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Lineare diskrete Systeme uber Ringen
Eva ZerzRWTH Aachen
Elgersburg 2007
Lineare Differenzengleichungen
Fibonacci (1202): x : N→ R mit
x(t+ 2) = x(t+ 1) + x(t) fur alle t ∈ N
x(0), x(1) frei wahlbar, bestimmen Losung eindeutig, z.B.
x = (0,1,1,2,3,5,8,13,21, . . .)
Lineare Differenzengleichungen
Fibonacci (1202): x : N→ R mit
x(t+ 2) = x(t+ 1) + x(t) fur alle t ∈ N
x(0), x(1) frei wahlbar, bestimmen Losung eindeutig, z.B.
x = (0,1,1,2,3,5,8,13,21, . . .)
Shift-Operator: (σx)(t) = x(t+ 1) σ2x = σx+ x bzw.
(σ2 − σ − 1)x = 0
Lineare Differenzengleichungen
Fibonacci (1202): x : N→ R mit
x(t+ 2) = x(t+ 1) + x(t) fur alle t ∈ Nx(0), x(1) frei wahlbar, bestimmen Losung eindeutig, z.B.
x = (0,1,1,2,3,5,8,13,21, . . .)
Shift-Operator: (σx)(t) = x(t+ 1) σ2x = σx+ x bzw.
(σ2 − σ − 1)x = 0
Charakteristisches Polynom: σ2 − σ − 1 ∈ R[σ]
x(t) = c1(1 +√
5
2)t + c2(
1−√
5
2)t
Anfangswerte x(0), x(1) ↔ Konstante c1, c2
Klassische diskrete Systemtheorie
Zustandsraumsysteme (Kalman, . . . , 1960–)
σx = Ax+Bu
y = Cx+Du
A,B,C,D . . . Matrizen uber Korper K
x : N→ Kn etc.
Klassische diskrete Systemtheorie
Zustandsraumsysteme (Kalman, . . . , 1960–)
σx = Ax+Bu
y = Cx+Du
A,B,C,D . . . Matrizen uber Korper Kx : N→ Kn etc.
Behaviors (Willems, . . . , 1985–)
R(σ)w = 0
R . . . Matrix uber K[σ], K Korperw : N→ Kq
Weitgehend analog: K[σ, σ−1] und w : Z→ Kq
Partielle lineare Differenzengleichungen
z.B. Finite Differenzen Methode fur partielle Diff.gl. ∂1x = ∂22x
x(i+ 1, j)− x(i, j)k
=x(i, j + 1)− 2x(i, j) + x(i, j − 1)
h2
Charakteristisches (Laurent-)Polynom:
σ1 − 1
k−σ2 − 2 + σ−1
2
h2∈ R[σ1, σ2, σ
−12 ]
Partielle lineare Differenzengleichungen
z.B. Finite Differenzen Methode fur partielle Diff.gl. ∂1x = ∂22x
x(i+ 1, j)− x(i, j)k
=x(i, j + 1)− 2x(i, j) + x(i, j − 1)
h2
Charakteristisches (Laurent-)Polynom:
σ1 − 1
k−σ2 − 2 + σ−1
2
h2∈ R[σ1, σ2, σ
−12 ]
Oberst (1990): R(σ1, . . . , σn)w = 0
R . . . Matrix uber K[σ1, . . . , σn], K Korper
w : Nn → Kq
Weitgehend analog: K[σ1, . . . , σn, σ−11 , . . . , σ−1
n ] und w : Zn → Kq
Partielle lineare Differenzengleichungen
z.B. Finite Differenzen Methode fur partielle Diff.gl. ∂1x = ∂22x
x(i+ 1, j)− x(i, j)k
=x(i, j + 1)− 2x(i, j) + x(i, j − 1)
h2
Charakteristisches (Laurent-)Polynom:
σ1 − 1
k−σ2 − 2 + σ−1
2
h2∈ R[σ1, σ2, σ
−12 ]
Oberst (1990): R(σ1, . . . , σn)w = 0R . . . Matrix uber K[σ1, . . . , σn], K Korperw : Nn → Kq
Weitgehend analog: K[σ1, . . . , σn, σ−11 , . . . , σ−1
n ] und w : Zn → Kq
Kurakin, Kuzmin, Mikhalev, Nechaev et al. (1992–): Klasse par-tieller Differenzengl. uber Ringen mit Anwendungen auf Codes
Lineare Systeme uber kommutativen Ringen
Rouchalau, Wyman, Kalman (1972), Sontag (1976)
σx = Ax+Bu
y = Cx+Du
A,B,C,D . . . Matrizen uber RR . . . kommutativer Ring, meist Integritatsbereich
x : N→ Rn etc.
Lineare Systeme uber kommutativen Ringen
Rouchalau, Wyman, Kalman (1972), Sontag (1976)
σx = Ax+Bu
y = Cx+Du
A,B,C,D . . . Matrizen uber RR . . . kommutativer Ring, meist Integritatsbereichx : N→ Rn etc.
Kuijper, Pinto, Polderman (2005–)
R(σ)w = 0
R . . . Matrix uber Zm[σ], m Primzahlpotenzw : N→ (Zm)q
mit Anwendungen auf CodesWeitgehend analog: Zm[σ, σ−1] und w : Z→ (Zm)q
Uberblick
• Algebraische Systemtheorie
• Systemtheoretische Eigenschaften uber Integritatsbereichen
– Autonomie
– Steuerbarkeit
• Partielle Differenzengleichungen I: Koeff. in einem Korper
• Partielle Differenzengleichungen II: Koeff. in Zm
Algebraische Systemtheorie
• (Shift-) Operatoren
D . . . kommutativer Ring (mit 1, 6= {0}), Noethersch
• Signale (Folgen)
A . . . D-Modul
Algebraische Systemtheorie
• (Shift-) Operatoren
D . . . kommutativer Ring (mit 1, 6= {0}), Noethersch
• Signale (Folgen)
A . . . D-Modul
• Abstraktes lineares System
B = {w ∈ Aq | Rw = 0}
• Darstellung
R ∈ Dg×q
Malgrange-Isomorphismus
Abstraktes lineares System B = {w ∈ Aq | Rw = 0}
System-Modul: M = D1×q/D1×gR
Dann gilt: B ∼= HomD(M,A) = {D-lineare Abb. von M nach A}
Malgrange-Isomorphismus
Abstraktes lineares System B = {w ∈ Aq | Rw = 0}
System-Modul: M = D1×q/D1×gR
Dann gilt: B ∼= HomD(M,A) = {D-lineare Abb. von M nach A}
A ist injektiver Kogenerator ⇔HomD(·,A) ist exakt und treu, d.h.
M f→ N g→ P exakt, d.h., im(f) = ker(g)⇔
HomD(M,A)← HomD(N ,A)← HomD(P,A) exakt
Beispiele
• K Korper ⇒ HomK(·,K) exakt und treu
(dualer Vektorraum, duale Abbildung)
K als K-Modul ist injektiver Kogenerator
Beispiele
• K Korper ⇒ HomK(·,K) exakt und treu
(dualer Vektorraum, duale Abbildung)
K als K-Modul ist injektiver Kogenerator
• Z als Z-Modul ist nicht injektiv:
Zwar ist 0→ 2Z ↪→ Z exakt, aber
0 ← HomZ(2Z,Z) ← HomZ(Z,Z)ϕ|2Z 7→ ϕ
nicht, denn ψ : 2Z→ Z, 2n 7→ n lasst sich nicht auf Z fortsetzen
Beispiele
• K Korper ⇒ HomK(·,K) exakt und treu(dualer Vektorraum, duale Abbildung)K als K-Modul ist injektiver Kogenerator
• Z als Z-Modul ist nicht injektiv:Zwar ist 0→ 2Z ↪→ Z exakt, aber
0 ← HomZ(2Z,Z) ← HomZ(Z,Z)ϕ|2Z 7→ ϕ
nicht, denn ψ : 2Z→ Z, 2n 7→ n lasst sich nicht auf Z fortsetzen
• Q als Z-Modul ist zwar injektiv, aber kein Kogenerator, denn
0← HomZ(Z2,Q)︸ ︷︷ ︸=0
← 0
ist exakt, nicht aber 0→ Z2 → 0
A injektiv ⇒
Fundamentalprinzip: P ∈ Dg×p, Q ∈ Dh×g
Wenn ker(·P ) = im(·Q), so gilt ∀v ∈ Ag:
∃y ∈ Ap : Py = v ⇔ Qv = 0
Losbarkeitstest fur Py = v
(Existenz von Q mit endl. vielen Zeilen . . . D Noethersch)
D1×h ·Q−→ D1×g ·P−→ D1×p exakt ⇒Ah Q←− Ag P←− Ap exakt
A injektiver Kogenerator ⇒
Inklusion abstrakter linearer Systeme:
B1 ⊆ B2 ⇔ ∃X ∈ Dg2×g1 : R2 = XR1
Charakterisierung der Nichteindeutigkeit der Darstellung
0→ B1 → B2 exakt ⇒0←M1 ←M2 exakt
Beispiele injektiver Kogeneratoren aus der Systemtheorie
• Partielle und gew. Differentialgl. mit konst. Koeff.
D = K[∂1, . . . , ∂n] mit K = R oder C
A = O(Rn,K), C∞(Rn,K),D′(Rn,K)
[Ehrenpreis, Palamodov, Malgrange, Oberst]
Beispiele injektiver Kogeneratoren aus der Systemtheorie
• Partielle und gew. Differentialgl. mit konst. Koeff.
D = K[∂1, . . . , ∂n] mit K = R oder C
A = O(Rn,K), C∞(Rn,K),D′(Rn,K)
[Ehrenpreis, Palamodov, Malgrange, Oberst]
• Partielle und gew. Differenzengl. mit konst. Koeff.
D = R[σ1, . . . , σn] und A = {a | a : Nn → R}
D = R[σ1, . . . , σn, σ−11 , . . . , σ−1
n ] und A = {a | a : Zn → R}
R . . . Quasi-Frobenius-Ring (z.B. Korper, Zm)
[Oberst, Nechaev et al., Lu/Liu/Oberst,Z]
Systemtheoretische Eigenschaften
Bisher: D Noethersch
A injektiver Kogenerator
Zusatzlich: D ist Integritatsbereich, z.B. Polynomring uber Korper
Systemtheoretische Eigenschaften
Bisher: D NoetherschA injektiver Kogenerator
Zusatzlich: D ist Integritatsbereich, z.B. Polynomring uber Korper
Autonomie
Abstraktes lineares System B = {w ∈ Aq | Rw = 0}
Projektion auf die i-te Komponente πi : B → A, w 7→ wi
B autonom ⇔ kein πi ist surjektivd.h., es gibt keine freien Variablen (Inputs)
πi surjektiv ⇔ B πi−→ A −→ 0 exakt ⇔ M←−D ←− 0 exakt
Satz: [Pommaret & Quadrat, . . . ] Aquivalent:
• B ist autonom
• M ist Torsionsmodul
• R hat vollen Spaltenrang
Rang:
D Integritatsbereich ⇒ D ↪→ K Quotientenkorper
Steuerbarkeit
B steuerbar ⇔ B hat Bilddarstellung, d.h., ∃L ∈ Dq×l:
B = {w ∈ Aq | ∃` ∈ Al : w = L`}
Steuerbarkeit
B steuerbar ⇔ B hat Bilddarstellung, d.h., ∃L ∈ Dq×l:
B = {w ∈ Aq | ∃` ∈ Al : w = L`}
Satz: [Pommaret & Quadrat, . . . ] Aquivalent:
• B ist steuerbar
• M ist torsionsfrei
• R ist linke Syzygienmatrix, d.h., ∃L : im(·R) = ker(·L)
D1×g ·R−→ D1×q ·L−→ D1×l exakt ⇔ Ag R←− Aq L←− Al exakt
Partielle Differenzengleichungen uber Korpern
D = K[σ1, . . . , σn, σ−11 , . . . , σ−1
n ], K Korper
A = {a | a : Zn → K}
Satz: [Rocha, Valcher, Wood, Z, . . . ]
B autonom ⇔ es gibt kein 0 6= w ∈ B mit endlichem Trager
Partielle Differenzengleichungen uber Korpern
D = K[σ1, . . . , σn, σ−11 , . . . , σ−1
n ], K Korper
A = {a | a : Zn → K}
Satz: [Rocha, Valcher, Wood, Z, . . . ]
B autonom ⇔ es gibt kein 0 6= w ∈ B mit endlichem Trager
B steuerbar ⇔ ∀w1, w2 ∈ B ∀U1, U2 ⊂ Zn mit dist(U1, U2) groß
genug ∃w ∈ B
w(x) =
{w1(x) falls x ∈ U1w2(x) falls x ∈ U2
Partielle Differenzengleichungen uber Zm
D = Zm[σ1, . . . , σn, σ−11 , . . . , σ−1
n ], m ∈ N, m > 1
A = {a | a : Zn → Zm}
Wie bisher: D kommutativer Noetherscher Ring
A injektiver Kogenerator [Nechaev et al., Lu/Liu/Oberst,Z]
(basiert darauf, dass Zm Quasi-Frobenius-Ring)
Partielle Differenzengleichungen uber Zm
D = Zm[σ1, . . . , σn, σ−11 , . . . , σ−1
n ], m ∈ N, m > 1
A = {a | a : Zn → Zm}
Wie bisher: D kommutativer Noetherscher Ring
A injektiver Kogenerator [Nechaev et al., Lu/Liu/Oberst,Z]
(basiert darauf, dass Zm Quasi-Frobenius-Ring)
Neu: D ist i.A. kein Integritatsbereich (außer wenn m Primzahl)
R ∈ Dg×q
B = {w ∈ Aq | Rw = 0}
Laurent-Polynomring D = Zm[σ1, . . . , σn, σ−11 , . . . , σ−1
n ]
D 3 d =∑t∈Zn
dt σt11 · · ·σ
tnn
• d nilpotent ⇔ alle dt nilpotent
• d Nullteiler ⇔ ∃0 6= c ∈ Zm: c dt = 0 fur alle t
• d Einheit ⇔ . . .
Laurent-Polynomring D = Zm[σ1, . . . , σn, σ−11 , . . . , σ−1
n ]
D 3 d =∑t∈Zn
dt σt11 · · ·σ
tnn
• d nilpotent ⇔ alle dt nilpotent
• d Nullteiler ⇔ ∃0 6= c ∈ Zm: c dt = 0 fur alle t
• d Einheit ⇔ . . .
Uber Zm[σ1, . . . , σn]:d Einheit ⇔ d0 ist Einheit und alle dt fur t 6= 0 sind nilpotent
Hier: 3σ − 2 ∈ Z6[σ, σ−1] ist Einheit, denn
(3σ − 2)(4 + 3σ−1) = 1
Autonomie
Uber Korpern aquivalente Charakterisierungen differieren
Es gilt noch:
• Es gibt kein 0 6= w ∈ B mit endlichem Trager ⇒
• R hat vollen Spaltenrang ⇒
• B hat keine freien Variablen
Aber die Umkehrungen gelten i.A. nicht mehr!
Beispiele
R =
[2 00 2
]∈ Z2×2
4
B = {w : Z→ (Z4)2 | 2w = 0} = {w | w(t) ∈ {0,2}2 ∀t}
hat keine freien Variablen,
aber det(R) = 0, also hat R nicht Rang 2
Beispiele
R =
[2 00 2
]∈ Z2×2
4
B = {w : Z→ (Z4)2 | 2w = 0} = {w | w(t) ∈ {0,2}2 ∀t}
hat keine freien Variablen,
aber det(R) = 0, also hat R nicht Rang 2
R =
[1 00 2
]∈ Z2×2
4
B = {w : Z→ (Z4)2 | w1 = 0,2w2 = 0}
= {w | w1 = 0, w2(t) ∈ {0,2} ∀t}R hat Rang 2, aber es gibt Trajektorien mit endlichem Trager
Zum Konzept des Rangs
Fur Integritatsbereich klar (Einbettung in Quotientenkorper)
Fur beliebigen kommutativen Ring D zwei Rangkonzepte:
Determinantenideale
D =: J0(R) ⊇ J1(R) ⊇ J2(R) ⊇ . . .
Zum Konzept des Rangs
Fur Integritatsbereich klar (Einbettung in Quotientenkorper)
Fur beliebigen kommutativen Ring D zwei Rangkonzepte:
Determinantenideale
D =: J0(R) ⊇ J1(R) ⊇ J2(R) ⊇ . . .
• rang(R) . . . großtes r so dass Jr(R) 6= 0
• red-rang(R) . . . großtes r so dass ann(Jr(R)) = 0
Zum Konzept des Rangs
Fur Integritatsbereich klar (Einbettung in Quotientenkorper)Fur beliebigen kommutativen Ring D zwei Rangkonzepte:Determinantenideale
D =: J0(R) ⊇ J1(R) ⊇ J2(R) ⊇ . . .
• rang(R) . . . großtes r so dass Jr(R) 6= 0
• red-rang(R) . . . großtes r so dass ann(Jr(R)) = 0
Beispiele: R =
[2 00 2
]∈ Z2×2
4 rang(R) = 1 red-rang(R) = 0
R =
[1 00 2
]∈ Z2×2
4 rang(R) = 2 red-rang(R) = 1
Es gilt immer: red-rang(R) ≤ rang(R)
Uber Integritatsbereichen: red-rang(R) = rang(R)
Es gilt immer: red-rang(R) ≤ rang(R)
Uber Integritatsbereichen: red-rang(R) = rang(R)
Bedeutung des reduzierten Rangs
Satz von McCoy:
D kommutativer Ring
R ∈ Dg×q
Dann gilt
∃0 6= x ∈ Dq : Rx = 0 ⇔ red-rang(R) < q
Satz: Aquivalent:
• B hat keine Trajektorien mit endlichem Trager außer Null
• R hat reduzierten vollen Spaltenrang
• ∃X und Nichtnullteiler d: XR = dIq
Satz: Aquivalent:
• B hat keine Trajektorien mit endlichem Trager außer Null
• R hat reduzierten vollen Spaltenrang
• ∃X und Nichtnullteiler d: XR = dIq
⇓R hat vollen Spaltenrang
⇓∃X,0 6= d : XR = dIq
⇓
Satz: Aquivalent:
• B hat keine Trajektorien mit endlichem Trager außer Null
• R hat reduzierten vollen Spaltenrang
• ∃X und Nichtnullteiler d: XR = dIq
⇓R hat vollen Spaltenrang
⇓∃X,0 6= d : XR = dIq
⇓Satz: Aquivalent:
• B hat keine freien Variablen
• ∃X und 0 6= di: XR = diag(d1, . . . , dq)
Beispiel
R =
[2 00 3
]∈ Z2×2
6
definiert System ohne freie Variable
B = {w : Z→ (Z6)2 | 2w1 = 0,3w2 = 0}
= {w | w1(t) ∈ {0,3}, w2(t) ∈ {0,2,4} ∀t}
Beispiel
R =
[2 00 3
]∈ Z2×2
6
definiert System ohne freie Variable
B = {w : Z→ (Z6)2 | 2w1 = 0,3w2 = 0}
= {w | w1(t) ∈ {0,3}, w2(t) ∈ {0,2,4} ∀t}
aber
XR = dI2 ⇒ d = 0
da 〈2〉 ∩ 〈3〉 = 0 uber Z6
Steuerbarkeit
Uber Korpern aquivalente Charakterisierungen differieren
Es gilt noch:
Existenz einer Bilddarstellung ⇒
Verknupfbarkeit von Trajektorien
Fur m quadratfrei auch ⇐, fur beliebiges m: offen
Satz: Aquivalent:
• B hat Bilddarstellung
• M ist torsionslos
• R ist linke Syzygienmatrix
Satz: Aquivalent:
• B hat Bilddarstellung
• M ist torsionslos
• R ist linke Syzygienmatrix
Torsionslos: M lasst sich in sein Bidual einbetten
M → M∗∗
m 7→{M∗ → Dϕ 7→ ϕ(m)
Aquivalent: M lasst sich in Modul der Form DI einbetten
Es gilt immer: M torsionslos ⇒ M torsionsfrei, d.h.,
dm = 0, d Nichtnullteiler ⇒ m = 0
Es gilt immer: M torsionslos ⇒ M torsionsfrei, d.h.,
dm = 0, d Nichtnullteiler ⇒ m = 0
Umkehrung gilt fur endlich erzeugte Moduln, wenn D reduziert
ist, d.h., keine nilpotenten Elemente außer Null enthalt
(Satz von Gentile, Levy)
also insbesondere uber Integritatsbereichen
Es gilt immer: M torsionslos ⇒ M torsionsfrei, d.h.,
dm = 0, d Nichtnullteiler ⇒ m = 0
Umkehrung gilt fur endlich erzeugte Moduln, wenn D reduziert
ist, d.h., keine nilpotenten Elemente außer Null enthalt
(Satz von Gentile, Levy)
also insbesondere uber Integritatsbereichen
Hier: D = Zm[σ1, . . . , σn, σ−11 , . . . , σ−1
n ]
D reduziert ⇔ Zm reduziert ⇔ m quadratfrei
Satz: Sei m quadratfrei. Aquivalent:
• B steuerbar (Verknupfbarkeit von Trajektorien)
• M torsionsfrei/-los
• B hat Bilddarstellung
• R ist linke Syzygienmatrix
I.A. torsionslos ⇔ Bilddarst. ⇒ steuerbar ⇒ torsionsfrei
Ausblick
• Konstruktive Aspekte
Uber Korpern: ausgereifte Grobnerbasen-Theorie
Uber Zm: Theorie und Implementierungen nur teilweise
vorhanden
Ausblick
• Konstruktive Aspekte
Uber Korpern: ausgereifte Grobnerbasen-Theorie
Uber Zm: Theorie und Implementierungen nur teilweise
vorhanden
• Anfangsbedingungen fur autonome Systeme
Ausblick
• Konstruktive Aspekte
Uber Korpern: ausgereifte Grobnerbasen-Theorie
Uber Zm: Theorie und Implementierungen nur teilweise
vorhanden
• Anfangsbedingungen fur autonome Systeme
• Studium der Zm-Modulstruktur (frei? endlich erzeugt?)
Ausblick
• Konstruktive AspekteUber Korpern: ausgereifte Grobnerbasen-TheorieUber Zm: Theorie und Implementierungen nur teilweisevorhanden
• Anfangsbedingungen fur autonome Systeme
• Studium der Zm-Modulstruktur (frei? endlich erzeugt?)
• Zustandsraummodelle . . .
Gegeben: w1, . . . , wN polynomiell-exponentielle Funktionen,
d.h., von der Form
w(t) = p(t)λt
wobei p ∈ Zm[t1, . . . , tn]q, λ ∈ (Zm)n
Gesucht: kleinstes B, das die wi enthalt
Gegeben: w1, . . . , wN polynomiell-exponentielle Funktionen,
d.h., von der Form
w(t) = p(t)λt
wobei p ∈ Zm[t1, . . . , tn]q, λ ∈ (Zm)n
Gesucht: kleinstes B, das die wi enthalt
Resultat: B gegeben durch Zustandsraummodell der Form
σ1x = A1x...
σnx = AnxFx = 0w = Cx
