Upload
vuongdat
View
218
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Kapitel 5
Lineare Algebra
• Grundbegriffe
• Das Skalarprodukt
• Matrizen
• Die Determinante
• Lineare Gleichungssysteme
• Die Inverse einer Matrix
• Eigenwerte und Eigenvektoren
• Anwendungen
Lineare Algebra — Grundbegriffe
Skalare und Vektoren
Ein Skalar ist einfach eine reelle Zahl (in der ent-sprechenden Maßeinheit), wie etwa die Temperatur(z.B. 25◦C).
Bei Vektoren kommt noch eine Richtung hinzu: Bei-spielsweise hat eine durch Vektoren reprasentierteGeschwindigkeit nicht nur einen Wert (z.B. 3m/s),sondern auch eine Bewegungsrichtung.
Die einzige Ausnahme: Der Nullvektor hat keine Rich-tung.
Vektoren veranschaulicht man sich gewohnlich alsVerschiebungspfeile:
Definition
Unter einem Vektor versteht man eine ge-richtete Strecke. Man bezeichnet Vektorenmit ~a, ~b, ... Zwei Vektoren heißen gleich,wenn sie sich durch Parallelverschiebungineinander uberfuhren lassen.
Mathematik kompakt 1
Lineare Algebra — Grundbegriffe
Veranschaulichung von Vektoren
Bei Vektoren kommt es also nur auf Richtung undLange an — der Anfangspunkt ist egal.
a ab
In vielen Anwendungen hat man es mit ebenenoder mit raumlichen Vektoren zu tun:
Dabei identifizieren wir den IR2 mit den Punktender Ebene und ordnen jedem Punkt (x1, x2) ∈ IR2
einen (zweidimensionalen) Vektor ~x zu:
Bei beliebigem Anfangspunkt gehe man x1 Einhei-ten nach rechts (bei negativem x1 entsprechend nachlinks) in x-Richtung und x2 Einheiten in y-Richtungeines Kartesischen Koordinatensystems.
Mathematik kompakt 2
Lineare Algebra — Grundbegriffe
Vektoren im IRn
Man beachte, dass bei Vektoren das Zahlenpaarublicherweise als Spalte (Spaltenvektor) geschrie-ben wird:
~x =
(
x1x2
)
.
Will man Vektoren als Zeilen (Zeilenvektoren) schrei-ben, so benutzt man den transponierten Vektor :
~x = (x1, x2)T .
Analoges gilt fur raumliche Vektoren des IR3. Mankann sogar ganz allgemein definieren:
Definition
Einen Vektor ~a des IRn stellt man dar als
~a =
a1a2...an
= (a1, a2, ..., an)T
mit ai ∈ IR fur alle i = 1, ..., n. Der Vektor(0, 0, ..., 0)T heißt Nullvektor.
Mathematik kompakt 3
Lineare Algebra — Grundbegriffe
Vektoraddition und Skalarmultiplikation im IRn
Vektoren kann man bekanntermaßen addieren undmit einem Skalar multiplizieren:
Definition
Jeweils zwei Vektoren ~a = (a1, a2, ..., an)T
und ~b = (b1, b2, ..., bn)T des IRn kann man
(komponentenweise) addieren:
~a +~b := (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)T
bzw. einen Vektor ~a mit einem Skalar λ ∈ IR
multiplizieren:
λ~a := (λa1, λa2, ..., λan)T .
Mathematik kompakt 4
Lineare Algebra — Grundbegriffe
Kommutativgesetz der Vektoraddition
Fur die beiden Operationen
”Vektoraddition“ und
”Skalarmultiplikation“
gelten nun einige einfache Rechengesetze, etwa
~a+~b = ~b+ ~a fur alle ~a,~b ∈ IRn.
Dies ist ganz einfach der Fall, weil jeweils kompo-nentenweise fur die reellen Zahlen das Kommuta-tivgesetz gilt:
ai + bi = bi + ai.
Veranschaulichen kann man sich dieses Rechenge-setz am so genannten Krafteparallelogramm.
Mathematik kompakt 5
Lineare Algebra — Grundbegriffe
UbungWelche der folgenden Rechengesetze gelten fur Vek-toren?(Dabei seien ~a und~b Vektoren des IRn und λ und µ
Skalare aus IR.)
a) ~a+ λ = λ+ ~a,
b) λ(~a+~b) = λ~a+ λ~b,
c) ~a ·~b = ~b · ~a,
d) (λ+ µ)~a = λ~a+ µ~a,
e) ~a+ ~0 = ~a,
f) 0~a = ~0.
Mathematik kompakt 6
Lineare Algebra — Grundbegriffe
LosungEs gelten die Rechengesetze b), d), e) und f).
Im Ausdruck a) werden verbotenerweise Vektorenund Skalare addiert, was uberhaupt nicht definiertist.
Im Ausdruck c) werden Vektoren multipliziert (undnicht ein Skalar mit einem Vektor), was erst spaterals Skalarprodukt definiert wird.
Mathematik kompakt 7
Lineare Algebra — Grundbegriffe
IRn mit Vektoraddition ist kommutative Gruppe
Fur die Vektoraddition gelten Gesetze, die wir im Zu-sammenhang mit Gruppen bereits kennen gelernthaben:
• So ist die Summe zweier Vektoren wiederumein Vektor;
• es gibt ein neutrales Element, den Nullvektor ~0,mit ~a+ ~0 = ~a;
• zu jedem Vektor ~a gibt es einen inversen Vektor−~a (mit den Komponenten −ai anstelle von ai).
Außerdem gelten das Kommutativgesetz und dasDistributivgesetz.
Derartige Mengen (hier IRn) mit einer entsprechen-den Verknupfung (hier die Vektoraddition) heißenkommutative (oder abelsche) Gruppen.
Mathematik kompakt 8
Lineare Algebra — Grundbegriffe
Vektorraum
Nimmt man nun noch die Skalarmultiplikation hin-zu mit den unten aufgefuhrten Gesetzen, so sprichtman von einem Vektorraum:
Definition
Eine Menge V bildet einen Vektorraum uberIR, wenn folgende Axiome gelten:a) Die Menge V mit der Vektoraddition +,
also (V,+), ist eine abelsche Gruppe.b) Zwischen einem Skalar λ ∈ IR und ei-
nem Vektor ~a ∈ V ist eindeutig ein Pro-dukt λ~a ∈ V erkl art. Dabei gelten furλ, µ ∈ IR und ~a,~b ∈ V die folgendenRechengesetze:• λ(~a +~b) = λ~a + λ~b,• (λµ)~a = λ(µ~a),• (λ + µ)~a = λ~a + µ~a,• 1~a = ~a.
Mathematik kompakt 9
Lineare Algebra — Grundbegriffe
BeispielWir betrachten die Menge aller reellwertigen Funk-tionen auf dem Intervall [0,1].
Offenbar kann man zwei Funktionen f und g ad-dieren und die Summenfunktion f + g ist definiertdurch
(f + g)(x) := f(x) + g(x)
fur alle x ∈ [0,1].
Ahnlich funktioniert die Multiplikation einer Funktionf mit einer reellen Zahl λ:
(λf)(x) := λ · f(x)fur alle x ∈ [0,1].
Mit diesen beiden Operationen ist die Menge allerreellwertigen Funktionen auf dem Intervall [0,1] einVektorraum.
Mathematik kompakt 10
Lineare Algebra — Grundbegriffe
UbungWie lauten in vorangegangenem Beispiel der Null-vektor und wie der zum Vektor
f = sin x
inverse Vektor?
Mathematik kompakt 11
Lineare Algebra — Grundbegriffe
LosungDer Nullvektor ist hier ganz einfach die Funktion
f ≡ 0,
die jedem x ∈ [0,1] den Funktionswert 0 zuordnet.
Der zu f(x) = sin x inverse Vektor ist
−f(x) = − sin x,
denn
f(x) + (−f)(x) = sin x+ (− sinx) = 0,
also gleich der Funktion, die konstant den Wert 0ergibt.
(Von der Umkehrfunktion arcsin x sprechen wir ineinem ganz anderen Zusammenhang!)
Mathematik kompakt 12
Lineare Algebra — Grundbegriffe
Linearkombination
Die Begriffe”Linearkombination“,
”lineare Abhangig-
keit“ bzw.”lineare Unabhangigkeit“ sowie
”Basis“ und
”Dimension“ lassen sich ganz allgemein fur beliebi-
ge Vektorraume erklaren.
Im IR2 beispielsweise konnen wir aus den beidenVektoren ~a = (1,4)T und ~b = (−2,5)T die Line-arkombination erzeugen:
2~a− 0.5~b = (3,5.5)T .
Definition
Einen Vektor ~b der Form
~b = λ1~a1 + λ2~a2 + ... + λn~an
mit λi ∈ IR fur i = 1, ..., n nennt man eineLinearkombination der Vektoren
~a1, ~a2, . . . , ~an.
Mathematik kompakt 13
Lineare Algebra — Grundbegriffe
UbungStellen Sie, falls moglich, den (Zeilen-)Vektor
(−1,5)
jeweils als Linearkombination der folgenden Vekto-ren dar:
a) (1,0), (0,1);
b) (1,2), (−4,−1);
c) (1,2), (2,4);
d) (−1,5), (2,−10);
e) (1,2);
f) (2,−10);
g) (1,0), (0,1), (1,1).
In welchen Fallen ist dies evtl. sogar auf mehrereArten moglich?
Mathematik kompakt 14
Lineare Algebra — Grundbegriffe
Losung
a) Es gilt: (−1,5) = (−1) · (1,0) + 5 · (0,1).
b) Hier ist: (−1,5) = 3 · (1,2) + 1 · (−4,−1).
c) Es ist unmoglich, (−1,5) als Linearkombinati-on von (1,2) und (2,4) darzustellen.
d) Es gilt z.B. (−1,5) = 1·(−1,5)+0·(2,−10)
oder auch (−1,5) = 7·(−1,5)+3·(2,−10).
e) Es ist unmoglich, (−1,5) als Linearkombinati-on von (1,2) darzustellen.
f) Naturlich ist (−1,5) = (−0.5) · (2,−10).
g) Hier ist z.B. (−1,5) = (−1) · (1,0) + 5 ·(0,1)+0 · (1,1) oder (−1,5) = 2 · (1,0)+8 · (0,1) + (−3) · (1,1).
In den Fallen d) und g) gibt es jeweils sogar unend-lich viele Moglichkeiten, (−1,5) als Linearkombina-tion der angegebenen Vektoren zu schreiben.
Mathematik kompakt 15
Lineare Algebra — Grundbegriffe
Lineare Unabh angigkeit, Lineare Abh angigkeit
Definition
Die Vektoren ~a1, ~a2, . . ., ~an heißen linearunabh angig, wenn aus der Gleichung
λ1~a1 + λ2~a2 + ... + λn~an = ~0 (∗)folgt, dass alle Koeffizienten λ1, λ2, ..., λn
gleich Null sind:
λ1 = λ2 = ... = λn = 0.
Gibt es hingegen Koeffizienten λ1, λ2, ...,λn, die nicht alle gleich 0 sind, fur die aber(∗) erfullt ist, so heißen die Vektoren ~a1, ~a2,..., ~an linear abh angig.
Mathematik kompakt 16
Lineare Algebra — Grundbegriffe
UbungWelche der angegebenen Vektoren sind linear un-abhangig?
a) (1,0), (0,1);
b) (1,2), (−4,−1);
c) (1,2), (2,4);
d) (−1,5), (2,−10);
e) (1,2);
f) (2,−10);
g) (1,0), (0,1), (1,1).
Mathematik kompakt 17
Lineare Algebra — Grundbegriffe
LosungDie Vektoren unter a), b), e) und f) sind linear un-abhangig.
Alle anderen sind jeweils linear abhangig.
Bemerkung:
Die Darstellung des (Zeilen-) Vektors (−1,5) als Li-nearkombination der beiden Vektoren
(1,0), (0,1)
war am einfachsten, denn hier musste man uber-haupt nicht rechnen.
Mathematik kompakt 18
Lineare Algebra — Grundbegriffe
Basis und Basisvektoren
Es lasst sich allgemein fur Vektoren des IR2 zeigen:(
a1a2
)
= a1
(
10
)
+ a2
(
01
)
= a1~e1 + a2~e2.
Die Vektoren ~e1 := (1,0)T und ~e2 := (0,1)T
nennt man Basisvektoren des IR2.
Aber die Vektoren (1,2) und (−4,−1) bilden eben-falls eine so genannte Basis des Vektorraums IR2,denn auch hier lasst sich jeder Vektor des IR2 ein-deutig als Linearkombination dieser beiden Vekto-ren schreiben.
Definition
Die Vektoren ~a1, ~a2, ..., ~an eines Vektor-raums bilden eine Basis, wenn sie linear un-abhangig sind und wenn sich jeder Vektor ~x
des Vektorraums (eindeutig) als Linearkom-bination dieser Basisvektoren mit geeigne-ten λi ∈ IR darstellen l asst:
~x = λ1~a1 + λ2~a2 + ... + λn~an.
Mathematik kompakt 19
Lineare Algebra — Grundbegriffe
UbungWelche der angegebenen Vektoren bilden eine Ba-sis des IR2?
a) (1,0), (0,1);
b) (1,2), (−4,−1);
c) (1,2), (2,4);
d) (−1,5), (2,−10);
e) (1,2);
f) (2,−10);
g) (1,0), (0,1), (1,1).
Mathematik kompakt 20
Lineare Algebra — Grundbegriffe
LosungNur die Vektoren in a) und b) bilden jeweils eine Ba-sis.
Die Vektoren in c), d) und g) sind nicht linear un-abhangig.
Die Vektoren in e) und f) sind zwar linear unabhangig,aber nicht jeder Vektor des IR2 lasst sich als Linear-kombination (hier: als Vielfaches) der angegebenenVektoren darstellen.
Mathematik kompakt 21
Lineare Algebra — Grundbegriffe
Dimension eines Vektorraumes
Mit Hilfe der Anzahl der Basisvektoren (die bei al-len Basen identisch ist) lasst sich mathematisch derBegriff der Dimension definieren.
Naturlich gilt dann, dass die Dimension des IR2 gleich2, die Dimension des IR3 gleich 3 und die Dimensi-on des IRn gleich n ist.
Definition
Die (endliche) Anzahl n der Vektoren ineiner Basis eines Vektorraums ist immergleich. Man sagt, dass der Vektorraum dieDimension n hat.
Mathematik kompakt 22
Lineare Algebra — Das Skalarprodukt
Lange eines Vektors
Wie man die Lange eines Vektors berechnet, lasstsich anschaulich sehr gut erlautern an Vektoren ~x =
(x1, x2, x3)T ∈ IR3:
x
y
z
x>
x1
x3x2
x1 x
22
2+
x 1
x 3x22
2
2 ++} }}
Nach dem Lehrsatz von Pythagoras hat zunachstdie senkrechte Projektion von ~x in die xy-Ebene dieLange
√
x21 + x22 (rechtwinkliges Dreieck!).
Eine weitere Anwendung des Pythagoraischen Lehr-satzes auf das grau unterlegte (rechtwinklige) Drei-eck liefert dann die Vektorlange
√(√
x21 + x22
)2+ x23 =
√
x21 + x22 + x23.
Mathematik kompakt 23
Lineare Algebra — Das Skalarprodukt
Betrag bzw. Norm eines Vektors
Formal gelten diese Uberlegungen auch im IRn, sodass man definiert:
Definition
Die Lange eines Vektors
~x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ IRn
nennt man Betrag oder Norm von ~x. Sie istgegeben durch
||~x|| :=√
x21 + x2
2 + . . . + x2n.
Vektoren mit ||~x|| = 1 heißen Einheits-vektoren.
Mathematik kompakt 24
Lineare Algebra — Das Skalarprodukt
Ubung
a) Bestimmen Sie alle Vektoren, die den Betrag 0
haben.
b) Welche Norm hat der Vektor ~x = (2,4,4)T?Bestimmen Sie einen Einheitsvektor, der die-selbe Richtung wie ~x hat.
Mathematik kompakt 25
Lineare Algebra — Das Skalarprodukt
Losung
a) Es ist ||~x||=! 0 aquivalent zu√
x21 + x22 + . . .+ x2n=!0,
also zu x1 = x2 = . . . = xn = 0. Der einzigeVektor mit Lange 0 ist also der Nullvektor.
b) Es ist
||~x|| =√
22 +42 +42 =√36 = 6.
Aus jedem Vektor ~x 6= ~0 lasst sich mittels
~y = ~x/||~x||ein Einheitsvektor konstruieren. Hier gilt
~y =1
6(2,4,4)T =
(1
3,2
3,2
3
)T.
Mathematik kompakt 26
Lineare Algebra — Das Skalarprodukt
Skalarprodukt, Inneres Produkt
Man kann nun jeweils die entsprechenden Kompo-nenten ai, bi zweier Vektoren ~a,~b ∈ IRn miteinandermultiplizieren und anschließend aufsummieren underhalt einen Skalar:
Definition
Fur zwei Vektoren ~a = (a1, a2, . . . , an)T
und ~b = (b1, b2, . . . , bn)T ist das Skalar-
produkt bzw. innere Produkt von ~a und ~b,bezeichnet mit
~a ·~b oder ~aT~b,
definiert als die reelle Zahl
~a ·~b := a1b1 + a2b2 + . . . + anbn.
Mathematik kompakt 27
Lineare Algebra — Das Skalarprodukt
BeispielWir berechnen das Skalarprodukt der Vektoren
~a = (√12,1,6)T , ~b = (0,1,1)T :
Es ergibt sich zu:
~a ·~b =√12 · 0+ 1 · 1+ 6 · 1 = 7.
Mathematik kompakt 28
Lineare Algebra — Das Skalarprodukt
Rechenregeln fur Skalarprodukte
Wichtige Rechenregeln fur das Skalarprodukt erge-ben sich unmittelbar aus dessen Definition:
Definition
Fur Vektoren ~a, ~b, ~c ∈ IRn und Skalare λ ∈IR gilt:a) ~a · ~a ≥ 0, ~a · ~a = 0 ⇐⇒ ~a = ~0,b) ||~a|| =
√~a · ~a,
c) ~a ·~b = ~b · ~a,d) (λ~a) ·~b = ~a · (λ~b) = λ(~a ·~b),e) ~a · (~b + ~c) = ~a ·~b + ~a · ~c.
Mathematik kompakt 29
Lineare Algebra — Das Skalarprodukt
BeispielFur zwei Vektoren ~a,~b ∈ IRn berechnen wir ||~b−~a||2.Unter Anwendung obiger Rechenregeln b), c) unde) ergibt sich:
||~b− ~a||2 = (~b− ~a) · (~b− ~a)
= ~b · (~b− ~a)− ~a · (~b− ~a)
= ~b ·~b−~b · ~a− ~a ·~b+ ~a · ~a= ||~a||2 + ||~b||2 − 2~a ·~b.
Mathematik kompakt 30
Lineare Algebra — Das Skalarprodukt
Winkel zwischen zwei Vektoren
Mit Hilfe des Skalarproduktes kann man auch Win-kel α zwischen zwei Vektoren ~a und ~b bestimmen:
x
y
z
>a
>
b>a
>
b-|| ||
Das durch die beiden Vektoren ~a und~b aufgespann-te Dreieck hat die Seitenlangen ||~a||, ||~b|| und ||~b−~a||.Den Winkel α kann man mit dem Kosinussatz furschiefwinklige Dreiecke berechnen:
||~b− ~a||2 = ||~a||2 + ||~b||2 − 2||~a||||~b|| cosα.Wegen ||~b − ~a||2 = ||~a||2 + ||~b||2 − 2~a · ~b ist obigeGleichung aber aquivalent zu
||~a||2+ ||~b||2−2~a ·~b = ||~a||2+ ||~b||2−2||~a||||~b|| cosα.
Mathematik kompakt 31
Lineare Algebra — Das Skalarprodukt
Winkel zwischen zwei Vektoren
||~a||2+ ||~b||2−2~a ·~b = ||~a||2+ ||~b||2−2||~a||||~b|| cosα.Kurzen gemeinsamer Terme und Auflosen der Glei-chung nach α liefert:
Fur den Winkel α mit 0 ≤ α ≤ π zwischenzwei Vektoren ~a 6= ~0,~b 6= ~0 gilt
~a ·~b = ||~a||||~b|| cosαbzw.
α = arccos
~a ·~b||~a||||~b||
.
Mathematik kompakt 32
Lineare Algebra — Das Skalarprodukt
UbungBerechnen Sie den Winkel α zwischen den Vekto-ren
~a = (√12,1,6)T und ~b = (0,1,1)T .
Mathematik kompakt 33
Lineare Algebra — Das Skalarprodukt
LosungEs ist ~a ·~b = 7 und
||~a|| =√
12 + 1+ 36 = 7,
||~b|| =√
0 + 1+ 1 =√2.
Damit gilt
cosα =7
7 ·√2,
also
α = arccos
(
1√2
)
=π
4.
Die beiden Vektoren bilden daher einen 45o -Winkel.
Bemerkung:Man bezeichnet Vektoren, die aufeinander senkrechtstehen (im Zeichen~a⊥~b), also einen 90o -Winkel bil-den, als orthogonale Vektoren. Da fur α ∈ [0, π]
gilt: cosα = 0 ⇐⇒ α = π2, liefert das Skalarpro-
dukt ein einfaches Kriterium fur die Orthogonalitatvon Vektoren:
~a⊥~b ⇐⇒ ~a ·~b = 0.
Mathematik kompakt 34
Lineare Algebra — Matrizen
Grundlegende Definitionen
Wir konnen uns zwei Vektorraume — etwa IRn, IRm
— vorgeben und einem Vektor ~x des ersten Raum-es einen Vektor ~z des zweiten zuordnen.
Interessant sind in diesem Zusammenhang speziel-le Funktionen, so genannte lineare Abbildungen, diezusatzlich bestimmte (lineare) Eigenschaften erfullenund ublicherweise mit ϕ bezeichnet werden:
Definition
Eine Abbildung ϕ : IRn → IRm heißt linea-re Abbildung, wenn fur alle ~x, ~y ∈ IRn undc ∈ IR gilt:
ϕ(~x+~y) = ϕ(~x)+ϕ(~y), ϕ(c~x) = c ϕ(~x).
Mathematik kompakt 35
Lineare Algebra — Matrizen
Beispiel
Setzt man ~x =
x1x2x3
und ~z =
(
z1z2
)
, dann ist
durch
z1 = 3x1 + x2 +5x3
z2 = −2x1 +8x3
offensichtlich eine lineare Abbildung ϕ : IR3 → IR2
gegeben. Jedem Vektor ~x ∈ IR3 wird ein Vektor ~z ∈IR2 zugeordnet.
Im Prinzip ist die Abbildung durch die Gleichungs-koeffizienten definiert. Daher kann man diese auchbeschreiben, indem man die Koeffizienten zu einemSchema zusammenfasst:
(
z1z2
)
=
(
3 1 5−2 0 8
)
x1x2x3
.
Das Koeffizientenschema
(
3 1 5−2 0 8
)
nennt man
Matrix.
Mathematik kompakt 36
Lineare Algebra — Matrizen
Lineare Abbildung
Allgemein ist eine lineare Abbildung ϕ : IRn → IRm
gegeben durch
z1 = a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxnz2 = a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn. . . . . . . . . . . . . . .zm = am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn.
Jedem Vektor ~x ∈ IRn wird ein Vektor ~z ∈ IRm
zugeordnet. In Matrix-Schreibweise lauten die Glei-chungen dann:
z1z2...
zm
=
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
... ... ... ...am1 am2 · · · amn
x1x2......xn
.
Mathematik kompakt 37
Lineare Algebra — Matrizen
Matrix
Definition
Ein rechteckiges Zahlenschema aus m Zei-len und n Spalten nennt man eine Matrixvom Typ (m,n):
A =
a11 a12 · · · a1k · · · a1na21 a22 · · · a2k · · · a2n
... ... ... ...ai1 ai2 · · · aik · · · ain
... ... ... ...am1 am2 · · · amk · · · amn
.
Die Zahlen aik heißen Elemente der Matrix.Das Element aik steht in der i-ten Zeile undk-ten Spalte. Daher heißt i Zeilenindex undk Spaltenindex.
Mathematik kompakt 38
Lineare Algebra — Matrizen
Matrix
Die Gleichungen
z1 = a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxnz2 = a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn. . . . . . . . . . . . . . .zm = am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn
konnen jetzt abkurzend geschrieben werden als
~z = A~x.
Die i-te Komponente zi des Vektors ~z ergibt sichimmer als Skalarprodukt aus der i-ten Matrixzeileund dem Vektor ~x:
zi = (ai1, ai2, . . . , ain) · ~x.
Mathematik kompakt 39
Lineare Algebra — Matrizen
UbungWie lauten die Gleichungen von ~z = A~x mit
A =
(
2 0 4 7−5 1 3 0
)
ausgeschrieben?
Welches Bild ~z ergibt sich fur ~xT = (1,2,3,4)?
Mathematik kompakt 40
Lineare Algebra — Matrizen
LosungDer (2,4)-Matrix A entnimmt man, dass
a11 = 2, a12 = 0, a13 = 4, a14 = 7
(1. Zeile) und
a21 = −5, a22 = 1, a23 = 3, a24 = 0
(2. Zeile) ist.
Somit lauten die Gleichungen:
z1 = 2x1 +0x2 +4x3 +7x4
z2 = −5x1 +1x2 +3x3 +0x4
Konkret ergibt sich
z1 = 2 · 1 + 0 · 2 + 4 · 3 + 7 · 4 = 42
z2 = −5 · 1+ 1 · 2+ 3 · 3+ 0 · 4 = 6.
Mathematik kompakt 41
Lineare Algebra — Matrizen
Matrizen — Weitere Begriffe
Matrizen notiert man ublicherweise mit großen Buch-staben: A,B,C, . . . Mochte man auch den Typ auf-fuhren, so schreibt man kurz A(m,n) fur eine (m,n)-Matrix. Gebrauchlich ist auch die Schreibweise
(aik), (bik), (cik), . . . ,
wenn man notieren mochte, wie das allgemeine Ele-ment der jeweiligen Matrix in Position (i, k) definiertist.
Wichtige Begriffe bzw. Sonderfalle:
• Eine Matrix A mit gleich vielen Zeilen und Spal-ten, d.h. eine (m,m)-Matrix, nennt man qua-dratisch. Ihre Elemente a11, a22, . . . , amm bil-den die so genannte Hauptdiagonale. Ihren Typ,ublicherweise Ordnung genannt, notiert man ab-kurzend zu Am.
• Eine quadratische (m,m)-Matrix Dm, bei deralle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalenverschwinden (dik = 0 fur i 6= k), heißt Diago-nalmatrix. Abkurzend schreibt man auch Dm =
diag (d11, d22, . . . , dmm).
Mathematik kompakt 42
Lineare Algebra — Matrizen
Matrizen — Weitere Begriffe
• Eine quadratische Matrix, die nur auf und ober-halb bzw. unterhalb der Hauptdiagonalen vonNull verschiedene Elemente haben darf, heißtobere Dreicksmatrix bzw. untere Dreiecksma-trix.
• Eine quadratische (m,m)-Matrix, die auf derHauptdiagonalen nur
”1“, sonst
”0“ stehen hat,
nennt man Einheitsmatrix der Ordnung m. Ubli-cherweise bezeichnet man sie mit Im oder I (Ifur Identitat).
• Eine (m,n)-Matrix, deren Elemente alle 0 sind,heißt Nullmatrix , bezeichnet mit 0 bzw. 0(m,n).
• Ein Spezialfall ist die (m,1)-Matrix, sie bestehtnur aus einer Spalte und ist unser ublicher Spal-tenvektor. Eine (1, n)-Matrix besteht dagegennur aus einer Zeile und wird Zeilenvektor ge-nannt.
Mathematik kompakt 43
Lineare Algebra — Matrizen
Beispiel
D4 =
7 0 0 00 2 0 00 0 0 00 0 0 5
, I3 =
1 0 00 1 00 0 1
,
O(3,2) =
0 00 00 0
D4 = diag (7,2,0,5) ist eine Diagonalmatrix derOrdnung 4.
I3 ist die Einheitsmatrix der Ordnung 3.
O(3,2) ist die (3,2)-Nullmatrix.
Mathematik kompakt 44
Lineare Algebra — Matrizen
Operationen und Rechenregeln fur Matrizen
Zunachst halten wir fest, dass zwei Matrizen A,B
genau dann gleich sind (im Zeichen A = B), wennsie vom gleichen Typ sind und elementweise uber-einstimmen (aik = bik fur alle i, k).
Im Folgenden werden wir nun die wichtigsten Re-chenregeln fur Matrizen auffuhren.
Mathematik kompakt 45
Lineare Algebra — Matrizen
Skalarmultiplikation
Eine Matrix A wird mit einem Skalar λ multipliziert,indem man alle Elemente von A mit λ multipliziert:
λA = λ · (aik) = (λ · aik).
Beispiel
A =
(
−1 2 34 5 0
)
=⇒ 3A =
(
−3 6 912 15 0
)
Mathematik kompakt 46
Lineare Algebra — Matrizen
Matrixaddition/-subtraktion
Zwei Matrizen A = (aik) und B = (bik) des glei-chen Typs werden addiert bzw. subtrahiert, indemman ihre entsprechenden Elemente addiert bzw. sub-trahiert:
A±B = (aik)± (bik) = (aik ± bik).
Beispiel
(
1 23 4
)
+
(
−1 56 −7
)
=
(
1− 1 2+ 53+ 6 4− 7
)
=
(
0 79 −3
)
Mathematik kompakt 47
Lineare Algebra — Matrizen
Transponierte einer Matrix
Vertauscht man in einer Matrix A Zeilen mit Spalten,so entsteht die Transponierte von A: AT . Fur dieElemente von A = (aik) und AT = (aTik) gilt
aTik = aki fur alle i und k.
Beispiel
A =
1 23 45 6
=⇒ AT =
(
1 3 52 4 6
)
Fur transponierte Matrizen folgen unmittelbar ausder Definition die Rechengesetze:
(A+B)T = AT +BT und (AT )T = A.
In vielen Anwendungen treten ubrigens so genann-te symmetrische Matrizen auf, bei denen die Ele-mente spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonalen an-geordnet sind, d.h. es gilt
aik = aki fur alle i und k bzw. AT = A.
Mathematik kompakt 48
Lineare Algebra — Matrizen
UbungVereinfachen Sie den Ausdruck
(AT +B)T − A.
Mathematik kompakt 49
Lineare Algebra — Matrizen
Losung
(AT +B)T −A = (AT )T +BT −A
= A+BT −A = BT .
Mathematik kompakt 50
Lineare Algebra — Matrizen
Die Matrizenmultiplikation
Die Multiplikation zweier Matrizen A und B wird sodefiniert, dass sie der Hintereinanderschaltung derzugehorigen Abbildungen entspricht. Wir betrach-ten hierzu zunachst ein Beispiel:
Gegeben seien die zwei Abbildungen
~y = B~x,
d.h
(
y1y2
)
=
(
b11 b12 b13b21 b22 b23
)
x1x2x3
und
~z = A~y,
d.h
(
z1z2
)
=
(
a11 a12a21 a22
)(
y1y2
)
.
Gesucht ist nun die zusammengesetzte Abbildung~z = C~x, die ~z direkt in Abhangigkeit von ~x darstellt.
Mathematik kompakt 51
LineareA
lgebra—
Matrizen
Die Matrizenmultiplikation
Dazu berechnen wir
z1 = a11y1 + a12y2= a11(b11x1 + b12x2 + b13x3) + a12(b21x1 + b22x2 + b23x3)
= (a11b11 + a12b21)︸ ︷︷ ︸
=: c11
x1 + (a11b12 + a12b22)︸ ︷︷ ︸
=: c12
x2
+(a11b13 + a12b23)︸ ︷︷ ︸
=: c13
x3
und
z2 = a21y1 + a22y2= a21(b11x1 + b12x2 + b13x3) + a22(b21x1 + b22x2 + b23x3)
= (a21b11 + a22b21)︸ ︷︷ ︸
=: c21
x1 + (a21b12 + a22b22)︸ ︷︷ ︸
=: c22
x2
+(a21b13 + a22b23)︸ ︷︷ ︸
=: c23
x3
Mathem
atikkom
pakt52
Lineare Algebra — Matrizen
Die Matrizenmultiplikation
Man erkennt, dass sich die cik jeweils als Skalar-produkt der i-ten Zeile von A und k-ten Spalte vonB ergeben!
Es gilt einerseits
~z = C~x mit C =
(
c11 c12 c13c21 c22 c23
)
,
andererseits aber
~z = A~y = AB~x.
Man definiert daher C als Produkt:
C = A ·B.
Mathematik kompakt 53
Lineare Algebra — Matrizen
Definition
Fur zwei Matrizen A und B ist das ProduktA · B genau dann definiert, wenn die Spal-tenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B
ist. Es gilt dann
A(m,n) · B(n,s) = C(m,s)
Die Elemente cik (i = 1, . . . ,m; k =
1, . . . , s) von C sind definiert als Skalarpro-dukte der i-ten Zeile von A und der k-tenSpalte von B:
cik = ai1b1k + ai2b2k + . . . + ainbnk.
Mathematik kompakt 54
Lineare Algebra — Matrizen
Die Matrizenmultiplikation – Typcheck
Ob ein Produkt A · B definiert ist, lasst sich leichtuberprufen, wenn man den Typ notiert :
A(m,n) ·B(r,s) = C(m,s).
Die inneren Elemente n, r der beiden”Typ-Paare“
mussen gleich sein: n = r. In diesem Fall kann manden Typ der Produktmatrix ablesen: Er entsprichtden beiden außeren Elementen, d.h. ergibt sich zu(m, s).
Die Berechnung des Elementes cik der Produktma-trix lasst sich einfach durchfuhren, wenn man dieMatrizen nebeneinander schreibt und das Skalar-produkt aus der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spal-te von B bildet.
Mathematik kompakt 55
Lineare Algebra — Matrizen
UbungBerechnen Sie das Produkt
C = A ·Bder Matrizen
A(2,3) =
(
0 1 23 4 0
)
und
B(3,2) =
5 6−1 70 −8
.
Ist auch das Produkt B ·A definiert?Von welchem Typ ist es?
Mathematik kompakt 56
LineareA
lgebra—
Matrizen
LosungDas Produkt
C = A(2,3) ·B(3,2)
ist wegen der Gleichheit der inneren Elemente (3 = 3) definiert. Es hatden (an den außeren Elementen abzulesenden) Typ (2,2) und ergibt sichdurch folgende Skalarproduktbildungen (Falk-Schemas):
5 6−1 70 −8
0 1 2 0 · 5− 1 · 1 + 2 · 0 = −1 0 · 6+ 1 · 7− 2 · 8 = −93 4 0 3 · 5− 4 · 1+ 0 · 0 = 11 3 · 6 + 4 · 7− 0 · 8 = 46
Die Produktmatrix C lautet also C =
(
−1 −911 46
)
.
Das Produkt B(3,2) ·A(2,3) ist wegen 2 = 2 (innere Elemente) ebenfallsdefiniert und vom Typ (3,3) (außere Elemente).
Mathem
atikkom
pakt57
Lineare Algebra — Matrizen
Rechenregeln fur Matrixmultiplikation
Auch bei der Multiplikation von Matrizen gelten vie-le, von den reellen Zahlen her bekannte, Rechenge-setze:
• Assoziativgesetz: (AB)C = A(BC),
• Distributivgesetze: A(B + C) = AB +AC,(A+B)C = AC +BC,
• Speziell gilt: AI = IA = A (I: Einheitsmatrix),
• (λA)B = A(λB) = λ(AB),
• (AB)T = BTAT .
Mathematik kompakt 58
Lineare Algebra — Matrizen
Ubung
a) Gegeben seien die Matrizen
A(2,3) =
(
0 1 23 4 0
)
,
B(3,2) =
5 6−1 70 −8
und C = AB.Berechnen Sie moglichst einfach das ProduktABC.
b) Vereinfachen Sie den Ausdruck
(C + I)TDT − (DC)T .
Mathematik kompakt 59
LineareA
lgebra—
Matrizen
Losung
a) Es ist nach Assoziativgesetz
ABC = (AB)C = CC
=
(
−1 · (−1)− 9 · 11 −1 · (−9)− 9 · 4611 · (−1) + 46 · 11 11 · (−9) + 46 · 46
)
=
(
−98 −405495 2017
)
.
b) Es ist
(C + I)TDT − (DC)T = CTDT + ITDT − CTDT
= IDT = DT .
Mathem
atikkom
pakt60
Lineare Algebra — Matrizen
Fehlendes Kommutativgesetz
Im Gegensatz zur kommutativen Multiplikation vonreellen Zahlen ist bei der Multiplikation von Matrizendie Reihenfolge der Faktoren wichtig: Das Kommu-tativgesetz gilt also nicht !
So existiert beispielsweise das Produkt
A(m,n) ·B(n,s) = C(m,s).
Jedoch existiert das vertauschte Produkt
B(n,s) ·A(m,n)
nur im Spezialfall s = m, da die Spaltenzahl von B
und die Zeilenzahl von A ubereinstimmen mussen.In diesem Fall ist aber
A(m,n) ·B(n,m) = (AB)(m,m),
B(n,m) ·A(m,n) = (BA)(n,n).
Jetzt existieren zwar die beiden Produkte AB undBA, sie konnen aber nur dann identisch sein, wennm = n gilt.
Mathematik kompakt 61
Lineare Algebra — Matrizen
Fehlendes Kommutativgesetz
Aber auch in letzterem Fall gilt im Allg. AB 6= BA,wie das folgende Beispiel zeigt: Aus den Matrizen
A =
(
1 10 1
)
, B =
(
1 00 −1
)
erhalt man die Produkte
AB =
(
1 −10 −1
)
, BA =
(
1 10 −1
)
.
Es gilt also tatsachlich
AB 6= BA.
Dies ist auch der Grund, warum Matrizen eines be-stimmten Typs keinen Korper bilden: Bezuglich derMatrizenaddition liegt zwar eine kommutative Grup-pe vor, die Nullmatrix ist neutrales Element, inverszu A ist die Matrix −A).
Aber bezuglich der Multiplikation kann keine abel-sche Gruppe vorliegen, da eben das Kommutativ-gesetz nicht fur alle Matrizen erfullt ist. Weil die Mul-tiplikation assoziativ ist und die Distributivgesetzegelten, liegt jedoch ein Ring vor.
Mathematik kompakt 62
Lineare Algebra — Matrizen
Warnung vor Fehler
Beim Rechnen mit Matrizen sei abschließend vor ei-nem weiteren Fehler gewarnt: Aus der reellen Ana-lysis kennt man die Aussage:
”Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens
einer der beiden Faktoren Null ist“.
Diese Aussage gilt fur Matrizenprodukte nicht, wiedas nachfolgende Beispiel zeigt: Mit
A =
(
1 12 2
)
, B =
(
−1 11 −1
)
folgt offensichtlich
AB =
(
0 00 0
)
= 0
(Nullmatrix). D.h. aus AB = 0 folgt im Allg. ebennicht A = 0 oder B = 0.
Mathematik kompakt 63
Lineare Algebra — Matrizen
Rang einer Matrix
In der Losungstheorie linearer Gleichungssystemeist ein weiterer Begriff im Zusammenhang mit Matri-zen wichtig:
Definition
Die Maximalzahl linear unabh angiger Spal-ten einer Matrix A heißt Spaltenrang von A,die Maximalzahl linear unabh angiger Zeilenheißt Zeilenrang von A. Da immer ”Zeilen-rang = Spaltenrang“ gilt, spricht man vomRang der Matrix schlechthin:
Rang von A := Rg(A).
Die obige Feststellung”Zeilenrang = Spaltenrang“
lasst sich naturlich mathematisch beweisen, was wirhier aber nicht nachvollziehen wollen.
Mathematik kompakt 64
Lineare Algebra — Matrizen
BeispielDie Matrix
A =
1 2 31 2 31 2 3
hat die Spalten
~aT1 = (1,1,1), ~aT2 = (2,2,2), ~aT3 = (3,3,3).
Offensichtlich besteht die Menge {~a1,~a2,~a3} ledig-lich aus einem linear unabhangigen Vektor, also istRg(A) = 1.
Dagegen gilt, dass alle Spalten der Matrix
B=
1 0 00 1 00 0 1
linear unabhangig sind, also ist Rg(B) = 3.
Mathematik kompakt 65
Lineare Algebra — Matrizen
Nichtsingul are bzw. regul are Matrix
Speziell fur quadratische Matrizen ist eine weitereDefinition wichtig:
Definition
Eine quadratische (n, n)-Matrix A heißtnichtsingul ar oder regul ar, falls
Rg(A) = n
gilt. Ist Rg (A) < n, wird sie singul ar ge-nannt.
Bei einer nichtsingularen Matrix sind also alle n Spal-ten (und damit auch Zeilen) linear unabhangig.
Mathematik kompakt 66
Lineare Algebra — Determinanten
Die Determinante
Eine quadratische (1,1)-Matrix A besteht nur auseinem einzigen Element a11. Dieses ist gleichzeitigauch der Wert der Determinante von A.
Definition
Ist A =
a11 a12a21 a22
eine (2, 2)-Matrix,
dann heißt
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12a21 a22
∣∣∣∣∣∣∣∣
= a11a22 − a21a12
zweireihige Determinante von A.
Statt die vielen Indices in obiger Formel auswendigzu lernen, empfiehlt sich das Merken der Berech-nungsregel in folgender Symbolik:
@@
@@
@@
������
Mathematik kompakt 67
Lineare Algebra — Determinanten
BeispielFur die Determinante der Matrix
A =
(
1 23 4
)
gilt:
det(A) =
∣∣∣∣∣
1 23 4
∣∣∣∣∣= 1 · 4− 2 · 3 = −2.
Mathematik kompakt 68
LineareA
lgebra—
Determ
inantenRegel von Sarrus
Auch die Berechnung von dreireihigen Determinanten fur (3,3)-Matrizenlasst sich ahnlich einfach mit der so genannten Regel von Sarrus durch-fuhren:
∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣
=a11a22a33 +a12a23a31+ a13a21a32−a31a22a13 −a32a23a11− a33a21a12.
Diese Formel lasst sich schematisiert sehr leicht merken und anwenden:
+- - - ++
Mathem
atikkom
pakt69
Lineare Algebra — Determinanten
UbungBerechnen Sie die 3-reihige Determinante
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣
2 9 52 −3 41 2 2
∣∣∣∣∣∣∣
.
Mathematik kompakt 70
LineareA
lgebra—
Determ
inanten
LosungNach obiger Vorschrift erhalten wir das folgende Rechenschema:
∣∣∣∣∣∣∣
2 9 52 −3 41 2 2
∣∣∣∣∣∣∣
2 92 −31 2
.
Damit ergibt sich:
det(A) = 2·(−3)·2+9·4·1+5·2·2−1·(−3)·5−2·4·2−2·2·9 = 7.
Mathem
atikkom
pakt71
Lineare Algebra — Determinanten
Determinante und Rang
Man beachte, dass fur n-reihige Determinanten mitn > 3 eine entsprechende Regel nicht mehr gilt.Diese lassen sich aber mit dem so genannten La-place’schen Entwicklungssatz berechnen.
Ohne Beweis weisen wir noch auf folgenden wichti-gen Zusammenhang hin:
Fur eine (n, n)-Matrix A gilt folgende Aqui-valenz:
det(A) 6= 0 ⇐⇒ Rg(A) = n
Mathematik kompakt 72
Lineare Algebra — Lineare Gleichungssysteme
Das Gauß’sche Eliminationsverfahren
Wir betrachten ein (m,n)-System von m linearenGleichungen mit n Unbekannten (m < n stets!):
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2. . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm.
Mit der Koeffizientenmatrix A = (aik) (i = 1, . . . ,m,k = 1, . . . , n) und den Vektoren ~xT = (x1, . . . xn),~bT = (b1, . . . , bm) lautet das System in Matrixschreib-weise A~x = ~b.
Definition
Ein lineares Gleichungssystem
A~x = ~b
heißt homogen, wenn ~b = ~0. Andernfallsnennt man es inhomogen. Ist ~b 6= ~0, soheißt A~x = ~0 das zugeh orige homogeneSystem.
Mathematik kompakt 73
Lineare Algebra — Lineare Gleichungssysteme
Losungsmenge L(A,~b), ErweiterteKoeffizientenmatrix
Die Losungsmenge
L(A,~b) := {~x ∈ IRn |A~x = ~b}des Systems A~x = ~b lasst sich nun mit dem Gauß’-schen Eliminationsverfahren ermitteln, das die sogenannte erweiterte Koeffizientenmatrix benutzt:
(A|~b) =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
... ... ...am1 am2 . . . amn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b1b2...bm
.
Das Verfahren arbeitet mit elementaren Zeilenum-formungen an der erweiterten Koeffizientenmatrix,welche die Losungsmenge des Systems offenbarnicht andern:
- Vertauschung zweier Zeilen,
- Addition des λ-fachen einer Zeile zu einer an-deren Zeile,
- Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl λ 6= 0.
Mathematik kompakt 74
Lineare Algebra — Lineare Gleichungssysteme
Zeilenstufenform
Die Zeilenumformungen werden nun benutzt, um dieKoeffizientenmatrix in folgende so genannte Zeilen-stufenform (A,~b) (siehe Abb. ) zu bringen:
**
*
*0
r
m-rbm
br+1
br
b2
b1
::
:.
(A, b) =
In dieser Form mussen alle Eintrage, die mit”∗“ ge-
kennzeichnet sind, ungleich Null sein. Man nenntdiese Pivotelemente, die Zeile entsprechend Pivot-zeile.
Unterhalb der skizzierten”Stufenlinie“ durfen in A
nur Nullen stehen. Der durch die Umformungen eben-falls geanderte Vektor ~b kann beliebige Komponen-ten haben.
Mathematik kompakt 75
Lineare Algebra — Lineare Gleichungssysteme
Eliminationsfaktor
Um nun beispielsweise in der k-ten Spalte unterhalbdes Pivots — bezeichnen wir es mit p — Nullen zuerzeugen, mussen wir die entsprechenden Elemen-te der darunter liegenden Zeilen mittels Addition desλ-fachen (so genannter Eliminationsfaktor) der Pi-votzeile zur jeweiligen Zeile zu Null machen. Sind
(0, . . . ,0, p, . . .)
die Pivotzeile und
(0, . . . ,0, a, . . .)
eine Zeile, in der das Element a zu Null werdenmuss, dann ergibt sich der Eliminationsfaktor λ durchdie Forderung
a+ λp=!
0, also zu λ = −a
p.
Ist die Zeilenstufenform erreicht, so konnen nun imFalle der Losbarkeit des Systems durch
”Ruckwarts-
auflosen“ die entsprechenden Variablenwerte ermit-telt werden.
Mathematik kompakt 76
Lineare Algebra — Lineare Gleichungssysteme
BeispielDas Verfahren sei an folgendem linearen Gleichungs-system verdeutlicht:
3x1 − 3x2 +6x3 = 9
2x1 +3x3 = 6
x1 + x2 +2x3 = 4
Die erweiterte Koeffizientenmatrix dieses Systemsschreiben wir als Tableau, d.h. ohne die runden Klam-mern, auf:
(1) ©3 −3 6(2) 2 0 3(3) 1 1 2
∣∣∣∣∣∣∣
964.
Im 1. Schritt ist das Pivotelement die”eingekreiste“
3 in der 1. Spalte. Darunter mussen nun zwei Nullenerzeugt werden.
Da die Pivotzeile die Form (3,−3,6,9) hat und diedarunterliegende Zeile (2,0,3,6) lautet, bestimmt
sich der erste Eliminationsfaktor aus 2 + λ · 3=!
0
zu λ = −23, der zweite analog zu λ = −1
3.
Mathematik kompakt 77
LineareA
lgebra—
LineareG
leichungssysteme
Beispiel — Fortsetzung
Bezeichnen wir mit zi die Zeile (i) des Tableaus, so sind die elementarenUmformungen z2′ = z2− 2
3z1 und z3′ = z3− 13z1 (jeweils elementweise!)
durchzufuhren. Dies ergibt ein neues Tableau, bei dem im 2. Schritt nun inder zweiten Spalte unterhalb des neuen Pivotelements 2 Nullen erzeugtwerden mussen. Hierzu wird mit der Eliminationszeile (2′) die Umformungz3′′ = z3′ − z2′ ausgefuhrt.
(1′) 3 −3 6(2′) 0 ©2 −1(3′) 0 2 0
∣∣∣∣∣∣∣
901
2. Schritt−−−−−−→
(1′′) 3 −3 6(2′′) 0 2 −1(3′′) 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣
901.
Jetzt liegt ein gestaffeltes System vor. Die Losung kann bei solchen Sys-temen immer durch
”Ruckwartsauflosen“ aus den Gleichungen ermittelt
werden: x3 = 1,
x2 =1
2(0+ x3) =
1
2, x1 =
1
3(9 + 3x2 − 6x3) =
3
2.
Mathem
atikkom
pakt78
Lineare Algebra — Lineare Gleichungssysteme
UbungWenden Sie das Gauß’sche Verfahren auf folgen-des System an:
3x1 − 3x2 +6x3 = 9
2x1 +3x3 = 6
x1 + x2 + x3 = 4
Mathematik kompakt 79
LosungDas System entspricht bis auf eine Anderung in der dritten Gleichung(a33 = 2 wird zu a33 = 1) dem Gleichungssystem des vorherigen Bei-spiels. Mit denselben elementaren Umformungen wie oben erhalt man da-her die Tableaufolge:
(1) 3 −3 6(2) 2 0 3(3) 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣
964
→(1′) 3 −3 6(2′) 0 2 −1(3′) 0 2 −1
∣∣∣∣∣∣∣
901
→(1′′) 3 −3 6(2′′) 0 2 −1(3′′) 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣
901.
Der letzten Zeile (3′′) des Endtableaus entspricht nun die Gleichung
0 · x1 +0 · x2 +0 · x3 = 1.
Dies ist offensichtlich ein Widerspruch. Somit hat das System keine Losung.
Mathem
atikkom
pakt80
Lineare Algebra — Lineare Gleichungssysteme
Unl osbares System/ Freie Parameter
Die Unlosbarkeit eines inhomogenen Gleichungs-systems erkennt man also daran, dass es in derZeilenstufenform mindestens ein
bi 6= 0 mit (r +1) ≤ i ≤ m
gibt, bei dem die restliche (linke) Zeile aus lauterNullen besteht.
Jetzt fehlt uns nur noch der Fall unendlich vielerLosungen mit frei wahlbaren Unbekannten, die mandann freie Parameter nennt.
Mathematik kompakt 81
BeispielWir betrachten das System der letzten Ubung , andern aber die rechteSeite ~bT = (9,6,4) ab in ~bT = (9,7,4). Analoge Zeilenumformungenliefern dann die Tableaufolge
(1) 3 −3 6(2) 2 0 3(3) 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣
974
→(1′) 3 −3 6(2′) 0 2 −1(3′) 0 2 −1
∣∣∣∣∣∣∣
911
→(1′′) 3 −3 6(2′′) 0 2 −1(3′′) 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣
910.
Letzte Zeile (3′′): 0·x1+0·x2+0·x3 = 0, offensichtlich stets erfullt. Da-mit reduziert sich das System auf zwei Gleichungen fur drei Unbekannte.Wir setzen x3 = t mit t ∈ IR beliebig.
Wieder ergeben sich die restlichen Unbekannten durch”Ruckwartsauflosen“
zu x2 = 12 (1 + x3) = 1
2(1+t), x1 = 13 (9 + 3x2 − 6x3) = 1
2 (7− 3t).Mit ~u = (72,
12,0)
T und ~vT = (−32,
12,1) lasst sich die Losungsmenge
auch in Parameterform zu ~x = ~u+ t · ~v angeben.
Mathem
atikkom
pakt82
Lineare Algebra — Lineare Gleichungssysteme
Freie Parameter
Im Allgemeinen erkennt man an der Zeilenstufen-form wie viele Parameter frei gewahlt werden kon-nen:
Ist r die Anzahl der nicht aus lauter Nullen beste-henden Zeilen, so sind n− r Unbekannte frei wahl-bar. Diese fungieren dann als Parameter und dieLosungsmenge kann in Parameterform angegebenwerden.
Nicht immer sind die Parameter beliebig wahlbar:Man kann aber stets die Variablen nehmen, bei de-nen in den zugehorigen Spalten ein horizontaler Ver-lauf der
”Stufen“ beginnt bzw. fortgesetzt wird.
Mathematik kompakt 83
Lineare Algebra — Lineare Gleichungssysteme
Gauß’sches Eliminationsverfahren
Das Gauß’sche Eliminationsverfahren zurLosung von A(m,n)~x = ~b besteht aus fol-genden Schritten:a) Man erstelle die erweiterte Koeffizien-
tenmatrix (A |~b) in Tableauform.b) Man bringe die Matrix A mittels ele-
mentarer Zeilenumformungen auf ”Zei-lenstufenform“, wobei auch die Spalte ~b
mit umgeformt werden muss. Ergebnis:(A | ~b).
c) Aus (A,~b) ermittle man die Anzahl r
der von Null verschiedenen Zeilen vonA und stelle durch Uberprufung von ~b
fest, ob L osungen existieren.d) Falls ja ( r = m oder r < m und
bi = 0 fur alle r + 1 ≤ i ≤ m), er-mittle man durch ”Ruckw artsaufl osen“die L osung. Diese hat immer n − r freiwahlbare Parameter.
Mathematik kompakt 84
Lineare Algebra — Lineare Gleichungssysteme
Rangbestimmung mittels Gauß-Verfahren
Die Anwendung des Gauß’schen Eliminationsver-fahrens auf die Matrix A liefert eine Matrix A in
”Zei-
lenstufenform“. Offensichtlich sind die ersten r Zei-len von A linear unabhangig.
Die dabei benutzten elementaren Zeilenumformun-gen andern aber nicht die lineare Ab- bzw. Unab-hangigkeit der Ausgangszeilen (aus A).
Man kann den Rang der Matrix A also direkt amEndtableau des Gauß-Verfahrens ablesen:
Ist r die Anzahl der von Null verschiede-nen Zeilen von A im Endtableau des Gauß-Verfahrens, dann gilt:
Rg(A) = r.
Mathematik kompakt 85
Lineare Algebra — Lineare Gleichungssysteme
Losungstheorie mittels Rangbegriff
Betrachtet man nun die erweiterte Koeffizientenma-trix (A |~b), so unterscheidet sich deren Rang vonRg(A) genau dann, wenn r < m und mindestensein bi 6= 0 mit r +1 ≤ i ≤ m existiert, das Systemalso unlosbar ist. Da aber Rg(A) = Rg(A) undRg
(
(A |~b))
= Rg(
(A |~b))
gilt, konnen wir festhal-ten:
Ein lineares (m,n)-GleichungssystemA~x = ~b ist genau dann l osbar, wenn derRang r = Rg(A) der KoeffizientenmatrixA mit dem Rang der erweiterten Koeffizien-tenmatrix (A|~b) ubereinstimmt, d.h. wenngilt
Rg(A) = Rg(
(A|~b))
.
Die Losung enth alt dann n − r freieParameter.
Mathematik kompakt 86
Lineare Algebra — Lineare Gleichungssysteme
Losungsstruktur inhomogenes/zugeh origeshomogenes System
Ein homogenes Gleichungssystem A~x = ~0 be-sitzt wegen A~0 = ~0 stets die so genannte trivialeLosung ~x = ~0, ist also immer losbar. Dieser Sach-verhalt folgt ubrigens auch aus der obigen Losbar-keitsbedingung, es gilt namlich
Rg(A) = Rg(
(A|~0))
in jedem Fall.
Das zu einem inhomogenen (m,n)-System A~x =~b mit Rg(A) = r gehorende homogene SystemA~x = ~0 ist also stets losbar: die LosungsmengeL(A,~0) 6= ∅ enthalt n− r freie Parameter.
Wir nehmen nun an, dass A~x = ~b losbar ist. Istdann ~xIH eine beliebige spezielle Losung des inho-mogenen Systems und ~xH ∈ L(A,~0), so gilt:
A (~xIH + ~xH) = A~xIH +A~xH = ~b+ ~0 = ~b.
Mathematik kompakt 87
Lineare Algebra — Lineare Gleichungssysteme
Losungsstruktur inhomogenes/zugeh origeshomogenes System
Es ist also ~xIH + ~xH eine Losung des inhomogenSystems. Die Menge
{~xIH + ~xH | ~xH ∈ L(A,~0)}hat aber ebenfalls n − r freie Parameter, stellt al-so die gesamte Losungsmenge des inhomogenenSystems dar.
Wir halten fest:
Die allgemeine L osung eines l osbaren in-homogenen Gleichungssystems A~x = ~b
erhalt man durch Addition einer beliebi-gen speziellen L osung ~xIH des inhomogenSystems und der allgemeinen L osung deszugeh origen homogenen Systems A~x = ~0:
L(A,~b) = ~xIH + L(A,~0).
Mathematik kompakt 88
BeispielZum inhomogenen Gleichungssystem des vorangegangenen Beispiels ge-hort die spezielle Losung ~x = (2,1,1)T (fur t = 1).
Das zugehorige homogene System lasst sich mittels Gauß-Verfahren undanalogen Zeilenumformungen losen:
(1) 3 −3 6(2) 2 0 3(3) 1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣
000
→(1′) 3 −3 6(2′) 0 2 −1(3′) 0 2 −1
∣∣∣∣∣∣∣
000
→(1′′) 3 −3 6(2′′) 0 2 −1(3′′) 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣
000.
”Ruckwartsauflosen“ liefert L(A,~0) = {t ·(−3
2,12,1)
T | t ∈ IR}, falls manx3 = t setzt. Die triviale Losung ~0 ist fur t = 0 dabei. Die allgemeineLosung des inhomogenen Systems erhalt man zu
~x =
x1x2x3
=
211
+ t
−3/21/2
1
, t ∈ IR.
Mathem
atikkom
pakt89
Lineare Algebra — Lineare Gleichungssysteme
Beispiel — Fortsetzung
Die allgemeine Losung des inhomogenen Systemserhalt man zu
~x =
x1x2x3
=
211
+ t
−3/21/2
1
, t ∈ IR.
Wahlt man hier t = −1, so erhalt man die spezielleLosung ~u = (72,
12,0)
T .
Die Losungsmenge kann also auch in der Form
~x = ~u+ t · ~vgeschrieben werden.
Dies sind lediglich Darstellungen ein und derselbenGeraden in Parameterform. Geometrisch entspre-chen dem System drei Ebenen, die eine gemein-same Schnittgerade besitzen.
Mathematik kompakt 90
Lineare Algebra — Die Inverse einer Matrix
Definition und Rechenregeln
Ist A eine regulare (n, n)-Matrix, dann gilt per defi-nitionem Rg(A) = n. Es stellt sich nun die Frage,ob es eine Matrix X gibt, fur die gilt:
AX = I.
Bezeichnen wir mit ~ei die i-te Spalte der Einheits-matrix I = (~e1, . . . , ~en), dann sind wegen Rg(A) =
n die folgenden Gleichungssysteme eindeutig losbar :
A~x1 = ~e1, A~x2 = ~e2, . . . , A~xn = ~en.
Wir konnen daher eine Matrix X definieren, derenSpalten den n eindeutigen Losungen ~x1, ~x2, . . . , ~xn
dieser Systeme entspechen:
X := (~x1, ~x2, . . . , ~xn) .
Offensichtlich gilt dann
AX = (A~x1, A~x2, . . . , A~xn)
= (~e1, ~e2 . . . , ~en) = I.
Diese Konstruktion ist fur jede beliebige regulareMatrix moglich.
Mathematik kompakt 91
Lineare Algebra — Die Inverse einer Matrix
Inverse A−1 einer regul aren Matrix A
Definition
Zu jeder regul aren Matrix A existiert genaueine Matrix X, fur die
AX = I
gilt. Man nennt X zu A invers oder die zu A
inverse Matrix und schreibt X = A−1. Esgilt damit stets
AA−1 = A−1A = I.
Die Regularitat ist dabei fur die Existenz einer sol-chen Matrix notwendige Voraussetzung.
Mathematik kompakt 92
Lineare Algebra — Die Inverse einer Matrix
Rechenregeln fur inverse Matrizen
Auch A−1 ist wieder regular und es gelten folgendeRechenregeln, die wir nicht beweisen wollen:
Fur den Umgang mit Inversen sind folgendeRechenregeln wichtig:
• (A−1)−1 = A,
• (A−1)T = (AT )−1,
• (AB)−1 = B−1A−1,
• (λA)−1 = 1λA
−1 (λ 6= 0).
Mathematik kompakt 93
Lineare Algebra — Die Inverse einer Matrix
BeispielWir konnen jetzt die Losung eines linearen (n, n)-Systems
A~x = ~b
mit regularer Matrix A mittels der Inversen berech-nen. Das System ist namlich aquivalent zu
A−1A~x = A−1~b,
woraus wegen A−1A = I sofort folgt:
~x = A−1~b.
Kennt man also die Inverse A−1, so lasst sich dieLosung des Systems sofort angeben. Dies ist vonVorteil, wenn fur verschiedene rechte Seiten~b Losun-gen gesucht sind.
Bei einer rechten Seite bedenke man, dass die prak-tische Berechnung von A−1 wesentlich aufwendi-ger ist als die einmalige Durchfuhrung des Gauß-Verfahrens.
Mathematik kompakt 94
Lineare Algebra — Die Inverse einer Matrix
UbungGegeben seien die regularen Matrizen A,B. Ver-einfachen Sie den Ausdruck
(
2AB−1)−1 (
B−1AT)T
unter der Annahme, dass B symmetrisch ist, soweitwie moglich.
Mathematik kompakt 95
Lineare Algebra — Die Inverse einer Matrix
LosungFur den ersten Faktor gilt(
2AB−1)−1
=1
2
(
B−1)−1
A−1 =1
2BA−1.
Der zweite Faktor vereinfacht sich wegen der Sym-metrie von B zu
(
B−1AT)T
= (AT )T (B−1)T
= A(BT )−1 = AB−1.
Insgesamt ergibt sich also(
2AB−1)−1 (
B−1AT)T
=1
2B(A−1A)B−1
=1
2BB−1
=1
2I.
Mathematik kompakt 96
Lineare Algebra — Die Inverse einer Matrix
Das Gauß-Jordan-Verfahren
Zur Bestimmung der Inversen gibt es ein numeri-sches Verfahren, das Gauß-Jordan-Verfahren. Die-ses lasst sich am besten anhand eines Beispielserlautern.
BeispielWir geben uns nun die regulare Matrix
A =
3 −3 62 0 31 1 2
vor. Wie bisherige Uberlegungen zeigen, mussenzur Bestimmung der Inversen die 3 Gleichungssys-teme
A~xi = ~ei, i = 1,2,3
gelost werden.
Am geringsten ist der Rechenaufwand, wenn manalle Systeme simultan mit dem Gauß-Verfahren lost.
Mathematik kompakt 97
LineareA
lgebra—
Die
Inverseeiner
Matrix
Beispiel — Fortsetzung
Man schreibt in das Starttableau auf die rechte Seite alle drei Vektoren~ei, also die Matrix I. Auf diese wendet man gleichzeitg die benotigten ele-mentaren Umformungen an, um A auf obere Dreiecksgestalt zu bringen:
(1) 3 −3 6
(2) 2 0 3
(3) 1 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−→(1′) 3 −3 6
(2′) 0 2 −1
(3′) 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−23 1 0
13 −1 1
Drei Losungen effizient bestimmen: Obere Dreiecksmatrix auf der linkenTableauseite mittels elementarer Umformungen in die Einheitsmatrix uber-fuhren. Hierzu erzeugen wir — zunachst in der letzten Spalte der Drei-ecksmatrix — oberhalb der Hauptdiagonalen Nullen (z1′′ = z1′ − 6z3′,z2′′ = z2′ + z3′), danach in der mittleren Spalte (z1′′′ = z1′′ +
32z2′′).
Mathem
atikkom
pakt98
LineareA
lgebra—
Die
Inverseeiner
Matrix
Beispiel — Fortsetzung
(1′′) 3 −3 0
(2′′) 0 2 0
(3′′) 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 6 −6
−13 0 1
13 −1 1
−→3 0 0
0 2 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−32 6 −9
2
−13 0 1
13 −1 1
Abschließend mussen wir lediglich alle Zeilen durch das entsprechendeDiagonalelement (dies ist die dritte elementare Umformung!) dividierenund erhalten:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−12 2 −3
2
−16 0 1
213 −1 1
Die Losungen der drei Systeme konnen jetzt abgelesen werden:
Die 1. Spalte auf der rechten Seite ist ~x1, die 2. Spalte ist ~x2 und die3. Spalte entspricht ~x3.
Mathem
atikkom
pakt99
Lineare Algebra — Die Inverse einer Matrix
Beispiel — Fortsetzung
D.h. die zu A inverse Matrix A−1 ergibt sich zu
A−1 =
−12 2 −3
2
−16 0 1
213 −1 1
.
Um Rechenfehler auszuschließen, empfiehlt sich ab-schließend eine Probe: AA−1 = I.
Mathematik kompakt 100
Lineare Algebra — Die Inverse einer Matrix
Das Gauß-Jordan-Verfahren
Das Gauß-Jordan-Verfahren zur Bestim-mung der Inversen A−1 einer regul aren(n, n)-Matrix A lautet:a) Bilde ein Tableau, bestehend aus der
Matrix A (linke Seite) und der Einheits-matrix I = In (rechte Seite).
b) Fuhre A mittels Gauß-Verfahren in eineobere Dreiecksmatrix uber.
c) Wende auf beide Seiten elementare Um-formungen (beginnend mit der letztenSpalte der linken Tableauseite) an, sodass aus der Dreiecksmatrix eine Dia-gonalmatrix wird.
d) Dividiere alle Elemente jeder Zeile desTableaus durch das entsprechende Dia-gonalelement, so dass aus der Diago-nalmatrix die Einheitsmatrix wird.
Die rechte Tableauseite entspricht nun dergesuchten Inversen A−1.
Mathematik kompakt 101
Lineare Algebra — Die Inverse einer Matrix
UbungWelche Losungen hat das System A~x = ~b mit derMatrix
A =
3 −3 62 0 31 1 2
fur die rechten Seiten
a) ~b = ~0,
b) ~b = (1,1,1)T?
Mathematik kompakt 102
Lineare Algebra — Die Inverse einer Matrix
LosungDa wir die Inverse A−1 im vorangegangenen Bei-spiel bereits zu
A−1 =
−12 2 −3
2
−16 0 1
213 −1 1
berechnet haben, konnen wir die Losung des Sys-tems als ~x = A−1~b schreiben. Damit ist:
a) ~x = A−1~0 = ~0.
Die triviale Losung ist also die einzige Losungdes homogenen Systems.
b) ~x = A−1
111
=
01/31/3
.
Mathematik kompakt 103
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Lineare Abbildungen, Ausgangsvektor undBildvektor
Lineare Abbildungen werden im Allgemeinen durchMatrizen beschrieben.
Wenn man eine Matrix mit einem Vektor multipli-ziert, so erhalt man wiederum einen Vektor, der aberin den meisten Fallen auf den ersten Blick gar nichtsmit dem Ausgangsvektor gemeinsam hat:
(
1 41 −2
)
·(
12
)
=
(
9−3
)
.
Mathematik kompakt 104
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Lineare Abbildungen, Ausgangsvektor undBildvektor
In anderen sehr speziellen Fallen ist der Bildvektorein Vielfaches des Ausgangsvektors:
(
1 41 −2
)
·(
41
)
=
(
82
)
= 2 ·(
41
)
.
Trivialerweise wird der Nullvektor unter einer linea-ren Abbildung immer auf sich selbst abgebildet:
(
1 41 −2
)
·(
00
)
=
(
00
)
.
(Das Studium des Nullvektors ist also vollig uninter-essant; wir werden ihn bei den folgenden Betrach-tungen weglassen.)
Mathematik kompakt 105
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Lineare Abbildungen, Ausgangsvektor undBildvektor
Wir werden im Folgenden eine Methode vorstellen,wie man Vektoren identifiziert, die unter einer linea-ren Abbildung auf Vielfache von sich selbst uberfuhrtwerden:
A · ~x = λ · ~x
A · ~x− λ · ~x = ~0
A · ~x− λI · ~x = ~0
(A− λI) · ~x = ~0
~x 6= ~0 ⇒ det(A− λI)!= 0
Gesucht sind also Vektoren ~x 6= ~0, die durch die li-neare Abbildung/Matrix A auf das λ-fache ihrer selbstabgebildet werden.
Mathematik kompakt 106
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Definitionen
Ein Vektor ~x 6= ~0, der bei Anwendung derMatrix A auf sein λ-faches ubergeht, heißtEigenvektor von A zum Eigenwert λ.
Eigenwerte λ sind dabei die L osungen desso genannten charakteristischen Polynoms
det(A − λI) = 0.
Eigenvektoren ~x zum Eigenwert λ sind dienicht-trivialen L osungen des linearen Glei-chungssystems
(A − λI) · ~x = ~0.
Mathematik kompakt 107
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Bemerkungen
Das charakteristische Polynom ist bei Vorliegen ei-ner (n, n)-Matrix A ein Polynom n-ten Grades. Nachdem Hauptsatz der Algebra hat ein Polynom n-tenGrades n (moglicherweise komplexe, evtl. auch zu-sammenfallende) Losungen.
Hat man einen Eigenwert λ gefunden, so erhalt manwegen det(A − λI) = 0 auch immer zumindesteine nicht-triviale Losung des Gleichungssystems(A−λI)·~x = ~0. Dies bedeutet, dass man zu jedemEigenwert mindestens einen Eigenvektor findet.
Mathematik kompakt 108
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Weitere Bemerkungen
Wenn man einen Eigenvektor ~x zu einem Eigenwertλ der Matrix A gefunden hat (also A · ~x = λ · ~x), sosind selbstverstandlich alle Vielfache dieses Eigen-vektors a ·~x ebenfalls Eigenvektoren zum Eigenwertλ der Matrix A wegen
A · (a~x) = aA~x = aλ~x = λ · (a~x).
Bei mehrfachen Eigenwerten kann es mehrere line-ar unabhangige Eigenvektoren zu einem Eigenwertgeben oder auch nur einen einzigen.
Mathematik kompakt 109
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Beispiel
Wir ermitteln die Eigenwerte zur Matrix
A =
(
1 41 −2
)
.
det(A− λI) = det
(
1− λ 41 −2− λ
)
= (1− λ) · (−2− λ)− 4
= λ2 + λ− 6 = 0
Es folgt:
λ2 + λ− 6 = 0 ⇒ λ1 = 2, λ2 = −3.
Die Eigenwerte zur Matrix A sind also:λ1 = 2 und λ2 = −3.
Mathematik kompakt 110
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Wir suchen zun achst die Eigenvektoren ~x zumEigenwert λ1 = 2 :
Wegen (A− λ1I) · ~x = ~0 folgt:(
1− 2 41 −2− 2
)
·(
x1x2
)
=
(
00
)
und damit das lineare Gleichungssystem:
−x1 +4x2 = 0.
Losungen dieses linearen Gleichungssystems sind:(
x1x2
)
= a ·(
41
)
, a ∈ IR.
Die Probe liefert:(
1 41 −2
)
·(
41
)
=
(
82
)
= 2 ·(
41
)
.
Mathematik kompakt 111
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Wir suchen nun die Eigenvektoren ~x zum Eigen-wert λ2 = −3 :
Wegen (A− λ2I) · ~x = ~0 folgt:(
1− (−3) 41 −2− (−3)
)
·(
x1x2
)
=
(
00
)
und damit das lineare Gleichungssystem:
x1 + x2 = 0.
Losungen dieses linearen Gleichungssystems sind:(
x1x2
)
= a ·(
1−1
)
, a ∈ IR.
Die Probe liefert:(
1 41 −2
)
·(
1−1
)
=
(
−33
)
= (−3)·(
1−1
)
.
Mathematik kompakt 112
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Insgesamt:
Die Matrix
A =
(
1 41 −2
)
besitzt zwei Eigenwerte: λ1 = 2 und λ2 = −3.
Zum Eigenwert λ1 = 2 gehoren die Eigenvektoren(
x1x2
)
= a ·(
41
)
, a ∈ IR\{0}.
Zum Eigenwert λ2 = −3 gehoren die Eigenvekto-ren
(
x1x2
)
= a ·(
1−1
)
, a ∈ IR\{0}.
Mathematik kompakt 113
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Ubung
Ermitteln Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren zurMatrix
A =
(
3 1−1 5
)
.
Mathematik kompakt 114
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Losung
det(A− λI) = det
(
3− λ 1−1 5− λ
)
= (3− λ) · (5− λ) + 1
= λ2 − 8λ+16 = (λ− 4)2
Es folgt: (λ− 4)2!= 0 ⇒ λ1 = λ2 = 4
Die Eigenvektoren berechnen sich uber:(
3− 4 1−1 5− 4
)
·(
x1x2
)
=
(
00
)
⇔ −x1+x2 = 0
Eigenvektoren sind also:(
x1x2
)
= a ·(
11
)
, a ∈ IR\{0}.
Zum doppelten Eigenwert λ = 4 gibt es also nureinen linear unabhangigen Eigenvektor (x1, x2)T =
(1,1)T und seine Vielfachen.
Mathematik kompakt 115
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Beispiele im IR3
Wir betrachten ein Beispiel aus dem dreidimensio-nalen Raum, namlich die Spiegelung an der Ebenex = y:
x
y
z
e1
e2
e3
Diese lineare Abbildung wird durch die folgende Ma-trix wiedergegeben:
A =
0 1 01 0 00 0 1
.
Beachte: Durch die Spiegelung gehen die Einheits-vektoren in folgende Bildvektoren uber: ~e1 7→ ~e2,~e2 7→ ~e1, ~e3 7→ ~e3.
Mathematik kompakt 116
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Es gibt auch bei der Spiegelung an der Ebene x =y Vektoren, die auf Vielfache ihrer selbst abgebildetwerden:
0 1 01 0 00 0 1
·
110
=
110
= 1·
110
0 1 01 0 00 0 1
·
1−10
=
−110
= (−1)·
1−10
0 1 01 0 00 0 1
·
001
=
001
= 1·
001
Auch hier liegen also Eigenwerte und Eigenvekto-ren vor, namlich:
Eigenwert λ = 1: Eigenvektoren
110
,
001
Eigenwert λ = −1: Eigenvektor
1−10
Mathematik kompakt 117
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Die Rechnung erfolgt analog.
det(A− λI) = det
0− λ 1 01 0− λ 00 0 1− λ
= (−λ) · (−λ) · (1− λ)− 1 · 1 · (1− λ)
= (1− λ) · (λ2 − 1)
Es folgt:
det(A− λI)!= 0 ⇒ λ1 = λ2 = 1, λ3 = −1
Mathematik kompakt 118
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Die Eigenvektoren zum Eigenwert λ1 = λ2 = 1
berechnen sich uber:
−1 1 01 −1 00 0 0
·
x1x2x3
=
000
und damit aus dem linearen Gleichungssystem:
−x1 + x2 = 0.
Losungen sind hier die linear unabhangigen Eigen-vektoren:
~x1 =
110
bzw. ~x2 =
001
.
Mathematik kompakt 119
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Die Eigenvektoren zum Eigenwert λ3 = −1 be-rechnen sich uber:
1 1 01 1 00 0 2
·
x1x2x3
=
000
und damit aus dem linearen Gleichungssystem:
x1 + x2 = 0, 2x3 = 0.
Losung ist hier der Eigenvektor:
~x3 =
1−10
Mathematik kompakt 120
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Ubung
Ermitteln Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren zurMatrix
A =
2 −2 −2−2 5 −1−2 −1 5
.
Mathematik kompakt 121
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Losung
Das charakteristische Polynom der Matrix
A =
2 −2 −2−2 5 −1−2 −1 5
.
kann mit der Regel von Sarrus berechnet werden.
Es ergibt sich
det(A− λI) = −λ3 +12λ2 − 36λ
= −λ · (λ− 6)2 = 0.
Die Eigenwerte lauten λ1 = 0 und λ2 = λ3 = 6.
Mathematik kompakt 122
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Die Eigenvektoren zum Eigenwert λ1 = 0 sind Losun-gen des linearen Gleichungssystems
2 −2 −2−2 5 −1−2 −1 5
·
x1x2x3
=
000
.
Um dieses lineare Gleichungssystem zu losen, mussman zunachst die Matrix mittels Gauss-Algorithmusauf obere Dreiecksgestalt uberfuhren. Man erhalt:
2 −2 −2−2 5 −1−2 −1 5
2 −2 −20 3 −30 −3 3
2 −2 −20 3 −30 0 0
Mathematik kompakt 123
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Fur die Eigenvektoren zum Eigenwert λ = 0 erhaltman also das lineare Gleichungssystem:
x1 − x2 − x3 = 0x2 − x3 = 0.
Losung ist der Eigenvektor:
~x1 =
211
.
Mathematik kompakt 124
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Die Eigenvektoren zum Eigenwert λ2 = λ3 = 6
sind Losungen des linearen Gleichungssystems
−4 −2 −2−2 −1 −1−2 −1 −1
·
x1x2x3
=
000
,
d.h. von
−2x1 − x2 − x3 = 0.
Losungen sind hier die Eigenvektoren:
~x2 =
−120
und ~x3 =
−102
.
Mathematik kompakt 125
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Beobachtung
Im letzten Beispiel und in der letzten Ubung habenwir Eigenwerte und Eigenvektoren von symmetri-schen Matrizen berechnet. Alle Eigenwerte warenreell. Gab es mehrfache Eigenwerte, so existiertenauch entsprechend viele linear unabhangige Eigen-vektoren.
Außerdem besaßen die Eigenvektoren eine inter-essante Eigenschaft: Eigenvektoren zu verschiede-nen Eigenwerten stehen sogar senkrecht aufeinan-der.
Wir prufen dies bei der letzten Ubung nach:
(2,1,1) · (−1,2,0)T = 0
und
(2,1,1) · (−1,0,2)T = 0.
Dies ist kein Zufall!
Mathematik kompakt 126
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Eigenwerte und Eigenvektoren einersymmetrischen Matrix
Fur die Eigenwerte und Eigenvektoren einersymmetrischen (n, n)-Matrix gilt insbeson-dere:• Alle Eigenwerte sind reell.• Es gibt insgesamt genau n linear un-
abhangige Eigenvektoren.• Eigenvektoren, die zu verschiedenen Ei-
genvektoren geh oren, stehen senkrechtaufeinander.
Mathematik kompakt 127
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Orthonormalbasis
Linear unabhangige Eigenvektoren, die zum glei-chen Eigenwert gehoren, kann man
”orthogonali-
sieren“ (also so wahlen, dass sie orthogonal zuein-ander sind). Normiert man alle Eigenvektoren nochauf Lange 1, so erhalt man insgesamt bei symmetri-schen (n, n)-Matrizen eine so genannte Orthonor-malbasis des IRn bestehend aus Eigenvektoren.
Mathematik kompakt 128
Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Gekoppelte Schwingungen
In vielen physikalisch-technischen Anwendungenkommen symmetrische Matrizen vor. Ein Beispielsind gekoppelte Schwingungen, die durch Systemevon Differentialgleichungen beschrieben werden. Furdie auftretenden symmetrischen Matrizen lassen sichEigenwerte und Eigenvektoren bestimmen, welchedie so genannten Normalschwingungen des gekop-pelten Systems beschreiben.
Mathematik kompakt 129
Anwendung — Der Hamming–Abstand
Hauptachsentransformation
Ein anderes Beispiel ware die Hauptachsentransfor-mation. Eine Ellipse um den Nullpunkt ist einfach zubeschreiben. Eine Ellipse irgendwo in der Ebene istschwieriger zu beschreiben, es sei denn, man kenntdie beiden orthogonalen Hauptachsen (Eigenvekto-ren der zugehorigen Matrix) und verwendet ein die-sen angepasstes Koordinatensystem:
x
y
x
y
Der Hamming–Abstand
Die Lange ||~x|| eines Vektors ~x ∈ IRn (auch Normgenannt) und davon ausgehend der Abstand ||~x−~y||zweier Vektoren ~x und ~y wurden bereits eingefuhrt.
Mathematik kompakt 130
Anwendung — Der Hamming–Abstand
Als Norm hatten wir dabei die ubliche”Euklidische
Norm“ gewahlt:
||~x|| = ||(x1, x2, ..., xn)T || :=√
x21 + x22 + ...+ x2n.
Die wichtigsten Rechenregeln fur Normen lauten:
a) ||~x|| ≥ 0; ||~x|| = 0 genau dann, wenn ~x = ~0,
b) ||λ~x|| = |λ| · ||~x|| fur alle λ ∈ IR,
c) ||~x+ ~y|| ≤ ||~x||+ ||~y||.
Wenn man nun unter einer Norm einfach eine Vor-schrift versteht, die jedem Vektor ~x eine reelle Zahl||~x|| zuordnet, so dass die genannten drei Rechenre-geln erfullt sind, gibt es plotzlich auch noch weitereKandidaten.
Mathematik kompakt 131
Anwendung — Der Hamming–Abstand
Normen und Metriken
Ein Beispiel ware die (zugegebenermaßen etwasungewohnliche) Norm
||~x||∞ := maxi=1,..,n
|xi|.
Hier hatte etwa der Vektor (−1,0,2)T die uns zu-nachst ganzlich unvertraute
”Lange“
||(−1,0,2)T ||∞ = max{| − 1|, |0|, |2|} = 2
und nicht die fur uns gebrauchliche Lange
||(−1,0,2)T || =√
(−1)2 +02 +22 =√5.
Ahnlich zur Norm kann man beim Abstand zweierVektoren ||~x− ~y||, auch Metrik
d(~x, ~y)
genannt, vorgehen. Wiederum stellt man die wich-tigsten Rechengesetze zusammen und fasst nun alsMetrik jedes d(~x, ~y) auf, welches sie erfullt.
Mathematik kompakt 132
Anwendung — Der Hamming–Abstand
Metriken
Die Rechenregeln fur Metriken (oder Abstande) lau-ten:
a) d(~x, ~y) ≥ 0; d(~x, ~y) = 0 ⇐⇒ ~x = ~y,b) d(~x, ~y) = d(~y, ~x),c) d(~x, ~y) ≤ d(~x, ~z) + d(~z, ~y) fur beliebiges ~z.
Wir wollen nun eine spezielle Metrik aus der Codie-rungstheorie, den so genannten Hamming–Abstand,kennen lernen.
Bekanntlich kann es bei der Ubertragung von Da-ten zu Fehlern aufgrund von (zufalligen) Storungenkommen.
Betrachten wir ein Beispiel: Nehmen wir an, ein Sen-der (Quelle) codiert eine Nachricht, die Nachrichtwird ubermittelt und dabei evtl. gestort. Der Empfan-ger muss nun die erhaltene Nachricht decodieren.
Mathematik kompakt 133
Anwendung — Der Hamming–Abstand
Codew orter
Nehmen wir gleichzeitig an, dass die zulassigen Co-deworter aus allen 3-Tupeln uber den Binarzahlen{0,1} bestehen, dass also die Codeworter
000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 und 111
erlaubt sind. Wenn nun das Codewort 000 versandtwurde, aber aufgrund einer Storung beim Empfangerdas Wort 001 ankam, so wird dieser nicht erkennenkonnen, dass eine Storung vorliegt, denn 001 ist jaauch ein zulassiges Codewort.
Dies ist anders, wenn etwa nur die Teilmenge
000, 011, 101 und 110
obiger Codeworter zulassig ware. Wurde man nundas Signal 001 empfangen, so konnte man soforterkennen, dass es kein zulassiges Codewort ist. Mankonnte die empfangene Nachricht aber nicht korri-gieren: Selbst wenn man davon ausgeht, dass nurein einziges Bit gestort wurde, gibt es doch mehre-re Moglichkeiten. Das Ausgangssignal konnte 000,011 oder 101 sein, wahrend bei 110 ganze dreiFehler gegenuber 001 aufgetreten waren.
Mathematik kompakt 134
Anwendung — Der Hamming–Abstand
Der Hamming–Abstand
Wir konnen hier ganz naheliegend einen Abstand(Metrik) zwischen Codewortern definieren: Der Ham-ming-Abstand zweier Codeworter
~x = (x1, x2, ..., xn)T und ~y = (y1, y2, ..., yn)
T
uber den Binarzahlen {0,1} ist die Anzahl der Stel-len, an denen sich ~x und ~y unterscheiden:
d(~x, ~y) := |{i | xi 6= yi, i = 1, ..., n}|.Z.B. gilt:
d(000, 011) = 2, d(010, 011) = 1,
d(000, 111) = 3, d(010, 010) = 0.
Beim ersten Code mit den acht Codewortern betrugder Hamming–Abstand d(~x, ~y) fur alle ~x 6= ~y immer1. Dagegen haben die vier Codewortern 000, 011,101, 110 fur ~x 6= ~y immer den Hamming-Abstandd(~x, ~y) = 2. Man erkennt hier zwar Fehler, kannsie aber nicht korrigieren.
Mathematik kompakt 135
Anwendung — Der Hamming–Abstand
Fehlererkennung und -korrektur
Die Fahigkeit zur Fehlerkorrektur ware nur in Codesmit großerem Hamming-Abstand der Codeworter von-einander der Fall. Dabei kommt es auf die Minimal-distanz des Codes an, d.h. auf das Minimum allerHamming–Abstande zwischen Codewortern.
In der Informatik zeigt man:
Ein Code ist t-fehlererkennend (er erkennt also, dasst Fehler bei der Ubertragung aufgetreten sind), wenndie Minimaldistanz großer oder gleich t+1 ist.
Ein Code ist t-fehlerkorrigierend, wenn die Minimal-distanz großer oder gleich 2t+1 ist.
In unserem Beispiel war der zweite Code bestehendaus den vier Codewortern 1-fehlererkennend, da sei-ne Minimaldistanz gleich 2 war. Allerdings war ernicht 1-fehlerkorrigierend, denn dazu bedarf es ei-ner Minimaldistanz von mindestens 2 · 1+ 1 = 3.
Mathematik kompakt 136
Anwendung — Computer-Tomographie
Computer-Tomographie und lineareGleichungssysteme
Im Jahre 1973 entstand eine Technik, welche diedurch Organuberlagerungen verursachten Schwa-chen herkommlicher Rontgenbilder beseitigte: dieComputer-Tomographie, abgekurzt CT.
Die CT beruht auf Rontgenstrahlung. CT-Bilder ge-ben einen Querschnitt durch den menschlichen Kor-per wieder.Die Bilder entstehen aufgrund von Mes-sungen mit Hilfe von Computern.
Sender Empfänger
Ein Rontgenstrahl wird von einem Sender ausge-strahlt und durchquert die vorgegebene Hirnschicht.Nach Verlassen des Korpers trifft er auf einen Strah-lenempfanger, der misst, wie stark der Strahl jetztnoch ist.Mathematik kompakt 137
Anwendung — Computer-Tomographie
Die Messvorrichtung von oben
Tatsachlich sendet die Strahlenquelle aber nicht nureinen Strahl, sondern viele parallele Strahlen aus.Der Empfanger misst demzufolge fur jeden paralle-len Strahl die Starke seiner Abschwachung.
1 2
3 4
Sender
Empfänger
10
10 6
5
Wir gehen nun davon aus, dass alle Strahlen denSender mit einer Starke von 10 Einheiten verlassen.Die sukzessive Abschwachung des ersten Strahlslasst sich durch folgende Gleichung beschreiben:
10− x1 − x2 = 5 ⇐⇒ x1 + x2 = 5.
Analog wird der zweite Strahl beim Durchqueren derHirnteile 3 und 4 um x3 und x4 Einheiten von 10
auf 6 Einheiten abgeschwacht. Daraus ergibt sichdie Gleichung
10− x3 − x4 = 6 ⇐⇒ x3 + x4 = 4.
Mathematik kompakt 138
Anwendung — Computer-Tomographie
Erneute Messung durch Drehung
Die beiden Messungen ergeben ein Gleichungssys-tem mit 2 Gleichungen, aber 4 Unbekannten xi,i = 1, . . . ,4. Die Unbekannten aus diesem Systemlassen sich nicht eindeutig bestimmen.
Deshalb wird die Messvorrichtung gedreht. Jetzt kanneine neue Messung durchgefuhrt werden:
1 2
3 4
Se
nd
er
10
10
Em
pf
än
ge
r
9
7
Der obere Strahl fuhrt nun auf die Gleichung
10− x3 − x2 = 7 ⇐⇒ x2 + x3 = 3.
Der untere Strahl liefert die Gleichung
10− x4 = 9 ⇐⇒ x4 = 1.
Mathematik kompakt 139
Anwendung — Computer-Tomographie
Das resultierende Gleichungssystem
Insgesamt ergibt sich damit das folgende Gleichungs-system:
x1 + x2 = 5
x3 + x4 = 4
x2 + x3 = 3
x4 = 1.
Dieses System hat genau eine Losung:
x1 = 5, x2 = 0, x3 = 3 und x4 = 1.
Diese besagt, dass Teil 1 den Strahl um 5 Einheiten,Teil 2 um 0 Einheiten usw. abschwacht.
Zum CT-Bild kommt man jetzt, wenn man diese Lo-sungszahlen mittels einer Grautonskala umsetzt:
0 1 2 3 4 5
Mathematik kompakt 140
Anwendung — Computer-Tomographie
Entstehen des CT-Bildes
0 1 2 3 4 5
Teil 1 unseres vereinfachten CT-Bildes wird also mitdem Grauton Nummer 5, Teil 2 mit dem Ton Num-mer 0 etc. eingefarbt. So entsteht folgendes CT-Bild:
Um medizinisch verwertbare Bilder zu erhalten, mus-sen naturlich sehr viele Messungen durchgefuhrt wer-den. Richtige CT-Bilder bestehen aus Tausenden vonQuadraten, die in unterschiedlichen Grautonen ge-farbt sind. Jedem Quadrat entspricht eine Unbekann-te xi.
Die Konstruktion eines solchen Bildes bedingt daherdie Losung großer linearer Gleichungssysteme mitTausenden von Gleichungen und Unbekannten.
Mathematik kompakt 141