Upload
ainun-ayu-utami
View
313
Download
66
Embed Size (px)
Citation preview
Toto Warsita, S.PdToto Warsita, S.PdNIP. 19660110 199003 1 006NIP. 19660110 199003 1 006
SMAN 1 RAJAGALUHSMAN 1 RAJAGALUHMAJALENGKA-JABARMAJALENGKA-JABAR
28/04/2328/04/23
BAHAN AJAR MATEMATIKABAHAN AJAR MATEMATIKA
ProdProductuct
STANDAR KOMPETENSI: Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi
dalam pemecahan masalah
Menggunakan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di takhingga.
Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri.
KOMPETENSI DASAR:
Menjelaskan pengertian limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga melalui pengamatan grafik dan perhitungan nilai-nilai fungsi.
Menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri di suatu titik dan di tak hingga
Indikator :
SELAMATSELAMATMENGIKUTIMENGIKUTI
PENGERTIAN LIMIT :PENGERTIAN LIMIT :Kata “Kata “LimitLimit” dapat berarti” dapat berartiMendekatiMendekati, , hampirhampir, , sedikit lagisedikit lagi, atau , atau harga batasharga batas
Notasi Limit fungsi:Notasi Limit fungsi:Suatu fungsi f(x) dikatakan memiliki Suatu fungsi f(x) dikatakan memiliki limit = A untuk x mendekati a limit = A untuk x mendekati a
Dinotasikan dengan : Dinotasikan dengan :
Lim F(x) = A Lim F(x) = A X aX adengan a adalah bilangan dengan a adalah bilangan konstanta konstanta atau bilangan tak hingga atau bilangan tak hingga yang lambang nya “∞ “ yang lambang nya “∞ “
Perhatikan!!!Perhatikan!!!
Dengan demikian maka : Dengan demikian maka : Lim x + 1 = Lim x + 1 = 33
x x 2 2
Jika f(x) = x+1 dan x mendekati 2Ditulis (x 2) maka f(x) akan mendekati 3
xx 1,91,9 1,991,99 1,9991,999 2,0002,000 2,0012,001 2,012,01 2,12,1f(x)=x +
1 2,9 2,99 2,999 …?... 3,001 3,01 3,1
Penyelesaiannya ditunjukan dalam tabel berikut :
f(x) = x +1
3.100
3.010
3.001
3.000
2.999
2.990
2.900
2.800 1.8001.9001.9901.9992.0002.0012.0102.100
Perhatikan Grafik di bawah ini !!!
Langkat-langkah menghitung limit :Langkat-langkah menghitung limit :1.1. Mensubstitusi variabel yang diketahuiMensubstitusi variabel yang diketahui2.2. Faktorisasi jika f(x) bentuk pecahan Faktorisasi jika f(x) bentuk pecahan
dan hasil substitusi = .dan hasil substitusi = .3.3. Merasionalkan penyebut bentuk akar.Merasionalkan penyebut bentuk akar.4.4. Membagi dengan variabel pangkat Membagi dengan variabel pangkat
tertinggi untuk limit f(x) dengan a ∞ tertinggi untuk limit f(x) dengan a ∞ ; (∞; dibaca tak hingga) ; (∞; dibaca tak hingga)
5.5. Mengalikan dengan bilangan sekawan Mengalikan dengan bilangan sekawan
00
Contoh Soal:Contoh Soal:1.1. Nilai dari Lim 3x adalah…. Nilai dari Lim 3x adalah…. x x 22
a. 1a. 1b. 2b. 2c. 3c. 3d. 4d. 4
e. 6e. 6
Pembahasan : Pembahasan : Bisa dengan cara substitusi langsungBisa dengan cara substitusi langsung
Lim 3x = 3(2)Lim 3x = 3(2)x 2x 2
= 6= 6
SOAL-SOAL LATIHANSOAL-SOAL LATIHAN
2
Slide 25
Slide 18
Latihan ke-1…! Latihan ke-1…! Berlombalah masing-masing kelompok Berlombalah masing-masing kelompok
…!…!!!!!!!
a.- 6 d. 12b. 4 e. 16c. 8
Latihan ke-2Latihan ke-2
265
2
2
2
xxxxLim
x
Adalah …
00.a
31. b
31.c
32. d
3. e
LIMIT BENTUK TAK TENTU ATAU LIMIT BENTUK TAK TENTU ATAU
Ingat Teorema Faktor !Ingat Teorema Faktor !Jika f(x) = (x-a).h(x)Jika f(x) = (x-a).h(x) g(x) = (x-a).k(x)g(x) = (x-a).k(x)Maka:Maka:
)().()().(
)()(
xkaxxhax
xgxf LimLim
axax
00
)()(
)()(
akah
xkxhLim
ax
Contoh Soal:Contoh Soal:Tentukan Nilai dari :Tentukan Nilai dari :
Dengan substitusi langsung Dengan substitusi langsung akan menghasilkan bentuk akan menghasilkan bentuk sebagai berikut :sebagai berikut :
xxxxxxLim
x 2243
23
24
0
Pembahasan: Dengan cara substitusi Pembahasan: Dengan cara substitusi sbb:sbb:
(bukan solusi) sehingga soal(bukan solusi) sehingga soaldiselesaikan dengan cara faktorisasi diselesaikan dengan cara faktorisasi Sebagai berikut :Sebagai berikut :
00
0.200.20.40.302243
23
24
23
24
0
xxxxxxLim
x
Perhatikan langkah-langkahnya !Perhatikan langkah-langkahnya !
224
200400
22432243
2243
2
3
0
2
3
0
23
24
0
xxxxxxxxxxxxxxxx
Lim
Lim
Lim
x
x
x
Jadi :Jadi :Nilai dari Nilai dari
adalahadalah
xxxxxxLim
x 2243
23
24
0
2
Nilai limitNilai limit
Adalah …Adalah …64
2
2
2
xxxLim
x
1.a
52.d
LATIHAN - 3..!Berlomba lah antar
Kelompok
54.b
53.c 1. e
64
2
2
2
xxxLim
x
54
3222
32
2
x
xLimx
)3)(2()2)(2(
2
xx
xxLimx
PEMBAHASAN - 3Perhatikan
Pembahasannya…!!!
Limit Fungsi BentukLimit Fungsi Bentuk
Jika diketahui limit tak hingga (Jika diketahui limit tak hingga (~~))Sebagai berikut:Sebagai berikut:
Maka:Maka:1. R= 0 jika n<m1. R= 0 jika n<m2. R= 2. R= aa jika n=m jika n=m pp3. R= 3. R= ~~ jika n>m jika n>m
~~
Rrqxpxcbxax
mm
nn
xLim
......
~ 1
1
Limit Fungsi Bentuk (Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)~ - ~)a.a.
1. R= ~ jika a>p1. R= ~ jika a>p2. R= 0 jika a=p2. R= 0 jika a=p3. R= -~ jika a<p 3. R= -~ jika a<p
RqpxbaxLimx
~
b.b.
1. R= 1. R= ~~ jika a>p jika a>p
2. jika a=p 2. jika a=p
3. R= 3. R= --~~ jika a<p jika a<p
RrqxpxcbxaxLimx
22
~
aqbR
2
6. Nilai dari6. Nilai dari
adalah …. adalah ….
a. -6a. -6d. 16d. 16b. 2b. 2e. 32e. 32c. 10c. 10
182634
2
2
~
xxxxLim
x
Pembahasan 1:Pembahasan 1:
182634
2
2
~
xxxxLim
x
2
2
222
2
222
2
182
634
182
634
xx
xx
xxx
xx
xxx
xx
Pembahasan 1:Pembahasan 1:
002004
~1
~82
~6
~34
2
2
224
Pembahasan 2:Pembahasan 2:
Perhatikan bahwa pangkat diatas samaPerhatikan bahwa pangkat diatas samadengan pangkat bawah sehingga p = qdengan pangkat bawah sehingga p = q(p dibagi q)(p dibagi q)
182634
2
2
~
xxxxLim
x
224
qpL
6. Nilai dari6. Nilai dari
adalah …. adalah ….
a. -6a. -6d. 16d. 16b. 2b. 2e. 32e. 32c. 10c. 10
182634
2
2
~
xxxxLim
x
7. Nilai dari7. Nilai dari
adalah….adalah….
a. -3a. -3 d. 0d. 0b. -2b. -2 e. 1e. 1c. -1c. -1
}124624{~
22
xxxxLimx
Pembahasan:Pembahasan:
2.24
4222
2
aqbR
144
7. Nilai dari7. Nilai dari
adalah….adalah….
a. -3a. -3 d. 0d. 0b. -2b. -2 e. 1e. 1c. -1c. -1
}124624{~
22
xxxxLimx
8. Nilai dari 8. Nilai dari
adalah….adalah….
a. -4a. -4 d. 4d. 4b. 0b. 0 e. 8e. 8c. 2c. 2
2
2
)14()28(
~
xxLim
x
Pembahasan:Pembahasan:
181643264
)14()28(
2
2
~2
2
~
xxxxLim
xx
xxLim
41664
8. Nilai dari 8. Nilai dari
adalah….adalah….
a. -4a. -4 d. 4d. 4b. 0b. 0 e. 8e. 8c. 2c. 2
2
2
)14()28(
~
xxLim
x
xxxxLim
ox 22
2
9. Nilai dari 9. Nilai dari
adalah….adalah….a. -~a. -~ d. 0d. 0b. -2b. -2c. c. e. e. 21
21
Pembahasan:Pembahasan:
)2()1(
2 02
2
0
xxxx
xxxx LimLim
xx
21
2010
21
0
x
xLimx
xxxxLim
ox 22
2
9. Nilai dari 9. Nilai dari
adalah….adalah….a. -~a. -~ d. 0d. 0b. -2b. -2c. c. e. e. 21
21
25231246
34
22
~
xxxxxxLim
x
21
21
10. Nilai dari10. Nilai dari
adalah….adalah….a. d. 2a. d. 2
b. 0b. 0 e. 3 e. 3
c. c.
Pembahasan:Pembahasan:
PerhatikanPerhatikanPangkat tertinggi diatas 3Pangkat tertinggi diatas 3Pangkat tertinggi dibawah 4Pangkat tertinggi dibawah 4Jadi n < mJadi n < mNilai R = 0Nilai R = 0
25231246
34
22
~
xxxxxxLim
x
25231246
34
22
~
xxxxxxLim
x
21
21
10. Nilai dari10. Nilai dari
adalah….adalah….a. d. 2a. d. 2
b. 0b. 0 e. 3 e. 3
c. c.
11. Nilai dari11. Nilai dari
adalah….adalah….
41331252
2
2
4
xxxxLim
x
1311.
138.
135.
c
b
a
1314.
1312.
e
d
Pembahasan:Pembahasan:
41331252
2
2
4
xxxxLim
x
)4)(13()4)(32(
4
xxxxLim
x
1)4(33)4(2
1332
4
xxLim
x
1311
1311
11. Nilai dari11. Nilai dari
adalah….adalah….
41331252
2
2
4
xxxxLim
x
1311.
138.
135.
c
b
a
1314.
1312.
e
d
741042
2
2
~
xxxLim
x
21
21
12. Nilai dari12. Nilai dari
adalah….adalah….
a. a. d. -1d. -1
b. 0b. 0 e. -6e. -6
c. c.
Pembahasan:Pembahasan:
Pangkat diatas = Pangkat Pangkat diatas = Pangkat dibawahdibawah
MakaMaka
741042
2
2
~
xxxLim
x
21
42
741042
2
2
~
xxxLim
x
21
21
12. Nilai dari12. Nilai dari
adalah….adalah….
a. a. d. -1d. -1
b. 0b. 0 e. -6e. -6
c. c.
Berapa teorema limit:Berapa teorema limit:Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = BBila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B x a x ax a x adan k adalah konstanta maka berlaku :dan k adalah konstanta maka berlaku : 1. Lim [k1. Lim [k..f(x)] = k Lim f(x)f(x)] = k Lim f(x)
x a x ax a x a = k. A= k. A
2. Lim [f(x)2. Lim [f(x)++g(x)] = Lim f(x) g(x)] = Lim f(x) ++ Lim g(x) Lim g(x) x a x a x ax a x a x a
= A = A ++ B B
3. Lim 3. Lim x ax a = Lim f(x) . Lim g(x)= Lim f(x) . Lim g(x) x a x ax a x a = A x B= A x B4. 4.
[f(x) . g(x)]
BA
xg
xf
xgxf
LimLim
Limax
ax
ax
)(
)(
)()(
nn
ax
n
axAxfxf LimLim
)()(5.5.
6. 6. Axf
n
ax
nn
axLimxfLim
)()(