LIMITES

NORMAL SUPERIOR MARIA AUXILIADORA MATEMATICAS ONCE GRADO DOCENTE: MARLENY ALVAREZ DIAZ **** TERCER TRIMESTRE 2.015

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TEMA 6 : LIMITE DE UNA FUNCION : primera parte

NOMBRES Y APELLIDOS:_______________________________________________________ 11° ___

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Trabajaremos los siguientes subtemas:

1. DEFINICION DE LIMITE

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más! Usemos por ejemplo esta función:

𝑓(𝑥) = (x2−1)

(x−1)

Y calculemos su valor para 𝑥 = 1 :

𝑓(1) = (12−1)

(1−1) =

(1−1)

(1−1) =

0

0

¡Pero 0/0 es un problema! En realidad no podemos saber el valor de 0/0 , así que tenemos que encontrar otra manera de hacerlo.

En lugar de calcular con 𝑥 = 1 . vamos a acercarnos poco a poco:

x (x2-1)/(x-1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

... ...

Vemos que cuando x se acerca a 1,

(x2-1)/(x-1) se acerca a 2 .

Ahora tenemos una situación interesante: Cuando 𝑥 = 1 no sabemos la respuesta

( es indeterminada ) Pero vemos que va a ser 2

Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a estas situaciones .

El límite de (x2−1)

(x−1)

cuando 𝑥 tiende (o se aproxima) a 1 es 2 .

Y con símbolos se escribe así:

Así que es una manera especial de decir " ignorando lo que pasa al llegar, cuando te acercas más y más la respuesta se acerca más y más a 2 " .

En un gráfico queda así:

Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x=1. Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el límite es 2.

Definición de límites

Propiedades de los límites

Límite de Funciones Indeterminadas

Límites laterales

Cálculo de los límites : Principio de sustitución

Límite de Funciones Radicadas


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2. LIMITES LATERALES

¡MIRAR LOS DOS LADOS!

Es como subir una colina y darte cuenta de que el camino ha "desaparecido" mágicamente...

... pero si sólo miras uno de los dos lados, ¿quién sabe qué está pasando?

¡Así que tienes que mirar las dos direcciones para estar seguro de dónde "debe de estar"!

Probemos por el otro lado:

x (x2-1)/(x-1)

1.5 2.50000

1.1 2.10000

1.01 2.01000

1.001 2.00100

1.0001 2.00010

1.00001 2.00001

... ...

También va hacia 2, así que todo está bien .

CUANDO ES DISTINTO EN LOS DOS LADOS:

Pero y si tenemos una función "f(x)" con un "salto" así:

¡En esta función el límite no existe en "a" ... !

No puedes decir cuál es, porque hay dos respuestas contradictorias:

3.8 por la izquierda, y 1.3 por la derecha

Pero sí puedes usar los signos "-" o "+" (como en el dibujo) para definir los límites laterales:

el límite por la izquierda (-) es 3.8 el límite por la derecha (+) es 1.3

Y el límite ordinario "no existe" Ten en cuenta :


3

Este resultado se usa frecuentemente para probar la no existencia de un límite. Si no existe alguno de los límites laterales, el límite no

existe. Si los límites laterales existen, pero son diferentes, el

límite no existe. EJEMPLO RESUELTO: Calcular en cada caso los límites siguientes:

EJERCICIO 1

1.

Calcular:

2. Sea la función y= f(x) definida por el siguiente gráfico:

Calcule:

a) lim f(x) x → 1

+ b) lim f(x) x → 1

-

c) lim f(x) x → 1

d) lim f(x) x → − 2

-

e) lim f(x) x → −2

+

f) lim f(x) x → −2

g) lim f(x) x → − 1

+

h) lim f(x) x → − 1

-

i) lim f(x) x → −1

3. Sea la función y= f(x) definida por el siguiente gráfico:

Calcule:

a) lim f(x) x → 0

+ b) lim f(x) x → 0

-

c) lim f(x) x → -3

d) lim f(x) x → − 1

-

e) lim f(x) x → −1

+

f) lim f(x)

x → 4+

g) lim f(x) x → 4

-

h) lim f(x) x → 4

i) lim f(x) x → 6

+

j) lim f(x) x → 6

-

k) lim f(x) x → 6


4

3. PROPIEDADES DE LOS LIMITES

4. Si f es la función identidad f(x) x, entonces para cualquier valor a se verifica que

5. El límite de la función constante f(x) c es la misma constante, cualquiera sea el valor al que tiende

6. El límite cuando x a de una función polinomial p(x), es igual al valor numérico del polinomio para

x a. Es decir,

7. Sean 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) dos funciones , tales que existen las siguientes propiedades algebraicas:

Regla del

logaritmo Regla de

la raíz

Regla del

Producto

Regla de la

Adición

Regla de la

Potencia

logaritmo

Regla del

Cociente

OPERACIONES CON LÍMITES

Regla del

Múltiplo

Regla de la

Sustracción

Lim [f(x) – g(x)] = lim f(x) − lim g(x) x→a x→a x→a

Lim 𝑓(𝑥)𝑛 = 𝐿

𝑛= 𝐿

1

𝑛 x→n


5

4. CALCULO PRACTICO DE L OS LIMITES

4.1 PRINCIPIO DE SUSTITUCION:

Si 𝑓(𝑥) es una función usual (polinómica, racional, cuyo

denominador no sea cero , logarítmica, ect.) y está definida

en el punto 𝑥 = 𝑎 , suele cumplirse que

𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

Esto es , para calcular el límite se sustituye en la función el

calor al que tiende la x. Así,

EJERCICIO 2

Calcula los siguientes límites:

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.


6

4.2 LIMITE DE FUNCIONES INDETERMINADAS:

Al realizar el principio de sustitución en el cálculo de algunos límites (cuando la función es racional e irracional ),

es posible que resulten expresiones como 𝒂

𝟎 ó también indeterminaciones como

𝟎

𝟎 .

Por ejemplo, limx → 4 𝑥2 − 16

𝑥−4 =

42−16

4−4 =

0

0 𝑓(4) no está definido. En lugar de ello, necesitamos

algo de álgebra preliminar. Existen dos formas de calcular este tipo de indeterminaciones la primera es mediante factorización y la segunda es la racionalización (esta ultima la usamos cuando en la expresión existen raíces). FACTORIZACIÓN : La factorización es la descomposición de una expresión matemática en forma de multiplicación. Para el cálculo de indeterminaciones mediante factorización se usan los siguientes metodos:

1. Factor Común: basta con expresar dicho polinomio como el producto del factor común, por el resto de los términos

del polinomio encerrados entre paréntesis. Ejemplo : 𝑏2 + 2𝑏 = 𝑏. (𝑏 + 2) puesto que ambos términos de estos tienen como factor común "𝑏".

2. Trinomio Cuadrado Perfecto: se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas

y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Ejemplo : 9x

2 + 30x + 25 = (3x + 5)

2 x

2 - 10x + 25 = (x - 5)

2 a2 + 2.a.b + b2 = (a + b)2 a2 - 2.a.b + b2 = (a - b)2

3. Suma ó Diferencia de Potencias a la "n": la suma de dos números a la potencia se descompone en dos factores,

siempre que "n" sea impar. Quedando de la siguiente forma: 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏) (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏) (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)

4. Diferencia de cuadrados: posee dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos.

𝑎2 − 𝑏2 = ( 𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)

Ejemplos: Calcule los siguientes límites:


7

EJERCICIO 3

4.3 LIMITE DE FUNCIONES RADICADAS:

Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son funciones radicales, y 𝑙𝑖𝑚x → a𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) =

𝟎

𝟎 , entonces , la indeterminación se elimina

racionalizando el numerador o el denominador o ambos y luego se simplifica la expresión resultante.

Ejemplos:

1. Encontrar los siguientes límites:

2. Encontrar los siguientes límites:

3. Calcular, si existe, el valor de cada límite :


8

EJERCICIO 4

1. Calcula los siguientes límites:

2. Calcula los siguientes límites:

3. Calcula cada uno de los siguientes límites , si es posible:

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