LÍMITES Y CONTINUIDAD

1. LIMITE DE UNA FUNCION

Definición: El límite de una función 𝑓: 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ es un número real 𝐿, denotado por

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝐿

Si y solo si 𝜖 > 0, ∃𝛿 > 0/|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖, siempre que 0 < ‖𝑥 − 𝑥0‖ < 𝛿

Definición: Decimos que una función 𝑓(𝑥, 𝑦) tiende al limite 𝐿 cuando (𝑥, 𝑦) tiende a (𝑥0, 𝑦0), y

escribimos

lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿

Si para cada numero 𝜖 > 0, existe un numero correspondiente 𝛿 > 0 tal que para todo (𝑥, 𝑦) en el

dominio de 𝑓,

|𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿| < 𝜖 siempre que 0 < ‖(𝑥, 𝑦) − (𝑥0, 𝑦0)‖ < 𝛿

La definicion de limite dice que la distancia entre 𝑓(𝑥, 𝑦) y 𝐿 es arbitrariamente pequeña siempre que la

distancia de (𝑥, 𝑦) a (𝑥0, 𝑦0) sea suficientemente pequeña (pero no cero). La definicion se aplica tanto a

los punto interiores (𝑥0, 𝑦0) como a los puntos de frontera del dominio de 𝑓, aun cuando el punto

frontera no necesariamente este dentro del dominio. Los puntos (𝑥, 𝑦) que se aproximan a (𝑥0, 𝑦0) estan

siempre en el dominio de 𝑓.

Propiedades de los límites

Si lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝐿 y lim𝑥→𝑥0

𝑔(𝑥) = 𝑀

a) lim𝑥→𝑥0

[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) + lim𝑥→𝑥0

𝑔(𝑥) = 𝐿 + 𝑀

b) lim𝑥→𝑥0

[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) − lim𝑥→𝑥0

𝑔(𝑥) = 𝐿 + 𝑀

c) lim𝑥→𝑥0

𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘 lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝑘𝐿 (para cualquier numero 𝑘)

d) lim𝑥→𝑥0

[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) lim𝑥→𝑥0

𝑔(𝑥) = 𝐿𝑀

e) lim𝑥→𝑥0

[𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)] =

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑥0

𝑔(𝑥)=

𝐿

𝑀, 𝑀 ≠ 0

f) lim𝑥→𝑥0

[𝑓(𝑥)]𝑛 = [ lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)]𝑛

= 𝐿𝑛 , (𝑛 es un numero entero positivo)

g) lim𝑥→𝑥0

√𝑓(𝑥)𝑛 = √ lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)𝑛 = √𝐿𝑛

, (𝑛 es un numero entero positivo)

En la definición del límite, 𝛿 es el

radio de un disco con centro en

(𝑥0, 𝑦0). Para todos los puntos

(𝑥, 𝑦) dentro del disco, los valores

de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) se encuentran

dentro del intervalo

correspondiente (𝐿 − 𝜖, 𝐿 + 𝜖)

Proposición: Sea 𝑓: 𝑈 ⊆ ℝ2 → ℝ definida o no en (0,0)

Si 𝑓 satisface las siguientes condiciones:

a) 𝑓 se descompone como el producto de dos funciones ℎ(𝑥, 𝑦) y 𝑔(𝑥, 𝑦) tales que 𝑓(𝑥, 𝑦) = ℎ(𝑥, 𝑦) ∙ 𝑔(𝑥, 𝑦)

b) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

ℎ(𝑥, 𝑦) = 0

c) 𝑔(𝑥, 𝑦) es acotada.

Entonces, el límite de 𝑓 existe y es igual a cero, esto es, lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 0

Criterio de dos trayectorias para demostrar la inexistencia de un límite

Si una función 𝑓(𝑥, 𝑦) tiene límites diferentes a lo largo de dos trayectorias distintas en el dominio de 𝑓

cuando (𝑥, 𝑦) tiende a (0,0) entonces lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑓(𝑥, 𝑦) no existe.

2. CONTINUIDAD DE UNA FUNCION

Definición: Si 𝑓: 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ es continua en 𝑥0 ∈ 𝑈 si y solo si

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)

Definición: Si 𝑓: 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ es continua en cada punto 𝑥 ∈ 𝑈 se dice que 𝑓 es una función continua

en 𝑈.

Propiedades

Si 𝑓: 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ y 𝑔: 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ son continuas en 𝑈 se cumple:

a) La función suma (𝑓 + 𝑔): 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ/(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) es continua.

b) La función multiplicación (𝑓𝑔): 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ/(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) es continua.

c) La función división (𝑓

𝑔) : 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ/ (

𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) es continua en todo punto 𝑥 ∈ 𝑈 tal que 𝑔(𝑥) ≠ 0.

Ejercicios propuestos

Ejercicio 1: Calcule el límite, si existe, de la función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥2𝑦 + 2𝑦2𝑧3 cuando (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (2, −1,3)

Solución: Siendo 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) un polinomio, el límite existe y es:

lim(𝑥,𝑦,𝑧)→(2,−1,3)

3𝑥2𝑦 + 2𝑦2𝑧3 = 3(2)2(−1) + 2(−1)2(3)3 = 42

Ejercicio 2: Calcular

a) lim(𝑥,𝑦)→(0,1)

𝑥−𝑥𝑦+3

𝑥2𝑦+5𝑥𝑦−𝑦3 =0−(0)(1)+3

(0)2(1)+5(0)(1)−(1)3 =3

−1= −3

b) lim(𝑥,𝑦)→(3,−4)

√𝑥2 + 𝑦2 = √(3)2 + (−4)2 = √9 + 16 = √25 = 5

Ejercicio 3: Calcular lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2−𝑥𝑦

√𝑥−√𝑦

Solución

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2 − 𝑥𝑦

√𝑥 − √𝑦= lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)(

𝑥2 − 𝑥𝑦

√𝑥 − √𝑦) (

√𝑥 + √𝑦

√𝑥 + √𝑦) = lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥(𝑥 − 𝑦)(√𝑥 + √𝑦)

𝑥 − 𝑦

= lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥(√𝑥 + √𝑦) = 0(√0 + √0) = 0

Ejercicio 4: Usando la definición de limite, probar que lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

10𝑥𝑦2

𝑥2+𝑦2 = 0

Solución: Si 𝜖 > 0 está dado, se desea determinar un número 𝛿 > 0 tal que:

|10𝑥𝑦2

𝑥2+𝑦2 − 0| < 𝜖 siempre que 0 < ‖(𝑥, 𝑦) − (0,0)‖ < 𝛿

o también

|10𝑥𝑦2

𝑥2+𝑦2| < 𝜖 siempre que 0 < √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿

La última línea es lo mismo que

10|𝑥|𝑦2

𝑥2+𝑦2 < 𝜖 siempre que 0 < √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿

Como 𝑥2 ≥ 0, puede escribirse 𝑦2 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 y

𝑦2

𝑥2 + 𝑦2≤ 1

Así, 10|𝑥|𝑦2

𝑥2+𝑦2 = 10|𝑥|𝑦2

𝑥2+𝑦2 ≤ 10|𝑥| = 10√𝑥2 ≤ 10√𝑥2 + 𝑦2

De modo que si se elige 𝛿 = 𝜖/10, tenemos

|10𝑥𝑦2

𝑥2 + 𝑦2− 0| ≤ 10√𝑥2 + 𝑦2 ≤ 10 ∙

𝜖

10= 𝜖

Por lo tanto, esto demuestra

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

10𝑥𝑦2

𝑥2 + 𝑦2= 0

Ejercicio 5: Calcular el límite, si existe lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑦(1−cos 𝑥)

𝑥

Solución: Aplicando propiedades de límites se tiene,

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑦(1 − cos 𝑥)

𝑥= ( lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)𝑦) ( lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)

(1 − cos 𝑥)

𝑥) = (0)(0) = 0

Ejercicio 6: Demuestre que lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2−3𝑦2

𝑥2+2𝑦2 no existe.

Solución: La funcion 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2−3𝑦2

𝑥2+2𝑦2 se define en todas partes excepto en (0,0). Dos maneras de

aproximarse a (0,0) son a lo largo del eje 𝑥 (𝑦 = 0) y a lo largo del eje 𝑦 (𝑥 = 0)

En 𝑦 = 0 se tiene lim(𝑥,0)→(0,0)

𝑓(𝑥, 0) = lim(𝑥,0)→(0,0)

𝑥2−0

𝑥2+0= 1

En 𝑥 = 0 se tiene lim(0,𝑦)→(0,0)

𝑓(0, 𝑦) = lim(0,𝑦)→(0,0)

0−3𝑦2

0+2𝑦2 = −3

2

Concluimos que el limite no existe.

Ejercicio 7: Demuestre que lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥𝑦

𝑥2+𝑦2 no existe.

Solución: En este caso los limites a lo largo de los ejes 𝑥 y 𝑦 son los mismos:

lim(𝑥,0)→(0,0)

𝑓(𝑥, 0) = lim(𝑥,0)→(0,0)

0

𝑥2 = 0 y lim(0,𝑦)→(0,0)

𝑓(0, 𝑦) = lim(0,𝑦)→(0,0)

0

𝑦2 = 0

Sin embargo, esto no significa que lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑓(𝑥, 𝑦) exista, ya que no se ha examinado toda trayectoria a

(0,0). Ahora intentaremos cualquier recta que pasa por el origen dada por 𝑦 = 𝑚𝑥

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑓(𝑥, 𝑦) = lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑚𝑥2

𝑥2 + 𝑚2𝑥2=

𝑚

1 + 𝑚2

Puesto que lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑓(𝑥, 𝑦) depende de la pendiente 𝑚 de la recta sobre la cual se hace la aproximacion

al origen, concluimos que el limite no existe. Por ejemplo, en 𝑦 = 𝑥 y en 𝑦 = 2𝑥, tenemos

respectivamente,

𝑓(𝑥, 𝑥) =𝑥2

𝑥2+𝑥2 y lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑓(𝑥, 𝑦) = lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2

𝑥2+𝑥2 =1

2

𝑓(𝑥, 2𝑥) =2𝑥2

𝑥2+4𝑥2 y lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑓(𝑥, 2𝑥) = lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

2𝑥2

𝑥2+4𝑥2 =2

5

Asi el limite no existe.

Ejercicio 8: Demuestre que lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥3𝑦

𝑥6+𝑦2 no existe.

Solución:

En 𝑦 = 0 se tiene lim(𝑥,0)→(0,0)

𝑓(𝑥, 0) = lim(𝑥,0)→(0,0)

𝑥3(0)

𝑥6+0= 0

En 𝑥 = 0 se tiene lim(0,𝑦)→(0,0)

𝑓(0, 𝑦) = lim(0,𝑦)→(0,0)

(0)𝑦

0+𝑦2 = 0

En 𝑦 = 𝑥3 se tiene lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑓(𝑥, 𝑦) = lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥3𝑥3

𝑥6+(𝑥3)2 = lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥6

𝑥6+𝑥6 =1

2

Asi el limite no existe.

Ejercicio 9: Función discontinua en (0,0)

La función 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥4−𝑦4

𝑥2+𝑦2 es discontinua en (0,0), ya que 𝑓(0,0) no está definida. Sin embargo como

puede observarse en el siguiente ejemplo, 𝑓 tiene una discontinuidad renovable en (0,0).

Ejercicio 10: Función continua en (0,0)

La función 𝑓 definida por

𝑓(𝑥, 𝑦) = {

𝑥4 − 𝑦4

𝑥2 + 𝑦2(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

0 (𝑥, 𝑦) = (0,0)

es continua en (0,0), ya que 𝑓(0,0) = 0 y

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥4 − 𝑦4

𝑥2 + 𝑦2= lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)

(𝑥2 + 𝑦2)(𝑥2 − 𝑦2)

𝑥2 + 𝑦2= lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)(𝑥2 − 𝑦2) = 0

Por consiguiente, tenemos que lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(0,0)