Limita posloupnosti (3.část)

VY_32_INOVACE_ 22-24

Znalosti základních poznatků o limitě posloupnosti si ověřte na krátkém testu.

(Časový rozsah celého testu jsou 3 minuty.)

(Test ve formátu *.ppt nebo *.pdf )

Konvergence aritmetické a geometrické posloupnosti

Každá aritmetická posloupnost, jejíž diference d 0,

je divergentní.

Poznámka: Je-li d = 0, pak se jedná o konstantní posloupnost, která je vždy konvergentní.

Každá geometrická posloupnost, jejíž kvocient q< 1,

je konvergentní a její limita se rovná 0.

Úloha 1

Rozhodněme (a zdůvodněme), zda daná posloupnost je konvergentní či divergentní.

a)

b)

c)

d)

K

D

K

D

e)

f)

g)

h)

K

D

K

K

Úloha 2

Vypočtěme limity posloupností:

a)

b)

c)

D

K

K

d)

K + K = K

Úloha 3

Vypočtěme limity posloupností:

a)

b)

c)

d)

Řešení úlohy 3

Zlomek upravíme tak, že vydělíme čitatele i jmenovatele zlomku mocninou o největším základu a pak uplatníme věty o limitách posloupností:

a)

b)

c)

d)

e)

Upozornění

Další úlohy na téma

LIMITA POSLOUPNOSTI

naleznete zde.

Problém

Je-li

součet prvních n členů geometrické posloupnosti s kvocientem q, pak platí, že

Jaký bude součet všech nekonečně mnoha členů konvergentní geometrické posloupnosti

Řešení problému

Je-li sn součet prvních n členů geometrické posloupnosti, pak

součet všech nekonečně mnoha členů této posloupnosti s je

Můžeme tedy psát, že

Protože posloupnost je konvergentní, tedy , platí,

Potom platí:

Shrnutí poznatků z předchozího problému

Sčítáme-li všech nekonečně mnoho členů nekonečné posloupnosti, jedná se o tzv. nekonečnou řadu.

Zapisujeme:

Je-li původní posloupnost geometrická, pak hovoříme o

nekonečné geometrické řadě.

Pokud její kvocient , pak řada je konvergentní.

Pro její součet s platí:

Děkuji za pozornost.

Autor DUM: RNDr. Ivana Janů

Autor příkladů: RNDr. Ivana Janů