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Lineare Algebra und analytische apel/LA0102/skript/linalg.pdf Lineare Algebra und analytische Geometrie J. Apel Vorlesung WS 2001/02 Preliminary version { 8. Januar 2002

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  • Lineare Algebra und analytische Geometrie

    J. Apel Vorlesung WS 2001/02

    Preliminary version – 8. Januar 2002

  • Inhaltsverzeichnis

    1 Einleitung 2

    2 Grundlagen der Mathematik 4 2.1 Logische Symbole und Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Binäre Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Korrespondenzen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5 Algebraische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    3 Lineare Gleichungssysteme I 26 3.1 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    3.1.1 Äquivalenz von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.2 Der Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    3.2 Lösung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . 41

    4 Klassische algebraische Strukturen 50 4.1 Strukturen mit einer binären Operation – Halbgruppen, Mo-

    noide und Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.1.1 Die symmetrische Gruppe Sn . . . . . . . . . . . . . . 59

    4.2 Algebraische Strukturen mit zwei binären Operationen – Rin- ge und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2.1 Der Körper C der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . 65

    5 Lineare Gleichungssysteme II 71 5.1 Determinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.2 Cramersche Regel zum Lösen linearer Gleichungssysteme . . . 81 5.3 Berechnung inverser Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.4 Determinantensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

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  • 5.5 Algebraische Struktur der Lösungsmenge eines linearen Glei- chungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    5.6 Geometrische Deutung der Lösungsmenge eines linearen Glei- chungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    5.7 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen im Raum . . . . . 95 5.8 Durchschnitte linearer geometrischer Objekte . . . . . . . . . 97

    6 Vektorräume und lineare Abbildungen 100 6.1 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . 101 6.2 Untervektorräume und Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.3 Koordinatendarstellung von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . 108 6.4 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.5 Basistransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer linearen Abbildung . . . . 116

    7 Euklidische Räume 122 7.1 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.2 Schmidtsches Orthonormierungsverfahren . . . . . . . . . . . . 127 7.3 Isomorphismen Euklidischer Vektorräume . . . . . . . . . . . . 130 7.4 Euklidische affine Räume und Bewegungen . . . . . . . . . . . 133

    7.4.1 Bewegungen in Ebene und Raum . . . . . . . . . . . . 134 7.5 Abstände und Schnittwinkel Euklidischer affiner Teilräume . . 139

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  • Kapitel 1

    Einleitung

    Der Titel dieser ersten von vier Vorlesungsreihen der Mathematik-Ausbildung für Informatiker wird von zwei Grunddisziplinen, der Algebra und der Geo- metrie geprägt. Klassisches Anliegen der Algebra war das Rechnen mit Buchstabenausdrücken, insbesondere das Auflösen algebraischer Gleichungen. Daraus entwickelte sich die moderne Algebra, als die Lehre von den algebraischen Strukturen, d.h. von Mengen auf denen Operationen und Relationen erklärt sind. Die allgemeinste Theorie der universellen Algebra, dabei werden keine weiteren Einschränkungen an die Operationen und Relationen gemacht, wird Ihnen noch in diesem Semester in der zur theoretischen Informatik zählenden Vor- lesungsreihe zur Mengenlehre wieder begegnen. Eine algebraische Gleichung als das klassische Objekt der Algebra besteht aus zwei durch ein Gleichheitszeichen getrennte Ausdrücke, die nur mittels Addition und Multiplikation aus Zahlen und Variablen gebildet sind. Die Auflösung einer derartigen Gleichung besteht in der Suche nach einer (oder allen möglichen) Ersetzung(en) der Variablen durch Zahlen, so daß beide Sei- ten der Gleichung bei Auswertung den gleichen Wert ergeben. Eine Vielzahl praktischer Probleme läßt sich durch algebraische Gleichungen beschreiben und lösen. Nicht zuletzt dadurch kommt den algebraischen Strukturen mit Addition und Multiplikation, oder allgemeiner den algebraischen Strukturen mit einer oder zwei binären Operationen, eine besondere Bedeutung zu. Die wichtig- sten derartigen Strukturen sind Halbgruppen, Gruppen, Ringe und Körper. Häufig bezieht sich die Bezeichnung Algebra ohne das Adjektiv “universell” auf die Untersuchung gerade dieser Strukturen.

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  • Man unterscheidet die uns hier vorrangig interessierende lineare Algebra, de- ren Anliegen die Lösung und das Studium linearer Gleichungssysteme ist. Eine lineare Gleichung zeichnet sich gerade dadurch aus, daß in jedem auf- tretenden Produkt höchstens ein Faktor Variablen enthalten darf. Läßt man diese Einschränkung fallen, so gelangt man zur ungleich schwerer beherrsch- baren nichtlinearen Algebra, auf die wir nur in sehr speziellen Fällen zu sprechen kommen werden. Als zweite mathematische Disziplin interessiert uns die Geometrie, welche ur- sprünglich als die Lehre vom Raum und den räumlichen Objekten entstand. Mit der Axiomatisierung der Geometrie löste sich die Theorie immer weiter von der räumlichen Anschauung ab. Heute können aus den Axiomen der Geometrie abgeleitete Aussagen über Objekte getroffen werden, die augen- scheinlich nicht mehr viel mit den klassischen Vorstellungen zu tun haben. Unsere Untersuchungen werden auf die klassische Geometrie beschränkt blei- ben. Die analytische Geometrie beschreibt geometrische Objekte mit Hilfe der Ko- ordinatenmethode. Aus dem Schulunterricht ist Ihnen bekannt, wie man die geometrischen Grundobjekte, Punkte und Gerade, anhand von Ortsvekto- ren und Gleichungen zwischen den Koordinaten beschreiben kann. Ebenso führen geometrische Aktionen wie Verschiebungen, Drehungen oder Spiege- lungen auf Koordinatenrechnungen. Das Wechselspiel zwischen Geometrie und Algebra macht man sich ebenso beim Studium komplizierterer geome- trischer Objekte nutzbar. Faßt man ein Polynom als Abbildungsvorschrift einer Funktion auf, dann lassen sich die Nullstellen als Koordinaten von Punkten deuten. Die algebraische Geometrie beschäftigt sich mit dem Wech- selspiel zwischen Mengen von Polynomen und dem geometrischen Ort ihrer gemeinsamen Nullstellen.

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  • Kapitel 2

    Grundlagen der Mathematik

    Will man beim Behandeln eines beliebigen Gebietes der Mathematik über den naiven Standpunkt hinauskommen, so benötigt man zunächst einiges Rüstzeug aus Logik und Mengenlehre. Diese beiden in ihrer strengen axio- matischen Form erst in diesem Jahrhundert entwickelten Disziplinen nennt man auch die Grundlagen der Mathematik. Logik und Mengenlehre sind für Mathematik und Informatik, und damit auch für jede andere ernsthafte Wissenschaft, gleichermaßen wichtig. Seien Sie also nicht erstaunt darüber, daß die Vorlesungen zu den Grundlagen der Mathematik heute der theo- retischen Informatik zugeordnet werden. Wenngleich Logik und Mathema- tik besonders abstrakt erscheinen, so stellen doch gerade sie die wesentliche Schnittstelle zwischen der materiellen Realität und der abstrakten Welt der Mathematik dar. Beide Wissenschaften sind daher eng mit philosophischen Fragestellungen verbunden.

    2.1 Logische Symbole und Formeln

    Das Anliegen der Mathematik besteht in der Formulierung und dem Bewei- sen von Aussagen. Dazu bedarf es zunächst einmal einer geeigneten for- malisierten Sprache. Warum reicht eine menschliche Sprache nicht immer aus? Menschliche Sprachen sind zu umständlich, die Formulierung mathe- matischer Aussagen wird leicht sehr lang und unübersichtlich. Außerdem besitzen menschliche Sprachen eine Reihe von Mehrdeutigkeiten, deren man sich beim ersten Blick nicht einmal bewußt ist. Außerdem sind menschli- che Sprachen stark kontextabhängig. Betrachten Sie beispielsweise den Satz

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  • An diesem Treffen nahmen berühmte Frauen und Männer teil. Bezieht sich berühmt nur auf die Frauen oder auch auf die Männer? Die Antwort ist nicht klar, die umliegenden Sätze können aber zur Klärung beitragen. Wer sich für dergleichen Phänomene interessiert, dem empfehle ich den Besuch der Vorlesungen zur automatischen Sprachverarbeitung in späteren Semestern. Um diesen Problemen aus dem Wege zu gehen, haben sich die Mathemati- ker eine eigene kompakte Sprache, die Logik, geschaffen, deren Sätze, d.h. Formeln, keine Mehrdeutigkeiten zulassen. Nun ist es nicht so, daß die Mathematiker nur auf dem Niveau der Logik miteinander komunizieren. Würden Sie ein Mathemtiklehrbuch komplett in die Logik übertragen, so wäre es für einen Menschen praktisch nicht mehr zu verstehen. Üblich ist ein Zwischenweg, man formuliert die Theorie in einer menschlichen Sprache (oft Englisch) und formalisiert nur kurze über- schaubare Stücke, nämlich solche wo man eine kurze prägnante Formulie- rung anstrebt, die jeder Mathematiker sofort überblickt, oder solche wo man Mehrdeutigkeiten vorbeugen möchte. Ebenso wollen wir es in dieser Vorlesung halten. Dafür wollen wir jetzt die notwendige Symbolik und die Erklärung ihrer Bedeutung bereitste