Upload
vuliem
View
216
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
LTI sistemi
n LTI ¨ L - linear ¨ TI – time-invariant
n većina fizičkih procesa poseduje ova svojstva i mogu se modelirati kao LTI sistemi,
n pogodni za analizu zbog svojstva superpozicije.
Svojstvo superpozicije
n Ako se ulaz u LTI sistem može predstaviti kao linearna kombinacija skupa osnovnih (baznih) signala, superpozicija se može iskoristiti da se izlaz sistema izračuna kao suma odziva sistema na pojedinačne bazne signale.
LTI sistemi
n Pokazaćemo da je relacija između ulaza i izlaza LTI sistema povezana preko operacije konvolucije.
n Značaj konvolucije: poznavanje odziva sistema na impulsni ulaz osigurava mogućnost određivanja odziva sistema na proizvoljne ulazne signale.
Odziv kontinualnih LTI sistema i konvolucioni integral n Impulsni odziv:
¨ Impulsni odziv h(t) kontinualnog LTI sistema (opisanog pomoću operatora T) se definiše kao odziv sistema kada je ulaz δ(t), tj.
h(t)=T{δ(t)} Zbog čega nam je zanimljiv impulsni odziv?
Impulsni odziv n Omogućava nam da odredimo odziv LTI
sistema na proizvoljan ulaz. n Proizvoljan signal x(t) možemo predstaviti
pomoću velikog broja pomerenih δ impulsa.
n Aproksimiramo proizvoljni ulazni signal x(t) pomoću sume pomerenih i skaliranih impulsa
)()(ˆ Δ= kxtx
Δ+<<Δ )1(ktk
ima jediničnu površinu )(tΔδ
Δ+ )1(k
ΔΔ−Δ= Δ )()( ktkx δ
ΔΔ−Δ= ∑∞
−∞=Δ
kktkxtx )()()(ˆ δ
0→Δ ττδτ dtxtx ∫∞
∞−
−= )()()(
Odziv na proizvoljan ulaz
n Pošto je sistem linearan, odziv y(t) na proizvoljan ulaz x(t) se može izraziti kao:
{ }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−== ∫∞
∞−
ττδτ dtxTtxTty )()()()(
{ } ττδτ dtTx )()( −= ∫∞
∞−
{ })()( τδτ −=− tTth
τττ dthxty )()()( −= ∫∞
∞−
Jer je sistem vrem. invarijantan
KONVOLUCIONI INTEGRAL
LTI SISTEM JE U POTPUNOSTI OKARAKTERISAN SVOJIM
IMPULSNIM ODZIVOM.
Ili na drugi način... )(tx LTI
sistem )(ty)()( tht ΔΔ →δ
∑∞
−∞=Δ ΔΔ−Δ=
kktkxtx )()()(ˆ δ ∑
∞
−∞=Δ ΔΔ−Δ=
kkthkxty )()()(ˆ
0→Δ
τττ dthxty )()()( −= ∫∞
∞−
ττδτ dtxtx )()()( −= ∫∞
∞−
Konvolucioni integral
n Konvolucija dva kontinualna signala x(t) i h(t) je:
n Fundamentalan rezultat da je izlaz bilo kojeg kontinualnog LTI sistema konvolucija ulaza x(t) i impulsnog odziva h(t).
∫∞
∞−
−== τττ dthxthtxty )()()(*)()(
Operacija konvolucije
∫∞
∞−
−== τττ dthxthtxty )()()(*)()(
)(τh )( τ−hobrnuti
)( τ−h )( τ−thpomeriti za t
pomnožiti )()( ττ −thx integraliti ∫∞
∞−
− τττ dthx )()(
Vremenski interval x(τ)h(t- τ) Izlaz
-1 < t < 0 y(t)=(t+1)(t+2-1)/2
=(t+1)2/2
x(τ) 1
1 3 τ
h(t-τ)
t t+1 τ t+2
1 2
2
t+1 t+2
t+1
Vremenski interval x(τ)h(t- τ) Izlaz
0 < t < 1 y(t)=(1/2)·1 · 1=1/2
x(τ) 1
1 3 τ
h(t-τ)
t t+1 τ t+2
2 3
2
t+1 t+2
1
Vremenski interval x(τ)h(t- τ) Izlaz
1 < t < 2 y(t)=(1/2)-(t+2-3)(t-1)/2
= (1/2)-(t-1)2/2
x(τ) 1
1 3 τ
h(t-τ)
t t+1 τ t+2
3 4
4
t+1 t+2
1
Linkovi ka animiranim primerima
n http://en.wikipedia.org/wiki/Convolution n http://www.youtube.com/watch?
v=MEDjw6VcDTY
Svojstva konvolucionog integrala 1. Komutativnost
2. Asocijativnost
3. Distributivnost
)(*)()(*)( txththtx =
{ } { })(*)(*)()(*)(*)( 2121 ththtxththtx =
{ } )(*)()(*)()()(*)( 2121 thtxthtxththtx +=+
Odziv na step funkciju { })()( tuTts =
τττττ dhdtuhtuthtst
∫∫∞−
∞
∞−
=−== )()()()(*)()(
τ
u(τ)
1
τ
u(t-τ)
1
t
ODSKOČNI ODZIV s(t) SE MOŽE DOBITI INTEGRACIJOM IMPULSNOG ODZIVA h(t).
Ili integracijom poslednje jednačine:
h(t)=ds(t)/dt
Svojstva kontinualnih LTI sistema
n Sistemi sa ili bez memorije ¨ Izlaz zavisi samo od ulaza u tom trenutku. ¨ Ako je sistem linearan i vremenski invarijantan,
očigledno da sistem poseduje ova svojstva samo ako je y(t)=Kx(t).
¨ Bez memorije => nema izvoda i integrala. ¨ Da bi izlaz zavisio samo od ulaza u datom trenutku,
mora biti h(t)=0 za t≠0 (konvolucioni integral). ¨ Impulsni odziv takvog sistema je K(t)=Kδ(t).
Kauzalnost
n Izlaz sistema zavisi samo od tekućih i prošlih vrednosti ulaza u sistem.
n Da bi LTI sistem bio kauzalan, odziv y(t) ne sme zavisiti od ulaza x(τ) za τ>t.
n U konvolucionom integralu članovi h(t-τ) koji množe vrednosti x(τ) za τ>t moraju biti nula.
n Ova činjenica zahteva da impulsni odziv kauzalnog kontinualnog LTI sistema zadovoljava:
h(t)=0 za t<0.
Kauzalnost
n Izlaz kauzalnog kontinualnog LTI sistema:
n Ako je i ulazni signal kauzalan:
ττττττ dthxdtxhtyt
)()()()()(0
−=−= ∫∫∞−
∞
ττττττ dthxdtxhtytt
)()()()()(00
−=−= ∫∫
Stabilnost
n Prema definiciji, sistem je BIBO stabilan ako ograničen ulaz daje ograničen izlaz.
n Ako je Ix(t)I<B za svako t, onda vredi:
n Sistem je BIBO stabilan ako je njegov impulsni odziv apsolutno integrabilan:
ττ
ττττττ
dhB
dtxhdtxhty
∫
∫∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
≤
−≤−=
)(
)()()()()(
∞<∫∞
∞−
ττ dh )(
Svojstvene funkcije kontinualnih LTI sistema T: Ako operator T opisuje kontinualni LTI
sistem, tada vredi T{est}=λest, gde je s kompleksna promenljiva i λ kompl. konst.
D: Neka je y(t) izlaz sistema na ulaz x(t)=est. T{est}=y(t) Sistem je vremenski invarijantan: T{es(t+t0)}=y(t+t0) za proizvoljno t0
Sistem je linearan:
T{es(t+t0)}=T{estest0}=est0T{est}=est0y(t)
T je operator koji se odnosi na t. Za njega je est0 konstanta. y(t+t0)=est0y(t)
Kako je t0 proizvoljno, smenom t0 u t imamo:
T{est}=λest, λ=y(0)
y(t)=y(0)est=λest
y(t0)=y(0)est0 Uzimajući t=0:
Svojstvene funkcije
n Funkcija X(·) koja zadovoljava jednačinu T{X(·)}=λX(·) naziva se svojstvena (ili karakteristična) funkcija
operatora T a konstanta λ je svojstvena vrednost koja odgovara svojstvenoj funkciji X(·).
U konvolucionom integralu uzmemo x(t)=est:
{ } ( )
stststs
tsst
eesHedeh
deheTty
λττ
ττ
τ
τ
==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
==
∫
∫∞
∞−
−
−∞
∞−
)()(
)( )(
( ) ( )sHydehsH s === −∞
∞−∫ 0,)()( ττλ τ
Literatura
n Oppenheim, Willsky, “Signals and Systems”, Prentice-Hall, Second edition.
n MIT OpenCourseWare, Signals and Systems, Oppenheim, Lecture notes, www.ocw.mit.edu.
Dekonvolucija
n x(t) * h(t) = y(t) - konvolucija n h(t) – funkcija koju želimo da izdvojimo
(impulsni odziv sistema) n x(t) – pobudna funkcija (sweep) n y(t) – snimljeni odziv sistema na pobudu n Cilj dekonvolucije: Izdvojiti h(t) – čist odziv
sistema, bez primesa pobudnog signala
n konvolucijom izlaznog signala i vremenski invertovanog ulaznog signal moguće je direktno izdvojiti impulsni odziv sistema, kroz operaciju dekonvolucije:
h(t) = y(t) * x(-t)
Primena konvolucije/dekonvolucije n Merenje impulsnog odziva sistema n Konvolucioni reverbi n Filtracija slike
Merenje impulsnog odziva
n Pobuda impulsom – starterski pištolji, klapne, petarde, električne varnice, baloni...može, ali je nepraktično!
n Pobudni signali koji se reprodukuju zvučnikom: Sweep i MLS tipa.
Merenje – sweep pobude
n Linearni logaritamski sweep signali: niz prostih tonova može biti linearan (linear
sweep), što znači da je promena frekvencije konstantna u vremenu, ili eksponencijalan (logarithmic sweep), što znači da frekvencija signala raste sa fiksnim faktorom u jedinici vremena (npr. frekvencija se udvostručava svake sekunde).
MLS n MLS: Maximum Length Sequence n Beli šum – pobuđuje sve frekvencije
ravnomerno. Statistički, to je potpuno slučajan (random) proces (nedeterministički signal).
n MLS: iste statističke osobine kao beli šum, ali je potpuno određen/predvidiv/ponovljiv (deterministički signal).
n Primena u kriptografiji – ko sluša, čuje šum! Nije šum, već kontrolisana sekvenca u koju je upakovana informacija.
Konvolucioni reverbi
n y(t) – snimljeni odziv prostorije sa sve pobudnim signalom
n x(t) – pobudni signal (Sweep, MLS) n h(t) – čist impulsni odziv prostorije – reverb n Softveri bazirani na dekonvoluciji – za
“semplovanje” prostora n Konvolucija – spajanje tako semplovanih
impulsnih odziva sa pobudnim signalima – Konvoloucioni reverbi
Konvolucioni reverbi
n http://en.wikipedia.org/wiki/Convolution_reverb (pogledati i External Links)
n http://www.audioease.com/Pages/Altiverb/sampling.php
Seminarski radovi n 30 poena n Mogućnost izražavanja želje, ali teme zadaje i rad
organizuje predmetni nastavnik. n Uslov za upis konačne ocene n Timski rad u grupama od po tri studenta n Obim: minimum 10 strana sa sve slikama (Times New
Roman 12) n Rok za predaju radova za junski ispitni rok: 25. jun n Vežbe 20 poena n Test 50 poena
Teme n Umetnost odabiranja n Audio perceptivni kodovi n Kompresione tehnike n PCM n Optički mediji: od Video diska do Plavog zraka n Video kodeci n Protokoli i standardi prenosa digitalnih signala (AES/EBU, SPDIF,
HDMI, optičke veze...) n Digitalna televizija n Softveri za digitalnu obradu video signala n Softveri za digitalnu obradu audio signala n Uticaj procesa digitalizacije na savremene tokove ljudskog društva n Dekonvolucione merne tehnike n Konvolucione simulacije akustičkih prostora