Linguagens Formais e Autmatos

Lista de Exerccios No. 01

Teoria de Conjuntos, Relaes, Funes e Tcnicas de Demonstrao Recordao

1) Suponha o universo N, e sejam A = {0, 1, 2} e B = {2, 3}. Ento:

a) A B

b) A B c) A B d) ~A e) 2B = P(B) f) A x B

2) Sendo A = {a, e, u}, B = {i, o} e C = {1, 2}, determine: a) A x B b) A x C c) B x C d) C x B

3) Sendo A = {x, y, z}, determine A x A.

4) Sendo A = {0, 1, 2, 3}, B = {2, 3} e C = {x | x par menor que 12 e maior que 0}, determine:

a) A B

b) A C

c) B C

d) (A C) B

e) A B

f) A C

g) B C

h) (A B) C

i) (A B) C

j) A (B C) k) A x B

l) B x (A C)

m) C x (A B) n) A - C o) C - A p) CAB

q) CB (A C)

r) (A B) (A C) s) B x (C - A) t) (A x C) - (B x C)

5) Sendo A = {x R | 0 x 1} e B = {x R | -1 x }, represente graficamente os seguintes conjuntos: a) A b) B

c) A B

d) A B

e) A B

f) A B g) A h) B

i) A B

j) A B

6) Indique se so verdadeiras ou falsas as afirmativas abaixo:

a)

b)

c) {}

d) {}

e) {a, b} {a, b, c, {a, b}}

f) {a, b} {a, b, c, {a, b}}

g) {a, b} 2{a, b, {a, b}}

h) {a, b} 2{a, b, {a, b}} i) {a, b, {a, b}} {a, b} = {a, b}

7) Indique os conjuntos abaixo em sua representao explcita:

a) ({1, 3, 5} {3, 1}) {3, 5, 7}

b) {{3}, {3, 5}, {{5, 7}, {7, 9}}}

c) ({1, 2, 5} {5, 7, 9}) ({5, 7, 9} {1, 2, 5}) d) 2{7, 8, 9} - 2{7, 9}

e) 2

8) Prove cada uma das igualdades (propriedades) a seguir:

a) A (B C) = (A B) (A C)

b) A (B C) = (A B) (A C)

c) A (A B) = A

d) A (A B) = A

e) A (B C) = (A B) (A C)

f) A A = A; A A = A (Idempotncia)

g) A B = B A; A B = B A (Comutatividade) h) ~(~A) = A (Duplo Complemento)

i) ~(A B) = ~A ~B (DeMorgan)

j) ~(A B) = ~A ~B (DeMorgan)

k) A ~A = U

l) A ~A =

9) Seja S={a, b, c, d} a) Qual a partio de S com menos elementos ? b) Qual a partio de S com mais elementos ? c) Liste todas as parties de S com exatamente dois membros.

10) Para o conjunto A = {, a, {a}}, determine: a) 2A b) A x B

c) A B d) A B

11) Considere A = {m} e B ={x, y}. Determine: a) 2A x 2A b) 2A x B c) P(P(A))

12) Para a relao {(a,b), (a,a), (b,a), (b,b), (b,c), (c,b), (c,c)}, qual a sua relao inversa? Qual o grafo que representa cada uma das duas relaes?

13) Considere as operaes relacionais abaixo apresentadas. Indique, para cada operao, se a mesma pode ser classificada como reflexiva, simtrica ou transitiva.

a) , sobre N x N b) , sobre N x N c) =, sobre N x N d) >, sobre N x N

e) , sobre 2N x 2N

f) , sobre 2N x 2N

14) Sabendo-se que o OU-EXCLUSIVO simbolizado por A B, mostre que:

A B (AB) uma tautologia

15) Com a utilizao de conhecimentos da Lgica de Proposies, reescreva o programa Pascal a seguir com uma expresso condicional simplificada:

if not ((valor1 < valor2) or odd(numero))

or (not(valor1 < valor2) and odd(numero)) then

comando1

else

comando2;

16) Indique o valor-verdade de cada uma das wffs a seguir na interpretao onde o domnio consiste nos estados do Brasil, Q(x,y) x ao norte de y, P(x) x comea com a letra P e a Paran.

a) (x) P(x)

b) (x) (y) (z) [Q(x,y) Q(y,z) Q(x,z)]

c) (y) (x) Q(y,x)

d) (x) (y) [P(y) Q(x,y)]

e) (y) Q(a,y)

17) Usando a lgica proposicional, prove que a argumentao abaixo vlida. Utilize os smbolos proposicionais indicados:

Se Jos pegou as jias ou a sra. Krasov mentiu, ento ocorreu um crime. O sr. Krasov no estava na cidade. Se ocorreu um crime, ento o sr. Krasov estava na cidade. Portanto Jos no pegou as jias. (J,M,C,E)

18) Prove que se dois inteiros so ambos divisveis por um inteiro n, ento a sua soma divisvel por n.

19) Prove ou apresente contra-exemplo:

a) O produto de quaisquer trs inteiros consecutivos par. b) A soma de dois nmeros pares par.

c) O produto de um nmero mpar por um nmero par mpar. d) A soma de dois nmeros mpares sempre mpar. e) O produto de dois nmeros pares sempre par. f) O produto de dois nmeros mpares sempre mpar.

20) Demonstre, utilizando induo matemtica, a validade das equaes abaixo para qualquer inteiro positivo:

a) 13 + 23 + ... + n3 = (n2(n+1)2) / 4 b) 2 + 6 + 10 + ... + (4n 2) = 2n2 c) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1) d) 4 + 10 + 16 + ... + (6n 2 ) = n(3n + 1) e) 12 + 22 + ... + n2 = (n(n+1)(2n+1)) / 6

21) Uma coleo S de cadeias de caracteres definida recursivamente por: a) a e b pertencem a S b) Se X pertence a S, ento Xb tambm pertence a S.

Quais das seguintes cadeias pertencem a S ?

a) a b) ab c) aba d) aaab e) bbbbb

22) Em um experimento, certa colnia de bactrias tem inicialmente uma populao de 50.000. Uma leitura feita a cada duas horas, e no final de cada duas horas de intervalo h trs vezes mais bactrias que antes.

a) Escreva uma definio recursiva para A(n), onde A(n) o nmero de bactrias presentes no incio do n-simo perodo de tempo.

b) No incio de qual intervalo existem 1.350.000 bactrias presentes?

23) Quais dos pares de proposies abaixo so equivalentes? Justifique.

a) (p q) e (~p q)

b) (~p ~q) e (~(p q))

c) (~p ~q) e (~(p q))

d) (p (q r)) e ((p q) (p r))

e) (p (q r)) e ((p q) (p r))

24) Considerando os conjuntos A={1, 2, 3, 4}, B={2, 4, 6, 8, 10} e C={a, b, c, d, e}, verifique se so funes as relaes abaixo. Caso sejam funes, classific-las como funes (i) parciais ou totais e (ii) injetora,

sobrejetora ou bijetora.

a) Entre A e B: {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)} b) Entre A e C: {(2,a), (4,c), (3,6), (2,b)} c) Entre B e C: {(2,a), (4,c), (6,d), (8,b), (10,e)} d) Entre A e B: {(1,2), (2,4), (4,10)} e) Entre C e B: {(a,10), (c,2), (b,10), (e,4), (d,8)} f) Entre C e A: {(a,1), (b,2), (c,3), (d,4)} g) Entre C e A: {(a,3), (b,4), (c,2), (d,1), (e,1)}