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Limite e continuidade de funcoes
Limite e continuidade de funcoes
Ana Carolina Boero
E-mail: [email protected]: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero
Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo Andre
Ana Carolina Boero Bases Matematicas
Limite e continuidade de funcoes
Aula 17Aula 18Aula 19Aula 20
A ideia de limite num exemplo
Considere a funcao f : R→ R dada por f (x) = 2x − 1.
O que ocorre com f (x) para x proximo, porem diferente, de 3?
Temos que f (x) fica arbitrariamente proximo de 5 sempre que x ∈ dom f ,x 6= 3, esta suficientemente proximo de 3.
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Limite e continuidade de funcoes
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A ideia de limite num exemplo
O que significa “f (x) fica arbitrariamente proximo de 5 sempre quex ∈ dom f , x 6= 3, esta suficientemente proximo de 3”?
Dado um intervalo arbitrario centrado em 5, (5− ε, 5 + ε), e possıvelencontrar um intervalo centrado em 3, (3− δ, 3 + δ), de modo que, paratodo x ∈ dom f , x ∈ (3− δ, 3 + δ) e x 6= 3⇒ f (x) ∈ (5− ε, 5 + ε).
Em outras palavras, para cada ε > 0, e possıvel encontrar δ > 0 tal que,para todo x ∈ dom f , 0 < |x − 3| < δ ⇒ |f (x)− 5| < ε.
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A ideia de limite num exemplo
• Para ε = 1, temos que δ = 0, 5 e tal que 0 < |x − 3| < δ ⇒ |(2x − 1)− 5| < ε.Note que, neste caso, qualquer δ < 0, 5 positivo tambem serviria.
• Para ε = 0, 5, temos que δ = 0, 25 e tal que 0 < |x − 3| < δ ⇒ |(2x − 1)− 5| < ε.Neste caso, novamente, qualquer δ < 0, 25 positivo tambem serviria.
• Para ε = 0, 2, temos que δ = 0, 1 e tal que 0 < |x − 3| < δ ⇒ |(2x − 1)− 5| < ε.Mais uma vez: neste caso, qualquer δ < 0, 1 positivo tambem serviria.
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A ideia de limite num exemplo
De modo geral, seja ε > 0 arbitrario. Temos que
|f (x)− 5| < ε ⇔ |(2x − 1)− 5| < ε⇔ |2x − 6| < ε⇔ |2(x − 3)| < ε⇔ 2|x − 3| < ε⇔ |x − 3| < ε
2
Tomando δ = ε2 , por exemplo, temos que para todo x ∈ dom f ,
0 < |x − 3| < δ ⇒ |f (x)− 5| < ε.
Isto significa quelimx→3
(2x − 1) = 5.
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Limite de funcoes
Seja x0 ∈ R e seja f uma funcao de uma variavel real a valores reaisdefinida numa vizinhanca de x0 (isto e, num intervalo aberto ao qual x0
pertence), exceto possivelmente em x0.
Dizemos que um numero real L e limite de f (x) quando x tende a x0 separa cada ε > 0 e possıvel encontrar δ > 0 tal que, para todo x ∈ dom f ,0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x)− L| < ε.
Notacao: limx→x0
f (x) = L
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Observacoes
• Observe que se limx→x0
f (x) = L1 e limx→x0
f (x) = L2, entao L1 = L2.
• Observe, ainda, que:
I x0 pode ou nao pertencer a dom f ;I se x0 ∈ dom f , pode-se ou nao ter lim
x→x0
f (x) = f (x0).
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Exemplos
(1) Considere g : R− {3} → R dada por g(x) = 2x2−7x+3x−3 .
Temos que
g(x) = 2x2−7x+3x−3 = (2x−1)(x−3)
x−3 = 2x − 1
para todo x 6= 3. Logo, limx→3
g(x) = limx→3
(2x − 1) = 5.
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Limite e continuidade de funcoes
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Exemplos
(2) Considere h : R→ R dada por
h(x) =
2x2−7x+3
x−3 se x 6= 3
4 se x = 3
Temos que limx→3
h(x) = limx→3
2x2−7x+3x−3 = 5.
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Outros exemplos
(1) limx→x0
(ax + b) = ax0 + b
(2) limx→2
(x2 − 3) = 1
(3) limx→4
√x = 2
(4) limx→0
sen x = 0
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Limites laterais
Sejam x0 ∈ R e f uma funcao de uma variavel real a valores reais definidanum intervalo aberto nao-degenerado do qual x0 e extremo da direita.
Dizemos que L e o limite a esquerda de f (x) quando x tende a x0 se paracada ε > 0 e possıvel encontrar δ > 0 tal que, para todo x ∈ dom f ,x ∈ (x0 − δ, x0)⇒ |f (x)− L| < ε.
Notacao: limx→x−
0
f (x) = L
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Limites laterais
Sejam x0 ∈ R e f uma funcao de uma variavel real a valores reais definidanum intervalo aberto nao-degenerado do qual x0 e extremo da esquerda.
Dizemos que L e o limite a direita de f (x) quando x tende a x0 se paracada ε > 0 e possıvel encontrar δ > 0 tal que, para todo x ∈ dom f ,x ∈ (x0, x0 + δ)⇒ |f (x)− L| < ε.
Notacao: limx→x+
0
f (x) = L
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Exemplos
(a) limx→0+
|x | = 0 e limx→0−
|x | = 0
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Exemplos
(b) limx→0+
|x |x
= 1 e limx→0−
|x |x
= −1
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Exemplos
(c) limx→0+
e−1x = 0, mas nao existe o limite a esquerda de e−
1x no 0.
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Exemplos
(d) Nao existem os limites a esquerda e a direita de sen
(1
x
)no 0.
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Limite versus limites laterais
Seja x0 ∈ R e seja f uma funcao de uma variavel real a valores reaisdefinida numa vizinhanca de x0, exceto possivelmente em x0.
Proposicao
limx→x0
f (x) = L se, e somente se, limx→x+
0
f (x) = L e limx→x−
0
f (x) = L.
Exemplos:
(a) limx→0|x | = 0, pois lim
x→0−|x | = 0 e lim
x→0+|x | = 0.
(b) Nao existe o limite de |x|x quando x tende a 0.
(c) Nao existe o limite de e−1x quando x tende a 0.
(d) Nao existe o limite de sen(
1x
)quando x tende a 0.
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Exercıcio resolvido
Determine c de modo que exista o limite de f (x) quando x tende a 2,onde
f (x) =
{−2x + 5 se x > 2x2 + c se x < 2
Solucao:
Temos que
limx→2+
f (x) = limx→2+
(−2x + 5) = 1 e limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 + c) = 4 + c .
Portanto, o limite de f (x) quando x tende a 2 existira se, e somente se,1 = 4 + c , ou seja, se, e somente se, c = −3.
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Funcoes contınuas
Seja f uma funcao de uma variavel real a valores reais e seja x0 ∈ dom f .
Dizemos que f e contınua em x0 se para cada ε > 0 e possıvel encontrarδ > 0 tal que, para todo x ∈ dom f , |x − x0| < δ ⇒ |f (x)− f (x0)| < ε.
Observacoes:
• Se f nao e contınua em x0, dizemos que f e descontınua em x0.
• Nao faz sentido falar em “continuidade de f em x0” se x0 6∈ dom f .
• Se f esta definida numa vizinhanca de x0, entao f e contınua em x0
se, e somente se, limx→x0
f (x) = f (x0).
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Funcoes contınuas
Seja f uma funcao de uma variavel real a valores reais.
Dizemos que f e uma funcao contınua se f e contınua em todos oselementos de seu domınio.
Exemplos:
(a) As funcoes afins sao contınuas.
Em particular, as funcoes constantes e a identidade sao contınuas.
(b) A funcao modulo e contınua.
(c) As funcoes exponenciais sao contınua.
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Outros exemplos
(a) A funcao f : R→ R dada por
f (x) =
{−1 se x 6= 0
1 se x = 0
nao e contınua em 0, mas o e em qualquer outro numero real.
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Outros exemplos
(b) A funcao g : R→ R dada por
g(x) =
1 se x > 00 se x = 0−1 se x < 0
nao e contınua em 0, mas o e em qualquer outro numero real.
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Limite e continuidade de funcoes
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Outros exemplos
(c) A funcao h : R− {0} → R dada por h(x) =1
xe contınua.
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Calculo de limites
Proposicao
Seja x0 ∈ R e sejam f e g funcoes de uma variavel real a valores reaisdefinidas numa vizinhanca de x0, exceto possivelmente em x0. Selimx→x0
f (x) = L1 e limx→x0
g(x) = L2, entao:
(1) limx→x0
(f + g)(x) = L1 + L2
(2) limx→x0
(f − g)(x) = L1 − L2
(3) limx→x0
(fg)(x) = L1L2
(4) limx→x0
(f /g)(x) = L1/L2, se L2 6= 0
Observacao: o mesmo vale substituindo x → x0 por x → x+0 ou x → x−0 .
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Calculo de limites
Corolario
Seja x0 ∈ R e sejam f e g funcoes de uma variavel real a valores reais.Se f e g sao contınuas em x0, entao:
(1) f + g e contınua em x0
(2) f − g e contınua em x0
(3) fg e contınua em x0
(4) f /g e contınua em x0, se g(x0) 6= 0
Exemplos:
(a) Funcoes polinomiais sao contınuas.
(b) Funcoes racionais sao contınuas.
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Exemplos
(a) limx→2
(3x2 − 5x + 2) = 4
(b) limx→−1
x2+2x−34x−3 = 4
7
(c) limx→1
x4−2x+1x3+3x2+1 = 0
(d) limx→2
x2−4x2−2x = 2
(e) limx→1
2x3+x2−4x+1x3−3x2+5x−3 = 2
(f) limx→1
3x3−4x2−x+22x3−3x2+1 = 5
3
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Limite e continuidade de funcoes
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Limite da composta
Questao: Calcular limx→4
e20−5x .
• Sabemos que limx→4
(20− 5x) = 0.
• Sabemos tambem que limu→0
eu = 1.
Podemos concluir que limx→4
e20−5x = 1? Sim!!!
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Limite da composta
Proposicao
Seja x0 ∈ R e sejam f e g funcoes de uma variavel real a valores reaistais que im f ⊂ dom g e f esta definida numa vizinhanca de x0, excetopossivelmente em x0. Se
(i) limx→x0
f (x) = L e
(ii) g e contınua em L
entao limx→x0
g(f (x)) = g(L) = g
(limx→x0
f (x)
).
Observacao: o mesmo vale substituindo x → x0 por x → x+0 ou x → x−0 .
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Limite da composta
Corolario
Seja x0 ∈ R e sejam f e g funcoes de uma variavel real a valores reaistais que im f ⊂ dom g . Se f e contınua em x0 e g e contınua em f (x0),entao g ◦ f e contınua em x0.
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Exemplos
(a) limx→3
√1+x−2x−3 = 1
4
(b) limx→3
√∣∣∣ x2−9x−3
∣∣∣ =√
6
(c) limx→1
√x−1√
2x+3−√
5=√
52
(d) limx→2
3√x− 3√2x−2 =
3√26
(e) limx→1
(3−x)4−16x3−1 = − 32
3
(f) limx→π
cos2 x+3 cos x+2cos x+1 = 1
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Calculo de limites
Teorema do confronto (ou do sanduıche)
Seja x0 ∈ R e sejam f , g e h funcoes de uma variavel real a valores reaisdefinidas numa vizinhanca de x0, exceto possivelmente em x0. Se
(i) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x 6= x0 numa vizinhanca de x0 e
(ii) limx→x0
f (x) = L = limx→x0
h(x)
entao limx→x0
g(x) = L.
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Exemplos
(a) limx→0
x2 · sen(
1x
)= 0
(b) limx→0
x · sen(
1x
)= 0
Se limx→x0
f (x) = 0 e g e limitada numa vizinhanca de x0, entao limx→x0
f (x)g(x) = 0.
(c) (Limite Fundamental) limx→0
sen xx = 1
(d) (Limite Fundamental) limx→0
cos x−1x = 0
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Mais exemplos
(e) limx→0
sen(5x)5x = 1
(f) limx→0
sen(2x)5x = 2
5
(g) limx→0
sen(2x)sen(5x) = 2
5
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Limite e continuidade de funcoes
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Continuidade da inversa
Proposicao
Sejam I um intervalo e f : I → R uma funcao crescente (ou decrescente).A imagem de f e um intervalo J e sua inversa, f −1 : J → I , e contınua.
Exemplos:
(a) As funcoes “raiz n-esima”sao contınuas.
(b) As funcoes logarıtmicas sao contınuas.
(c) As funcoes trigonometricas inversas sao contınuas.
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