkcije u brojniku dobivamo

   

    

    

    

(b) Zadani limes je neodređenog oblika . Supstitucijom se oslobađamo iracionalnih izraza u funkciji pod limesom i dobivamo

   

     

 

Limes iracionalne funkcije oblika Izračunajte:

(a)

, (b)

.

Rješenje.

(a)Odmah slijedi

S druge strane je neodređenog oblika pa racionalizacijom funkcije pod limesom dobivamo

   

     

     

(b)S obzirom da je

zadani limesi su oblika . Racionalizacijom funkcije pod limesom dobivamo

     

     

     

     

     

     

Budući da je

   

iz dobivenog rezultata slijedi

   

Primjena kada Izračunajte:

(a)

, (b)

, (c)

, (d)

.

Rješenje. Ideja u ovim zadacima je transformirati funkciju pod limesom tako da možemo primijeniti formulu

(4.1)

koja se dobije iz [M1, primjer 4.6] supstitucijom . (a)

Supstitucijom dobivamo

(b)Supstitucijom i primjenom [M1, teorem 4.3] dobivamo

(c)

Primjenom formula i dobivamo

   

     

     

Zbog neprekidnosti funkcije i [M1, teorem 4.7 (ii)] vrijedi

Prema [M1, teorem 4.3] sada slijedi

(d)

Racionalizacijom brojnika, primjenom formule te iz [M1,

teorem 4.3] i [M1, teorem 4.7 (ii)] za neprekidnu funkciju , dobivamo

     

     

     

     

Primjena kada Izračunajte

   

Rješenje. Izlučimo li iz brojnika i nazivnika funkcije pod limesom dobivamo

   

Budući da je , za svaki , za vrijedi

   

Kako je

   

[M1, teorem 4.4] povlači

   

Sada za zadani limes vrijedi

Limes oblika Izračunajte

   

Rješenje. Budući da je

vrijedi

jer je

Još vrijedi

Primjena limesa koji daju broj Izračunajte:

(a)

, (b)

. (c)

, (d)

.

Rješenje. Prema [M1, primjer 4.9] pod (b) vrijedi formula

(4.2)

koja je zadovoljena i ako umjesto stavimo . Nadalje, iz (4.2) slijedi

pa vrijedi i sljedeća formula:

(4.3)

(a)Budući da je

zadani limes ima neodređeni oblik . Sređivanjem dobivamo

     

     

Prema formuli (4.2) je

što zajedno s

povlači

(b)Uvrštavanjem u funkciju pod limesom vidimo da je zadani limes neodređenog oblika . Primjenom svojstava funkcije dobivamo

   

Zbog neprekidnosti funkcije i tvrdnje [M1, teorem 4.7 (ii)] vrijedi

   

     

     

jer je prema formuli (4.2)

(c)

Zadani limes je neodređenog oblika . Primjenom svojstava funkcije , iz [M1,

teorem 4.7] pod (ii) za neprekidne funkcije i , te formule (4.3) dobivamo

   

     

     

     

(d)

Zadani limes je neodređenog oblika . Supstitucijom , primjenom svojstava funkcije , tvrdnje pod (ii) iz [M1, teorem 4.7] za neprekidnu funkciju i konačno formule (4.3) dobivamo

   

 

Neprekidnost funkcije (a)

Odredite parametar tako da funkcija

   

bude neprekidna. (b)

Odredite konstante i tako da funkcija

   

bude neprekidna.

Rješenje.

(a)

Funkcija je na skupu zadana neprekidnom funkcijom pa je dovoljno odrediti

parametar takav da bude neprekidna u , odnosno da vrijedi

Budući da je

mora vrijediti Iz definicije funkcije je , pa stoga slijedi . (b)

S obzirom da je funkcija zadana po dijelovima pomoću neprekidnih funkcija,

zaključujemo da je neprekidna na skupu

Potrebno je odrediti konstante i tako da bude neprekidna u točkama i

, odnosno da ispunjava uvjete iz [M1, definicija 4.6]:

(4.4)

Za točku vrijedi

   

   

   

Uvrštavanjem dobivenih rezultata u (4.4) slijedi

   

Za točku vrijedi

   

   

   

Sada (4.4) povlači

   

Konačno, rješavanjem sustava

   

   

dobivamo i .

Vrste prekida Ispitajte vrste prekida funkcija:

(a)

u točkama i , (b)

, gdje je u točki .

Rješenje.

(a)

Da bismo ispitali vrstu prekida funkcije u točkama i potrebno je izračunati limes s lijeve i desne strane u tim točkama.

Limes slijeva u točki je

   

     

     

Limes zdesna u točki dobivamo na isti način:

   

Prema [M1, definicija 4.7], zadana funkcija ima prekid druge vrste u točki .

Limes slijeva u točki je

   

Za limes zdesna u točki očigledno vrijedi

   

Limesi slijeva i zdesna u točki su jednaki pa prema [M1, definicija 4.7],

funkcija ima uklonjivi prekid u toj točki. (b)

Limes zdesna funkcije u točki računamo pomoću supstitucije :

   

Pri tome smo koristili

Limes slijeva zadane funkcije u točki dobivamo na isti način:

   

Limesi slijeva i zdesna u točki su kona�ni i različiti pa prema [M1, definicija

4.7], funkcija ima prekid prve vrste u toj točki.