Linearna i nelinearna dinamika u akustici⇒ konstrukcija višedimenzionalnogsignala pomoću prikladno odabranog kašnjenja d i dimenzije Du obliku: ⇒ u teoriji ovakav signal u potpunosti

Zavod za elektroakustiku

Linearna i nelinearna dinamikau akustici

30.06.2011.

Doc. dr. sc. Antonio PetošićDoc. dr.sc. Ivan Đurek

Zavod za elektroakustikuFakultet elektrotehnike i računarstva

Unska 3, Zagreb, Hrvatska

Zavod za elektroakustikuSadržaj predavanja:⇒ Teorijski dio:⇒ osnovni parametri i jednadžbe u akustičkom polju;⇒ valna i Helmholtzova jednadžba;⇒ zvučnik i okolni medij kao nelinearni dinamički sustav;⇒ metode dokazivanja kaosa u eksperimentalnom sustavu

zvučnika (‘’nonlinear time series analysis’’);⇒ Praktični dio:⇒ mjerenje razine buke (oktavna i tercna analiza)⇒ mjerenje impulsnog odziva prostorije i određivanje njenih

akustičkih parametara (vrijeme odjeka)⇒ slušanje kaosa na zvučniku;

Zavod za elektroakustikuZvuk - što je to?

⇒ zvuk je naša percepcija podražaja nastalog kao poremećaj tlaka u mediju;

⇒ promjene tlaka nastaju zbog titranja molekula medija (zrak, voda, kruto tijelo);

⇒ čestice su zbog djelovanja vanjskih sila izbačene iz ravnotežnog položaja i osciliraju oko njega ;

⇒ zbog elastičnih veza između molekula medija poremećaj se širi dalje u prostor (Euler (1750) i Langrange(1759)) ;

⇒ osnovni parametri akustičkog polja: pomak čestice ( ), titrajna brzina ( ), akceleracija ( ), tlak (P), gustoća (ρ),kondenzacija ( ) intenzitet (I), snaga(P) i energija (E);

ξ

u

a

00

s ρ ρρ−

=

Zavod za elektroakustikuAkustički sustav

Pretvarač-generiranja

zvuka

Propagacija akustičkog vala

Prijam akustičkog

vala

tlak (P=p+P0)pomak (ξ)

titrajna brzina (u)

gustoća(ρ=ρ’+ρ0)

jednadžba stanja P=f(ρ) jednadžba

kontinuiteta

jednadžba gibanja

Zavod za elektroakustikuOsnovne jednadžbe

⇒ jednadžba kontinuiteta (Euler 1755): nelinearni i linearni oblik:

⇒ jednadžba gibanja (bez gubitaka):

⇒ jednadžba stanja (odnos između ukupnog tlaka (P=P0+p) iukupne gustoće medija (ρ=ρ’+ρ0):

⇒ linearna aproksimacija zanemaruje sve članove višeg reda5

( ) 0, , ( ) 0D Du u uDt Dt t tρ ρρ ρ∂ ∂+∇• ⋅ = = + ∇ ∇• ⋅ + =

∂ ∂

Du P fDt

ρ ⋅ + ∇ =

4( ) ( )3 b

u u u p u ut

ρ η η η∂ ⋅ + •∇ = −∇ + ⋅ + ∇ ∇⋅ − ⋅∇×∇× ∂

upt

ρ ∂−∇ = ⋅

∂

0

22

0 0 0 21( ') ( ) ' ( ) ( ') ......2

P PP p P Pρ

ρ ρ ρ ρ ρρ ρ

∂ ∂+ = + = + ⋅ + ⋅ ⋅ + ∂ ∂

)(ρPP =

02 0

0 00 0 0

( )P P Pc cP ρ

ρρ ρ ρ

∂= ⇒ = ⇒ =

∂ 02 0

0 00 0 0

( ) ( )P P Pc cP

γρ

ρ γρ ρ ρ

∂= ⇒ = ⇒ =

∂


Valna jednadžba za tlak i potencijalnu funkciju brzina

⇒ izvodi se iz linearizirane jednadžbe gibanja, kontinuiteta i jednadžbe stanja koristeći se teoremima iz vektorske analize;

⇒ Euler uvodi potencijalnu funkciju brzina:

⇒ valna jednadžba za tlak i potencijalnu funkciju brzina:

⇒ promatramo riješenja u obliku izraza:

6

2

2

20

1t

pc

p∂∂⋅=∆

0 0( ) ( ) ( ) 0 0up u ut t

ρ ρ∂ ∂−∇× ∇ = ∇× ⋅ ⇒ ⋅ ∇× = ⇒∇× =

∂ ∂

u φ ψ= ∇ +∇×

2

2 20

1c t

φφ ∂∆ = ⋅

∂

2

2 20

1rr r

ar c t

φφ φ ∂+ =

∂

0 0( / ) ( / )f t x c g t x cφ = − + + 0 01 1( / ) ( / )f t r c g t r cr r

φ = ⋅ − + ⋅ +

0 01 1( / ) ( / )f t r c g t r cr r

φ = ⋅ − + ⋅ +

Zavod za elektroakustikuNelinearna valna jednadžba

⇒ osnovna pretpostavka je da brzina širenja (c) nije konstanta i da ovisi o jačini poremećaja (titrajnoj brzini);

⇒ promatra se reducirana valna jednadžba koja u sebi uključuje samo izlazni val:

⇒ implicitno riješenje je dano oblikom:⇒ problem zadane početne vrijednosti se može riješiti

geometrijski metodom karakteristika (Riemann);⇒ eksperimentalno je moguće realizirati problem sa zadanim

rubnim uvjetima (vibriranje membrane zvučnika u cijevi);

7

( ) 0u uc ut x

∂ ∂+ ⋅ =

∂ ∂

( , ) / ( )u x t f t x c u= −

0

00

(0, ) sin( )

sin

u t u t

xu u tc u

ω

ωβ

= ⋅ ⋅

= ⋅ − + ⋅


Valni oblici signala zbognelinearnosti

8

2

0 0 0 0

00

0

1 ( ) ...

1sin( ) sin 2( ....2

x x u uc u c c c

uu u t kx k x t k xc

β ββ

ω β ω

= − ⋅ + + + ⋅

= ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ +


Zvučni tlak-magnituda ifrekvencijsko područje⇒ čujemo odstupanje od atmosferskog tlaka u frekvencijskom području

od 20Hz-20kHz;⇒ zbog velikih raspona zvučnih tlakova koje uho može registirati (10-5

-102 Pa) uvodi se logaritamsko mjerilo u dB;⇒ prag čujnosti na frekvenciji 1kHz p0=20μPa, pa je razina tlaka u dB;

⇒ uho jedan od najsavršenijih instrumenata:tlaku od 0dB odgovara pomak čestica reda veličine 100pm (10-10m).

010log20

pp

LP ⋅=

Zavod za elektroakustikuZavod za elektroakustikuZavod za elektroakustikuLjudski sluh- krivulja čujnosti

⇒ ljudsko uho- nelinearan sustav;⇒ ljudsko uho nema jednaku osjetljivost u cijelom području

čujnih frekvencija;

200Hz2kHz


Mjerenje razina i frekvencijskog sadržaja zvuka-zvukomjer⇒ usrednjava srednju kvadratnu vrijednost tlaka u vremenu (RMS

vrijednost i prikazuje ju u dB:

⇒ radi frekvencijsku analizu po oktavnim i tercnim pojasevima ili prema karakteristici ljudskog uha (A karakteristika);

11

2 2

0

1 ( )RMSp p

Tp t dt

T= = ⋅∫


Helmholtzova jednadžba-akustika prostora

⇒ prebacivanje valnih jednadžbi u frekvencijsku domenu:

⇒ ukoliko se u riješenja žele uvesti gubici tada se uvodi kompleksni valni broj (k):

⇒ pronalaženjem vlastitih riješenja Helmholtzove jednadžbe uz pravilno postavljene rubne uvjete na aktivnim i pasivnim površinama (tlak i titrajna brzina);

⇒ ukupno rješenje Helmholtzove jednadžbe je dano oblikom:

⇒ vlastita riješenja (modovi) su ortogonalne funkcije;⇒ problem kako pozicija izvora u prostoriji na nekom mjestu pobuđuje

neki mod;

12

{ }tjepp ⋅⋅⋅= ωˆRe 0ˆˆ 2 =⋅+∆ pkp

)()(* ωωα kjk +⋅−=

λπω ⋅

==2

ck ( ) ( )ˆ j t k r j t k rA Bp e e

r rω ω⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅= +

( , , , ) Re ( , , ) Nj tN N

N

p x y z t A x y z e ωψ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅∑

Zavod za elektroakustikuGreenove funkcije

⇒ uključivanje izvora u valnu ili Helmholtzovu jednadžbu:

⇒ rješenje i pobuda se može izraziti kao superpozicija modova;⇒ Greenova funkcija predstavlja impulsni odziv prostorije u

frekvencijskoj domeni:

⇒ simetrija s obzirom na poziciju izvora i prijamnika;

13

2 00 0 0

( , )( , ) ( , ) 4 ( ) uz 0G r rG r r k G r r r rn

π δ ∂∆ + = − ⋅ ⋅ − =

∂

00 2 2

1 ( ) ( )( , ) m m

mm

r rG r rV k k

ψ ψ⋅= −

−∑


Mjerenje impulsnog odziva u prostoriji

⇒ prostorija se pri malim razinama pobude promatra kao vremenski invarijantan linearni sustav (LTI);

⇒ u mjerenjima se impulsni odziv određuje korištenjem križne korelacije ulaznog i izlaznog signala i autokorelacije ulaznog signala;

⇒ koristimo signale (periodički šum, sweep, MLS) koji imaju Sxx=1 pa je križna korelacija izlaz ulaz upravo impulsni odziv u frekvencijskoj domeni.

⇒ iz impulsnog odziva u frekvencijskoj domeni se odrede rezonantne frekvencije prostorije;

14

( )( ) ( )

y(t)=x(t) h(t)= ( ) ( )

Y fH fX f

h x t dτ τ τ+∞

−∞

=

⊗ ⋅ −∫

*

*( ) ( ) ( )( ) =

( )( ) ( )YXXX

Y f X f S fH fS fX f X f

⋅=

⋅


Akustički parametri iz impulsnog odziva

⇒ impulsni odziv u vremenskoj domeni (inverzna Fourierova transformacija)⇒ integriranjem kvadrata impulsnog odziva može se odrediti vrijeme odjeka

u prostoriji (vrijeme koje je potrebno da zvučna energija padne za 60dB)

⇒ optimalno vrijeme odjeka, jasnoća, definiranost zvuka za neki prostor ovise o namjeni tog prostora (predavaonica, crkva, koncertna dvorana);

15

2( ) ( )

t

r t h t dt∞

= ⋅∫2

2

0

( )

10 log ( ) 10 log

( )

t

h t dt

r t

h t dt

∞

∞

⋅ = ⋅

∫

∫

Zavod za elektroakustikuZvučnik –nelinearni model

⇒ gibanje centralnog dijela membrane zvučnika se promatra kao superpozicija gibanja zavojnice (harmonički oscilator), membrane (Besselovi modovi), malih viskoelastičnih dijelova membrane (Bennewitz-Rӧtgersch) i okolnog zraka (Navier Stokes);⇒ matematički model zvučnika u obliku nelinearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda:

⇒ sva gibanja se manifestiraju u pomaku membrane koji se mjeri i iz njega rekonstruira se dinamika cjelokupnog sustava.

16

202 ( ) I cos( )eff

d x dxM R k x x B l tdtdt

ω⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅


(Navier Stokes);

Zavod za elektroakustikuParametri modela

⇒ proučavanje kaotičnog stanja na matematičkom modelu i u eksperimentalnom sustavu;

⇒ najveći uzrok nelinearnosti bez opteretnog medija je efektivna elastičnost ;⇒ efektivna elastičnost je mala za male amplitude pomaka membrane dok

nakon 7mm naglo raste zbog viskoelastičnosti materijala (renormalizacija);

17

202 ( ) cos( )d x dxM R k x x B l I t

dtdtω⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

'2

1

)(

)(

xtxxtx

=

= ' 21 1

02 2 2 1

( )( )( , )

( ) cos( ) ( ) ( ) ( )

x tx x tF t B l I Rx x t t x t k x x t

M Mω

= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

1 2

'' 02 2 1

' 2 2

' 2 2

'( ) ' ( )

'( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

m

x t x x tB l I Rx t x v x t k x x t

M Mu t u v u u v

v t u v v u v

ω

ω

= =⋅ ⋅

= = ⋅ − ⋅ − ⋅

= + ⋅ − ⋅ +

= − ⋅ + − ⋅ +

M=0.0128[kg], R=0.480[kg/s], B·l=5.5[Tm]I0=4.0[A], f=53[Hz], ω=2·pi·f

Zavod za elektroakustikuRezultati-model

18(I0=4.0A,f=53Hz)

Zavod za elektroakustikuZvučnik-eksperiment

⇒ mjerenje pomaka i ulazne električne impedancije oko rezonantne frekvencije mogu pokazati da li je sustav nelinearan;

⇒ mjerenja u vakuumu i u zraku u komori radi određivanja parametara modela uz mogućnosti mijenjanja amplitude struje, frekvencije, tlaka (opterećenja)

19

‘’Sweep’’

Zavod za elektroakustikuValni oblici i spektar

20

‘’Kaos’’


Dokazivanje kaotičnog stanja u eksperimentalnom sustavu

⇒ histereza, nelinearnost, bifurkacije, udvostručenje perioda, subharmonici su potencijalni znakovi kaosa u eksperimentalnom sustavu;

⇒ potrebno napraviti rigorozniju analizu snimljenih podataka (‘‘nonlinear time series analysis’’) u svrhu potvrde kaotičnog stanja i određivanja parametara kaosa;

⇒ određivanje nestacionarnosti i dugotrajne dinamike,rekonstrukcija faznog prostora, Poincareovi dijagrami,fraktalne dimenzije, Lyapunovljevih eksponenata inestabilnih periodičkih orbita;

⇒ odabrana frekvencija f=45Hz uz I0=3.6A u zraku (1bar), 247392 točaka(4 minute, 22.8 uzoraka po periodu pobude)

21


Nestacionarnost i dugotrajna dinamika⇒ eksperimentalni sustav pod djelovanjem većih amplituda pobude

može mijenjati svoje parametre (grijanje zavojnice i zraka);⇒ napraviti statističku analizu mijenjanja srednje vrijednosti

maksimalne i minimalne amplitude;

22

-ako dolazi do većih promjena vrijednosti signala onda se parametri sustava mijenjaju i analiza kaotičnogsignala ne daje prave rezultate

Zavod za elektroakustikuRekonstrukcija faznog prostora

⇒ iz eksperimentalnih rezultata (mjerenja pomaka membrane) se rekonstruira višedimenzionalan dinamički sustav;

⇒ X={X(1), X(2), ...X(N),...} 1-D signal;⇒ konstrukcija višedimenzionalnog signala pomoću prikladno

odabranog kašnjenja d i dimenzije D u obliku:

⇒ u teoriji ovakav signal u potpunosti karakterizira dinamiku sustava;⇒ dinamika se odvija u prostoru vektora Y(n) veće dimenzije ali ju mi

vidimo projicirano na os X(n);⇒ mjerenja X(n) i X(n+d) su međusobno povezana jer sve dinamičke

varijable utječu na promatranu varijablu;⇒ X(n+d) je nelinearna kombinacija svih varijabli u sustavu;

23

( )( ) ( ), ( ),... ( ( 1) )n X n X n d X n D d= + + −Y

NONLINEAR TIME SERIES ANALYSIS

Zavod za elektroakustikuPoincareovi dijagrami

⇒ najprirodniji način je uzorkovanje signala s frekvencijom pobude;⇒ u eksperimentu postoji ograničenje frekvencije uzorkovanja pa su

moguća riješenja lokalni maksimumi, vrijeme između maksimuma ili vremena prolaska kroz 0 (‘’flow data’’)

24

vrijeme između prolaska kroz 0 maksimalne amplitude


Rekonstrukcija faznog prostorakašnjenje -d

25

⇒ prvi minimum funkcije zajedničke informacije d ~ 7⇒ prva nula autokorelacije d ~ 6

21

1( ) [ ( ) ][ ( ) ]( )

N k

nR d X n X n d

N kµ µ

σ

−

=

= − + −− ∑ ( , )( ; ) ( , ) log

( ) ( )a A b B

p a bI A B p a bp a p b∈ ∈

=∑∑


Ugradbena dimenzija (‘’embedded dimension’’)

model malih dimenzija je dovoljan da opiše nelinearno ponašanje eksperimentalnog sustava;

preferirana ugradbena dimenzija je ona kada postotak lažnih susjeda bude minimalan

D~ 5 za orginalne podatke D~ 4 za Poincareove sekcije

Zavod za elektroakustikuFraktalna dimenzija

⇒ atraktor neće u potpunosti ispuniti fazni prostor (necjelobrojna dimenzija);⇒ korelacijska dimenzija se odredi konstruiranjem funkcije C(ε) koja je

funkcija vjerovatnosti da je udaljenost dvije proizvoljne točke manja od ε;

⇒ nije konstantan nagib zbog utjecaja šuma kvantizacije i zbog premalog broja podataka i prevelike frekvencije uzorkovanja;

⇒ prelazak na generalizirane dimenzije s obzirom na vjerovatnostposjećivanja rješenja dinamičkog sustava pojedinih dijelova atraktora;

27

1

1 1

2( ) ( | ( ) ( ) |)( 1)

N i

i j

C H Y i Y jN N

ε ε−

= =

= − −− ∑∑

(log( ))(log )

d CDd ε

=

Zavod za elektroakustikuGeneralizirane dimenzije

⇒ fraktalna dimenzija između 1.8 and 2.2 za reducirane podatke;⇒ fraktalna dimenzija između 2.6 and 3.0 za orginalne podatke;

28

originalni podaci reducirani podaci

( ) ( )

11 1

1( ) ln ( ) 1, ( ) ( ) ln ( )1

N Nq

q i i ii i

H P q H P Pq

ε ε

ε ε ε ε ε= =

= ≠ = −− ∑ ∑

( )( ) lim

lnqH

D qε

εε→∞

= −

Zavod za elektroakustikuLyapunovljevi eksponenti

⇒ mjeri stanje kaosa u sustavu⇒ kako brzo bliski početni uvjeti divergiraju;⇒ pozitivan eksponent je snažan pokazatelj kaotičnog stanja

višestruka potvrda⇒ 3 različite tehnike na orginalnim i reduciranim podacima

otpornost na šum⇒ nesigurnost zbog šuma ali nije sustavna greška

slaganje s teorijom⇒ …u disipativnim sustavima suma eksponenata mora biti negativna, jedan poztivan

eksponent snažan pokazatelj kaosa

Algorithm λ1 λ2 λ3 λ4 Sum

Rosenstein 0.403

Wolf 0.391

Eckmann-Ruelle 0.380 0.054 -0.184 -0.484 -0.234

Estimated exponents from Poincare section using 3 different techniques

( )1lim ln(0)

ii t

i

p tt p

λ→∞

=

Zavod za elektroakustikuZavod za elektroakustikuZavod za elektroakustikuNestabilne periodičke orbite (UPO)

⇒ dinamički sustav u kaosu se opisuje kao sustav sa beskonačnim brojem periodičkih orbita;

⇒ identifikacija nestabilnih periodičkih orbita igra vrlo bitnu ulogu metodama kontrole kaosa, sinhronizaciji i boljem razumijevanju dinamike sustava;

⇒ promatra se kada se dinamika približava istom području nakon većeg broja iteracija;

⇒ periodička orbita egzistira u tom području dinamika oko ravnotežne točke se aproksimira metodom najmanjih kvadrata

|| ( ) ( ) ||Y n Y n p ε− + <

Zavod za elektroakustikuMetode kontrole kaosa

⇒ OGY (Ott, Grebogi, York): pretvorba kaotičnog atraktora u sustav sa mnoštvom periodičkih gibanja;

⇒ u trenutku prolaska sustava blizu periodičke orbite (UPO-1 ili 2) se malom promjenom parametra (struje, frekvencije, opterećenja) prelazi iz kaotičnog gibanja u stabilnu periodičku orbitu;

⇒ znanje jednadžbi koje opisuju stanje sustava nije potrebno za implementaciju kontrole (prikladno za eksperimentalne situacije)

⇒ Metoda povratne veze (Pyragas):⇒ mjereni signal se zakasni i koristi se razlika između trenutnog i zakašnjelog

signala uz parametar p;⇒ pomoću malog parametra p kontrolira se struja ili frekvencija.

31

{ } )cos()]()([)( 02

2ttxtxpIlBxxk

dtdxR

dtxdM effm ⋅⋅−−⋅+⋅⋅=⋅+⋅+⋅ ωτ

{ } ))]()([cos()( 02

2ttxtxpIlBxxk

dtdxR

dtxdM effm ⋅−−⋅+⋅⋅=⋅+⋅+⋅ τω


Kontrola kaosa (eksperiment i model)

32

{ } )cos()]()([)( 02

2ttxtxpIlBxxk

dtdxR

dtxdM effm ⋅⋅−−⋅+⋅⋅=⋅+⋅+⋅ ωτ

I0=4[A], f=53[Hz], τ=1/f, p=-0.5:0.05:0.5t=0:dt:3s, dt=1/f ;

Zavod za elektroakustikuZaključak:

⇒ linearna akustika bavi se riješavanjem valne jednadžbe imodeliranjem impulsnog odziva prostorije;

⇒ problem auralizacije: kako će se snimljeni signal (u studiju bez refleksija) čuti u nekom prostoru;

⇒ rješenje: konvolucija snimljenog signala sa impulsnim odzivom prostorije;

Nelinearna dinamika zvučnika:⇒ preko 240000 točaka predstavlja 10000 orbita i nije dovoljno

za bolje određivanje fraktalne dimenzije uz prisutnost šuma i promjene dugotrajne dinamike (grijanje zavojnice);

⇒ provjera matematičkog modela usporedbom dobivenih parametara iz eksperimenta i modela;

⇒ zvučnik kao uređaj za stvaranje i reprodukciju kaotične glazbe

33

Zavod za elektroakustikuLiteratura:

⇒ Đurek, Ivan; Đurek, Danijel; Petošić, Antonio: Chaotic state in an electrodynamic loudspeaker. // Acta Acustica United with Acustica. 94 (2008.) , 4; str. 629-635

⇒ Reiss, Joshua; Đurek, Ivan; Petošić, Antonio; Đurek, Danijel: Verification of chaotic behaviour in an experimental loudspeaker // Journal of the Acoustical Society of America. 124 (2008.) , 4; str. 2031-2041

⇒ Djurek I.; Djurek D.; Petošić A.,: Stochastic solutions of Navier–Stokes equations: An experimental evidence.// Chaos, Volume 20, Issue 3, doi:10.1063/1.349596

⇒ Petošić, Antonio; Đurek, Ivan; Đurek, Danijel: Modelling of an Electrodynamic Loudspeaker Using Runge-Kutta ODE Solver // AES papers 122nd AES Convention. Beč, 2007. Paper Number: 7076,

⇒ Đurek, Danijel; Đurek, Ivan; Petošić, Antonio: Intrinsic MembraneFriction and Onset of Chaos in an Electrodynamic Loudspeaker// AES Papers, 123rd AES Convention. New York, 2007. Paper Number 7255

⇒34

Documents

Linearna i nelinearna dinamika u akustici⇒ konstrukcija višedimenzionalnogsignala pomoću prikladno odabranog kašnjenja d i dimenzije Du obliku: ⇒ u teoriji ovakav signal u potpunosti