USP-FFCLRP Introducao a Estatıstica e Probabilidade IIDCM Matematica Aplicada a NegociosProf. Rafael A. Rosales 29 de maio de 2011

Sumario

1 Convergencia de variaveis aleatorias 21.1 Leis dos Grandes Numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Lei Fraca dos Grandes Numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Lei Forte dos Grandes Numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Teorema Central do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Teoremas de De Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 O Teorema Central do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Estimacao pontual 102.1 Medidas resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Maxima verossimilhanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Distribuicoes amostrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Estimadores suficientes∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6.1 Um estimador para π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6.2 O paradoxo de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Intervalos e testes de hipotese 163.1 Intervalos de Confianca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Intervalo para µ1 − µ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Intervalo para p1 − p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4 Testes de Hipoteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4.1 Testes para µ e p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4.2 Testes t-Student : teste e intervalo para µ com σ2 desconhecida . . . . . . . . 193.4.3 Teste χ2: Testes e intervalos para a Variancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4.4 Teste F (Fisher-Snedecor): σ2

1/σ22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Analise de variancia e regressao linear 22

5 Teoria de Neyman-Pearson 285.1 Quocientes de verossimilhanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6 Apendice 296.1 Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.2 Estimacao pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.3 Distribuicoes amostrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.3.1 Distribuicoes Gamma e χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.3.2 Distribuicao t (t-Student) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.3.3 Distribuicao F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.3.4 Convolucao de variaveis aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7 Tabelas 46

1

1 Convergencia de variaveis aleatorias

Estas notas apresentam algumas nocoes basicas sobre a covergencia de variaveis aleatorias. Oproposito e fornecer a linguagem necessaria para abordar corretamente dois resultados clasicos:a Lei dos Grandes Numeros e o Teorema Central do Limite1. Estes resultados constituem a base docurso a ser apresentado durante o semestre.

Definicao 1. Sejam (Xn), n ≥ 1, e X, variaveis aleatorias definidas no mesmo espaco de probabi-lidade (Ω,B,P), e sejam FXn e FX as suas funcoes de distribuicao.

(i) Xn converge quase certamente a X, denotado por Xnq.c.−→ X, se

P(ω ∈ Ω : Xn(ω)→ X(ω) quando n→∞

)= 1.

(ii) Seja r um intero positivo. Xn converge a X no r-esimo momento, denotado Xnr−→ X, se

E[Xrn] <∞ e

E[|Xn −X|r

]→ 0, quando n→∞.

(iii) Xn converge a X em probabilidade, denotado XnP−→ X, se para todo ε > 0,

P(ω ∈ Ω : |Xn(ω)−X(ω)| > ε

)→ 0, quando n→∞.

(iv) Xn converge em distribuicao, denotado XnD−→ X, se

Fn(x)→ F (x) quando n→∞, para todo x ∈ R onde F (x) e continua.

Observamos que o ultimo tipo de convergencia corresponde a convergencia das funcoes de dis-tribuicao Fn(x) = P (Xn ≤ x) a funcao de distribuicao F (x) = P (X ≤ x), e nao diretamenta dasequencia de variaveis aleatorias Xn a variavel aleatoria X, portanto para este tipo de converg encia,Ω e B sao irrelevantes.

Teorema 1. Sejam Xn, n ≥ 1 e X variaveis aleatorias definidas em (Ω,B,P). Para todo inteiropositivo r, temos que

Xnq.c.−→ X

&.VVVVVVVVVV

XnP−→ X +3

XnD−→ X

Xnr−→ X

08hhhhh hhhhh

Se r > s ≥ 1, entao

Xnr−→ X +3 Xn

s−→ X.

Nao existem outras implicacoes em geral.

Sob hipoteses adicionais e posıvel obter algumas das implicacoes ausentes no Teorema 1.

Teorema 2. Sejam Xn, n ≥ 1, e X varaveis aleatorias definidas em (Ω,B,P).(i) Seja c uma constante, entao

XnD−→ c

+3 XnP−→ c .

(ii) Se XnP−→ X e P(|Xn| ≤ k) = 1 para todo n e algum k, entao Xn

r−→ X para todo r ≥ 1.

(iii) Se Pn(ε) = P(|Xn −X| > ε) satisfaze∑n Pn(ε) <∞ para todo ε > 0, entao Xn

q.c.−→ X.

A demostracao de estes dois teoremas sera realizada em varios pasos, cada um enunciado a suavez como um Lema. O seu estudo e opcional.

1as vezes tambem conhecido como Teorema do Limite Central, veja o prefacio em [2].

2

Lema 1. Se XnP−→ X enao Xn

D−→ X (em geral a implicacao oposta nao e valida).

Lema 2 (desigualdade de Markov). Seja X uma variavel aleatoria, tal que E[X] < ∞, entao paraqualquer constante a > 0,

P(|X| ≥ a

)≤ E

[|X|]/a.

Lema 3. (a) Se r > s ≥ 1 entao Xnr−→ X ⇒ Xn

s−→ X.

(b) Se Xn1−→ X ⇒ Xn

P−→ X.

O seguinte lema mostra que a convergencia quase certa implica convergencia em probabilidade, efornece um criterio para comprovar a convergencia quase certa baseado no Lema de Borel-Cantelli.Este ultimo Lema tambem e de interesse e e apresentado junto a sua demosntracao no apendice.

Lema 4. Sejam An(ε) = |Xn −X| > ε, e Bm(ε) = ∪n≥mAn(ε). Temos que

(a) Xnq.c.−→ X se e somente se P(Bm(ε))→ 0 quando m→∞ para todo ε > 0.

(b) Xnq.c.−→ X se

∑n P(An(ε)) <∞ para todo ε > 0.

(c) Se Xnq.c.−→ X, entao Xn

P−→ X, mas o contrario nao e sempre valido.

Em geral nao existe uma relacao entre convergencia quase certa e convergencia no r-esimo mo-mento.

Lema 5. Existem sequencias de variaveis aleatorias que convergem quase certamente, porem estasnao convergem no r-esimo momento e vice versa.

1.1 Leis dos Grandes Numeros

Seja Xn, n ∈ N uma sequencia de variaveis aleatorias, e seja Sn =∑ni=0Xi a sua soma parcial.

Em esta secao estudaremos o comportamento de Sn no limite quando n→∞. Em geral, e possıvelformular o problema da seguinte maneira. Se an e bn sao duas sequencias de numeors reais, quaissao as condicoes que garantem o limite

Sn/bn − an −→ S quando n→∞, (1)

onde “−→” denota uma das formas de convergencia definidas na definicao 1. Esta secao descrevedois resultados fundamentais conhecidos como a Lei Fraca e a Lei Forte dos Grandes Numeros. Noprimeiro caso a convergencia e em probabilidade, e no segundo a convergencia e quase certa.

1.1.1 Lei Fraca dos Grandes Numeros

Lema 6 (Desigualdade de Chebyshev2). Se X e uma variavel aleatoria integravel, entao para qual-quer constante k > 0

P(|X − E[X]| ≥ k

)≤ Var(X)

k2

Demonstracao. Seja ξ = k1X≥k, assim 0 ≤ ξ ≤ X, portanto E[ξ] ≤ E[X]∗ . Por outro lado, temosque E[ξ] = 0 · P(ξ = 0) + k · P(ξ = k) = k · P(X ≥ k), o qual permite chegar a desigualdade

P(X ≥ k) ≤ E[X]/k. (2)

Observamos agora que P(|X − E[X]| ≥ k) = P((X − E[X])2 ≥ k2), logo de (2) concluimos que

P((X − E[X])2 ≥ k2

)≤ E[(X − E[X])2]

k2=

Var(X)

k2.

2Qebyx ev, matematico Ruso cujo nome tem sido traduzido tambem como Chebychev, Chebyshov, Tchebychef ouTschebyschef!∗demonstre esta ultima desigualdade para qualquer duas variaveis aleatorias ξ, η.

3

A desigualdade em (2) e conhecida como a desigualdade basica ou desigualdade generalizada deChebyshev, ja a desigualdade do Lema e conhecida como a desigualdade classica de Chebyshev oude Bienayme-Chebyshev.

Teorema 3 (Lei Fraca dos Grandes Numeros. Chebyshev, 1867). Seja X1, X2, . . . uma sequencia devariaveis aleatorias independentes, e seja Sn a sua soma parcial ate n. Se para todo n, Var(Xn) ≤ Konde K e uma constante finita, entao

Sn − E[Sn]

n

P−→ 0.

Demonstracao. Devemos mostrar que para qualquer ε > 0, P(|Sn − E[Sn]|/n ≥ ε) → 0 quandon→∞. Pelas hipoteses do enunciado temos Var(Sn) =

∑ni=1 Var(Xi) ≤ nK, logo da desigualdade

(classica) de Chebyshev

P(|Sn − E[Sn]| ≥ εn

)≤ Var(Sn)

ε2n2≤ K

ε2n→ 0.

Exemplo 1 (Ensaios Bernoulli). Apresentamos um exemplo simples porem importante para desen-volver a nossa intuicao. O seguinte exemplo e de fato a primeira Lei dos Grandes Numeros publicadaem 1713, apos de 8 anos da morte de J. Bernoulli, [1]. Suponhamos que lancamos uma moeda n ve-zes, e neste caso consideramos a sequencia de variaveis aleatorias ξ1, . . ., ξn, tais que para 1 ≤ i ≤ n,ξi(ω) = 1Cara(ωi), ou seja, ξi = 1 se o i-esimo lancamento resulta em cara, e ξi = 0 no caso contrario(se o resultado e coroa). Assim Sn =

∑ni=1 ξi, o numero de caras em n lancamentos, e uma variavel

aleatoria Binomial(n, p), onde p = P(ξi = 1) e a probabilidade de sair cara em qualquer lancamento†

. Temos portanto que E[Sn] = np, logo E[Sn/n] = p = E[ξi]. A ley dos grandes numeros neste casoafirma que

Snn

P−→ p. (3)

Este resultado e conhecido como a Ley dos Grandes Numeros para ensaios Bernoulli.Para visualizar (3) diretamente, a figura 1 apresenta um dos possiveis resultados ao lancar 150

vezes uma moeda viciada com p = 0, 2. Os valores en cada lancamento sao apresentados por circulos,e Sn/n pela linha continua. Os valores de Sn/n sao apresentados para tres outras possıveis realizacoesdo experimento. Claramente, a figura mostra que Sn/n se aproxima do valor de p a medida que naumenta.

E possıvel obter uma Lei Fraca sem assumir que as variancias das variaveis Xn sejam finitas.Esta hipotese e crucial para a Lei Fraca de Chebyshev apresentada no Teorema 3.

Teorema 4 (Lei Fraca dos Grandes Numeros. Khintchin, 1929). Sejam X1, X2, . . . variaveisaleatorias independentes e identicamente distribuıdas com media finita µ. Se Sn denota a somaparcial de Xn, entao

Snn

P−→ µ.

Demonstracao. Veja [3].

1.1.2 Lei Forte dos Grandes Numeros

Teorema 5 (Primeira Lei Forte dos Grande Numeros de Kolmogorov). Sejam X1, X2, . . ., variaveisaleatorias independentes tais que E[Xn] < ∞, e

∑∞n=1 Var(Xn)/n2 < ∞. Entao a sequencia Xn

satisfaze a Lei Forte dos Grande Numeros, ou seja,

Snn

q.c.−→ E[Sn]

n.

†lembre o visto em aula no curso “Introducao a Probabilidade e Estatıstica I”.

4

0 50 100 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0

n

Sn(ω1)

n

E[ξ1]

Sn(ω2)

n

Figura 1: varias simulacoes de 150 lancamentos de uma moeda viciada com P(cara) = p = 0, 2. Asequeencia de caras e coroas para a primeira simulacao, ω1, corresponde aos circulos em 0 (coroa)e em 1 (cara). A linha continua representa os valores de Sn(ω1)/n, e as otras linhas correspondemaos valores para tres outras realizacoes do processo, ω2, ω3, ω4.

Demonstracao. Veja [2], Teorema 5.4, p. 208.

Se as variaveis aleatorias da sequencia Xn, alem de serem independentes tambem sao identica-mente distribuıdas, entao obtemos a seguinte vercao da Lei Forte, a qual ao igual do que a Lei deKinchin, nao requer restricoes sobre as variancias.

Teorema 6 (A lei Forte de Kolmogorov). Sejam X1, X2, . . . variaveis aleatorias independentes eidenticamente distribuıdas com E[Xn] = µ. Entao

Snn

q.c.−→ µ.

Demonstracao. Veja [2], Teorema 5.5, p. 212.

1.2 Teorema Central do Limite

Passamos agora a estudar a convergencia da distribuicao de Sn, quando Sn e corretamente rescalada.Em geral veremos como sob certas hipoteses e possıvel estabelecer que

limn→∞

P(Sn − E[Sn]√

Var(Sn)≤ x

)= Φ(x), x ∈ R,

onde

Φ(x) =

∫ x

−∞φ(x), φ(x) =

1√2πe−x

2/2. (4)

isto e, φ denota a densidade de probabilidade normal (com media 0 e variancia 1). Antes deentrar neste tema em detalhe, apresentamos um exemplo o qual permite vissualizar diretamente aconvergencia da distribuicao da soma de variaveis aleatorias uniformes.

5

Exemplo 2. Seja U1, U2, U3 uma amostra independente e identicamente distribuida, com distri-buicao uniforme no intervalo [−1/2, 1.2]. Sejam Sn, n = 1, 2, 3 as somas parciais de esta amostra.Observamos primeiro que S1 = U1, logo a densidade de S1 e (por definicao)

fS1(u) =

0, |u| > 1/2,

1, u ∈ [−1/2, 1/2].

Utilizando a integral de convolucao, veja a Proposicao 4 no apendice, e relativamente simples obteras densidades para S2 e S3,

fS2(u) =

0, |u| ≥ 1,

1− u, u ∈ [0, 1),

1 + u, u ∈ [−1, 0).

e fS3(u) =

0 se u /∈ [− 3

2 ,32 ],

12 (u2 + 3u+ 9

4 ) se u ∈ [− 32 ,−

12 ],

34 − u

2 se u ∈ [− 12 ,

12 ],

12 (u2 − 3u+ 9

4 ) se u ∈ [ 12 ,

32 ].

Em lugar de apresentar os detalhes dos calculos requeridos agora (veja o apendice), a figura 2 mostraum grafico das densidades de S1, S2 e S3 sobrepostos sobre os graficos da densidade normal commedia e variancia iguais as medias e as variancias de S1, S2 e S3 respectivamente. Esta figura mostraque a densidade da soma de tres uniformes e muito parecida com uma densidade normal!

u-1.0 0.0 1.0

0.0

0.4

0.8

1.2

u-1.5 -0.5 0.5 1.5

0.0

0.4

-1.5 0.5 1.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

-0.5 0.5

0.8

u-0.5

Figura 2: As densidades de S1, S2 e S3 sao apresentadas em preto, e em vermelho as densidadesnormais com media 0 e variancias iguais as variancias de S1, S2 e S3.

1.2.1 Teoremas de De Moivre-Laplace

Consideramos novamente a sequencia ξ1, ξ2, . . . de variaveis aleatorias Bernoulli(p) e a sua somaparcial, Sn =

∑ni=1 ξi (veja o Exemplo 1). Em lugar de estudar o comportamento limite de Sn/n,

agora voltamos o interesse na distribuicao limite de Sn (ou uma funcao de Sn). Denotamos porpk = P(Sn = k), ou seja pk =

(nk

)pkqn−k, quando k ∈ 0, 1, . . . , n, e suponhamos que p > q.

Estudamos primeiramente o comportamento das probabilidades pk, em funcao de k para n grande.Veremos que existe um dominio para os valores de k, de tamanho

√n, onde pk e relativamente

grande, e um dominio onde os valores de pk sao pequenos. Para definirmos este dominio, encontramosprimeiro o valor km, tal que pkm = maxk pk. Observamos que,

pk+1

pk=

(nk+1

)(nk

) pk+1qn−k−1

pkqn−k=

n!k!(n− k)!

(k + 1)!(n− k − 1)!n!

p

q=

(n− k)

(k + 1)

p

q.

Encontramos agora os valores para k tais que pk+1/pk ≥ 1. Assim,

n− kk + 1

p

q≥ 1 ⇒ (n− k)p ≥ q(k + 1) ⇒ np− q ≥ k.

6

Tambem, se k > np − q, temos pk+1/pk < 1. Assim km = [np − q]† . Resulta portanto naturalesperar que os maiores valores para pk ocorrem ao rededor de km = np. O seguinte resultado reforcaeste argumento. Sejam a, b dois numeros quaisquer tais que a < b.

Teorema 7 (Teorema do Limite Local de De Moivre-Laplace). Seja np + a√n ≤ k ≤ np + b

√n,

entao

pk =1√

2πnpqe−

(k−np)22npq

(1 + rn(k)

),

onde o ressiduo rn(k) converge a 0 quando n→∞ uniformemente em k, isto e,

maxnp+a

√n≤k≤np+b

√n|rn(k)| → 0, quando n→∞.

A prova do Teorema 7 e apresentada no apendice.

Teorema 8 (Teorema Integral do Limite de De Moivre-Laplace). Sejam a, b dois numeros reaistais que a < b. Entao,

limn→∞

∑np+a

√npq≤k

k≤np+b√npq

pk =1√2π

∫ b

a

e−u2/2 du.

Corolario 1. Do Teorema 8 para quaisqer a, b ∈ R tais que a < b, tem-se

P

(a ≤ Sn − np√

npq≤ b)→ Φ(b)− Φ(a), quando n→∞.

Assim, em particular (Sn − np)/√npq

D−→ Z, onde Z e uma variavel aleatoria normal padrao.

1.2.2 O Teorema Central do Limite

Apresentamos agora uma vercao geral para a somas de variaveis aleatorias independentes, a qual epossıvelmente a forma mais conhecida do Teorema Central do Limite.

Teorema 9 (Teorema Central do Limite. Lindbeg-Levy). Sejam X1, X2, . . . variaveis aleatoriasindependentes e identicamente distribuıdas, tais que E[X1] = µ, e Var(X1) = σ2 < ∞. SejaSn =

∑ni=1Xi, e Z uma variavel aleatoria normal com media 0 e variancia 1, entao

Zn =Sn − nµσ√n

D−→ Z.

O seguinte resultado mostra que o Teorema Central do Limite e valido ainda quando as variaveisaleatorias X1, X2, . . ., nao apresentam a mesma distribuicao.

Teorema 10 (Theorema Central do Limite. Kolmogorov, 1933). Seja X1, X2, . . . uma sequenciade variaveis aleatorias independentes, e seja Sn a sua soma parcial. Para cada i sejam µi = E[Xi],e σ2

i = Var(Xi), logo mn =∑ni=1 µi e s2

n =∑ni=1 σ

2i denotam a media e a variancia de Sn, e seja

X uma variavel aleatoria normal com media 0 e variancia 1. Sob as seguentes hipoteses adicionais(i) s2

n →∞ quando n→∞,(ii) existe uma constante K, tal que para todo i, P(|Xi| ≤ K) = 1,

tem-seSn −mn

sn

D−→ X.

†[x] denota a funcao maior enteiro menor que x.

7

1.3 Exercıcios

Exercıcio 1. Suponha que Xn, n ≥ 1 e normal com media 0 e variancia 1/n. Mostre que XnD−→

X = 0.

Exercıcio 2. Seja Xn, n ≥ 1, uma sequencia de variaveis aleatorias tal que Xn e Binomial(n, 1/n2).

Mostre que Xn − 1/nP−→ 0.

Exercıcio 3. Seja Xn, n ≥ 1, uma sequencia de variaveis aleatorias com E[X2n] < ∞. Mostre que

se limn→∞ E[Xn] = α e limn→∞Var(Xn) = 0, entao XnP−→ α.

Exercıcio 4. Seja X uma variavel aleatoria com valores em −1, 1, tal que P (X = −1) = 1/2.Suponha que Yn, n ≥ 1 e uma sequencia de variaveis aleatorias independentes de X tais que P (Yn =1) = 1− P (Yn = 0) = 1− 1/n. Seja Xn, a sequencia de variaveis aleatorias definida como

Xn =

X se Yn = 1,

en se Yn = 0.

Diga, justificando a sua resposta, qual das seguintes afirmacoes e verdadeira: (i) Xn → X, (ii)limn→∞ E(|Xn −X|) = 0.

Exercıcio 5. Este problema apresenta um exemplo de uma sequencia de variaveis aleatorias quesatisfaze a Lei Fraca dos Genades Numeros, embora nao satisfaze a Lei Forte. Para n ≥ 1, seja

Xn =

±n2n com probabilidade pn,

0 com probabilidade 1− 2pn,

sendo pn uma funcao a ser escolhida adiante, tal que 0 ≤ pn ≤ 1/2, para n ≥ 1. Se Sn =X1 +X2 + . . .+Xn, mostre: (i) E[Sn] = 0 para todo n, (ii) se Xn > 0, entao Sn ≥ 2n. (iii) Utilizea parte (ii) para mostrar que Sn/n → 0 quando n → ∞ se, e somente se existe um inteiro n0 talque Xk = 0 para todo k ≥ n0. Mostre que isto ocorre com probabilidade 0 se pn < 1/2 para todon. Isto mostra que a sequencia (Xn) nao satisfaze a Lei Forte dos Grandes Numeros. (iv)

Exercıcio 6. Seja X1, X2, . . . variaveis aleatorias independentes tais que Xk e Binomial(nk, p), para0 < p < 1 constante. (i) Qual a distribuicao de Sn =

∑ni=1Xi? (ii) Se nk ≤

√k, mostre que a

sequencia Xn satisfaz a Lei Forte.

Exercıcio 7. Certa marca de sucrilhos faz uma promocao: alguns dos pacotes incluem vales quepodem ser trocados por uma camiseta. O numero de pacotes premiados que vendem ao dia em umaloja e uma variavel aleatoria com distribuicao de Poisson de parametro 0,3. Estime a probabilidadede que em 120 dias se vendam nessa loja mais de 30 pacotes com premio. [Sugestao: considere Xi

= ‘numero de pacotes premiados vendidos na loja no dia i’. ]

Exercıcio 8. Um dado honesto e lancado repetidas vezes de maneira independente. Seja Xi oresultado do i-esimo lancamento e Sn = X1 +X2 · · ·Xn, obtenha : (i) limn→∞ P (Sn > 3n); (ii) umvalor aproximado para P (S100 > 320).

Exercıcio 9. Utilizando um argumento similar ao mostrado no exemplo Exemplo 2, calcule adensidade de Sn =

∑ni=1 Ui, para n = 1, 2, 3, quando U1, U2 e U3 sao independentes e uniformemente

distribuıdas no intervalo [0, 1].

Exercıcio 10. Baseado no Exemplo 2, (i) tente explicar (de maneira intuitiva) qual e a distribuicaode∑∞i=1 Ui, se Ui sao independentes e uniformes no intervalo [−1/2, 1/2]; (ii) qual sera a distribuicao

limite de∑∞i=1 Ui, sendo Ui variaveis aleatorias independentes e uniformemente distribuidas em

[0, 1]? (iii) Sera possıvel transformar as variaveis Ui de tal maneira que a sua soma parcial apresentea mesma distribuicao da soma parcial das variaveis Ui?

8

Exercıcio 11. Uma moeda honesta e lancada repetidas vezes de maneira independente. Sejam ξ1,ξ2, . . . variaveis aleatorias definidas por

ξi =

1 se o i-esimo e o (i+ 1)-esimo lancamentos sao cara

0 caso contrario.

(i) Determine E[ξi], Var(ξi). (ii) Mostre que

Cov(ξi, ξj) =

1/16 se j = i+ 1,

0 se j > i+ 1.

(iii) Seja Sn a soma parcial de ξi, determine E[Sn], Var(Sn). (iv) Mostre que Sn/nP−→ 1/4.

Exercıcio 12. Este exercıcio tem varios objetivos: apresentar a nocao de funcao de distribuicaoempirica de uma amostra, introducir os histogramas e ilustrar o Teorema Central do Limite gra-ficamente utilizando um histograma. Isto ultimo devera ser realizado ao simular, em R, repetidoslancamentos de uma moeda.

Suponhamos que X1, X2, . . . , Xn sao variaveis aleatorias independentes e identicamente dis-tribuıdas, com funcao de distribuicao F , e densidade f . A funcao de distribuicao empirica daamostra X1, X2, . . . , Xn e definida como

FX1,...,Xn(x) =1

n

n∑i=1

1Xi≤x =1

n#i ∈ 1, 2, . . . , n : Xi ≤ x

=

1

n#

numero de elementos na amostra ≤ x.

(i) Explique por que

FX1,...,Xn(x)q.c.−→ F (x). (5)

Seja a = a1 < a2 < . . . < am = b uma sequencia de numeros (equidistantes), e entao Ak = (ak−1, ak]para k = 2, . . . ,m. Logo para x ∈ Ak definimos

hX1,...,Xn(x) =1

n

n∑i=1

1ak−1<Xi≤ak

=1

n#

numero de elementos na amostra ∈ (ak−1, ak].

A funcao h e conhecida como histograma. (ii) Mostre que se x ∈ Ak, entao

hX1,...,Xn(x)q.c.−→

∫ ak

ak−1

f(u) du. (6)

[Sugestao: utilice (5)] Isto ultimo justifica a utilizacao dos histogramas como estimadores para asdensidades. (iii) Carregue o codigo moedaCLT.R (escrito em R)digitando3R

source("http://dfm.ffclrp.usp.br/~rrosales/aulas/moedaCLT.R")

Este fornece a funcao moedaCLT(), a qual e uma funcao de tres argumentos N, M e p utilizada paragerar m amostras (independentes) de n variaveis aleatorias Bernoulli(p) independentes. Pode pensarque esta funcao simula o lancamento de uma moeda n vezes e repite isto m vezes. N corresponde an, M corresponde a m e p a p, a probabilidade de sair cara. moedaCLT() retorna o vetor(

S1n

n,S2n

n, . . . ,

Smnn

),

3alternativamente pode baixar este arquivo no seu micro para carrega-lho posteriormente comosource("C://lugar_do_download_no_seu_micro//moedaCLT.R")

assumendo que voce trabalha em Windows. Caso voce esteja trabalhando em Linux (ou numa Mac) troque o delimi-tador de pastas “//” por “/”.

9

onde Sin/n, i = 1, . . . ,m, corresponde a proporcao de caras apos de jogar a moeda n vezes no i-esimoexperimento. Por exemplo,

v1 <- moedaCLT(N=10000, M=30000, p=0.5);

simula o lancamento de uma moeda (honesta) 10000 vezes, repete isto 30000 vezes calculando decada vez a fracao relativa de caras, e finalmente guarda estes valores no vetor v1. Digite agora

hist(v1,breaks=60, main="", ylab="frequencia", xlab="Zn")

A funcao hist() calcula o histograma de v1, isto e hS1n/n,...,S

mn /n

, e apresenta o grafico desta funcao(breaks determina o numero de intervalos (ai−1, ai] nos quais sera avaliado o histograma). Utilicevarias vezes moedaCLT() tentando valores diferentes para M e N de cada vez. Consegue enxergar oTeorema Central do Limite? Qual dos argumentos (N, M, p) controla a convergencia no TeoremaCentral do Limite? qual controla a convergencia do histograma em (6)?

2 Estimacao pontual

2.1 Medidas resumo

Exercıcio 13. Na linha de producao de uma grande montadora de veıculos, existem 7 verificacoesdo controle de qualidade. Sorteamos alguns dias do mes e anotamos o numero de OKs recibidospelos veıculos produzidos nesses dias, i.e., em quantos dos controles mencionados o automovil foiaprovado. Os resultados foram ((x, y), x =numero de aprovacoes, y =frequencia): (4, 126), (5,359), (6, 1685), (7, 4764). (i) Determine a media, moda e mediana do numero de aprovacoes porautomovel produzido. (ii) Calcule a variancia. (ii) Crie uma nova variavel reprovacoes, indicandoo numero de verificacoes nao OKs no vehıculo. Determine media, moda, mediana e variancia dessavariavel. (iv) Cada reprovacao implica em custos adicionais para a montadora, tendo em vista anecessidade de corrigir o defito apontado. Admitindo um valor basico de R$ 200,00 por cada itemreprovado num vehıculo, calcule a media e a variancia da espesa adicional por automovel produzido.

2.2 Estimadores

Exercıcio 14. Foram sorteadas 15 famılias com filhos num certo bairro e observado o numero decriancas de cada famılia, matriculadas na escola. Os dados foram 1, 1, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 4, 1, 1, 2, 0,0, e 2. Obtenha as estimativas correspondentes aos seguintes estimadores da media de criancas naescola nesse bairro,

µ1 =mınimo + maximo

2, µ2 =

(X1 +X2)

2, µ3 = X.

Qual deles e o melhor estimador da media e por que?

Exercıcio 15. Seja X1, X2, X3 uma amostra aleatoria de uma populacao exponencial com mediaθ, isto e, E[Xi] = θ, i = 1, 2, 3. Cosidere os estimadores

θ1 = X, θ2 = X1, θ3 =X1 +X2

2.

(i) Mostrar que nenhum dos tres estimadores e viesado. (ii) Qual dos estimadores tem menorvariancia? Lembrar que para o modelo exponencial Var(Xi) = θ2.

Exercıcio 16. (Este exercıcio tem implicacoes muito importantes para a estatıstica) Sejam X1, X2,. . ., Xn variaveis aleatorias independentes e identicamente distribuıdas com media µ e variancia σ2.Sejam

Xn =1

n

n∑i=1

Xi, e S2n =

1

n− 1

n∑i=1

(Xi − Xn)2.

10

(i) Determine E[Xn] e Var(Xn). (ii) Mostre que Xnq.c.−→ µ. (iii) Mostre que

S2n =

1

n− 1

n∑i=1

X2i − n(Xn)2

.

(iv) Calcule E[S2n]. (v) Mostre que S2

nq.c.−→ σ2. [Sugestao para v: utilice duas vezes a Lei Forte.]

Exercıcio 17. Mostrar queE[(θ − θ)2] = Var(θ) + v2, (7)

onde v = E[θ]−θ e o vicio. Esta quantidade e conhecida como o erro quadratico medio do estimador

θ, EQM(θ), ou simplesmente o EQM. (Sugestao: escrever (θ − θ) =[θ − E[θ]

]+[E[θ]− θ

]).

Exercıcio 18. Seja X1, X2, . . ., Xn uma amostra de uma populacao com distribuicao

fX(x) =2x

θ2, 0 < x < θ, θ > 0.

Verifique se θ1 = X e θ2 = maxX1, X2, . . . , Xn sao nao viciados para θ. (ii) Calcule e compareos EQM dos estimadores em (i). (iii) Faca um grafico dos EQM em funcao de θ. Sugestao: para(iii) pode utilizar R. O seguinte exemplo ilustra os passos necessarios para graficar a funcao f(x) =e−x + |x− 1|−1 no dominio x ∈ [−2, 10]. Escreva (ao final de cada linha faca ‘Enter’)

x <- seq(-2,10,by=0.01)

f <- exp(-x)+1/abs(x-1)

plot(x,f, type="l", col="navy", ylim=c(-1,30), lwd=2)

Para sobrepor a funcao g(x) = 3sen(x3)/(3− x) + 10 escrevag <- 3*sin(x^3)/(3-x) + 10

lines(x, g, col="sandybrown", lwd=2)

Exercıcio 19. Seja X1, X2, . . . , Xn uma amostra de uma populacao com media µ e variancia σ2.(i) Mostre que se

n∑i=1

aiXi, onde

n∑i=1

ai = 1,

entao Var(∑ni=1 aiXi) e minimizada quando ai = 1/n, i = 1, 2, . . . , n. Sugestao: mostre que∑n

i=1 a2i =

∑2i=1(ai − 1/n)2 + 1/n quando

∑ni=1 ai = 1.

Exercıcio 20. Suponha que Y tem distribuicao Binomial-(n, p). (i) Demostre que p = y/n e umestimador nao viesado para p. Calcule a variancia de p.

Exercıcio 21.† Suponha que uma populacao tem distribuicao uniforme no intervalo I = (θ −1/2, θ+1/2), θ ∈ R, tal que a sua densidade e fX(x; θ) = 1 se θ ∈ I e fX(x; θ) = 0 no caso contrario.Uma amostra iid de tamanho 3, X1, X2, X3 e considerada e apartir desta sao definidos os seguintesestimadores para θ,

G = maxX1, X2, X3, K = minX1, X2, X3, T =1

2(G+K)

(i) Mostre que T e um estimador nao viciado para a media da populacao. (ii) Determine os valoresde Var(G), Var(K) e Cov(G,K). (iii) Mostre que Var(T ) < Var(X) (o qual representa um exemploonde X nao e o melhor estimador nao viciado da para a media da populacao!). (iv) Verifique se Te suficiente ou nao.

11

2.3 Maxima verossimilhanca

Exercıcio 22. Seja X = X1, X2, . . . , Xn uma amostra aleatoria da uma populacao com densidadeGamma-(α, β), com α = 2, e β desconhecido, isto e,

f(x) =

x e−x/β

β2se x > 0,

0 se x 6 0.

(i) Obtenha o estimador de maxima verosimilhanca para β. (ii) Calcular E[β]. E β viciado para β?

Exercıcio 23. Suponha que a demanda por certa peca, numa loja de autopecas, siga o seguintemodelo

P (X = k) = θ2k

k!, k = 1, 2, 3, 4.

(i) Encontre θ (Sugestao: P tem que ser uma distribuicao de probabilidade). (ii) Calcule a demandaesperada. (iii) Qual e a variabilidade da demanda. (iv) Diga se Φ apresenta estimador de maximaverosimilhanca.

Exercıcio 24. Uma urna contem bolas brancas e pretas. Uma amostra de tamanho n e retiradacom reposicao. (i) Qual e o estimador de maxima verossimilhanca para a proporcao R de bolaspretas na urna? (ii) Suponha que as bolas sao retiradas uma a uma com reposicao ate aparecer aprimeira bola preta. Seja T o numero de retiradas requeridas. Se este procedimento e repetido nvezes, sejam T1, T2, . . ., Tn o numero de tentativas de cada vez. Qual e o estimador de maximaverossimilhanca para R baseado nesta amostra?

Exercıcio 25. Seja X1, X2, . . ., Xn, uma amostra de uma populacao com distribuicao fX(x) =

θx(1− θ)1−x10,1(x), onde 0 ≤ θ ≤ 12 . (i) Encontre o estimador θ de maxima verossimilhanca para

θ. (ii) Calcule o EQM(θ), o erro quadratico medio de θ. (iii) Diga se θ e (fracamente) consistente.

2.4 Distribuicoes amostrais

Exercıcio 26. Uma variavel de Bernoulli com probabilidade de sucesso p e amostrada, de forma,independente, duas vezes. Apresente a funcao de probabilidade da media amostral.

Exercıcio 27. A variavel aleatoria ξ assome os valores −2,−1, 1, 2, cada um com a mesma pro-babilidade. Para uma amostra de tamanho dois, obtenha a distribuicao de S2 e verifique se ele enao viesado para estimar a variancia de ξ.

Exercıcio 28. Supoe-se que o consumo mensal de agua por residencia em um certo bairro deRibeirao Preto tem distribuicao Normal com media 10 e desvio padrao 2 (em m3). Para umaamostra de 25 dessas residencias, qual e a probabilidade de a media amostral nao se afastar daverdadeira media por mais de 1 m3?

Exercıcio 29. Coleta-se uma amostra de 10 observacoes independentes de uma populacao normalcom media 2 e variancia 2. Determine a probabilidade de a media amostral: (i) ser inferior a 1; (ii)ser superior a 2,5; (iii) estar entre 0 e 2.

Exercıcio 30. Um fabricante afirma que sua vacina contra gripe imuniza em 80% dos casos. Umaamostra de 25 indivıduos que tomaram a vacina foi sorteada e testes foram feitos para verificara imunizacao ou nao desses indivıduos. Se o fabricante estiver correto, qual e a probabilidade daproporcao de imunizados na mostra ser inferior a 0,75? E superior a 0,85?

Exercıcio 31. Seja X1, X2, . . ., Xn uma amostra de uma populcao com densidade de probabilidadedada por

fX(x) = θxθ−1, 0 < x < 1, θ > 0.

Calcule o estimador de maxima verossimilhanca de θ e encontre a sua distribuicao aproximadaquando n e grande.

12

Exercıcio 32. Suponha que voce tem uma amostra de tamanho n de uma populacao com densidade

fX(x) =x

θ2e−

xθ , x ≥ 0, θ > 0.

Encontre o estimador de maxima verossimilhanca de Var(X) e logo determine a sua distribuicaoaproximada em grandes amostras.

2.5 Estimadores suficientes∗

Exercıcio 33. Seja X1, . . . , Xn uma amostra i.i.d. de uma populacao Poisson(λ). Considere o

seguinte estimador para λ, λ =∑ni=1Xi. Diga se λ e suficiente para λ.

Exercıcio 34. Seja U1, . . . , Un uma amostra i.i.d. de uma populacao uniforme no intervalo [0, a].Diga se a = maxU1, . . . , Un e suficiente para a.

Exercıcio 35. Encontre um estatıstico suficiente para uma amostra aleatoria i.i.d. da distribuicaocom densidade

fY (y) = θyθ−1, 0 < y ≤ 1, θ > 0.

Exercıcio 36. Encontre um estimador suficiente para uma amostra i.i.d. da distribuicao e1/c,c ∈ R.

Exercıcio 37. Encontre o estimador de maxima verossimilhanca, α, para α na densidade

fX(x) =2(α− x)

α21(0,α)(x),

considerando uma amostra de tamanho dois, i.e., X1, X2. (ii) Diga se α e suficiente.

2.6 Projetos

2.6.1 Um estimador para π

Georges-Louis Leclerc (1707-1788), Conde de Buffon, mostrou que varios problemas de probabilidadepodem ser abordados utilizando argumentos de carater geometrico. Em, particular, o problemaconhecido hoje em dia como a agulha de Buffon permite realizar um experimento para estimar ovalor de π.

Suponhamos que sobre um tabuleiro desenhamos linhas paralelas a distancia t uma da outra.Posteriormente jogamos uma agulha de comprimento l < t e observamos se esta cai ou nao sobrealguma das linhas do tabuleiro. Surge assim naturalmente a seguintre pergunta: qual e a pro-babilidade de que a agulha esteja sobre uma linha t? Para respondermos esta questao, podemosparameterizar o espaco amostral (as posicoes das agulhas) da seguinte maneira. Seja Θ o anguloformado pela agulha e o conjunto de linhas t, e X = (X1, X2) a posicao do centro da agulha sobre otabuleiro. Claramente, se ocorre o evento X(ω) ≤ (l/2) sen(Θ(ω)), entao a agulha corta uma linhat4. Agora, encontrar a probabilidade deste evento nao e difıcil pois as variaveis aleatorias X e Θ saoindependentes e apresentam densidades uniformes nos intervalos [0, t/2] e [0, π/2] respectivamente,

fX(x) =

1/(t/2), se 0 ≤ x ≤ t/20, caso contrario

fΘ(θ) =

1/(π/2), se 0 ≤ θ ≤ π/20, caso contrario

Portanto a densidade conjunta do vetor (X,Θ) e simplesmente

fX,Θ(x, θ) =4

tπquando (x, θ) ∈ [0, t/2]× [0, π/2],

4faca um desenho!

13

e 0 no caso contrario. Logo

p = P(X ≤ l

2sen(Θ)

)=

∫ π/2

0

∫ (l/2)sen(θ)

0

4

tπdxdθ

=

∫ π/2

0

4

tπ

l

2sen(θ)dθ =

2l

tπ. (8)

A formula (8) fornece indiretamente um estimador para π. De fato, se conseguimos uma esti-mativa para a probabilidade p, entao (8) mostra como estimar 1/π. Para simplificar a notacao, sejaE o evento X ≤ (l/2) sen(Θ), e logo seja ξ(ω) = 1E(ω), uma variavel aleatoria a qual e iguala 1 se a agulha touca a linha t e 0 no caso contrario. ξ e Bernoulli com probabilidade de sucessop = 2l/(tπ). Seja ξ1, ξ2, . . . , ξn, uma amostra desta populacao. No contexto da aplicacao atual, estaamostra e interpretada como o resultado de jogar a agulha sobre o tabuleiro n vezes. Seguindo oprocedimento agora ussual, utilizamos esta amostra para propor o estimador p =

∑ni=1 ξi/n para p.

Desta maneira, de acordo com (8), podemos agora considerar o seguinte estimador para 1/π

π−1 =t

2lp. (9)

Exercıcio 38. (i) Qual e a distribuicao da variavel aleatoria∑ni=1 ξi? (ii) Determine E[

∑ni=1 ξi] e

Var(∑ni=1 ξi). (iii) Calcule E[p] e Var(p).

Exercıcio 39. (i) Mostre separadamente, mesmo que um dos limites implique o outro, que

t

2lpq.c.−→ 1

π, e

t

2lp

P−→ 1

π.

(ii) Indique quais dos Teoremas da Lista 0 foram utilizados para garantir os limites em (i), logoexplique por que estes limites sao importantes quando e considerado o estimador π−1.

Exercıcio 40. (i) Mostre que o estimador em (9) e nao viciado, (ii) logo mostre que o EQM desteestimador e igual a

π − 2l

2lnπDesta ultima expressao podemos ver que o estimador em (9) e mais eficiente a medida que aumentao comprimento da augulha l.

Exercıcio 41. (i) Mostre que o estimador para π,

π =2l

t

1

p

e viciado. Ao igual do que o estimador para 1/π, o estimador proposto para π e mais eficientequando o comprimento da agulha aumenta. (ii) Diga se e possıvel aplicar o Teorema Central doLimite para caracterizar a distribuicao amostral de π. A figura 3 sugere que a distribuicao de π enormal, embora voce pode mostrar isto formalmente.

Exercıcio 42. Inicie R e carregue o codigo em Buffon.R fazendoR

source("http://dfm.ffclrp.usp.br/~rrosales/aulas/Buffon.R")

Este script fornece tres funcoes, drawBuffon, runavrg, e estPi. drawBuffon mostra uma simulacaodo experimeto que consiste em jogar a agulha repetidas vezes (veja a figura 3), runavrg grafica umaestimativa para π conforme aumenta o numero de vezes que e lancada agula (veja a figura 3), e final-mente estPi(N, l, t) fornece uma estimativa de π, onde N corresponde ao numero de lancamentos,l e o comprimento da agulha e t a separacao das linhas t. Estes parametros sao inicializados para osvalores N=100, l=1, e t=2, mas voce pode mudar qualquer um a vontade. Por exemplo, os comandos

y <- c(); for (i in 1:10000) y[i] <- estPi(N=300);

geram 10000 estimativas para π guardando-as no vetor y. Cada estimativa e obtida ao simular olancamento da agulha 300 vezes. Utilize o codigo em Buffon.R para estudar as propriedades doestimador de π para os seguintes valores de l: 0.5, 1 e 1.5. Utilize as funcoes var, mean e hist paraverificar as conclusoes obtidas analiticamente nos exercıcios anteriores.

14

0 100 200 300 400 500

01

23

45

iteracoes

estim

ativ

a de

pi

estimativa de pi

freq

uenc

ia

2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

020

040

060

080

0

Figura 3: As quatro primeiras figuras mostram diversas simulacoes do experimento da agulha deBuffon para 30, 300, 3000 e 9000 lancamentos da agulha. As agulhas que toucam uma banda t saomostradas em vermelho. Estas figuras foram geradas com drawBuffon. A figura no canto inferioresquerdo apresenta a convergencia de uma estimativa para π gerada com runavrg. O histogramano canto inferior direto foi gerado com sucessivas chamadas a estPi (veja o texto do Exercicio 42),sugirindo um Teorema Central do Limite para a distribuicao do estimador.

15

2.6.2 O paradoxo de Bertrand

Qual e a probabilidade de que uma corda aleatoria sobre um cırculo tenha comprimento maior doque o lado do triangulo equilatero inscrito no cırculo? Esta questao, investigada inicialmente porJoseph Louis Bertrand em 1889, e de carater probabilıstico embora o proposito aqui e verificar aresposta utilizando estimadores apropriados. Essa resposta depende do significado do termo ‘cordaaleatoria’. Apresentamos tres possıveis interpretacoes supondo que, sem perda de generalidade, ocırculo tem centro na origem e apresenta raio de comprimento 1.

Exercıcio 43 (ponto aleatorio). Um ponto A e escolhido uniformemente no interior de um cırculo deraio 1, veja a figura 4(a). Seja X o comprimento da corda com ponto medio A. Calcule P (X >

√3).

Sugestao. Pense primeiro na seguinte pergunta: qual e a probabilidade de que A esteja dentro docırculo inscrito no triangulo equilatero?

√3

A

(a)

√3

A

Q

(b)

√3

A

r

(c)

Figura 4: construcao da corda aleatoria (em vermelho) utilizando o metodo do ponto aleatorio (a),o metodo do angulo aleatorio (b), e o metodo do raio aleatorio (c).

Exercıcio 44 (angulo aleatorio). Fixamos um ponto Q sobre a circunferencia do cırculo com raio1, por exemplo em (1, 0). Logo escolhemos uniformemente um outro ponto A sobre a circunferencia,veja a figura 4(b). Seja X o comprimento da corda QP . Calcule P (X >

√3).

Exercıcio 45 (raio aleatorio). Um ponto A e escolhido uniformemente sobre o raio r (qualquerum) do cırculo. Seja X o comprimento da corda a qual tem A como ponto meio, veja a figura 4(c).Determine P (Z >

√3).

Exercıcio 46. Utilice as funcoes estp rangle,estp rdist e estp rendpoint para verificar o valorR

das probabilidades calculadas nos tres exercıcios anteriores. Estas funcoes se encontram no scriptBertrand.R, o qual pode ser carregado (desde R) como

source("http://dfm.ffclrp.usp.br/~rrosales/aulas/Bertrand.R")

Sugestao: de maneira analoga ao Exercicio 42, digite por exemploy <- c(); for (i in 1:5000) y[i] <- estp rangle(N=300);

e estude as propriedades de y utilizando as funcoes mean, var e hist.

3 Intervalos e testes de hipotese

Alguns dos exercıcios desta e outras secoes devem ser realizados utilizando R. Alem de familiarizarvoces com R, o proposito e apresentar diferentes analises com dados reais. Estes se encontramidentificados com R . Um primeiro exemplo de como carregar os dados de um arquivo (em formatode texto) e apresentado no Exercicio 69.

16

3.1 Intervalos de Confianca

Exercıcio 47. Por analogıa a produtos similares, o tempo de reacao de um novo medicamento podeser considerado como tendo distribuicao normal com media µ e variaancia 4. Vinte pacientes foramsorteados, receberam o medicamento e tiveram seu tempo de reacao anotado. Os dados foram osseguintes: 2,9; 3,4; 3,5; 4,1; 4,6; 4,7; 4,5; 3,8; 5,3; 4,9; 4,8; 5,7; 5,8; 5,0; 3,4; 5,9; 6,3; 4,6; 5,5 e 6,2.Obtenha intervalos de confianca para o tempo medio de reacao para: (i) γ=96%, (ii) γ=75%.

Exercıcio 48. Uma amostra de 25 observacoes de uma normal Φ(µ, 16) foi coletada e forneceuuma media amostral de 8. Construa intervalos com confianca 80%, 85%, 90% e 95% para a mediapopulacional. Comente as diferencas encontradas.

Exercıcio 49. Sera coletada uma amostra de uma populacao normal com desvio padrao igual a9. Para uma confianca de γ=90%, determine a amplitude do intervalo de confianca para a mediapopulacional nos casos em que o tamanho da amostra e 30, 50 ou 100. Comente as diferencas.

Exercıcio 50. Numa pesquisa com 50 eleitores, o candidato J. J. obteve 0,34 da preferencia doseleitores. Construa, para a confianca 94%, os intervalos otimista e conservador de confianca para aproporcao de votos a serem recebidos pelo candidato mencionado, supondo que a eleicao fosse nessemomento.

Exercıcio 51. Desejamos coletar uma amostra de uma variavel aleatoria X com distribuicao normalde media desconhecida e variancia 30. Qual deve ser o tamanho da amostra para que, com 0,92 deprobabilidade, a media amostral nao difira da media da populacao por mais de 3 unidades?

Exercıcio 52. Interprete e comente as afirmacoes: (i) A media de salario inicial para recem formadosem Economia esta entre 7 e 9 salarios mınimos com confianca 95%. (ii) Quanto maior for o tamanhoda amostra, maior e a probabilidade da media amostral estar proxima da verdadeira media.

Exercıcio 53. O intervalo [35,21; 35,99], com confianca 95% foi construıdo a partir de uma amostrade tamanho 100, para a media µ de uma populacao normal com desvio padrao igual a 2. (i) Quale o valor encontrado para a media dessa amostra? (ii) Se utilizassemos essa mesma amostra, masuma confianca de 90%, qual seria o novo intervalo de confianca?

Exercıcio 54. Antes de uma eleicao, um determinado partido esta interessado em estimar a pro-babilidade p de eleitores favoraveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelouque 60% dos eleitores eram favoraveis ao candidato. (i) Utilizando a informacao da amostra piloto,determine o tamanho da amostra para que, com 0,8 de probabilidade, o erro cometido na estimacaoseja no maximo 0,05. (ii) Se na amostra final, com tamanho obtido em (i), observou-se que 51% doseleitores eram favoraveis ao candidato, construa um intervalo de confianca para p, com confianca95%.

Exercıcio 55. O tempo de emissao de extratos, em segundos, pelo caixa eletronico de um bancofoi modelado segundo a distribuicao exponencial com parametro 1/40. Para uma amostra aleatoriade 50 clientes que solicitaram extratos: (i) Qual e a probabilidade do segundo cliente sorteado naamostra demorar mais de 30 segundos na sua solicitacao? (ii) Determine a probabilidade de que ointervalo medio de emissao, entre os clientes amostrados, seja inferior a 35 segundos.

3.2 Intervalo para µ1 − µ2

Exercıcio 56. A figura 5 apresenta os dados referentes a taxa de trabalho infantil em Brasil paracriacas pretas e criancas brancas durante o perıodo 1997-20075. A taxa de trabalho infantil e definidacomo o percentual da populacao residente de 10 a 15 anos de idade que se encontra trabalhando ouprocurando trabalho na semana de referencia, em determinado espaco geografico, no ano considerado.(i) Construa um intervalo de confianca de 95% para a diferenca entre as taxas de trabalho media

5Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatıstica (IBGE). Serie: CAJ421 - Taxa de trabalho infantil, por corhttp://seriesestatisticas.ibge.gov.br/series.aspx?vcodigo=CAJ421

17

1995 2000 2005

1015

2025

periodo

indi

ce d

e tra

balh

o

perıodo branca preta1992 20.95 24.991993 19.98 22.821995 18.95 20.071996 15.64 16.431997 15.09 15.491998 14.16 17.61999 13.69 16.922001 11.52 12.732002 11.6 10.762003 10.6 10.432004 10.13 10.662005 10.45 10.812006 10.09 10.892007 9.24 10.84

Figura 5: Taxa de trabalho infantil por cor de 1992 ate 2007. Os sımbolos recheados no graficocorrespondem aos dados para criacas brancas.

durante o perıodo de 1992-2007 para criancas brancas e pretas. (ii) Interprete o intervalo obtido em(i), isto e, qual e o significado deste intervalo? (iii) Quais sao os supostos necessarios para construiro intervalo? (iv) Voce acredita que os supostos sao satisfeitos neste caso?

3.3 Intervalo para p1 − p2

Exercıcio 57. De acordo com o estudo da pesquisa de mercado dos servıcos de consultorıa emengenharia a empresas industriais no Meio Oeste (USA), quarenta empresas que participaram deuma enquete (20 grandes e 20 pequenas) indicaram que elas nao precisavam dos servıcios externosde consultorıa. A principal racao foi que estas sempre obtinham ajuda de consultarıa sempre quenecessario. Entretanto, duas vezes mais empresas grandes (12) que pequenas (6) citaram este motivo.Establecer um intervalo de confianca de 90% para a diferenca nas porcentagens das empresas grandese as pequenas que citam a ajuda das oficinas corporativas.

3.4 Testes de Hipoteses

Observacao (p-valor): R, igualmente a outros pacotes estatısticos, reportam o p-valor do teste,

o qual pode ser utilizado para rejeitar ou nao a hipotese nula. Suponhamos que o estimador θe considerado em um teste para o parametro θ. Seja θ(x) a estimativa de θ baseada nos valoresda amostra x = (x1, x2, . . . , xn) (Considere por exemplo o estimador T acima para o parametro

µ1−µ2, e a sua estimativa t = (x1− x2)/√s2

1/n+ s22/n). Assim, quando o valor de θ(x) pertence a

regiao crıtica rejeitamos a hipotese nula. Alternativamente, de forma equivalente, podemos calcularo p-valor do teste

p = P(ω : θ(ω) ≥ θ(x)|H0

), (10)

e rejeitar a hipotese nula quando o valor de p for pequeno, por exemplo p < α, onde α tıpicametedetermina o nivel do teste. Usualmente, o valor p e utilizado seguindo os seguintes criterios

valor p interpretacaop < 0.01 evidencia forte contra H0

0.01 ≤ p < 0.05 evidencia moderada contra H0

0.05 ≤ p < 0.10 sugere evidencia contra H0

0.10 ≤ p nao a evidencia contra H0

18

Destacamos que o valor p de um teste realmente e uma variable aleatoria p(ω) = f(θ(X(ω))), ondeX(ω) = (X1, . . . Xn)(ω), e f e a funcao em (10). (Nao faremos referencia a isto ultimo durante ocurso.)

3.4.1 Testes para µ e p

Exercıcio 58. Uma variavel aleatoria tem distribuicao normal e desvio padrao igual a 12. Estamostestando se sua media e igual ou e diferente de 20 e coletamos uma amostra de 100 valores dessavariavel, obtendo uma media amostral de 17,4. (i) Formule as hipoteses. (ii) Obtenha a regiaocrıtica e de a conclusao do teste para os seguintes nıveis de significancia: 1%, 2%, 4%, 6% e 8%.

Exercıcio 59. Para uma variavel aleatoria com densidade normal e desvio padrao 5, o teste damedia µ=10 contra µ=14, teve a regiao crıtica dada por x ∈ R : x > 12 para uma amostra detamanho 25. Determine as probabilidades dos erros tipo I e II.

Exercıcio 60. Uma maquina deve produzir pecas com diametro de 2 cm. Entretanto, variacoesacontecem e vamos assumir que o diametro dessas pecas siga o modelo Normal com variancia iguala 0,09 cm2. Para testar se a maquina esta bem regulada, uma amostra de 100 pecas e coletada. (i)Formule o problema como um teste de hipoteses. (ii) Qual seria a regiao crıtica se α = 0, 02? (iii)se a regiao de aceitacao fosse x ∈ R|1, 95 6 x 6 2, 05, qual seria o nıvel de significancia do teste?Nesse caso, determine a probabilidade do erro tipo II se µ =1,95 cm. (iv) Se para essa amostrax = 1, 94; qual a decisao em (ii)?, em (iii)?

Exercıcio 61. Um estudo foi desenvolvido para avaliar o salario de empregadas domesticas na cidadede Sao Paulo. Foram sorteadas e entrevistadas 200 trabalhadoras. Admita que o desvio padrao dessavariavel na cidade e de 0,8 salarios mınimos. (i) Voce conhece a distribuicao do estimador X? Senao, e possıvel fazer alguma suposicao?

Exercıcio 62. A vida media de uma amostra de 100 lampadas de certa marca e 1615 horas.Por similaridade com outros processos de fabricacao, supomos o desvio padrao igual a 120 horas.Utilizando α=5%, desejamos testar se a duracao media de todas as lampadas dessa marca e igualou e diferente de 1600 horas. Qual e a conclusao? Determine tambem a probabilidade do erro tipoII, se a media fosse 1620 horas.

Exercıcio 63. Uma amostra com 10 observacoes de uma variavel aleatoria normal forneceu mediade 5,5 e variancia de 4. Deseja-se testar, ao nıvel de significancia de 5%, se a media na populacao eigual ou e menor que 6. Qual e a conclusao?

Exercıcio 64. Um criador tem constatado uma proporcao de 10% do rebanho com verminose. Oveterinario alterou a dieta dos animais e acredita que a doenca diminuiu de intensidade. Um exameem 100 cabecas do rebanho, escolhidas ao acaso, indicou 8 delas com verminose. Ao nıvel de 8%, haindıcios de que a proporcao diminuiu?

Exercıcio 65. Considere o teste p = 0, 6 contra p 6= 0, 6. Sendo n = 100, indique a probabilidadede erro tipo I para as seguintes regioes crıticas: (i) RC = x ∈ R|x < 0, 56 ou x > 0, 64, (ii)RC = x ∈ R|x < 0, 54 ou x > 0, 66.

3.4.2 Testes t-Student : teste e intervalo para µ com σ2 desconhecida

Exercıcio 66. Com auxılio da tabela t-Student calcule (se necessario, aproxime):(i) P (−3, 365 6 t5 6 3, 365). (ii) P (|t8| < 1, 4). (iii) P (−1, 1 6 t14 < 2, 15). (iv) a : P (t9 > a) =

0, 02. (v) b : P (t16 6 b) = 0, 05. (vi) c : P (|t11| 6 c) = 0, 1. (vii) d : P (|t21| > d) = 0, 05.

Exercıcio 67. Uma amostra de 20 observacoes de uma variavel com distribuicao normal foi colhida,obtendo-se desvio padrao 1,1. No teste µ=5 contra µ > 5, foi estabelecida a regiao critica t ∈ R|t >2, 033. Determine a probabilidade do erro tipo I.

19

Exercıcio 68. A porcentagem anual media da receita municipal empregada em saneamento basicoem pequenos municıpios de um estado tem sido 8% (admita que esse ındice se comporte segundo ummodelo normal). O governo pretende melhorar esse ındice e, para isso, ofereceu alguns incentivos.Para verificar a eficacia dessa atitude, sorteu 10 cidades e observou as porcentagens 8, 12, 16, 9, 11e 12. Os dados trazem evidencia de melhoria, ao nıvel de 2%? Caso altere a media, de um intervalode confianca para anova media.

Exercıcio 69. Inicie R e carregue os dados energy.txt no site do curso digitandoR

dt <- read.table(file="http://dfm.ffclrp.usp.br/~rrosales/aulas/energy.txt",

head=TRUE)

attach(dt)

Estes dados contem duas colunas: expend e stature, e representam o consumo energetico de mulhe-res magras (lean) e obesas (obese). O argumento head=TRUE da funcao read.table permite Digite

t.test(expend~stature, paired=TRUE)

A funcao t.test, com a sintaxe acima, permite realizar um teste t utilizando o estimador

T =X2 − X1√S2

1

n+S2

2

n

(i) No caso dos dados em energy.txt, quais sao as hipoteses H0 e Ha que estao sendo testadas?(ii) Qual e o resultado do teste? (iii) A figura 6 mostra a funcao poder para o teste em (i), para doisvalores de α, 0.001 e 0.05. Por que o poder do teste para α = 0.05 e maior? (iii) Escreva um codigoem R, o qual permita calcular a funcao poder para testes t-Student. (Sugestao: utilice a funcao qt.)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

1 −

bet

a(x)

Figura 6: funcoes poder para o teste do Exercicio 69 para dois valores de α (0.001 linha pontilhada, e 0.05).

Exercıcio 70. Carregue os dados chiken.txt. Estes dados contem o efeito de duas dietas diferentesR

no crecimento de perus durante as primeiras semanas de vida. Os dados apresentam quatro colunas:“weight”, “Time”, “Chick”, e “Diet”. A figura 7 embaixo apresenta um “Box Plot”gerado coma funcao boxplot(weight~Diet). Em este grafico a barra inferior representa a menor observacaonao extrema, o borde inferiror da caixa corresponde ao primeiro quartil Q1 (i.e. o valor de x tal

que Fx1,...,xn(x) = 0, 25), a barra cheia e a mediana dos dados, o borde superior da caixa e o

terceiro quartil Q3 = x : Fx1,...,xn(x) = 0, 75, e a barra superior representa a maior observacao naoextrema. Os sımbolos representam eventos moderadamente extremos. Um dado e consideradomoderadamente extremo se o seu valor esta entre 1, 5(Q3 − Q1) e 3(Q3 − Q1). Se o valor de uma

20

1 250

100

150

200

250

300

tratamento

peso

(gr

)

Figura 7: Box Plots para os dados em chiken.txt.

observacao e maior do que 3(Q3 − Q1), entao esta e representada com o sımbolo ∗ e consideradocomo um verdadeiro extremo. (i) Em base ao grafico, diga se os dois tratamentos tem algum efeitosobre o peso medio dos frangos. (ii) Faca um teste de hipotese para verificar a sua opiniao. Qual ea sua conclusao? [Sugestao: veja o exercıcio anterior!]

Exercıcio 71. Inicie R e carregue os dados trabalho.txt. Este arquivo contem os dados doR

Exercicio 56. (i) Faca um teste para verificar se no Brasil existe diferenca na taxa de trabalho decriancas pretas e criancas brancas. Qual e a sua conclusao? (ii) Os resultados aqui sao consistentescom aqueles obtidos no Exercicio 56?

3.4.3 Teste χ2: Testes e intervalos para a Variancia

Exercıcio 72. Para cada uma das seguintes combinacoes de a e gl (graus de libertade), calcular ovalor de χ2

a que uma area a no extremo direito da distribuicao χ2, i.e., P (X 6) = a.

(i). a = 0, 05, gl = 7 (ii). a = 0, 1, gl = 16 (iii).a = 0, 01, gl = 10

(iv). a = 0, 025, gl = 8 (v). a = 0, 005, gl = 5.

Exercıcio 73. O tempo de certo evento observado em 18 provas forneceu a estimativa para S de6,3 (ns). Obtenha um intervalo de confianca de 95% para a verdadeira variancia, σ2, dos tempos.Suponha que a distribuicao dos tempos observados e normal.

O seguinte exercıcio e mais avanzado e tem como proposito ilustrar a interpretacao ussual de umintervalo de confianca.

Exercıcio 74. Gere uma amostra de tamanho 20 da distribuicao normal com media 0 e desvioR

padrao 5. Calcule o intervalo de confianca para a variancia baseado na amostra com γ = 0, 95.Repeta estes passos 100 vezes e conte o numero de vezes nas quais o intervalo captura o verdadeirovalor de σ2. Divida esta frequencia pelo numero total de repeticoes e compare o valor final com γ.Sugestao: utilice as funcoes rnorm, mean.

3.4.4 Teste F (Fisher-Snedecor): σ21/σ

22

Exercıcio 75. Supondo X ∼ F (a, b), encontre xc tal que: (i) P (X > xc) = 0, 05 com a=18,b=3. (ii) P (X > xc) = 0, 05 com a=3, b=18. (iii) P (X > xc) = 0, 05 com a=180, b=192. (iv)P (X > xc) = 0, 95 com a=5, b=12. (v) P (X > xc) = 0, 95 com a=30, b=40.

21

Exercıcio 76. Uma panificadora produz determinado tipo de pao, cujo peso medio e de 190 gramas,com desvio padrao de 18 gramas. Devido a mudancas na polıtica cambial, que ocasionou aumento nopreco do trigo, alguns ingredientes da receita foram substituıdos. Uma equipe do governo resolveuverificar se a variabilidade no peso do produto aumentou e escolheu, aleatoriamente, 16 unidades,medindo o peso de cada uma. O peso medio obtido da amostra foi de 102 gramas e o desvio padraofoi de 24,5 gramas. Qual e a conclusao para α = 10%.

Exercıcio 77. Uma linha de montagem produz pecas cujos pesos, em gramas, obedecem ao modelonormal com variancia 30 g2. Os equipamentos foram modernizados e, para verificar se o processocontinua sob controle, foi tomada uma amostra de 23 precas, que forneceu s2 = 40 g2. Existemevidencias indicando que a variancia mudou, considerando α=10%.

Exercıcio 78. Queremos comparar tres hospitais, a traves da satisfacao demonstrada por pacientesquanto ao atendimento, durante o perıodo de internacao. Para tanto, foram selecionados, aleatori-amente, pacientes com grau de enfermidade semelhante. Cada paciente preencheu um questionarioe as respostas geraram ındices variando de 0 a 100, indicando o grau de satisfacao. Os resultadosforam

HospitalA B C

n 10 15 13x 80,7 59,0 72,3

s2(x) 113,3 101,4 106,5

(i) Baseando-se nos dados apresentados, teste a igualdade das variancias para os hospitais A e B.Use α = 0, 10. (ii) Teste se as medias populacionais sao iguais. Qual sua conclusao? Use α = 0, 05.

Exercıcio 79. Procure e carregue os dados stroke.txt. Entre outras informacoes, estes dados for-R

necem a idade de pessoas de ambos sexos as quais sofreram um enfarto na Estonia, durante o perıodo1991-1993. Digite var.test(age~sex). (i) O que esta sendo testado (quais sao as hipoteses?) (ii)Baseado no valor p do teste, qual e a sua conclusao?

Exercıcio 80. Sejam X1 e S21 a media e a variancia amostrais de n1 observacoes de uma populacao

com media µ1 e variancia σ21 . Da forma analoga consideramos X2, S2

2 , n2, µ2 e σ22 . (i) Estabeleca

um intervalo de confianca para µ1 + µ2. Sugestao: considere o estimador

Zn1,n2=

(X1 + X2)− (µ1 + µ2)√σ2

1

n1+σ2

2

n2

.

(ii) Demonstrar que se n1 →∞ e n2 →∞, entao Zn1,n2

D−→ Z onde Z e normal padrao.

Exercıcio 81. Sea X1, X2, . . . , Xn uma amostra de uma populacao Poisson(λ). Se utiliza X comoum estimador para λ. Obtenha um intervalo de confianca de (1− α)% para λ. [Sugestao, considereo estimador,

Z =X − λ√λ/n

e mostre que Z e normal padrao quando n → ∞ (Qual dos resultados da secao de convergenciapodem ser utilizados?)]

4 Analise de variancia e regressao linear

Exercıcio 82. Tres diferentes bancos possuem agencias de mesmo porte em uma avenida no centrode Sao Paulo. Para testar se essas agencias tem movimento medio equivalente, foi escolhida umasemana tıpica de trabalho e o desempenho, nesses dias, foi registrado. Os dados obtıdos, em milhoesde reais e apresenta na seguinte tabela

22

Banco1 2 3

146,4 194,3 173,7199,2 227,2 246,5179,5 203,4 289,898,4 111,8 127,4263,7 275,0 265,6

Qual seria a sua conclusao ao nıvel α =5%?

Exercıcio 83. Um estudo deseja avaliar o efeito do treinamento no tempo de reacao de atletassubmetidos a um certo estımulo. O treinamento consiste na repeticao de um movimento e foiutilizada uma amostra de 37 atletas. Para cada atleta foi atribuıdo um certo numero de repeticoesX e, entao, foi medido o tempo de reacao Y , em milisegundos. Uma reta de mınimos quadrados foiajustada aos dados, fornecendo a equacao

yi = 80, 5− 0, 9xi, i = 1, . . . , n.

(i) Qual e o significado das estimativas para α e β?

Exercıcio 84. Inicie R e carregue os dados cabbages.txt. Estes dados contem informacoes sobreR

plantios de repolhos e estao constituıdos por quatro colunas: Cult: origem do cultivo, Date: data daplantacao, HeadWt: peso da cabeca do repolho (em Kg), VitC: conteudo de acido ascorbico (vitaminaC, em unidades arbitrarias). Ao digitar

minharegressao <- lm(HeadWt~VitC)

devera aparecer

Call:

lm(formula = HeadW~VitC)

Coefficients:

(Intercept) VitC

5.92806 -0.05754

O argumento a lm e a formula de um modelo. Na sua forma mais simples, o modelo y~x indica quey e a variavel dependente e x a variavel independente (esta ultima e conhecida em uma regressaocomo a variavel descritiva). Neste caso, como saıdas de lm obtemos o intercepto (β) com o eixo y e ainclinacao (α) da reta que melhor descreve os dados. A estimativa para a reta de regressao portantoe

HeadWt = 5.92806− 0.05754× VitC.

Maiores informacoes sobre a regressao sao obtidos ao escrever

summary(minharegressao)

o qual gera a seguinte informacao

Call:

lm(formula = HeadWt ~ VitC)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-1.0150 -0.5117 -0.1575 0.4244 1.6095

Coefficients:

23

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 5.928059 0.505983 11.716 < 2e-16 ***

VitC -0.057545 0.008603 -6.689 9.75e-09 ***

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.6687 on 58 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.4355, Adjusted R-squared: 0.4257

F-statistic: 44.74 on 1 and 58 DF, p-value: 9.753e-09

Residuals fornece algumas propriedades que resumem a distribuicao dos erros ei. Lembramos que adistribuicao de estes apresenta a priori media 0, portanto a mediana dos erros deve estar proxima deeste valor (neste caso -0.1575). Coefficients; mostra novamente as estimativas para β e α e paracada uma o seu erro padrao, testes t, e p-valores. Os sımbolos a direita correspondem a um indicadorgrafico do nıvel do teste; * significa 0, 01 < p < 0, 05 (veja a linha Signif.codes:...). Residual

standard error e a variacao residual, uma quantidade que mede a variabilidade das observacoesa respeito da reta de regressao, e fornece uma estimativa para σ, a variancia dos ei. Multiple

R-squared e o coeficiente de correlacao de Pearson. F-statistics corresponde ao resultado doteste H0: α = 0, Ha: α 6= 0. Finalmente, os comandos

plot(VitC,HeadWt,xlab="concentracao de vitamina C (unidades

arbitrarias)", ylab="peso da cabeca do repolho (Kg)",

cex=0.9, lwd=0.65)

abline(lm(HeadWt~VitC), lwd=1.5, col="navy", lty=2)

produzem a figura 8. (i) Baseado em estes resultados, voce acredita que o modelo de regressao lineare apropriado em este exemplo? Qual dos resultados fornecidos por R levo voce a sua conclusao?(ii) Qual e o peso esperado de uma cabeca de repolho com 60 unidades de vitamina C? e para 100unidades?

40 50 60 70 80

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

concentracao de vitamina C (unidades arbitrarias)

peso

da

cabe

ca d

o re

polh

o (K

g)

Figura 8: grafico tıpico para uma regressao linear.

Exercıcio 85. Para verificar o efeito da variavel X sobre a variavel Y , foi realizado um experimentoque forneceu os pares (xi, yi) dados por (3; 13,3), (7; 24,3), (5; 15,9), (2; 12,8), (9; 29,6), (7; 29,5),(3; 14,5), (5; 23,3), (8; 32,6), (2; 12,0) e (1; 4,6). Obtehna a reta ajustada. Construa o diagrama

24

15 20 25 30 35 40

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

# de salarios minimos

# de

filh

os

Figura 9: renda e numero de filhos

de despersao, baseando-se nos pares de valores fornecidos e, em seguida, desenhe a reta ajustada.Baseando-se apenas no grafico, voce diria que o ajuste e adequado? Verificar se o valore de x influisobre o valor de y, utilizando α = 5%.

Exercıcio 86. Para verificar se existe relacao entre a renda familiar (em salarios mınimos) e onumero de filhos, foi coletada uma amostra de 8 famılias em uma ciudade. Os resultados obtidossao apresentados na seguinte tabela, e graficados na figura 9.

Famılia 1 2 3 4 5 6 7 8

Renda 12 14 15 17 23 27 34 43Filhos 3 2 2 1 1 0 0 0

(i) Que conclusoes podem ser tiradas, baseando-se em um diagrama de dispersao, apresentado acima,e no coeficiente de correlacao? (ii) Calcule a reta de mınimos quadrados e interprete os parametros.(iii) Verifique se a renda influi no numero de filhos, utilizando α = 5%.

Exercıcio 87. Verifique se e razoavel considerar um modelo de regressao linear relacionando asnotas de calculo, Y, e estatıstica, X, segundo os dados apresentados na tabela a seguir.

Disciplinas Notas

Calculo 5,5 3,5 7,0 2,5 8,5 6,5 6,0 4,0 0,5 5,0Estatıstica 7,0 4,5 8,5 3,5 9,0 4,5 5,0 5,5 1,5 6,5

Exercıcio 88. A quantidade de chuva e um fator importante na produtividade agrıcola. Para mediresse efeito, foram anotadas, para 8 regioes diferentes produtoras de soja, o ındice pluviometrico e aproducao do ultimo ano.

Chuva (mm) 120 140 122 150 115 190 130 118Producao (ton) 40 46 45 37 25 54 33 30

25

(i) Ajuste a reta de regressao. Como voce interpretaria o coeficiente β? (ii) Utilizando a retaajustada, encontre a producao esperada para uma regiao com ındice pluviometrico e igual a 160mm. (iii) Construa uma tabela ANOVA para verificar, ao nıvel de 5%, se existe evidencia estatısticade que o ındice pluvometrico influencia na producao de soja.

Exercıcio 89. Foi realizado um experimento para comparar as qualidades de desgaste de 3 tiposde tinta submetidas a acao abrasiva de uma roda forrada que gira lentamente. Foram testadas10 especımenes para cada tipo de tinta e foram registrados o numero de horas transcoridas ate oaparecimento de uma abrasao visıvel em cada caso. Os resultados sao apresentados na tabela abaixo.Ha provas suficientes de uma diferenca no tempo medio ate o aparecimento de uma abrasao visıvelentre os 3 tipos de pintura? Considere o nıvel α = 5%.

Tipo de tinta1 2 3

148 513 33576 264 643393 433 216520 94 536236 535 128134 327 72355 214 258166 135 380415 280 549153 304 465

Exercıcio 90. Com o aumento dos custos de perforacao de pocos petroleros, a tarefa de medir orendimento da perfuracao e essencial para o exito de uma companhia petrolera. Um metodo parareduzir os custos da perfuracao consiste em aumentar a velocidade de perfuracao. Pesquisadores daCities Service Co, inventaram uma broca de perfuracao, chamada PD-1, que eles acreditam perfuraruma rocha a uma velocidade maior que outras brocas do mercado.Decidiu-se comparar a velocidadeda PD-1 com as brocas mais rapidas conhecidas, a JADC 1-2-6 e a JADC 5-1-7, em 12 sıtios deperfuracao no Texas. Designaram-se 4 locais de perfuracao aleatoriamente a cada broca e se observoua velocidade de penetracao (RoP) em pes por hora depois de perfurar 3000 pes em cada local. Osdados sao apresentados na tabela correspondente. Com base nesta informacao, Cities Service Co.pode supor que a velocidade de penetracao media difere ao menos de duas das 3 brocas? Provecomo nıvel de significancia de α = 0.5.

PD-1 IADC 1-2-6 IADC 5-1-7

35,2 25,8 14,730,1 29,7 28,937,6 26,6 23,334,3 30,1 16,2

Exercıcio 91. Procure e carrege do site do curso os dados Cars93.txt. Utilize a funcao read.table.R

Estes dados contem 93 linhas e 27 colunas, e apresentam diversas caracterısticas de varios automoveisamericanos em 1993. Os dados foram tomados do pacote MASS, e podem ser carregados na memoriaaos escrever library(MASS)6, caso este pacote esteja instalado na sua distribuicao de R. Uma vezcarregados os dados, digite help(Cars93) e tambem diretamente Cars93 para obter maiores in-formacoes. O boxplot mostrado na figura 10 foi realizado com boxplot(Price~Type,notch=F).(i) Baseado neste grafico, voce acredita que existe evidencia para pensar que os precos medios dosvehıculos variam de acordo ao tipo? (ii) O teste ANOVA para os precos dos veıculos de acordo as

6MASS contem os dados e as funcoes que acompanham a referencia: Venables, W. N. e Ripley, B. D. (1999)Modern Applied Statistics with S-PLUS. Terceira Edicao. Springer Verlag.

26

Compact Large Midsize Small Sporty Van

1020

3040

5060

Tipos

prec

o (u

nida

des

arbi

trar

ias)

Figura 10: precos de diversos tipos de carros americanos em 1993.

classes em Types pode ser realizado como

anova(lm(Price~Type))

resultando

Analysis of Variance Table

Response: Price

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

Type 5 3421.4 684.3 11.532 1.477e-08 ***

Residuals 87 5162.6 59.3

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Em base a este teste podemos descartar a hipotese que consiste em pensar que todos os tipos decarros apresentam o mesmo valor medio? (iii) Faca uma regressao linear utilizando Weight comovariavel independente e MPG.highway. Qual e o resultado do teste F associado? (iv) Considere oteste

t.test(Price~Origin, alternative=two.sided)

onde Origin e uma variavel com dois valores USA e non-USA. O que esta sendo testado (quais saoH0 e Ha)? Qual e o resultado do teste? (v) Considere o teste

t.test(Price~Origin, alternative=greather)

Quais sao as hipoteses? Qual e o resultado do teste? (veja como muda a conclusao do teste emalternative hypotesis).

Exercıcio 92. Uma agencia de empregos deseja verificar o grau de satisfacao de seus clientes. ParaR

tanto, escolheu domicılios de famılias de classe A, B e C, que fizeram uso da agencia, e solicitou queum questionario fosse preenchido. Os questionarios foram devidamente codificados, a fim de fornecerum ındice de satisfacao que varia de 1 a 5 (insatisfeito a satisfeito). Os resultados do questionario seencontram no aquivo agencia.txt. Faca um teste ANOVA para verificar se o ındice de satisfacaomedio varia ou nao de classe a classe. Qual e a conclusao se α =0,05%?

27

5 Teoria de Neyman-Pearson

Exercıcio 93. Uma amostra X1, X2 da populacao normal(0, 2) e considerada para o teste

H0 : σ = 2, Ha : σ = 1.

(i) Utilize o lema de Neyman-Pearson para construir uma regiao crıtica de tamanho α, de tal maneiraque esta apresente o maximo poder para este teste. (ii) Determine a regiao no caso que α= 0, 05.

Exercıcio 94. Considere uma populacao com distribuicao

fX(x|θ) =

θxθ−1, se x ∈ [0, 1],

0, caso contrario.

onde θ > 0. Desejamos testarH0 : θ = 2, Ha : θ = 3,

utilizando a amostra X1, X2. (i) Construa a regiao critica para α = 0, 05 utilizando o Lema deNeyman-Pearson. (ii) Calcule o poder da regiao em (i).

Exercıcio 95. A amostra X1, X2, X3 e tomada de uma populacao Poisson. Baseados nestaamostra desejamos testar

H0 : λ = 2, Ha : λ = 1.

Para qualquer c > 0 definimos a regiao G(c) como

G(c) =

(n1, n2, n3) ∈ N3 : n1 + n2 + n3 ≤ c.

(i) Mostre que regiao crıtica definida pelo Lema de Neyman-Pearson e desta forma. (ii) Determine o?tamanho? da regiao crıtica G(c) para c = 2. (iii) Determine o poder do teste se a regiao escolhida eG(2). (iv) Sera possıvel construir uma outra regiao do mesmo tamanho que G(2), porem com maiorpoder?

Exercıcio 96. Acredita-se que certa moeda utilizada para tomar uma decisao importante e viciada,sendo que a probabilidade de obter coroa e 3/4. Seja o verdadeiro valor desta probabilidade. Nestesterminos estamos confrontados com as seguintes hipoteses

H0 : θ = 1/2, Ha : θ = 3/4.

Estas hipoteses serao testadas utilizando o seguinte experimento. Jogamos a moeda em questaorepetidas vezes e contamos o numero de vezes ate aparecer a primeira coroa, X. X e geometrica,portanto sob H0,

PH0(X = n) =

(1

2

)n, n ≥ 1,

e sob Ha,

PHa(X = n) =3

4

(1

4

)n−1

, n ≥ 1.

Suponha que este experimento e repetido duas vezes, isto e, so sera considerada a amostra X1, X2

de tamanho 2. (i) Mostre que dado o nıvel α, a regiao crıtica de maximo poder e dada por,

G(c) =

(n1, n2) : n1 + n2 ≤ c.

(ii) Calcule o valor de para o caso c = 3. (iii) Determine o poder da regiao critica, G(c), para c = 3.(iv) Considere a seguinte regiao crıtica,

F =

(1, 1), (2, 1), (3, 1), (1, 3)

e calcule o tamanho α, e o poder associado a F .

28

5.1 Quocientes de verossimilhanca

Exercıcio 97. Seja X uma populacao normal com media µ e variancia σ2 desconhecidas. (i) Mostreque sob as hipoteses

H0 : µ = µ0, H?a : µ6 = µ0,

o quociente de verossimilhanca para a amostra x1, . . . , xn e

Λ(x1, . . . , xn) =

1 +

1

n− 1

(x− µ0

s/√n

)2−n/2

.

(ii) Mostre que a regiao critica associada toma a forma

G(c) =

(x1, . . . , xn) ∈ Rn :

∣∣∣∣ x− µ0

s/√n

∣∣∣∣,

onde c e uma constante.

Exercıcio 98. Seja X uma populacao normal com media µ e variancia σ2, ambos parametrosdesconhecidos, e sejam as seguintes hipoteses

H0 : σ = σ0, Ha : σ 6= σ0.

(i) Mostre que o coeficiente de verossimilhanca e dado por

Λ(x1, . . . , xn) = en/2n−n/2(

(n− 1)s2

σ20

)e−(n−1)s2/2σ2

0

onde s2 = 1n−1

∑i(xi − x)2. (ii) Mostre que a regiao crıtica neste caso e da forma G = G1 ∪ G2,

onde

G1 =

(x1, . . . , xn) ∈ Rn :

(n− 1)s2

σ20

≤ c1,

G2 =

(x1, . . . , xn) ∈ Rn :

(n− 1)s2

σ20

≥ c2.

Exercıcio 99. Seja X1, X2, . . ., Xn uma amostra de uma populacao com distribuicao exponencialcom parametro λ. (i) Construa o teste da razao de verossimilhanca generalizada para testar ashipotesis

H0 : λ = 1, Ha : λ 6= 1.

(ii) Suponha que a amostra para n = 5 fornece os seguintes valores: x1 = 0, 8; x2 = 1, 3; x3 = 1, 8;x4 = 0, 9 e x5 = 1, 0. Qual a sua decisao ao nivel de 5%?

6 Apendice

6.1 Convergencia

Demonstracao. (do Lema 1) Suponhamos que XnP−→ X, e neste caso sejam Fn(x) = P (Xn ≤ x),

F (x) = P (X ≤ x), as funcoes de distribuicao de Xn e X respectivamente. Se ε > 0, entao

Fn(x) = P(Xn ≤ x,X ≤ x+ ε) + P(Xn ≤ x,X > x+ ε),

embora P(Xn < x,X ≥ x + ε) ≤ P(X ≤ k + ε) = F (x + ε), e para qualquer x, Xn ≥ x,X >x+ ε = |Xn −X| > ε, portanto

Fn(x) ≤ F (x+ ε) + P(|Xn −X| > ε).

29

Da mesma forma,F (x− ε) = Fn(x) + P(|Xn −X| > ε),

portantoF (x− ε)− P(|Xn −X| > ε) ≤ Fn(x) ≤ F (x+ ε) + P(|Xn −X| > ε)

e no limite n → ∞, sob convergencia em probabilidade, F (x − ε) ≤ limn→∞ Fn(x) ≤ F (x + ε),embora realmente so e possıvel afirmar que

F (x− ε) ≤ lim infn→∞

Fn(x) ≤ lim supn→∞

≤ F (x+ ε).

Se F e contınua em x entao F (x − ε)F (x) e F (x + ε)F (x) quando ε → 0, entao necessariamentelim infn Fn(x) = lim supn Fn(x) = F (x).

Demonstracao. (do Lema 2) Seja A = |X| ≥ a, entao |X|(ω) ≥ a1A(ω), logo E[|X|] ≥ aE[1A], istoe, E[X] ≥ aE[1|X|≥a], portanto E[X]/a ≥ P(|X| ≥ a).

Demonstracao. (do Lema 3) (a) Seja ξ uma variavel aleatoria, da desigualdade de Lyapunov,E|ξr|1/r ≥ E|ξs|1/s para r ≥ s > 0, temos que

E|Xn −X|s1/s ≤ E|Xn −X|r1/r,

o qual mostra a primeira parte. O seguinte contarexemplo mostra que a implicacao no sentidocontrario nao e sempre valida. Sejam as variaveis aleatorias

Xn =

n, com probabilidade n−1/2(r+s)

0, com probabilidade 1− n−1/2(r+s)

PortantoE|Xs

n| = |ns|n−1/2(r+s) = nsn−1/2r−1/2s = n1/2(s−r),

se s < r entao E|Xsn| → 0 quando n → ∞, assim Xn

s−→ X, embora isto nao implica Xnr−→ X.

(b) segue imediatamente da desigualdade de Markov e o resultado anterior. Agora, da definicao deXn, temos que para n suficientemente grande, P(|Xn| > ε) = P(Xn > ε) = 1/n. Assim limn P(Xn >

ε) = limn 1/n = 0, isto e, XnP−→ 0. Embora, E|Xn| = n, logo limnE|Xn| = ∞, o mostra que a

implicacao no sentido oposto em (b) nao sempre e valida.

O seguinte Lema conhecido como o Lema de Borel-Cantelli e necessario para demonstrar oLema 4. Em geral, este Lema fornece um criterio para a convergencia quase certa.

Lema 7 (Borel-Cantelli). Seja A = ∩n≥1 ∪m≥n Am o evento no qual ocorrem infinitos dos eventosAn, entao

(a) P(A) = 0 se∑n P(An) <∞

(b) P(A) = 1 se∑n P(An) =∞, e A1, A2, . . . sao independentes.

Demonstracao. Da definicao do evento A temos que A ⊆ ∪m≥nAm, assim

P(A) ≤ P( ⋃m≥n

Am

)≤∑m≥n

P(Am) para n ≥ 1.

Se∑m≥1 P(Am) <∞, entao necessariamente a serie

∑m≥n P(Am) e zero no limite n→∞, portanto,

das desigualdades acima, P(A) = 0.Para provarmos (b), observamos primeiro que

AC =

⋂n=1

⋃m=n

Am

C=⋃n=1

⋂m=n

ACm,

30

e para um n fixo, concetramos a nossa atencao na sequencia monotona decrescente ∩rm≥nAm, r ≥ n.Pela continuidade de P, temos que

P( ⋂m≥n

ACm

)= limr→∞

P( r⋂m=n

ACm

)= limr→∞

P(ACn , . . . , ACr )

= limr→∞

P(ACn ) · · ·P(ACr ) =∏m≥n

(1− P(Am)

)≤∏m≥n

e−P(Am) = exp

−∑m≥n

P(Am)

,

A terceira igualdade segue da independencia dos eventos. A desigualdade segue de 1− x ≤ e−x. Se∑m P(Am) =∞, entao para qualquer n ≥ 1 temos

∑m≥n P(Am) =∞, portanto

P(AC) = P( ⋃n=1

⋂m=n

ACm

)≤∑n≥1

P( ⋂m≥n

Am

)=∑n≥1

e−∑m≥n P(Am) = 0.

Desta forma P(A) = 1.

A primeira parte do Lema de Borel-Cantelli pode ser utilizada para demonstrar a convergenciaquase certa de uma sequencia de variaveis aleatorias. Sejam An(ε) = ω ∈ Ω : |Xn(ω)−X(ω)| > ε,e A = ω ∈ Ω : limn→∞ |Xn(ω) − X(ω)| > ε. Imediatamente do Lema 7, se

∑n P(An(ε)) < ∞,

entao P(A) = 0.

Demonstracao. (do Lema 4) (a) Para simplificar a notacao, consideramos os eventos

C = ω : Xn(ω)→ X(ω) quando n→∞,A(ε) = ω : ω ∈ An(ε) para infinitos n

=

∞⋃m=1

∞⋂n≥m

An(ε) =

∞⋃m=1

∞⋂n≥m

ω ∈ Ω : |Xn(ω)−X(ω)| > ε.

Agora, se Xn(ω)q.c.−→ X(ω), entao P(C) = 1, portanto P(ω ∈ An(ε) para infinitos n) = 0, ou seja

P(ω ∈ ∩m≥1 ∪n≥m An(ε)

)= P

(ω ∈ ∩m≥1Bm(ε)

)= 0. Observamos que Bm e uma sequencia

monotona decrescente, assim, da continuidade da funcao de probabilidade limm→∞ P(Bm(ε)) = 0.Mostramos agora a implicacao no sentido oposto. Suponhamos que P(A(ε)) = 0 para todo ε > 0.Logo,

P(Cc) = P(ω : Xn(ω) 9 X(ω) quando n→∞

)= P

( ⋃ε>0

A(ε)

)= P

( ⋃m≥1

A(

1m

))≤∑m≥1

P(A( 1

m ))

uma vez que sempre e possıvel escoler ε = m−1. Por hipotese, se P(A(ε)) = 0, entao para 1/m ≥ εsegue que 0 = P

(A(ε)

)⊇ P

(A( 1

m ))

= 0. Assim

∞∑m=1

P(A( 1

m ))

= 0⇒ P(C) = 1.

(b) Provamos agora que Xnq.c.−→ X quando

∑n P(An(ε)) <∞, para todo ε > 0. Isto fornece um

criterio util para provar convergencia quase certa. Primeiro observamos, diretamente da definicaodos eventos Bm, que

P(Bm(ε)

)= P

( ⋃n≥m

An(ε))≤∞∑n=m

P(An(ε)

).

31

Seguindo o Lema de Borel-Cantelli, Lema 7, se∑n≥m P(An(ε)) <∞, entao limm→∞ P(Bm(ε)) = 0,

logo da primeira parte deste Lema temos Xnq.c.−→ X.

(c) Mostramos primeiramente que se Xnq.c.−→ X entao Xn

P−→ X. Observamos que An(ε) ⊆Bn(ε), entao P(An(ε)) → 0 quando P(Bn(ε)) → 0. Embora, da primeira parte do Lemma, se

Xnq.c.−→ X entao P(Bn(ε)) → 0, assim limn→∞ P(An(ε)) = 0. Apresentamos agora um exemplo o

qual mostra que XnP−→ X nao necessariamente implica Xn

q.c.−→ X. Seja

Xn =

1 com probabilidade 1

n ,

0 com probabilidade 1− 1n ,

(11)

uma sequencia de variaveis aleatorias independentes, logo limn→∞ P(Xn = 1) = limn→∞1n = 0, e

limn→∞ P(Xn = 0) = limn→∞(1− 1n ) = 1, portanto Xn

P−→ 0. Seja Dm(ε) = Bcm(ε), isto e,

Dm(ε) =

∞⋂n≥m

ω : |Xn(ω)− 0| ≤ ε.

Assim,

P(Bm(ε)

)= 1− P

(Dm(ε)

)= 1− P

(limr→∞

r⋂n≥m

ω : |Xn(ω)− 0| ≤ ε)

= 1− P(

limr→∞

r⋂n≥m

ω : Xn = 0)

= 1− limr→∞

r∏n≥m

P(Xn = 0)

= 1− limr→∞

(1− 1

m

)(1− 1

m+ 1

)· · ·(

1− 1

r

)= 1− lim

r→∞

(m− 1

m

)(m

m+ 1

)· · ·(r − 1

r

)= 1− lim

r→∞

m− 1

r= 1.

Desta maneira mostramos que parar todo ε > 0, P(Bm(ε)) = 1, ou seja P(∪n≥mω : |Xn(ω)− 0| >ε) = 1, portanto Xn nao converge quase certamente a 0.

Demonstracao. (do Lema 5) Seja a seguinte sequencia de variaveis aleatorias

Xn =

n3 com probabilidade n−2

0 com probabilidade 1− n−2.

Mostramos, utilizando a parte (b) do Lema 4, que Xnq.c.−→ 0. Para este caso observamos que

An(ε) = P(ω : |Xn(ω)− 0| > ε) = P(n3 > ε) = n−2, logo∑n≥1

P(An(ε)

)=∑n≥1

n−2 =π2

6<∞,

mostrando a convergencia quase certa de Xn† . Notamos agora que Xn

r−→ 0 para r = 1 quandoE|Xn| <∞ para n ≥ 1; embora E|Xn| = n3n−2 + 0 · (1− n−2) = n, portanto nao podemos garantirque no limite quando n→∞, E|Xn| <∞.

†Para chegarmos a este resultado utilizamos a igualdade∑

n≥q n−2 = π2/6, a qual e um caso especial da serie

harmonica,∑

n≥1(1/n)p, para p = 2. Esta serie tem sido objeto de muito estudo, sendo fundamental em diversasareas da matematica, veja http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunctionZeta2.html para maiores detalhes.

32

Apresentamos agora um exemplo de uma sequencia de variaveis aleatorias que converge emmedia, porem nao converge quase certamente. Seja (Xn), n ≥ 1, a sequencia em (11). Sabemos que,da prova para a parte (c) do Lema 4, Xn nao converge quase certamente a 0. Assim so devemos

mostrar que Xn1−→ 0. Observamos que para esta sequencia E[|Xn|] = n−1, assim E[|Xn|] < ∞,

para todo n ≥ 1.Tambem,

limn→∞

E[|Xn − 0|] = limn→∞

1

n= 0,

i.e., Xn1−→ 0.

Demonstracao. (Teorema 2) (i) Temos que,

P(|Xn −X| < ε) = P(Xn − c > ε ∪ Xn − c < −ε)= P(Xn > c+ ε) + P(Xn < c− ε).

Se XnD−→ c, isto e, se

P(Xn ≤ x)→ P(X = c) =

1 se x = c

0 se x 6= c

entao P(Xn < c−ε)→ 0 e P(Xn > c+ε)→ 0 quando n→∞, ou seja, limn→∞ P(|Xn− c| < ε) = 0.(ii) Se limn→∞ P(|Xn −X| > ε) = 0 para qualquer ε > 0, e P(|Xn| ≤ k) = 1 para todo n, entao

P(|X| ≤ k) = 1. Por outro lado,

|Xn −X|r ≤ εr1|Xn−X|≤ε + (2k)r1|Xn−X|>ε,

uma vez que se |Xn −X| ≤ ε entao |Xn −X|r ≤ εr, e se |Xn −X| > ε, e |Xn| ≤ k, |X| ≤ k entao|Xn −X| ≤ 2k. Calculando a esperanca a ambos lados da desigualdade obtemos

E[|Xn −X|r

]≤ εrP

(|Xn −X| ≤ ε

)+ (2k)rP

(|Xn −X| > ε

),

assimlimn→∞

E[|Xn −X|r

]≤ εr · 1 + (2k)r · 0 = εr.

Portanto no limite ε→ 0+, concluimos que Xnr−→ X

(iii) Se Pn(ε) = P(|Xn − X| > ε) satisfaze∑n Pn(ε) < ∞ para todo ε > 0, entao da terceira

parte do Lema 4 e do Lema 7 temos que Xnq.c.−→ X.

Apresentamos a seguir os calculos para as densidades do Exemplo 1. Determinamos a seguir adensidade de S2. Claramente fS2(u) = 0 se |u| ≥ 1. Para o caso |s| < 1 temos, utilizando a integralde convolucao, que

fS2(u) = (fU1

∗ fU2)(u) =

∫ ∞−∞

fU1(x)fU2

(u− x) dx

=

∫ + 12

− 12

fU2(u− x) dx =

∫ + 12

− 12

1[− 12 ,+

12 ](u− x) dx

=

∫ + 12

− 12

1[u− 12 ,u+ 1

2 ](x) dx

Assim, quando u ∈ [0, 1),

fS2(u) =

∫ + 12

− 12

1[u− 12 ,u+ 1

2 ](x) dx =

∫ + 12

s− 12

1 dx =1

2−(u− 1

2

)= 1− u,

33

e quando u ∈ (−1, 0),

fS2(u) =

∫ + 12

− 12

1[u− 12 ,u+ 1

2 ](x) dx =

∫ u+ 12

− 12

1 dx =(u+

1

2

)−(− 1

2

)= 1 + u.

Concluimos portanto que fS2(u) = (1− |u|)1(−1,1)(u), para u ∈ R. E simples ver que E[S2] = 0 eVar(S2) = 1/6 (demonstre isto!).

Apresentamos por ultimo a densidade de S3. Dado que as variaveis S2 e U3 sao independentes,e que S3 = S2 + U3, utilizando mais uma vez a integral de convolucao segue

fS3(u) = (fS2

∗ fU3)(u) =

∫ ∞−∞

fS2(x)fU3

(u− x) dx

=

∫ 1

−1

(1− |x|)1[− 12 ,+

12 ](u− x) dx =

∫ 1

−1

(1− |x|)1[u− 12 ,u+ 1

2 ](x) dx.

Observamos agora que os intervalos [u − 1/2, u + 1/2] e [−1, 1] sao disjuntos sempre e quando|u| > 3/2. Assim fS3

(u) = 0 quando u < −3/2 e u > 3/2. Para o caso u ∈ [−3/2,−1/2], temos∫ u+1/2

−1

(1− |x|) dx =

∫ u+1/2

−1

(1 + x) dx = (x+ 12x

2)

∣∣∣∣u+1/2

−1

= (u+ 12 ) + 1

2 (u2 + u+ 14 )− (− 1

2 ) = 12 (u2 + 3u+ 9

4 ).

Analisamos agora o caso u ∈ [−1/2, 1/2],∫ u+ 12

u− 12

(1− |x|) dx =

∫ 0

u− 12

(1 + x) dx+

∫ u+ 12

0

(1− x) dx

= (x− 12x

2)

∣∣∣∣0u−1/2

+ (x− 12x

2)

∣∣∣∣u+1/2

0

= 34 − u

2.

Para u ∈ [1/2, 3/2] resulta∫ 1

u− 12

(1− x) dx = (x− 12x

2)∣∣∣1u−1/2

= 12 (u2 − 3u+ 9

4 ).

Demonstracao. (Teorema 7) Utilizaremos a aproximacao de Stirling,

n! ∼√

2πn nne−n

valida quando n e grande. Segue das condicoes no enunciado do teorema que

k

n→ p,

n− kn→ q quando n→∞.

Assim,

pk = P(Sn = k) =

(n

k

)pkqn−k − n!

k!(n− k)!pkqn−k

∼√

2πnnne−npkqn−k√2πkkke−k

√2π(n− k)(n− k)n−ke−n+k

=1√

2πn kn(n−kn

)(kn)−k(n− kn )−n+k

pkqn−k

∼ 1√2πnpq

exp(− k ln

k

n− (n− k) ln

(n− kn

)+ k ln p+ (n− k) ln q

).

34

Seja x = (k − np)/√npq, logo o exponente da funcao exponencial acima e

E = −k lnk

n− (n− k) ln

(n− kn

)+ k ln p+ (n− k) ln q

= −k ln(np+ x

√npq

n

)− (n− k) ln

(nq − x√npqn

)+ k ln p+ (n− k) ln q

= −k ln(p+ x√pq/n)− (n− k) ln(q − x

√pq/n) + k ln p+ (n− k) ln q.

Aproximando pela serie de Taylor e utilizando o ressiduo de Lagrange temos que ssss

ln(p+ x√pq/n) = ln p+

z√q

√pn− x2q

2pn+R1(p)

x3(pq)3/2

n3/2

ln(q − x√pq/n) = ln q −

z√p

√qn− x2p

2qn+R2(p)

x3(pq)3/2

n3/2

onde R1, R2 sao os coeficientes dos ressiduos correspondentes a terceira derivada. Unicamenteinteressa que |R1|, |R2| ≤ C, onde C e uma constante, a qual independe de n. De esta maneira,

E =− k ln p−xk√q

√pn

+x2qk

2pn− (n− k) ln q +

x√p(n− k)√qn

+x2p(n− k)

2qn

−R1(p)x3(pq)3/2

n3/2k −R2(p)

x3(pq)3/2

n3/2(n− k)− k ln p− (n− k) ln q.

Observamos agora que R1(p) e R2(p) convergem a 0 pois x varia no intervalo limityado [a, b].Finalmente, substituimos k e (n− k) pelas expressoes em terminos de x; assim, desde que k/n→ pe (n− k)/n→ q, concluimos que

E =kx√q

√pn

+x√p(n− k)√qn

+x2q

2p

k

n+x2p

2q

(n− kn

)+ o(1)

=−(np+ x

√npq)

√pn

x√q +

(nq − x√npq)√qn

x√q +

x2q

2+x2p

2+ o(1)

= −√npqx− x2q +√npqx− x2p+ x2/2 + o(1) = x2/2 + o(1).

Demonstracao. (do Teorema 8) Seja x = (k − np)/√npq. Para 0 ≤ k ≤ n, temos que x varia no

intervalos [−√np/q,

√np/q] em incrementos de tamanho 1/

√npq. Seguindo o Teorema 7,∑

np+a√npq≤k

k≤np+b√npq

pk =∑a≤x≤b

1√2πnpq

e−x2/2(1 + o(1)).

Logo a soma ∑a≤x≤b

1√2πnpq

e−x2/2

e a soma de Riemann para a integral,

1√2π

∫ b

a

e−u2/2 du.

Demonstracao. (do Teorema 9) A demonstracao esta baseada no seguinte resultado preliminar.

Teorema 11 (Teorema de Continuidade. Paul Levy). Seja X1, X2, . . . uma sequencia de variaveisaleatorias independentes e ϕX1

, ϕX2, . . . a sequencia correspondente de funcoes caracteristicas, isto

e, para n ≥ 1, ϕXn(t) = E[eitXn ]. Seja X uma variavel aleatoria com funcao caracteristica ϕX . SeϕX e contınua na origem, entao

limn→∞

ϕXn(t) = ϕX(t), pontualmente em t ⇔ XnD−→ X.

35

A demonstracao do Teorema de Continuidade de Paul Levy pode ser encontrada em [2], p. 237.Assim, provaremos a convergencia em distribuicao de Zn a Z, mostrando que

limn→∞

ϕZn(t) = ϕZ(t) = et2/2,

onde et2/2 e a funcao caracterıstica da densidade φ em (4). Encontramos primeiramente uma ex-

pressao conveniente para ϕZn ,

ϕZn(t) = E[

exp

(it

∑nk=1Xk − nµσ√n

)]= E

[ n∏k=1

exp

(it

σ√n

(Xk − µ)

)]

=

n∏k=1

E[

exp

(it

σ√n

(Xk − µ)

)],

onde a ultima igualdade segue da independencia entre as variaveis Xk. Consideramos agora asvariaveis aleatorias independentes ξ1 = X1 − µ, ξ2 = X2 − µ, . . . , com funcoes caracterısticasϕξ1 = ϕξ2 = · · · = ϕξ. As funcoes caracterısticas de estas variaveis sao todas iguais pois porhipotese, ξn, n ≥ 1, apresentam a mesma distribuicao. Assim

ϕZn(t) =

n∏k=1

ϕξ

(t

σ√n

)= ϕξ

(t

σ√n

)nUma expansao em serie de Taylor da segunda ordem com residuo para ϕξ e dada por

ϕξ

(t

σ√n

)= ϕξ(0) + ϕ′ξ(0)

t

σ√n

+ϕ′′ξ (s)

2

t2

σ2n, 0 < s <

t

σ√n.

Embora, da definicao de ϕ, ϕξ(0) = 1 logo ϕ′ξ(0)t/(σ√n) = 0, assim

ϕξ

(t

σ√n

)= 1 +

ϕ′′ξ (s)

2

t2

σ2n= 1 +

ϕ′′ξ (s)

2

t2

σ2n+σ2t2

2σ2n− σ2t2

2σ2n

= 1 +t2

2n+ (ϕ′′ξ (s)− σ2)

t2

2σ2n.

Observamos agora que no limite n → ∞ necessariamente s → 0, logo pela continuidade de ϕ naorigem, temos que ϕ′′ξ (0) = E[(X1 − µ)2] = Var(X1) = σ2, o qual implica finalmente

limn→∞

ϕZn(t) = limn→∞

ϕξ

(t

σ√n

)n= limn→∞

(1 +

t2

2n

)n= et

2/2.

6.2 Estimacao pontual

Em geral e possıvel determinar um limitante inferior para a variancia do estimador θ do parametroθ. O limitante e conhecido como a cota de Cramer-Rao e vem dado pelo lado direito da seguintedesigualdade.

Lema 8. Se θ e um estimador nao viciado para θ, e ` denota o logaritmo da funcao de verosimi-lhanca, entao

Var(θ) ≥E[∂`

∂θ

]−2

.

Definicao 2. O estimador θ para θ e de mınima variancia se este satisfaz a cota de Cramer-Raocom igualdade.

36

Demonstracao. . Suponha que X1 = x1, . . . , Xn = xn e iid, com densidade fX(x|θ) derivavelrespeito de θ ∈ Θ ⊂ R. Neste caso a densidade conjunta em x = x1, . . . , xn e

L(x, θ) =

n∏i=1

fX(xi|θ).

Se

1 =

∫L(x, θ)dx

e derivavel respeito de θ considerando o sinal da integral, entao

0 =

∫∂L(x, θ)

∂θdx =

∫∂L(x, θ)

∂θ

L(x, θ)

L(x, θ)dx

=

∫∂`(x, θ)

∂θL(x, θ)dθ = E

[∂`(x, θ)

∂θ

]. (12)

ja que se `(x, θ) = lnL(x, θ), entao ∂`(x, θ)/∂θ = (1/L(x, θ))∂L(x, θ)/∂θ. Seja v = E[θ] − θ o vicio

do estimador θ, e T (X1, . . . , Xn) a funcao que define o estimador θ. Entao derivando respeito de θtemos

1 + v′ =∂E[T (X1, . . . , Xn)

]∂θ

=∂

∂θ

∫T (x)L(x, θ)dx.

Mais uma vez, se a ordem das operacoes de derivacao e integracao pode ser trocada, entao

1 + v′ =

∫T (x)

∂L(x, θ)

∂θdx = E

[T (x)

∂`(x, θ)

∂θ

].

Diretamente deste ultimo resultado e de (12) temos que

1 + v′ = E[(T (x)− θ)∂`(x, θ)

∂θ

],

e entao da desigualdade de Cauchy-Schwarz7

(1 + v′)2 ≤ E[T (x)− θ

]2 E[∂`(x, θ)∂θ

]2

.

Finalmente se θ e nao viciado, entao v′ = 0 pois v = 0, logo

1 ≤ E[T (x)− θ

]2 E[∂`(x, θ)∂θ

]2

,

sendo E[T (x)− θ

]2= Var(θ).

Exercıcio 100. Seja X1, X2, . . . , Xn uma amostra iid de uma populacao Bernoulli(θ). Encontreum estimador nao viciado e de mınima variancia para θ. Lembre que se X ∼ Bernoulli(θ), entaoX ∈ 0, 1 e P(X = 1) = θ, P(X = 0) = 1− θ, e tambem E[X] = θ, Var(X) = θ(1− θ).

6.3 Distribuicoes amostrais

Esta secao apresenta diversos resultados sobre a origem de varias distribuicoes amostrais utilizadasem aula. O seu estudo e opcional e so devera ser considerado numa segunda leitura.

7Sejam ξ e η duas variaveis aleatorias, entao (E[|ξη|])2 ≤ (E[ξ])2(E[η])2.

37

6.3.1 Distribuicoes Gamma e χ2

Apresentamos dois distribuicoes essenciais no estudo das distribuicoes amostrais de X e S2.Se X e normal padrao, qual sera a distribuicao de X2? Encontraremos primeiro a funcao de

distribuicao de Y = X2, FY . Obviamente FY (y) = 0 se y < 0. Se y ≥ 0, entao

FY (y) = P(Y ≤ y) = P(X2 ≤ y) = P(−√y ≤ X ≤ √y)

=

∫ +√y

−√y

1√2πe−x

2/2dx = 2

∫ √y0

1√2πe−x

2/2dx.

Consideramos a seguir a seguinte troca de variavel, x =√t, entao

FY (y) =

∫ y

0

1√2πt−

12 e−t/2dt.

A densidade de Y , fY , e a derivada de FY com respeito a y,

fY (y) =

1√2πy

12 e−y/2, se y > 0,

0, caso contrario.

Esta densidade e um membro da “familia de distribuicoes gamma”. Antes de definirmos estafamılia lembramos a definicao da funcao gamma, muito utilizada em analise. A funcao Γ : (0,+∞)→[0,+∞) dada por

Γ(x) =

∫ +∞

0

tx−1e−tdt, x > 0,

e conhecida como a funcao gamma. Utilizando integracao por partes e possıvel mostrar que Γ(x+1) =xΓ(x) para qualquer x > 0, e portanto como um caso particular obtemos que Γ(n + 1) = n! paran ∈ N.

Exercıcio 101. Mostre que Γ(1/2) =√π.

Definicao 3. A variavel aleatoria X tem distribuicao gamma com parametros α e β > 0 se a suadensidade e dada por

fX(x) =

1

βαΓ(α)xα−1e−x/β , se x ≥ 0,

0, caso contrario.

Segue imediatamente deste definicao, do Exercicio 101 e do exposto nesta secao que se X enormal padrao, entao X2 tem distribuicao gamma com parametros α = 1/2 e β = 2 (justifiqueisto!).

Exercıcio 102. (i) Mostre que a funcao geradora de momentos de uma variavel aleatoria gamma edada por

M(t) =1

(1− βt)α,

sendo que M(t) esta definida no domınio (−∞, 1β ). [Sugestao: considere x = βu e logo a troca de

variavel u = v/(1− βt)]. (ii) Utilizando M(t) mostre que EX = αβ e Var(X) = αβ2.

Proposicao 1. Sejam X1, . . . , Xn variaveis aleatorias independentes gamma com parametros αi,β respectivamente. A variavel aleatoria X1 + . . . Xn tem distribuicao gamma com parametros α1 +. . .+ αn e β.

38

Demonstracao. Lembramos que se X1 e X2 sao variaveis aleatorias independentes entao a funcaogeradora de Z = X1 +X2 e simplesmente MZ(t) = MX1(t)MX2(t). Temos entao que

MX1+...+Xn(t) = MX1(t) · · ·MXn(t) =

1

(1− βt)α1· · · 1

(1− βt)αn

=1

(1− βt)α1+...+αn,

a qual e a funcao geradora de uma variavel aleatoria gamma com parametros α1 + . . .+αn e β.

Suponhamos agora que X1, . . . , Xn e uma amostra i.i.d. de uma populacao normal padrao.Neste caso diante ao exposto temos que X2

1 , . . . , X2n sao independentes e com distribuicao gamma

com α = 1/2 e β = 2. Da proposicao acima temos que

X21 + . . . X2

n ∼ gamma(n

2, 2). (13)

Exercıcio 103. (i) Suponha que X e Y sao independentes e com distribuicao χ2 com n graus deliberdade e χ2 com m graus de liberdade respectivamente. Mostre que X + Y tem distribuicao χ2

com n + m graus de liberdade. (ii) Suponha agora que X e e X + Y sao χ2 com m e n, m < n,graus de liberdade. Mostre que Y e χ2 com n−m graus de liberdade.

Definicao 4. Uma variavel aleatoria tem distribuicao χ2 com n graus de liberdade se esta temdistribuicao gamma com parametros α = n/2 e β = 2.

Esta terminologia introduzida pelo estatıstico Britanico K. Pearson (1857-1936) ainda e utilizadahoje em dia. A figura 11(a) mostra a densidade χ2 para diferentes graus de liberdade.

O interesse inicial na distribuicao χ2 e que esta esta relacionada a distribuicao amostral de S2.Com o proposito de mostrarmos esta relacao utilizaremos o seguinte resultado.

Teorema 12. Seja X1, . . . , Xn uma amostra i.i.d. de uma populacao normal. Os estimadores X eS2 sao independentes.

Este Teorema permite obter a distribuicao amostral de S2 no caso quando sao consideradasamostras i.i.d. de uma populacao normal.

Teorema 13. Seja X1, . . . , Xn, n ≥ 2, uma amostra i.i.d. de uma populacao normal com media µe variancia σ2. A variavel aleatoria

V =(n− 1)S2

σ2

apresenta distribuicao χ2 com n− 1 graus de liberdade.

Demonstracao. Observamos que cada uma das variaveis aleatorias (Xi − µ)/σ sao independentes enormais padrao. Neste caso, diretamente de (13) temos que

n∑i=1

(Xi − µσ

)2

tem distribuicao χ2 com n graus de liberdade.Se X1, . . . , Xn e uma amostra i.i.d. de uma populacao normal com media µ e variancia σ2,

entao das propriedades da distribuicao normal, a variavel aleatoria√n(X − µ)/σ e normal padrao.

Portanto n(X − µ)2/σ2 tem distribuicao χ2 com 1 grau de liberdade.Observamos agora que

n∑i=1

(Xi − µσ

)2

=

n∑i=1

(Xi − X)2

σ2+ n

(X − µσ

)2

=(n− 1)S2

σ2+ n

(X − µσ

)2

.

Segue entao do Teorema 12 e do Exercicio 103(ii) que (n− 1)S2/σ2 tem distribuicao χ2 com n− 1graus de liberdade.

39

6.3.2 Distribuicao t (t-Student)

Estudamos a continuacao a distribuicao da variavel aleatoria

T =√n(X − µ

S

),

obtida ao considerar uma amostra i.i.d. de uma populacao normal. Observamos primeiro a seguinterepresentacao para T ,

X − µS/√n

=X − µσ/√n· σS

=X − µσ/√n

/√S2

σ2.

Se Z =X − µσ/√n

e V =(n− 1)S2

σ2, entao

X − µS/√n

=Z√

V/(n− 1).

Observamos que Z tem distribuicao N(0, 1) e V tem distribuicao χ2 com n−1 graus de liberdade, etambem que o par de variaveis aleatorias Z, V sao independentes. O seguinte resultado determinaa distribuicao do quociente Z/

√V/n.

Proposicao 2. Seja Z com distribuicao N(0, 1) e V com distribuicao χ2 com n graus de liberdade.Se Z e V sao independentes, entao a variavel aleatoria

T =Z√V/n

tem densidade de probabilidade f dada por

f(x) =Γ(n+1

2 )√πnΓ(n2 )

(1 +

x2

n

)−n+12

para todo x ∈ R. (14)

Demonstracao. Calculamos primeiro a densidade de U =√V . Temos que a funcao de distribuicao

de U e dada por

FU (a) = P(U ≤ a) = P(Y ≤ a2) =

∫ a2

0

1

2n/2Γ(n/2)xn2−1e−x/2dx se a > 0.

Tomando x = u2 obtemos

FU (a) =

∫ a

0

2

2n/2Γ(n/2)un−1e−u

2/2du se a > 0.

Se derivamos respeito de a obtemos a densidade de U ,

fU (u) =

2

2n/2Γ(n/2)un−1e−u

2/2, se u > 0,

0, se u ≤ 0.

Calculamos agora a distribuicao de probabilidade de Z/U . A tal fim observamos que

P(ZU≤ a

)= P(Z ≤ aU) = P

((Z,U) ∈ Ga

),

onde Ga = (x, u) ∈ R2 : u > 0 e x ≤ au. Devido a independencia de Z e U , temos que a densidadeconjunta de (Z,U) e

fZ,U (x, u) =

fZ(x)fU (u) =1√2πe−x

2/2 2

2n/2Γ(n2 )un−1e−u

2/2, se u > 0,

0, se u ≤ 0.

40

Consequentemente,

P(ZU≤ a

)=

∫∫Ga

fZ(x)fU (u) dxdu,

e trocando a ordem das integrais, para a 6= 0,

P(ZU≤ a

)=

∫ +∞

0

∫ au

−∞fZ(x)fU (u)dx

du

=

∫ +∞

0

fU (u)

∫ au

−∞

1√2πe−x

2/2dx

du.

Mantendo u fixo e trocando x = ut na integral mais interna resulta em

P(ZU≤ a

)=

∫ +∞

0

fU (u)

∫ a

−∞

1√2πe−(ut)2/2u dt

du

=

∫ a

−∞

∫ +∞

0

fU (u)1√2πe−(ut)2/2u du

dt,

sendo que a ultima igualdade resulta ao trocar novamente a ordem de integracao. Temos entao, daultima igualdade, que a densidade de Z/U pode ser escrita como

fZ/U (a) =

∫ +∞

0

fU (u)1√2πe−(au)2/2u du

=

∫ +∞

0

2

2n/2√

2πΓ(n2 )une−(1+a2)u2/2 du.

Se agora consideramos a troca u = v/√

1 + a2 na ultima integral obtemos

fZ/U (a) = (1 + a2)−(n+1)/2 2

2n/2√

2πΓ(n2 )

∫ +∞

0

vne−v2/2 dv.

Substituindo v =√

2s, a integral a direita pode ser expressada em termos da funcao gamma como∫ +∞

0

vne−v2/2dv =

2n/2√

2

2

∫ +∞

0

sn2−

12 e−s ds

=2n/2√

2

2Γ(n+ 1

2

),

e assim,

fZ/U (a) =Γ(n+1

2

)√πΓ(n2 )

(1 + a2)−(n+1)/2.

Por ultimo derivamos agora a densidade de Z/√V/n. Observamos que,

Z√V/n

=√nZ√V

=√nZ

U,

e entao finalmente a distribuicao de√nZ/U e

f(a) =Γ(n+1

2

)√πnΓ(n2 )

(1 +

a2

n

)−(n+1)/2

.

41

Definicao 5. Uma variavel aleatoria tem distribuicao t com n graus de liberdade se a sua densidadee dada pela lei em (14).

A distribuicao t foi descrita inicialmente por William S. Gosset (1876-1937). Gosset trabalhavana cervejaria Guiness em Dublim a qual proibia que os seus empleados publicassem o seu trabalhocientıfico. Devido a isto Gosset publico os seus trabalhos utilizando o pseudonimo “Student”. Emhonra ao seu descobridor hoje em dia a distribuicao t tambem e conhecida como a “distribuicaoStudent” (ou t-Student). Esta distribuicao e apresentada na figura 11(c) e (d).

6.3.3 Distribuicao F

Sejam X e Y duas populacoes e S2X , X2

Y os estimadores das variancias σ2X e σ2

Y . Desejamos estudaro quociente σ2

X/σ2Y e a tal fim determinamos a distribuicao de

S2Xσ

2X

S2Y σ

2Y

.

Esta variavel aleatoria tem “distribuicao F”.

Definicao 6. A variavel aleatoria X apresenta distribuicao F com m graus de liberdade no nume-rados e n graus de liberdade no denominador se a sua densidade e dada por

f(x) =

Γ(m+n

2 )

Γ(m2 )Γ(n2 )

(mn

)m/2xm2 −1

(1 +

m

nx)−m+n

2

, se x > 0,

0, se x ≤ 0.

A distribuicao F e tambem conhecida como a distribuicao de Fisher em honra a Sir Ronald A.Fisher (1890–1962). Alguns exemplos da densidade F sao apresentados na figura 11(b).

Teorema 14. Sejam U e V duas variaveis aleatorias com distribuicao χ2 de m e n graus de liberdaderespectivamente. Se U e V sao independentes, entao

U/m

V/n

tem distribuicao F com m graus de liberdade no numerador e n graus de liberdade no denominador.

Demonstracao. Encontramos primeiro a distribuicao de U/V . Devido a que U > 0 e V > 0, temosque

P(UV≤ a

)= 0, se a ≤ 0.

No caso a > 0 temos

P(UV≤ a

)= P(U ≤ aV ) = P

((U, V ) ∈ A

),

onde A = (u, v) : u ≤ av e u, v ≥ 0 ⊂ R2. Seguindo o mesmo argumento utilizado para derivar adistribuicao de Z/U na Proposicao 2, temos

P(U

V≤ a

)=

∫∫A

1

2m+n

2 Γ(m2 )Γ(n2 )um2 −1v

n2−1e−u/2e−v/2 du dv.

Seja C−1 = 2m+n

2 Γ(m2 )Γ(n2 ). Se trocamos a ordem de integracao na ultima integral obtemos

P(U

V≤ a

)= C

∫ +∞

0

∫ av

0

um2 −1v

n2−1e−u/2e−v/2 du

dv.

42

0 10 20 30 40 50 60 70

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(a) (b)

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

−4 −2 0 2 4

−6−5

−4−3

−2−1

(c) (d)

Figura 11: Desidades χ2, F e t-Student. (a): densidade χ2 para 10 (linha continua), 30 e 50 grausde liberdade. (b): densidades F (n,m) para varios valores de m e n. A linha continua correspondea (50, 50), a ponteada a (30, 30) e a linha interrompida a (10, 1000).(c): densidade t de Studentpara 5 (linha continua), 10, 20 e 30 graus de liberdade. As funcoes em (d) correspondem as mesmadensidades em (c), porem graficadas com ordenada logarıtmica para enfatizar a diferenca nas caudas.A fim de estabelecer uma comparacao com a distribuicao normal padrao, (d) tambem mostra a suadensidade, sendo esta ultima reconhecida como aquela com peso nas caudas.

43

Se deixamos v fixo e consideramos a troca u = vt na integral mais interna obtemos que o lado direitoda ultima igualdade e

C

∫ +∞

0

∫ a

0

vm2 −1v

n2−1t

m2 −1e−vt/2e−v/2v dt

dv

= C

∫ a

0

∫ +∞

0

vm+n

2 −1tm2 −1e−(1+t)v/2 dv

dt.

Para t fixo consideramos agora a troca v = 2s/(1 + t),

C

∫ a

0

∫ +∞

0

( 2

1 + t

)m+n2

tm2 −1s

m+n2 −1e−s ds

dt

= C

(∫ a

0

( 2

1 + t

)m+n2

tm2 −1 dt

)(∫ +∞

0

sm+n

2 −1e−s ds

)= C

(∫ a

0

2m+n

2

(1 + t)m+n

2

tm2 −1 dt

)Γ(m+ n

2

).

Desta forma,

P(U

V≤ a

)=

Γ(m+n2 )

Γ(m2 )Γ(n2 )

∫ a

0

tm2 −1(1 + t)−

m+n2 dt.

Se derivamos agora respeito de a obtemos a densidade de probabilidade f de U/V ,

f(a) =

Γ(m+n

2 )

Γ(m2 )Γ(n2 )am2 −1(1 + a)−

m+n2 , se a ≥ 0,

0, caso contrario.

Num segundo passo, calculamos a distribuicao de U/mV/n , isto e,

U/m

V/n=

n

m

U

V.

Lembramos que se X e uma variavel aleatoria com densidade fX , entao Y = bX, b 6= 0, temdensidade

fY (y) =1

|p|fX(y/p)

Assim, a densidade f de (U/m)/(V/n) segue da densidade de U/V ,

f(a) =

Γ(m+n2 )

Γ(m2 )Γ(n2 )

(mn

)m2

am2 −1

(1 + m

n a)−m+n

2

, se a ≥ 0,

0, caso contrario.

Esta ultima expressao e a densidade F (comm graus de liberdade no numerador e n no denominador).

Exercıcio 104. Mostre o seguinte resultado.

Proposicao 3. Seja X uma variavel aleatoria com distribuicao F com m graus de liberdade nonumerador e n graus de liberdade no denominador. A variavel aleatoria 1/X tem distribuicao Fcom n graus de liberdade no numerador e m graus de liberdade no denominador.

44

6.3.4 Convolucao de variaveis aleatorias

Definicao 7. Sejam X e Y duas variaveis aleatorias definidas em (Ω,B,P), com densidades fX e fY ,limitadas e contınuas a partes. A convolucao de fX e fY , e dada pela funcao fX ∗fY : R→ [0,+∞),definida pela seguinte integral,

(fX ∗ fY )(x) =

∫ +∞

−∞fX(v)fY (x− v) dv.

A operacao de convolucao torna-se importante no estudo de somas de variaveis aleatorias inde-pendentes. A seguinte proposicao mostra por que.

Proposicao 4. Sejam X, Y variaveis aleatorias independentes definidas em (Ω,B,P), com densi-dades fX e fY respectivamente. Seja S = X + Y , entao fS = fX ∗ fY .

Demonstracao. Decorre da independencia entre X e Y que

FS(s) = P(S ≤ s) = P(X + Y ≤ s) =

∫ ∞−∞

∫ s−x

−∞fX(x)fY (y) dydx

=

∫ ∞−∞

∫ s

−∞fX(x)fY (t− x) dtdx (troca y = t− s)

=

∫ s

−∞

∫ ∞−∞

fX(x)fY (t− x) dxdt (Fubini)

=

∫ s

−∞(fX ∗ fY )(t) dt.

O tratamento exposto aqui compreende o caso das variaveis aleatorias continuas. O caso discretopode ser formulado analogamente sem maiores esforcos.

Referencias

[1] J. Bernoulli. ...Ars conjectandi, opus posthumum. Accedit Tractatus de seriebus infinitis, etepistola gallice scripta de ludo pilae reticularis. Impensis Thurnisiorum, fratrum, Basileae, 1713.Traducao: E. D. Sylla. The Art of Conjecturing, together with Letter to a friend of Sets in CourtTennis. The Johns Hopkins University Press, 2005.

[2] B. R. James. Probabilidade: um curso em nıvel intermediario. Projeto Euclides. AssociacaoInstituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 2002.

[3] C. R. Rao. Linear Statistical Inference and its Applications. Wiley, New York, 1973.

45

7 Tabelas

Tabela 1: valores da distribuicao normal padrao. A tabela fornece os valores de z que correspondema α, onde α = P(0 ≤ Z < z) . As colunas apresentam a segunda casa decimal de z, e as filas a parteinteira e a primeira casa decimal.

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.03590.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.07530.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.11410.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.15170.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.18790.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.22240.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.25490.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.28520.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.31330.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.33891.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.36211.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.38301.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.40151.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.41771.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.43191.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.44411.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.45451.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.46331.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.47061.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.47672.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.48172.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.48572.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.48902.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.49162.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.49362.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.49522.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.49642.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.49742.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.49812.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.49863.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

46

Tabela 2: Valores da distribuicao t-Student bicaudal. A tabela fornece os valores de x para α, ondeα = P(|T | ≥ x), ou alternativamente para γ onde γ = 1− α = P(−x < T < x). GL denota os grausde liberdade.

GL γ 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 0.98 0.99 0.995 0.998 0.999α 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001

1 0.727 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.820 63.657 127.321 318.309 636.6192 0.617 0.817 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.089 22.327 31.5993 0.584 0.765 0.979 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.215 12.9244 0.569 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 8.6105 0.559 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 6.8696 0.553 0.718 0.910 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.9597 0.549 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.4088 0.546 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.897 3.355 3.833 4.501 5.0419 0.544 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297 4.78110 0.542 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.58711 0.540 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.43712 0.539 0.696 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930 4.31813 0.538 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852 4.22114 0.537 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.625 2.977 3.326 3.787 4.14015 0.536 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 4.07316 0.535 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.584 2.921 3.252 3.686 4.01517 0.534 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.222 3.646 3.96518 0.534 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.197 3.610 3.92219 0.533 0.688 0.861 1.066 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.153 3.552 3.85021 0.533 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.135 3.527 3.81922 0.532 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.119 3.505 3.79223 0.532 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.104 3.485 3.76824 0.531 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.090 3.467 3.74525 0.531 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.078 3.450 3.72526 0.531 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.067 3.435 3.70727 0.531 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.057 3.421 3.69028 0.530 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.047 3.408 3.67429 0.530 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.038 3.396 3.65930 0.530 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.030 3.385 3.64631 0.530 0.683 0.853 1.054 1.309 1.695 2.040 2.453 2.744 3.022 3.375 3.63332 0.530 0.682 0.853 1.054 1.309 1.694 2.037 2.449 2.738 3.015 3.365 3.62233 0.530 0.682 0.853 1.053 1.308 1.692 2.035 2.445 2.733 3.008 3.356 3.61134 0.529 0.682 0.852 1.052 1.307 1.691 2.032 2.441 2.728 3.002 3.348 3.60135 0.529 0.682 0.852 1.052 1.306 1.690 2.030 2.438 2.724 2.996 3.340 3.59136 0.529 0.681 0.852 1.052 1.306 1.688 2.028 2.434 2.719 2.991 3.333 3.58237 0.529 0.681 0.851 1.051 1.305 1.687 2.026 2.431 2.715 2.985 3.326 3.57438 0.529 0.681 0.851 1.051 1.304 1.686 2.024 2.429 2.712 2.980 3.319 3.56639 0.529 0.681 0.851 1.050 1.304 1.685 2.023 2.426 2.708 2.976 3.313 3.55840 0.529 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 2.971 3.307 3.55142 0.528 0.680 0.850 1.049 1.302 1.682 2.018 2.418 2.698 2.963 3.296 3.53844 0.528 0.680 0.850 1.049 1.301 1.680 2.015 2.414 2.692 2.956 3.286 3.52646 0.528 0.680 0.850 1.048 1.300 1.679 2.013 2.410 2.687 2.949 3.277 3.51548 0.528 0.680 0.849 1.048 1.299 1.677 2.011 2.407 2.682 2.943 3.269 3.50550 0.528 0.679 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 2.937 3.261 3.49660 0.527 0.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 2.915 3.232 3.46070 0.527 0.678 0.847 1.044 1.294 1.667 1.994 2.381 2.648 2.899 3.211 3.43580 0.527 0.678 0.846 1.043 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639 2.887 3.195 3.41690 0.526 0.677 0.846 1.042 1.291 1.662 1.987 2.369 2.632 2.878 3.183 3.402100 0.526 0.677 0.845 1.042 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626 2.871 3.174 3.391120 0.526 0.677 0.845 1.041 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 2.860 3.160 3.373150 0.526 0.676 0.844 1.040 1.287 1.655 1.976 2.351 2.609 2.849 3.145 3.357200 0.525 0.676 0.843 1.039 1.286 1.652 1.972 2.345 2.601 2.839 3.131 3.340300 0.525 0.675 0.843 1.038 1.284 1.650 1.968 2.339 2.592 2.828 3.118 3.323500 0.525 0.675 0.842 1.038 1.283 1.648 1.965 2.334 2.586 2.820 3.107 3.310∞ 0.524 0.675 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 2.807 3.090 3.291

47

Tab

ela

3:D

istr

ibu

icao

χ2.

Ata

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2≥x

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8.9

75

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.9.8

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.02

.01

.002

.001

GL 1

00.0

01

0.0

01

0.0

04

0.0

16

0.0

64

0.1

48

0.4

55

1.0

74

1.6

42

3.8

41

4.2

18

5.0

24

5.4

12

6.6

35

9.5

510.8

28

20.0

20.0

40.0

51

0.1

03

0.2

11

0.4

46

0.7

13

1.3

86

2.4

08

3.2

19

5.9

91

6.4

38

7.3

78

7.8

24

9.2

112.4

29

13.8

16

30.1

15

0.1

85

0.2

16

0.3

52

0.5

84

1.0

05

1.4

24

2.3

66

3.6

65

4.6

42

7.8

15

8.3

11

9.3

48

9.8

37

11.3

45

14.7

96

16.2

66

40.2

97

0.4

29

0.4

84

0.7

11

1.0

64

1.6

49

2.1

95

3.3

57

4.8

78

5.9

89

9.4

88

10.0

26

11.1

43

11.6

68

13.2

77

16.9

24

18.4

67

50.5

54

0.7

52

0.8

31

1.1

45

1.6

12.3

43

34.3

51

6.0

64

7.2

89

11.0

711.6

44

12.8

33

13.3

88

15.0

86

18.9

07

20.5

15

60.8

72

1.1

34

1.2

37

1.6

35

2.2

04

3.0

73.8

28

5.3

48

7.2

31

8.5

58

12.5

92

13.1

98

14.4

49

15.0

33

16.8

12

20.7

91

22.4

58

71.2

39

1.5

64

1.6

92.1

67

2.8

33

3.8

22

4.6

71

6.3

46

8.3

83

9.8

03

14.0

67

14.7

03

16.0

13

16.6

22

18.4

75

22.6

01

24.3

22

81.6

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42.3

54

2.2

63

2.1

67

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77

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99

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08

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11

2.0

19

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14

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13

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14

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24

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93

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2.8

01

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22

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69

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2.2

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14

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19

1.9

17

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19

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77

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19

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23

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36

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26

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17

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∞6.6

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01

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1.8

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1.6

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51

1.1

59

51