LNEAS DE TRANSMISIN

Introduccin

Las lneas de transmisin confinan la energa electromagntica a una regin del espacio limitada por el medio fsico que constituye la propia lnea, a diferencia de las ondas que se propagan en el aire, sin otra barrera que los obstculos que encuentran en su camino. La lnea est formada por conductores elctricos con una disposicin geomtrica determinada que condiciona las caractersticas de las ondas electromagnticas en ella.

En los sistemas de comunicaciones, las lneas de transmisin encuentran numerosas aplicaciones no slo en el transporte de seales entre una fuente y una carga, sino tambin como circuitos resonantes, filtros y acopladores de impedancia. Algunas de las aplicaciones ms comunes incluyen el transporte de seales telefnicas, datos y televisin, as como la conexin entre transmisores y antenas y entre stas y receptores.

El anlisis de las lneas de transmisin requiere de la solucin de las ecuaciones del campo electromagntico, sujetas a las condiciones de frontera impuestas por la geometra de la lnea y, en general, no puede aplicarse la teora clsica de circuitos, ya que sta se ocupa de circuitos con parmetros concentrados, en tanto que en una lnea los parmetros son distribuidos. Dichos parmetros son: resistencia, inductancia, capacidad y conductancia y, en los circuitos elctricos convencionales, estn concentrados en un solo elemento o componente bien localizado fsicamente. Se considera que, en un circuito, los parmetros son concentrados cuando las dimensiones fsicas de sus componentes, incluyendo los hilos de conexin, son mucho menores que la longitud de onda de la energa manejada por el circuito. Si las dimensiones del circuito y sus componentes son comparables a la longitud de onda o menores que sta, el circuito debe considerarse como de parmetros distribuidos y su tratamiento requiere de la teora de lneas de transmisin, derivada de la teora del campo electromagntico. As en una lnea de transmisin, la resistencia, inductancia, capacidad o conductancia no pueden considerarse concentradas en un punto determinado de la lnea, sino distribuidos uniformemente a lo largo de ella.Una de las lneas ms simples es la constituida por un par de hilos conductores Paralelos y se le designa como lnea de pares o lnea abierta. Este tipo de lnea, con diversas variantes se utiliza extensamente en telefona y transmisin de datos, as como para la conexin de transmisores y antenas en las bandas de MF y HF.

Otro tipo de lnea de uso muy frecuente en sistemas de banda ancha como la telefona multicanal, televisin y RF hasta frecuencias del orden de 1 GHz, es la lnea coaxial. A frecuencias superiores se emplean guas de onda, constituidas por tubos huecos de material conductor de seccin rectangular, circular o elptica.

ANTECEDENTES DE LAS LNEAS DE TRANSMISIN

El primer cable submarino. Thomson y Heaviside.En la dcada de 1830 Samuel Morse haba establecido la posibilidad prctica de enviar mensajes mediante corrientes elctricas a lo largo de hilos conductores, enviando un mensaje desde Baltimore a Washington. Poco a poco gran parte de los pases europeos yEstados Unidostendieronredesde telegrafa que comunicaron las grandes ciudades. El siguiente paso sera establecer unacomunicacinintercontinental, para lo cual se requera instalar un cable submarino. En 1851 se estableci una conexin entreInglaterrayFrancia.En 1856 se cre la Atlantic Telegraph Company con uncapitalde 350.000 (entonces equivalentes a unos $1.400.000, presidida por el empresarionorteamericano Cyrus Field, cuyo nico propsito era tender el primer cable trasatlntico. Uno de sus diecisiete directores era elprofesor de filosofa natural de laUniversidadde Glasgow,William Thomson

En 1854 Thomson haba aplicado elmtodode Fourier - quien haba resuelto el problema de la transmisin delcalora la propagacin de los impulsos elctricos en un cable largo. Elmodelode Thomson era equivalente al que hemos propuesto para una lnea con prdidas, pero sin considerar los efectos inductivos (L = 0) ni prdidas dielctricas (G = 0).

Llegaba as aecuacionesdel tipo:

Que es una ecuacin de difusin del tipo de la transmisin del calor. No existe para una perturbacin que siga esta ecuacin diferencial unavelocidad definida. Ante un estmulo en forma de escaln la respuesta es unafuncinerror:

Para una lnea de longitudL, el mximo de corriente se da para:

Esta es la famosa "leyde cuadrados" que encontr Thomson. Significa que, si se aplica un pulso telegrfico a la entrada de la lnea, eltiempoque tarda en llegar al otro extremo es proporcional al cuadrado de la longitud de la lnea. La tarea de colocar el cable se dividi entre dos barcos, la fragata norteamericana Niagara y el buque deguerrabritnico Agamemnon.Elplanera navegar hasta el punto medio del tendido y desde all el Niagara colocara el cable hacia Norteamrica y el Agamemnon colocara el cable hacia Inglaterra. El tendido comenz el 30 de julio de 1857. Luego de muchas rupturas, la colocacin se complet finalmente en el quinto intento ms de un ao despus, el 5 de agosto de 1858. Los dos puntos extremos del tendido eran Valentia Harbour, en Irlanda, y Trinity Bay en Newfoundland. El 16 de agosto se estableci la primera comunicacin, con el mensaje: "Glory to God in the highest, and on earth, peace, good will to men". Sin embargo, el cable dej de funcionar tres semanas despus. El "electricista" a cargo, un aficionado llamado O. E. W. Whitehouse, era en realidad un mdico retirado que se haba dedicado a laelectricidady la telegrafa y no tena una comprensin acabada de los fenmenos involucrados. Por ejemplo, dijo sobre el modelo terico de Thomson y su ley de cuadrados:"Con todahonestidad, estoy obligado a responder que creo que lanaturalezano conoce talAplicacin de esa ley, y la puedo solamente considerar como una ficcin de las escuelas, una forzada y violenta adaptacin de un principio enFsica, bueno y verdadero bajo otras circunstancias, pero mal aplicado aqu."Para lograr detectar la muy dbil seal telegrfica, en lugar de usar instrumentos ms sensibles Whitehouse opt por aumentar la tensin aplicada al cable, lo que caus que el cable se cortocircuitara en puntos dbiles del aislante de gutapercha. Luego de un estudio de las causas de la salida de funcionamiento del cable transatlntico, Whitehouse fue despedido.En un segundo intento se tomaron en cuenta los estudios de Thomson. Se utiliz cable decobrede la mejorcalidaddisponible y con una seccin casi tres veces mayor del cable original, lo que disminua laresistenciapor unidad de longitud, mejorando la performance. Tambin Thomson insisti en lograr una mayor fortaleza y mejorar el aislamiento para evitar laaccindelaguade mar, as como disminuir las tensiones de trabajo, para lo cual desarroll un nuevo instrumento, el galvanmetro de espejo, que poda medir corrientes muy pequeas. El segundo intento de colocar el cable submarino, realizado entre el 14 de julio de 1865 y el 28 de julio de 1866, fue exitoso y se pudieron establecer comunicaciones transatlnticas permanentes. En la figura semuestrala estacin de recepcin del telgrafo trasatlntico en Valentia, Irlanda4.

El primer mensaje enviado fue:"A treaty of peace has been signed between Austria and Prussia". Relatos de la poca hablan de la fascinacin de los operadores porque los mensajes se reciban horas antes de que fueran enviados, debido a la diferencia de huso horario entre los extremos del cable). Casi inmediatamente, el uso del cable fue abierto comercialmente pero slo los muy ricos podan utilizarlo: las tarifas iniciales eran desde u$s 1 porcarta, pagables enoro, en una poca en que elsalariomensual de un trabajador era del orden de u$s 20. El cable original colocado en 1866 dej de operar en 1872, pero ya haba otros cuatro cables transatlnticos en uso para esa fecha.

Para valorar la importancia de estedesarrollode laingeniera, debe sealarse que para 1890 haba ya ms de 150 mil kilmetros de cables submarinos comunicando todo el mundo, y que recin en la dcada de 1960 el lanzamiento de los primerossatlitesde comunicaciones presentaron una alternativa a los cables submarinos.En noviembre de 1866 Thomson fue elevado a la categora de par del reino britnico bajo el ttulo de Lord Kelvin of Largs por sus logros en relacin al cable submarino.El Kelvin es el ro que atraviesa el terreno de la Universidad de Glasgow y Largs es el pueblo sobre la costa escocesa donde Thomson construy su residencia. Dentro de lainvestigacinen elelectromagnetismo, Thomson introdujo en 1850 las nociones de susceptibilidad y permeabilidad magntica, junto con los conceptos deB,HyM, en 1853 us lateoramagntica de Poisson para encontrar las ecuaciones de la energa magntica en trminos de los campos, por una parte, y de la corriente circulante y la inductancia, por otra. Ese mismo ao hall la ecuacin del circuito RLC, lo que dio una descripcinmatemticaa observaciones experimentales de Henry y Savery. Ya hemos hablado de su modelo mecnico del electromagnetismo que inspir los primerosmodelosde Maxwell.En 1857Gustav Kirchhoff(izquierda) encontr las ecuaciones del telegrafista para una lnea coaxial. Tambin hall que, si la resistencia del cable es pequea, estas ecuaciones llevan a la ecuacin deondascon una velocidad que para uncable coaxialda unvalormuy cercano a la velocidad de laluz. Kirchhoff se da cuenta de esta coincidencia y es as el primero en hallar que las seales electromagnticas viajan a la velocidad de la luz.

Las ideas de la propagacin de ondas en cables fueron retomadas y Completadas, usando el mtodo operacional que l mismo invent, porOliver Heaviside(foto).Heaviside no tuvoeducacinformal, ya que abandon sus estudios a los 16 aos. Aprendi elcdigoMorse y se dedic a ser operador telegrfico. A pesar de su falta de rigor matemtico, Heaviside estudi el Treatise de Maxwell y consigui reducir las veinte ecuaciones (escalares) con veinte incgnitas halladas por Maxwell a slo dos ecuaciones (vectoriales) con dos incgnitas en el vaco. Logr esta hazaa inventando elanlisisvectorial.Por este motivo las actuales ecuaciones de Maxwell deberan llamarse de Maxwell-Heaviside. Por su falta de rigor la idea revolucionaria de Heaviside tuvo pocos seguidores. Los fsicos que trabajaban con las ecuaciones de Maxwell estaban influenciados por el modelo de quaterniones, desarrollado por el mismo Maxwell y Tait. Slo Heinrich Hertz, que iba a alcanzar fama mundial por su comprobacin experimental de que las ondas electromagnticas se propagan a la velocidad de la luz, entendi la importancia de los trabajos de Heaviside y Gibbs y en 1892 public un trabajo riguroso donde llega a la notacin actual de las ecuaciones del electromagnetismo.Entre 1880 y 1887 Heaviside desarroll elclculo operacionalpara estudiar loscircuitos elctricos, que permite pasar de modelos basados en ecuaciones diferencialesa ecuaciones algebraicas. Este es el mtodo de la transformada deLaplaceque hoy en da es el mtodo normal de anlisis de circuitos. A pesar del evidentexitode este mtodo, la falta de rigor matemtico de las presentaciones de Heaviside hizo que no tuviera aceptacin ampla hasta 1906 en que su fundamentacin rigurosa fue establecida por el matemticoinglsThomas Bromwich.

Heaviside tambin se dedic a la propagacin de ondas en las lneas telegrficas. Redescubri las ecuaciones del telegrafista que ya haba hallado Kirchhoff. Heaviside se dio cuenta que el efecto de la inductancia de la lnea puede llevar a la condicin de propagacin sin distorsin por lo que sugiri aumentar la inductancia agregando inductores a lo largo de la lnea.En 1883 comienza a analizar la propagacin de ondas electromagnticas en conductores. En forma independiente en 1885 Heaviside y el fsico Horace Lamb describieron por primera vez el efecto pelicular en conductores, que hace que ladistribucinde corriente a altas frecuencias no sea uniforme y haya una concentracin de corriente sobre la periferia del conductor, modificando as su resistencia.

En 1902 y en forma casi simultnea Heaviside y el ingeniero norteamericano Arthur Kennelly anunciaron la probable existencia de una capa atmosfrica degasionizado que afectara la propagacin de las ondas electromagnticas. La capa de Heaviside-Kennelly es una de las capas de la ionosfera, cuya existencia fue corroborada experimentalmente en 1923.

Oliver Heaviside

TIPOS DE LNEAS DE TRANSMISIN

Lneas de transmisin de conductor paralelo:Linea de transmisin de cable abierto. Una linea de transmisin de cable abierto es un conductor paralelo de dos cables, y semuestraen la figura 8-6a. Consiste simplemente de dos cables paralelos, espaciados muy cerca y solo separados poraire. Los espaciadores no conductivos se colocan a intervalos peridicos para apoyarse y mantener se a la distancia, entre la constante de los conductores. La distancia entre los dos conductores generalmente est entre 2 y 6 pulgadas.El dielctrico es simplemente el aire, entre y alrededor de los dos conductores en donde se propaga la onda TEM. La nica ventaja real de este tipo de lnea de transmisin es suconstruccinsencilla. Ya que no hay cubiertas, las prdidas porradiacinson altas y es susceptible a recogerruido.Estas son las desventajas principales de una lnea de transmisin de cable abierto. Por lo tanto, las lneas de transmisin de cable abierto normalmente operan en el modo balanceado.

Secciones transversalesCables gemelos (doble terminal). Los cables gemelos son otra forma de lnea de transmisin para un conductor paralelo de dos cables, y se muestra en la figura 8-6b. Los cables gemelos frecuentemente son llamados cable de cinta.Los cables gemelos esencialmente son igual que una lnea de transmisin de cable abierto, excepto que los espaciadores que estn entre los dos conductores se reemplazan con un dielctrico slido continuo. Esto asegura los espacios uniformes a lo largo de todo el cable, que es una caracterstica deseable por razones que se explicarn posteriormente en este capitulo. Tpicamente, la distancia entre los dos conductores es de 5/16 de pulgada, para el cable de transmisin detelevisin. Losmaterialesdielctricos ms comunes son el tefln y el polietileno.Cable de par trenzado. Un cable de par trenzado se forma doblando ("trenzando") dos conductores aislados juntos. Los pares se trenzan frecuentemente en unidades y las unidades, a su vez, estn cableadas en el ncleo. Estas se cubren con varios tipos de fundas, dependiendo del uso que se les vaya a dar. Los pares vecinos se trenzan Con diferente inclinacin (el largo de la trenza) parapoderreducir la interferencia entre los pares debido a lainduccinmutua. Las constantes primarias del cable de par trenzado son sus parmetros elctricos (resistencia, inductancia, capacitancia y conductancia). Que estn sujetas a variaciones con elambientefsico comotemperatura, humedad y tensinmecnica, y que dependen de las variaciones en la fabricacin. En la figura 8 se muestra un cable de par trenzado.

Par de cables protegido con armadura. Para reducir las prdidas por radiacin e interferencia, frecuentemente se encierran las lneas de transmisin de dos cables paralelos en una malla metlica conductiva. La malla se conecta atierray acta como una proteccin. La malla tambin evita que lassealesse difundan ms all de suslmitesy evita que la interferencia electromagntica llegue a los conductores de seales. En la figura 8-6d Se muestra un par de cables paralelos protegido. Consiste de dos conductores de cable paralelos separados por un material dielctrico slido. Toda la estructuraest encerrada en un tubo trenzado conductivo y luego cubierto con una capa protectora deplstico.

Lneas de transmisin coaxial o concntrica. Las lneas de transmisin de conductores paralelos son apropiadas para las aplicaciones de baja frecuencia. Sin embargo, en las frecuencias altas, sus prdidas por radiacin y prdidas dielctricas, as como su susceptibilidad a la interferencia externa son excesivas. Por lo tanto, los conductores coaxiales se utilizan extensamente, para aplicaciones de alta frecuencia, para reducir las prdidas y para aislar las trayectorias de transmisin. Elcable coaxialbsico consiste de un conductor central rodeado por un conductor exterior concntrico (distancia uniforme del centro). A frecuencias de operacin relativamente altas, el conductor coaxial externo proporciona una excelente proteccin contra la interferencia externa. Sin embargo, a frecuencias de operacin ms bajas, el uso de la proteccin no es estable. Adems, el conductor externo de un cable coaxial general mente est unido a tierra, lo que limita su uso a las aplicaciones desbalanceadas.Esencialmente, hay dos tipos de cables coaxiales: lneas rgidas llenas de aire Y lneas slidas flexibles. El material aislante es un material de polietileno slido no conductivo que proporciona soporte, as como aislamiento elctrico entre el conductor interno y el externo. El conductor interno es un cable decobreflexible que puede ser slido o hueco.Los cables coaxiales rgidos llenos de aire son relativamente caros de fabricar, y el aislante de aire tiene que estar relativamente libre de humedad para minimizar las prdidas Los cables coaxiales slidos tienen prdidas menores y son ms fciles de construir, de instalar, y de darmantenimiento. Ambos tipos de cables coaxiales son relativamente inmunes a la radiacin externa, ellos en si irradian muy poca, y pueden operar a frecuencias mas altas que sus contrapartes de cables paralelos. Las desventajas bsicas de las lneas de transmisin coaxial es que son caras y tienen que utilizarse en el modo desbalanceado.Balunes. Un dispositivo decircuitosque se utiliza para conectar una lnea de transmisin balanceada a una carga desbalanceada se llama balun (balanceado a desbalanceado). 0 ms comnmente, una lnea de transmisin desbalanceada, como un cable coaxial, se puede conectar a una carga balanceada, como una antena, utilizando Un transformador especial con un primario desbalanceado y un bobinado secundario con conexin central.El conductor externo (protector) de una lnea de transmisin coaxial desbalanceada generalmente se conecta a tierra. A frecuencias relativamente bajas, pile de utilizarse un transformador ordinario para aislarla tierrade la carga, como se muestra en la figura 8a. El balun debe tener una proteccin electrostticaconectada a tierrafsicapara minimizar los efectos de capacitancas dispersas.Para las frecuencias relativamente altas, existen varios tipos diferentes de balunes para las lneas de transmisin.El tipo ms comn es un balun de banda angosta, llamados a veces balun choque, camisa o balun de bazuca, como se muestra en ha figura 88b. Se coloca alrededor una camisa de un cuarto de longitud de onda y se conecta al conductor externo de un cable coaxial. En consecuencia, la impedancia que se ye, desde la lnea de transmisin, est formada por una camisa y el conductor externo y es igual a infinito (o sea, que el conductor externo ya no tiene una impedancia de cero a tierra). As que, uno de los cables del par balanceado se puede conectar a la camisa sin hacer un cortocircuito a la seal. El segundo conductor se conecta al conductor interno del cable coaxial.

Parmetros primarios de la lnea

Se designan como parmetros primarios de la lnea los siguientes:

Resistencia en serie por unidad de longitud, R, expresada en /m. Inductancia en serie por unidad de longitud en Hy/m. Capacidad en paralelo por unidad de longitud, C, en fd/m. Conductancia en paralelo por unidad de longitud, G, en S/m.

La resistencia depende la resistividad de los conductores y de la frecuencia. En altas frecuencias, la resistencia aumenta con la frecuencia debido al efecto pelicular (skin), ya que la corriente penetra slo una pequea capa cercana a la superficie del conductor. La inductancia es consecuencia del hecho de que todo conductor por el que circula una corriente variable tiene asociada una inductancia. Como la lnea est formada por dos o ms conductores separados por un dielctrico, constituye, por tanto, un condensador cuya capacidad depende del rea de los conductores, su separacin y la constante dielctrica del material que los separa.Finalmente, la conductancia es consecuencia de que el dielctrico no es perfecto y tiene resistividad finita, por lo que una parte de la corriente se fuga entre los conductores y, junto con la resistencia en serie contribuye a las prdidas o atenuacin en la lnea.

Ecuaciones de la lnea de transmisin

Supngase un elemento infinitesimal de una lnea abierta de dos conductores paralelos, con parmetros primarios R, L, C y G, que puede suponerse tan pequeo como se quiera de modo que los parmetros del circuito puedan considerarse concentrados en la forma que se muestra en la figura 9.1.

El valor total de la resistencia en este elemento infinitesimal es Rdx ya que la resistencia por unidad de longitud R est distribuida uniformemente a lo largo de las dos ramas del elemento infinitesimal de longitud total dx. El hecho de considerarla dividida en dos ramas o concentrarla en una sola es arbitrario y lo mismo ocurre con la inductancia. La capacidad y la conductancia en paralelo estn, respectivamente, concentradas en un solo elemento. El voltaje y la corriente a la entrada del elemento infinitesimal son v + dv e i + di, respectivamente y a la salida, v e i. La cada de voltaje a lo largo de dx es dv y la corriente di circula a travs de la conductancia y la capacidad.

Suponiendo variaciones senoidales para el voltaje y la corriente y empleando notacin fasorial, pueden aplicarse las leyes de Kirchoff al circuito anterior, ahora de parmetros concentrados, con lo que se tiene:

Donde z = R + jL, es la impedancia en serie por unidad de longitud e y = G + j C, la admitancia en paralelo, tambin por unidad de longitud.Tomando la segunda derivada de las ecuaciones anteriores se tiene:

Y, la solucin general de las ecuaciones puede expresarse como:

Donde

Se define como constante de propagacin de la lnea es compleja y puede escribirse como:

Donde es la constante de atenuacin, expresada en nepers/m y la constante de fase en rad/m.

La ecuacin representa una onda de voltaje vista desde el extremo del generador que puede escribirse como:

Y, en funcin del tiempo en forma compleja:

Un anlisis similar puede hacerse para la corriente, obtenindose una ecuacin de onda para la corriente. El primer trmino de la derecha representa un voltaje de amplitud V + en el extremo del generador, que decrece exponencialmente a lo largo de la lnea segn e x como se muestra en la figura. Esta componente de la onda, que viaja del generador hacia la carga se designa como onda incidente.

El segundo trmino de la derecha representa una onda de voltaje que viaja en direccin opuesta a la onda incidente, cuya amplitud en el extremo del generador es V . Vista desde el generador, la amplitud de la onda es creciente al aumentar. Se trata de una onda reflejada por la carga.

Onda reflejada por la carga, vista desde el generador.

Es importante notar que las grficas anteriores no estn trazadas respecto al tiempo, sino a la distancia desde el generador, designada aqu como x, representan la distribucin del voltaje a lo largo de la lnea, para la onda incidente en el primer caso, y para la reflejada en el segundo. De hecho, la distribucin del voltaje en la lnea est dada por la suma de las ondas incidente y reflejada, lo que da lugar a una onda estacionaria a lo largo de la lnea.

Este proceso es anlogo al que ocurre cuando una onda electromagntica no confinada, que viaja en un medio de impedancia caracterstica Z1, incide sobre la frontera de un segundo medio de impedancia diferente, Z2. Una parte de la energa de la onda incidente se transmite hacia el segundo medio y otra se refleja hacia el primero. En el caso de la lnea de transmisin, el primer medio sera la propia lnea y el segundo la impedancia de carga. Si la impedancia de carga es igual al complejo conjugado de la impedancia caracterstica de la lnea, toda la energa es absorbida en la carga, en caso contrario, una parte de la energa incidente vuelve al generador.

Impedancia caracterstica

En las ecuaciones, V+, V-, I+ e I- son las constantes de integracin cuyos valores resultan de aplicar las condiciones de frontera a la solucin de las ecuaciones de la lnea. Tales condiciones de frontera estn representadas aqu por la impedancia de carga y el voltaje aplicado a la lnea. De estas cuatro constantes, solamente dos son independientes, ya que:

Dnde:

Se define como impedancia caracterstica de la lnea que, junto con la constante de propagacin, se designan como parmetros secundarios de la lnea y son independientes de la longitud de sta. La impedancia caracterstica de una lnea depende de la permitividad, permeabilidad, frecuencia y geometra de la lnea.La impedancia caracterstica es, en general, compleja, es decir:

Si la frecuencia es suficientemente alta como para que se cumpla que R