Upload
endoenk
View
539
Download
8
Embed Size (px)
Citation preview
BAB III
PEMBAHASAN DAN ANALISIS
3.1. Pembahasan
Pada bab ini akan dibahas tentang pengambilan sampel produk dengan
data yang sudah ada. Dengan data yang sudah ditentukan, kemudian dihitung dan
dianalisa untuk mencari keuntungan yang maksimal pada produk tersebut.
3.1.1. Studi Kasus
PT. Usaha Baru mempunyai sebuah mesin untuk membuat produk
Majalah dan Tabloid. Masing-masing produk membutuhkan waktu operasi sesuai
pada tiap operasinya. Tabel berikut menunjukkan kebutuhan operasi dan total
waktu yang tersedia pada tiap-tiap operasinya selama 1 bulan. Pertimbangkan
pada pemasaran yang ada sekarang, perusahaan dapat menjual sebanyak yang
diproduksi dari Majalah dan Tabloid. Harga masing-masing produk yaitu Rp
8.000,- untuk Majalah dan Rp 7.000,- untuk Tabloid. Manajemen ingin
memutuskan perencanaan produksi terbaik untuk memaksimalkan total
pendapatan untuk bulan berikutnya :
Tabel 3.1. Unit Operation Times in Hours
Operasi
Jenis Produksi (menit) Kapasitas
(menit)Majalah Tabloid
Pemotongan 2 3 24
Pengeleman 2 1 16
Cetak 1 4 27
Profit per unit 8000 7000
Dari data diatas selesaikanlah dengan metode simpleks dan grafik
III-1
III-2
3.1.2. Perhitungan Manual
Dari data diatas kita dapat menyelesaikan dengan dua cara yaitu metode
grafik dan metode simpleks. Dimana metode grafik digunakan untuk
menyelesaikan variabel keputusan sama dengan dua, sedangkan metode simpleks
digunakan untuk menyelesaikan variabel keputusan dua atau lebih.
Formulasi Linear Programming:
a. Variabel Keputusan
Majalah : X1
Tabloid : X2
b. Fungsi Objektif
Maksimum Z = 8000X1 + 7000X2
c. Kendala
2X1 + 3X2 24
2X1 + X2 16
X1 + 4 X2 27
X1 ≥ 0 (kendala non negatif pertama)
X2 ≥ 0 (kendala non negatif kedua)
3.1.2.1.Penyelesaian dengan Metode Grafik
Langkah pertama dalam menyelesaikan dengan metode grafik adalah
menggambarkan fungsi kendalanya, kemudian merubah tanda pertidaksamaan
menjadi tanda persamaan sebagai berikut:
Kendala I : 2X1 + 3X2 = 24
* Memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0
2X1 + 0 = 24
X1 =
X1 = 12
* Memotong sumbu X2 pada saat X1 = 0
0 + 3X2 = 24
X2 =
III-3
X2 = 8
Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (12,0) dan memotong
sumbu X2 pada titik (0,8)
Kendala II : 2X1 + X2 = 16
* Memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0
2X1 + 0 = 16
X1 =
X1 = 8
* Memotong sumbu X2 pada saat X1 = 0
0 + X2 = 16
X2 = 16
Kendala II memotong sumbu X1 pada titik (8,0) dan memotong
sumbu X2 pada titik (0,16)
Kendala III: X1 + 4X2 = 27
* Memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0
X1 + 0 = 27
X1 = 27
* Memotong sumbu X2 pada saat X1 = 0
0 + 4X2 = 27
X2 =
X2 = 6.75
Kendala III memotong sumbu X1 pada titik (27,0) dan memotong
sumbu X2 pada titik (0,6.75)
Tabel 3.2. Titik Koordinat
Variabel Titik koordinat
III-4
2X1 + 3X2 = 24 (12,0) dan (0,8)
2X1 + X2 = 16 (8,0) dan (0,16)
X1 + 4X2 = 27 (27,0) dan (0,6.75)
Gambar 3.1. Grafik Area Layak
Untuk mencari titik potong kedua kendala bisa dicari dengan cara substitusi atau
eliminasi. Untuk mencari titik potong B dan C adalah sebagai berikut:
Titik potong B:
2X1 + 3X2 = 24 x 1 2X1 + 3X2 = 24
X1 + 4X2 = 27 x 2 2X1 + 8X2 = 54
0 - 5X2 = -30
X2 =
X2 = 6
X1 + 4X2 = 27 X1 + 4(6) = 27
X1 = 27 – 24
X1 = 3
Titik potong C:
III-5
2X1 + 3X2 = 24 x 1 2X1 + 3X2 = 24
2X1 + X2 = 16 x 1 2X1 + X2 = 16
0 + 2X2 = 8
X2 =
X2 = 4
2X1 + X2 = 16 2X1 + 4 = 16
2X1 = 16-4
2X1 = 12
X1 =
X1 = 6
Jadi titik potong B adalah (3,6) dan titik potong C adalah (6,4)
Titik A: (0,6.75)
Z = 8000X1 + 7000X2
= 8000(0) + 7000(6.75)
= 47250
Titik B: (3,6)
Z = 8000X1 + 7000X2
= 8000(3) + 7000(6)
= 66000
Titik C: (6,4)
Z = 8000X1 + 7000X2
= 8000(6) + 7000(4)
= 76000
Titik D: (8,0)
Z = 8000X1 + 7000X2
= 8000(8) + 7000(0)
= 64000
III-6
Tanda ≤ pada ketiga kendala ditunjukkan pada area sebelah kiri dari garis kendala.
Seperti tampak pada gambar 1, feasible region (area layak) meliputi daerah
sebelah kiri dari titik A (0,6.75), B (3,6), C (6,4), D (8,0)
3.1.2.2.Penyelesaian dengan Metode Simpleks
1. Merubah model matematika menjadi bentuk baku simpleks dengan cara
menambahkan batasan dengan variabel slack pada pertidaksamaan lebih kecil
sama dengan atau mengurangi dengan variabel surplus pada pertidaksamaan
lebih besar sama dengan.
+ variabel slack pada batasan
- variabel slack pada batasan ≥
Bentuk baku simpleks:
Maksimumkan Z = 8000X1 + 7000X2
Dengan syarat : 2X1 + 3X2 24
2X1 + X2 16
X1 + 4 X2 27
X1; X2 ≥ 0
Jadi bentuk baku model Linier Programming diatas adalah:
Z - 8000X1 - 7000X2 - 0S1 - 0S2 - 0S3 = 0
2X1 + 3X2 + S1 = 24
2X1 + X2 + S2 = 16
X1 + 4 X2 + S3 = 27
2. Buat Tabel Awal Simpleks
Tabel 3.3. Simpleks Awal
Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 Pemecahan Rasio
Z 1 -8000 -7000 0 0 0 0
S1 0 2 3 1 0 0 24
S2 0 2 1 0 1 0 16
S3 0 1 4 0 0 1 27
III-7
3. Tentukan Kolom masuk
Pada kasus maksimalisasi, kolom masuk merupakan nilai negatif terbesar pada
persamaan Z atau baris Z pada tabel simpleks, sehingga X1 merupakan kolom
masuk.
4. Tentukan kolom keluar atau persamaan pivot.
Merupakan nilai terkecil dari rasio antara pemecahan dengan elemen pada
kolom masuk (Rasio = Pemecahan : Kolom Masuk X1)
Tabel 3.4. Persamaan Simplek Iterasi Pertama
Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 Pemecahan Rasio
Z 1 -8000 -7000 0 0 0 0 0
S1 0 2 3 1 0 0 24 24 : 2 = 12
S2 0 2 1 0 1 0 16 16 : 2 = 8
S3 0 1 4 0 0 1 27 27 : 1 = 27
Kolom X1 adalah kolom masuk dan S2 adalah kolom keluar
Variabel X1 akan menggantikan variabel S2 pada tabel simpleks iterasi pertama.
5. Tentukan elemen pivot
Merupakan angka pada perpotongan kolom masuk dan kolom keluar, sehingga
elemen pivot = 2
6. Mencari persamaan pivot baru
Persamaan pivot baru:
Tabel 3.5. Persamaan Pivot Baru
Persamaan Pivot Lama (a) 0 2 1 0 1 0 16
Elemen Pivot (b) 2 2 2 2 2 2 2
Persamaan Pivot Baru (a/b) 0 1 1/2 0 1/2 0 8
III-8
7. Mencari persamaan variabel dasar baru
Variabel dasar baru = Variabel dasar lama – (elemen kolom masuk x
persamaan pivot baru)
a. Persamaan Z baru
Tabel 3.6. Persamaan Z Baru
Persamaan Z lama (a) 1 -8000 -7000 0 0 0 0
Elemen Kolom Masuk
pada Variabel Dasar Z (b)-8000 -8000 -8000 -8000 -8000 -8000 -8000
Persamaan Pivot Baru (c) 0 1 1/2 0 1/2 0 8
b x c = (d) 0 -8000 -8000/2 0 -8000/2 0 -64000
Persamaan Z baru (a-d) 1 0 -6000/2 0 8000/2 0 64000
b. Persamaan S1 baru
Tabel 3.7. Persamaan S1 Baru
Persamaan S1 lama (a) 0 2 3 1 0 0 24
Elemen Kolom Masuk
pada Variabel Dasar S1 (b)2 2 2 2 2 2 2
Persamaan Pivot Baru (c) 0 1 1/2 0 1/2 0 8
b x c = (d) 0 2 1 0 1 0 16
Persamaan S1 baru (a-d) 0 0 2 1 -1 0 8
c. Persamaan S3 baru
Tabel 3.8. Persamaan S3 Baru
Persamaan S3 lama (a) 0 1 4 0 0 1 27
Elemen Kolom Masuk
pada Variabel Dasar S3 (b)1 1 1 1 1 1 1
Persamaan Pivot Baru (c) 0 1 1/2 0 1/2 0 8
b x c = (d) 0 1 1/2 0 1/2 0 8
Persamaan S3 baru (a-d) 0 0 3 1/2 0 -1/2 1 19
III-9
8. Tabel simpleks iterasi pertama
Tabel 3.9. Persamaan Simplek Iterasi Kedua
Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 Pemecahan Rasio
Z 1 0 -6000/2 0 8000/2 0 64000
S1 0 0 2 1 -1 0 8 8 : 2 = 4
X1 0 1 1/2 0 1/2 0 8 8 : ½ = 16
S3 0 0 3 1/2 0 -1/2 1 19 19 : 3 ½ = 5,42
Karena masih terdapat angka yang masih bernilai negatif pada baris Z, maka
belum mendapatkan identitas. Untuk itu kita kembali melakukan perhitungan
ke langkah 3.
9. Elemen Pivot = 2
10. Persamaan pivot baru
Tabel 3.10. Persamaan Pivot Baru
Persamaan Pivot Lama (a) 0 0 2 1 -1 0 8
Elemen Pivot (b) 2 2 2 2 2 2 2
Persamaan Pivot Baru (a/b) 0 0 1 1/2 -1/2 0 4
11. Mencari persamaan variabel dasar baru
a. Persamaan Z baru
Tabel 3.11. Persamaan Z Baru
Persamaan Z lama (a) 1 0 -6000/2 0 8000/2 0 64000
Elemen Kolom Masuk
pada Variabel Dasar Z (b)-6000/2 -6000/2 -6000/2 -6000/2 -6000/2 -6000/2 -6000/2
Persamaan Pivot Baru (c) 0 0 1 1/2 -1/2 0 4
b x c = (d) 0 0 -6000/2 -3000/2 3000/2 0 -24000/2
Persamaan Z baru (a-d) 1 0 0 3000/2 5000/2 0 152000/2
III-10
b. Persamaan X1 baru
Tabel 3.12. Persamaan X1 Baru
Persamaan X1 lama (a) 0 1 1/2 0 1/2 0 8
Elemen Kolom Masuk
pada Variabel Dasar X1 (b)1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
Persamaan Pivot Baru (c) 0 0 1 1/2 -1/2 0 4
b x c = (d) 0 0 1/2 1/4 -1/4 0 2
Persamaan X1 baru (a-d) 0 1 0 -1/4 3/4 0 6
c. Persamaan S3 baru
Tabel 3.13 Persamaan S3 Baru
Persamaan S3 lama (a) 0 0 3 1/2 0 -1/2 1 19
Elemen Kolom Masuk
pada Variabel Dasar S3 (b)3 1/2 3 1/2 3 1/2 3 1/2 3 1/2 3 1/2 3 1/2
Persamaan Pivot Baru (c) 0 0 1 1/2 -1/2 0 4
b x c = (d) 0 0 3 1/2 1 3/4 -1 3/4 0 14
Persamaan S3 baru (a-d) 0 0 0 -1 3/4 1 1/4 1 5
12. Tabel simpleks iterasi kedua
Tabel 3.14. Simplek Iterasi Ketiga (optimal)
Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 Pemecahan
Z 1 0 0 3000/2 5000/2 0 152000/2
X2 0 0 1 1/2 -1/2 0 4
X1 0 1 0 -1/4 3/4 0 6
S3 0 0 0 -1 3/4 1 1/4 1 5
Tabel simpleks iterasi kedua diatas sudah optimum karena variabel pada
persamaa Z sudah bernilai positif, sehingga:
X1 = 6
X2 = 4
Z = 152000/2 = 76000
III-11
Pada tabel iteraksi kedua diatas S1 dan S2 = 0. Artinya persediaan sumber daya
kesatu dan kedua habis digunakan, tetapi masih memiliki sumber daya ketika (S3)
sebesar 5 karena tidak digunakan
3.1.3. Perhitungan Software
Langkah pertama penyelesaian dengan menggunakan software WinQSB
adalah sebagai berikut:
Software yang digunakan yaitu WINQSB. Langkah-langkah penggunaan
software ini dalam penyelesaian kasus di atas sebagai berikut:
1. Mengaktifkan program WINQSB lalu memilih menu File New
Problem. Setelah itu akan muncul panel dan kita setting seperti pada gambar
3.1. Lalu klik OK.
Gambar 3.2. Setting panel awal WINQSB
2. Memasukkan parameter-parameter yang digunakan pada tabel
seperti pada Gambar 3.3.
III-12
Gambar 3.3. Setting parameter
3. Melihat hasil berdasarkan iterasi dilakukan dengan cara meng-klik
Solve and Analyze Solve and Display Steps lalu akan muncul iterasi per-
tama seperti pada (Gambar 3.4.) Iterasi ke dua (Gambar 3.5.) dan ke tiga
(Gambar 3.6.) dilakukan dengan mengklik Simplex Iteration Next Itera-
tion.
Gambar 3.4. Iterasi pertama
Gambar 3.5. Iterasi ke dua
Gambar 3.6. Iterasi ke tiga
III-13
4. Hasil akhir penyelesaian dilakukan dengan mengklik Solve and
Analyze Solve the Problem. Lalu akan muncul data hasil akhir seperti pada
gambar3.7.
Gambar 3.7. Data Penyelesaian Kasus.
3.2. Analisis
Dalam modul Linear Programming ini, penulis memberikan analisa
dengan menggunakan perhitungan manual dan perhitungan software. Berikut
penjelasan analisa-analisanya:
3.2.1. Analisis Perhitungan Manual
Perhitungan manual untuk nilai Z maksimasi yang digunakan untuk
menyelesaikan kasus ini adalah metode grafis dan metode simplek. Pada dasarnya
kedua metode ini bertujuan sama, tetapi berbeda dalam cara penyelesaiannya.
Metode grafis lebih mudah dilakukan dibanding metode simplek karena
perhitungan yang dilakukan tidak sebanyak metode simplek dimana dari data
yang ada dilakukan berbagai persamaan melalui tabel iterasi.
Hal pertama yang dilakukan untuk melakukan metode grafis adalah
menjabarkan fungsi kendalanya dan merubah pertidaksamaannya menjadi
persamaan. Pada langkah pertama ini, cara untuk mendapat nilai X1 dan X2 adalah
dengan cara memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0 danbegitu juga sebaliknya
pada tiap kendala yang tadi dijabarkan. Dari hasil langkah tadilah titik-titik
III-14
perpotongan didapat sehingga grafiknya dapat tergambarkan dimana variabel
kendala A adalah 2X1 + 3X2 = 24 dengan titik koordinat (12,0) dan (0,8); variabel
kendala B adalah 2X1 + X2 = 16 dengan titik koordinat (8,0) dan (0,16); variabel
kendala C adalah X1 + 4X2 = 27 dengan titik koordinat (27,0) dan (0,6.75). Untuk
mencari titik potong kedua kendala bisa dicari dengan cara substitusi atau
eliminasi. Setelah didapat hasil lewat cara substitusi tadi maka nilai-nilai X1 dan
X2 yang ada kembali dimasukkan ke dalam rumusan Z awal pada tiap-tiap titik
potongnya. Setelah didapat nilai-nilai Z pata tiap-tiap titik potongnya, cari yang
nilainya paling besar karena yang dicari adalah nilai Z maksimasi. Nilai Z
maksimasi pada metode ini adalah sebesar 76.000.
Metode simplek dilakukan dengan cara menambahkan batasan dengan
variabel slack pada pertidaksamaan lebih kecil sama dengan atau mengurangi
dengan variabel surplus pada pertidaksamaan lebih besar sama dengan. Lalu
dilakukan persamaan-persamaan melalui tabel iterasi. Nilai Z maksimasi yang
didapat pada metode ini adalah 76.000.
Karena hasil dari kedua metode ini sama, maka perhitungan yang
dilakukan adalah benar. Jadi nilai Z maksimasi untuk masalah ini adalah 76.000.
3.2.2. Analisis Perhitungan Software
Pada gambar iterasi pertama (Gambar 3.4.), kolom yang ditunjukkan
dengan box biru merupakan angka elemen kerjanya dengan X1 sebagai Entering
Variable (EV) dan Slack_C2 sebagai Leaving Variable (LV). Dengan demikian
Basis variabel Slack_C2 pada iterasi ke dua berubah menjadi X1. Pada iterasi ke
dua (Gambar 3.5.), kolom yang ditunjukkan dengan box biru merupakan angka
elemen kerjanya dengan X2 sebagai Entering Variable (EV) dan Slack_C1
sebagai Leaving Variable (LV). Dengan demikian Basis variabel Slack_C1 pada
iterasi ke tiga berubah menjadi X2. Pada iterasi ke tiga, sudah didapat nilai
konstanta X1, X2, dan nilai Z melalui kolom R.H.S (Right Hand Solution) yaitu
X1 = 6; X2 = 4; Z = 76.000.
III-15
Pada Gambar 3.7 diperlihatkan data keseluruhan kasus melalui metode
simplex. Perubahan nilai X1 berkisar antara 4.666 – 14.000 dari unit cost, dan X2
antara 4.000 – 12.000 untuk memperoleh hasil maksimum.
3.2.3. Analisis Perbandingan Perhitungan Manual dan Software
Perhitungan manual dan software memiliki hasil yang sama yaitu nilai
maksimum sebesar 76.000 dengan nilai X1= 6 dan X2 = 4. Nilai variabel basis
tiap iterasi juga sama antara perhitungan manual dan software.