Upload
dinhtruc
View
222
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 1 de 24
Lista de Exercícios – Frações Parciais e Cresciment o Logístico
1) Nos exercícios abaixo, calcule a integral indefi nida.
a) 2
11
dxx −∫
2
11 1 1
A Bx x x
= +− − +
( ) ( )1 1 1A x B x+ + − =
Fazendo 1x = −
( ) ( )1 1 1A x B x+ + − =
( ) ( )1 1 1 1 1A B− + + − − =
2 1B− = 12
B = −
Fazendo 1x =
( ) ( )1 1 1 1 1A B+ + − =
2 1A = 12
A =
Portanto:
2
11 1 1
A Bx x x
= +− − +
2
1 11 2 21 1 1x x x
= −− − +
2
1 11 2 21 1 1
dx dx dxx x x
= −− − +∫ ∫ ∫
2
1 1 1 1 11 2 1 2 1
dx dx dxx x x
= −− − +∫ ∫ ∫
2
1 1 1ln 1 ln 1
1 2 2dx x x C
x= − − + +
−∫
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 2 de 24
b) 2
216
dxx
−−∫
2
216 4 4
A Bx x x
− = +− − +
( ) ( )4 4 2A x B x+ + − = −
Fazendo 4x = −
( ) ( )4 4 2A x B x+ + − = −
( ) ( )4 4 4 4 2A B− + + − − = −
8 2B− = − 14
B =
Fazendo 4x =
( ) ( )4 4 2A x B x+ + − = −
( ) ( )4 4 4 4 2A B+ + − = −
8 2A = − 14
A = −
Portanto:
2
216 4 4
A Bx x x
− = +− − +
2
1 12 4 416 4 4x x x
−− = +− − +
2
1 12 4 416 4 4
dx dx dxx x x
−− = +− − +∫ ∫ ∫
2
2 1 1 1 116 4 4 4 4
dx dx dxx x x
− = − +− − +∫ ∫ ∫
2
2 1 1ln 4 ln 4
16 4 4dx x x C
x− = − − + + +−∫
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 3 de 24
c) 2
13
dxx x−∫
2
13 3 1
A Bx x x x
= +− −
( )1 3 1A x Bx= − +
3 1Ax A Bx− + = ( )3 1A B x A+ − =
Resolvendo o sistema abaixo:
3 01 e 3
1
A BA B
A
+ =⇒ = − =− =
Portanto:
2
13 3 1
A Bx x x x
= +− −
2
1 1 33 3 1x x x x
−= +− −
2
1 1 33 3 1
dx dx dxx x x x
−= +− −∫ ∫ ∫
2
1 1 33 3 1
dx dx dxx x x x
= − +− −∫ ∫ ∫
3 1
ln ln 3 13 1
dx du u xx u
= = = −−∫ ∫
3 1
3
u x
du dx
= −=
2
1ln ln 3 1
3dx x x C
x x= − + − +
−∫
2
1ln ln 3 1
3dx x x C
x x= − + − +
−∫
d) 2
12
dxx x+∫
2
12 2 1
A Bx x x x
= ++ +
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 4 de 24
( ) ( )2 1 1A x B x+ + =
2 1Ax A Bx+ + = ( )2 1A B x A+ + =
Resolvendo o sistema abaixo:
2 01 e 2
1
A BA B
A
+ =⇒ = = − =
Portanto:
2
12 2 1
A Bx x x x
= ++ +
2
1 1 22 2 1x x x x
= −+ +
2
1 1 22 2 1
dx dx dxx x x x
= −+ +∫ ∫ ∫
2 1
ln ln 2 12 1
dx du u xx u
= = = ++∫ ∫
2 1
2
u x
du dx
= +=
2
1 1 22 2 1
dx dx dxx x x x
= −+ +∫ ∫ ∫
2
1ln ln 2 1
2dx x x C
x x= − + +
+∫
e) 2
32
dxx x+ −∫
2
32 1 2
A Bx x x x
= ++ − − +
( ) ( )2 1 3A x B x+ + − =
2 3Ax A Bx B+ + − = ( ) 2 3A B x A B+ + − =
Resolvendo o sistema abaixo:
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 5 de 24
01 e 1
2 3
A BA B
A B
+ =⇒ = = − − =
Portanto:
2
32 1 2
A Bx x x x
= ++ − − +
( ) ( )2
3 1 12 1 2x x x x
= −+ − − +
2
3 1 12 1 2
dx dx dxx x x x
= −+ − − +∫ ∫ ∫
2
3ln 1 ln 2
2dx x x C
x x= − − + +
+ −∫
f) 2
52 1
xdx
x x−+ −∫
2
52 1 2 1 1
x A Bx x x x
− = ++ − − +
( ) ( )1 2 1 5A x B x x+ + − = −
2 5Ax A Bx B x+ + − = − ( )2 5A B x A B x+ + − = − +
Resolvendo o sistema abaixo:
2 13 e 2
5
A BA B
A B
+ = −⇒ = = − − =
Portanto:
2
52 1 2 1 1
x A Bx x x x
− = ++ − − +
2
5 3 22 1 2 1 1
xx x x x
− = −+ − − +
2
5 3 22 1 2 1 1
xdx dx dx
x x x x− = −+ − − +∫ ∫ ∫
2
5 1 13 2
2 1 2 1 1x
dx dx dxx x x x
− = −+ − − +∫ ∫ ∫
2
5 3 1 12
2 1 2x
dx du dux x u u
− = −+ −∫ ∫ ∫
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 6 de 24
2
5 3ln 2 1 2ln 1
2 1 2x
dx x x Cx x
− = − − + ++ −∫
g) 2
3
12 124
x xdx
x x+ +
−∫
2
3
12 124 2 2
x x A B Cx x x x x+ + = + +
− − +
( )( ) ( ) ( )2 12 12 2 2 2 2x x A x x Bx x Cx x+ + = − + + + + −
Fazendo 0x = :
4 12 3A A− = ⇒ = − Fazendo 2x = : 40 8 5B B= ⇒ = Fazendo 2x = − : 8 8 1C C= − ⇒ = − Portanto:
2
3
12 124 2 2
x x A B Cx x x x x+ + = + +
− − +
2
3
12 12 3 5 14 2 2
x xx x x x x+ + −= − + +
− − +
2
3
12 12 3 5 14 2 2
x xdx dx dx dx
x x x x x+ + = − + −
− − +∫ ∫ ∫ ∫
2
3
12 12 1 1 13 5
4 2 2x x
dx dx dx dxx x x x x+ + = − + −
− − +∫ ∫ ∫ ∫
2
3
12 123ln 5ln 2 ln 2
4x x
dx x x dx x Cx x+ + = − + − − + +
−∫
h) 2
24
xdx
x x+−∫
2
24 4
x A Bx x x x
+ = +− −
( )2 4x A x Bx+ = − +
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 7 de 24
Fazendo 4x = :
34 6
2B B= ⇒ =
Fazendo 0x = :
14 2
2A A− = ⇒ = −
Portanto:
2
312 2 24 4
xdx dx dx
x x x x
−+ = +− −∫ ∫ ∫
2
2 1 1 3 14 2 2 4
xdx dx dx
x x x x+ = − +− −∫ ∫ ∫
2
2 1 3ln ln 4
4 2 2x
dx x x Cx x
+ = − + − +−∫
2
2 13ln 4 ln
4 2x
dx x x Cx x
+ = − − + −∫
i) ( )2
4 3
1
xdx
x
−−∫
( ) ( )2 2
4 311 1
x A Bxx x
− = +−− −
( )4 3 1x A x B− = − +
Fazendo 1x = :
1B = Fazendo 0x = : 4 1 3A A= − + ⇒ = −
( ) ( )2 2
4 3 3 111 1
xdx dx dx
xx x
− = − +−− −∫ ∫ ∫
( )1
22 2
1 1 1 11 11
udx du u du C C C
u u xx
−−= = = + = − + = − +
− −−∫ ∫ ∫
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 8 de 24
1u x du dx= − ⇒ = Portanto:
( ) ( )2 2
4 3 3 111 1
xdx dx dx
xx x
− = − +−− −∫ ∫ ∫
( )2
4 3 13ln 1
11
xdx x C
xx
− = − − − +−−∫
j) ( )2
2
4 1
2 2 1
xdx
x x x
−+ +∫
( ) ( )2
22
4 12 12 2 1 1
x A B Cx xx x x x
− = + +++ + +
( ) ( )( ) ( )224 1 1 2 1 2x A x B x x C x− = + + + +
Fazendo 0x = :
1A = − Fazendo 1x = − :
32 3
2C C− = ⇒ = −
Fazendo 1x = : 4 4 2 3A B C+ + = 4 4 3 3B− + − =
52
B =
Portanto:
( ) ( )2
22
5 34 1 1 2 22 12 2 1 1
xdx dx dx dx
x xx x x x
− = − + −++ + +∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )2
22
4 1 1 1 5 1 3 12 2 1 22 2 1 1
xdx dx dx dx
x xx x x x
− = − + −++ + +∫ ∫ ∫ ∫
1u x du dx= + ⇒ =
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 9 de 24
( )1
22 2
1 1 1 11 11
udx du u du C C C
u u xx
−−= = = + = − + = − +
− ++∫ ∫ ∫
( )2
2
4 1 1 5 3 1ln ln 1
2 2 2 12 2 1
xdx x x C
xx x x
− = − + + + ⋅ +++ +∫
( ) ( )2
2
4 1 1 5 3ln ln 1
2 2 2 12 2 1
xdx x x C
xx x x
− = − + + + +++ +∫
( )2
2
4 1 1 35ln 1 ln
2 12 2 1
xdx x x C
xx x x
− = + − + + ++ + ∫
2) Nos exercícios abaixo, calcule a integral defini da.
a) 5
24
19
dxx−∫
2
19 3 3
A Bx x x
= +− − +
( ) ( )3 3 1A x B x+ + − =
Fazendo 3x = :
16 1
6A A= ⇒ =
Fazendo 3x = − :
16 1
6B B= ⇒ =
Portanto:
2
1 11 6 69 3 3
dx dx dxx x x
= +− − +∫ ∫ ∫
2
1 1 1 1 19 6 3 6 3
dx dx dxx x x
= − +− − +∫ ∫ ∫
2
1 1 1ln 3 ln 3
9 6 6dx x x C
x= − − + + +
−∫
2
1 1ln 3 ln 3
9 6dx x x C
x = + − − + −∫
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 10 de 24
55
2 44
1 1ln 3 ln 3
9 6dx x x
x = + − − −∫
( ) ( )5
24
1 1ln 3 5 ln 3 5 ln 3 4 ln 3 4
9 6dx
x = + − − − + − − −∫
( ) ( )5
24
1 1ln8 ln2 ln7 ln1
9 6dx
x = − − − −∫
( )5
24
1 1ln8 ln2 ln7
9 6dx
x= − −
−∫
5
24
1 1 8ln
9 6 14dx
x=
−∫
5
24
1 1 4ln
9 6 7dx
x=
−∫
b) ( )5
21
11
xdx
x x−
+∫
( )2 2
11 1
x A B Cx x x x x
− = + ++ +
( ) ( ) 21 1 1Ax x B x Cx x+ + + + = −
Fazendo 1x = − :
2C = − Fazendo 0x = :
1B = − Fazendo 1x = : 2 2 0A B C+ + =
( )2 2 1 2 0A + ⋅ − − =
2 4A = 2A =
Portanto:
( )2 2
1 2 1 21 1
xdx dx dx dx
x x x x x− = − −
+ +∫ ∫ ∫ ∫
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 11 de 24
( )2
2
1 1 12 2
1 1x
dx dx x dx dxx x x x
−− = − −+ +∫ ∫ ∫ ∫
( )1
2
12ln 2ln 1
1 1x x
dx x x Cx x
−− = − − + ++ −∫
( )2
1 12ln 2ln 1
1x
dx x x Cx x x
− = + − + ++∫
( )55
211
1 12ln 2ln 1
1x
dx x xx x x
− = + − + + ∫
( )5
21
1 1 12ln 5 2ln 5 1 2ln 1 2ln 1 1
1 5 1x
dxx x
− = + − + − + − + + ∫
( ) ( )5
21
1 12ln5 2ln6 1 2ln2
1 5x
dxx x
− = + − − − + ∫
( )5
21
1 12ln5 2ln6 1 2ln2
1 5x
dxx x
− = + − − ++∫
( ) ( )5
21
1 11 2 ln5 ln2 ln6
1 5x
dxx x
− = − + + −+∫
( )5
21
1 4 102ln
1 5 6x
dxx x
− = − ++∫
( )5
21
1 4 52ln
1 5 3x
dxx x
− = − ++∫
c) 1 3
20 2
xdx
x −∫
( )23
2 2 2
2 22 2 2
x xx xx x x
−= +
− − −
3
2 2
22 2
x xx
x x= +
− −
Integrando: 2
22
xdx
x −∫
2
22 2 2
x A Bx x x
= +− − +
( ) ( )2 2 2A x B x x+ + − =
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 12 de 24
Fazendo 2x = :
( )2 2 2 2 2 2 2 2 1A A A+ = ⇒ = ⇒ =
Fazendo 2x = − :
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 1B B B− − = − ⇒ − = − ⇒ =
Portanto:
2
2 1 12 2 2
xdx dx dx
x x x= +
− − +∫ ∫ ∫
2
2ln 2 ln 2
2x
dx x x Cx
= − + + +−∫
3
2 2
22 2
x xdx x dx dx
x x= +
− −∫ ∫ ∫
32
2
1ln 2 ln 2
2 2x
dx x x x Cx
= + − + + +−∫
11 3
22
00
1ln 2 ln 2
2 2x
dx x x xx
= + − + + − ∫
( )1 3
20
1ln 1 2 ln 1 2 ln 2 ln 2
2 2x
dxx
= + − + + − − + − ∫
( ) ( ) ( )1 3
20
1ln 2 1 ln 2 1 ln 2 ln 2
2 2x
dxx
= + − + + − + − ∫
( ) ( ) ( )1 3 2 22
20
1ln 2 1 ln 2
2 2x
dxx
= + − − − ∫
1 3
20
1ln1 ln2
2 2x
dxx
= + −−∫
1 3
20
1ln2
2 2x
dxx
= −−∫
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 13 de 24
d) 2 3 2
21
2 13
x xdx
x x− +
−∫
( )( )23 2
2 2 2
3 12 1 3 13 3 3
x x xx x xx x x x x x
− +− + += +− − −
3 2
2 2
2 1 3 11
3 3x x x
xx x x x− + += + +
− −
Integrando: 2
3 13
xdx
x x+
−∫
2
3 13 3
x A Bx x x x
+ = +− −
( )3 3 1A x Bx x− + = +
Fazendo 0x = :
13 1
3A A− = ⇒ = −
Fazendo 3x = :
103 10
3B B= ⇒ =
Portanto:
2
1013 1 3 33 3
xdx dx dx
x x x x
−+ = +− −∫ ∫ ∫
2
3 1 1 1 10 13 3 3 3
xdx dx dx
x x x x+ = − +
− −∫ ∫ ∫
2
3 1 1 10ln ln 3
3 3 3x
dx x x Cx x
+ = − + − +−∫
( )3 2
2 2
2 1 3 11
3 3x x x
dx x dx dxx x x x− + += + +
− −∫ ∫ ∫
3 22
2
2 1 1 1 10ln ln 3
3 2 3 3x x
dx x x x x Cx x− + = + − + − +
−∫
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 14 de 24
22 3 22
211
2 1 1 1 10ln ln 3
3 2 3 3x x
dx x x x xx x− + = + − + − −
∫
2 3 22
21
2 1 1 1 10 1 1 104 2 ln 2 ln 2 3 1 1 ln 1 ln 1 3
3 2 3 3 2 3 3x x
dxx x
− + = ⋅ + − + − − ⋅ + − + − − ∫
2 3 2
21
2 1 1 10 3 1 104 ln 2 ln1 ln 1 ln 2
3 3 3 2 3 3x x
dxx x
− + = − + − − + − ∫
2 3 2
21
2 1 3 114 ln 2
3 2 3x x
dxx x− + = − −
−∫
2 3 2
21
2 1 5 11ln 2
3 2 3x x
dxx x− + = −
−∫
3) Calcule a integral indefinida, aplicando a subst ituição indicada.
a) ( )( ) 1 4
xx
x x
edx u e
e e=
− +∫
( )( ) ( )( )1
1 41 4
x
x x
edx du
u ue e=
− +− +∫ ∫
( )( )1
1 4 1 4A B
u u u u= +
− + − +
( ) ( )4 1 1A u B u+ + − =
Fazendo 1u = :
15 1
5A A= ⇒ =
Fazendo 4u = − :
15 1
5B B− = ⇒ = −
( )( )1 11 5 5
1 4 1 4du du du
u u u u= −
− + − +∫ ∫ ∫
( )( )1 1 1 1 1
1 4 5 1 5 4du du du
u u u u= −
− + − +∫ ∫ ∫
( )( )1 1 1
ln 1 ln 41 4 5 5
du u u Cu u
= − − + +− +∫
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 15 de 24
( )( ) ( )1 1ln 1 ln 4
5 51 4
xx x
x x
edx e e C
e e= − − + +
− +∫
( )( ) ( )1ln 1 ln 4
51 4
xx x
x x
edx e e C
e e = − − + + − +∫
b) 2
2
1 4
4dx u x
x x= +
+∫
( ) 12 2 24 4u x u x= + ⇒ = +
( )( )
212 2
12 2
1 44 2
2 4
x x udu x x dx du dx dx du du
x xx
− += + ⋅ ⇒ = ⇒ = =+
2 2 2 2 24 4 4u x u x x u= + ⇒ = + ⇒ = −
Portanto:
2 22
1 1 1 144
udx du du du
x u x x ux x= ⋅ = =
⋅ −+∫ ∫ ∫ ∫
2
14 2 2
A Bu u u
= +− − +
( ) ( )2 2 1A u B u+ + − =
Fazendo 2u = − :
14 1
4B B− = ⇒ = −
Fazendo 2u = :
14 1
4A A= ⇒ =
Portanto:
2
1 11 4 44 2 2
du du duu u u
= −− − +∫ ∫ ∫
2
1 1 1 1 14 4 2 4 2
du du duu u u
= −− − +∫ ∫ ∫
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 16 de 24
2
1 1 1ln 2 ln 2
4 4 4du u u C
u= − − + +
−∫
( ) ( )2 2
2
1 1 1ln 4 2 ln 4 2
4 44dx x x C
x x= + − − + + +
+∫
c) ( )2
1 3
3 3 2dx u x
x x=
+∫
123 3 3u x u x u x= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅
121 3 3 3
32 2 3 2 3
du x dx du dx du dxx x
−= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒
3 22 3
du dx dx u duu
⇒ = ⇒ =
( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 2 2 13 32 23 3 2
dx udu duu u ux x
= ⋅ =+ ++
∫ ∫ ∫
2w u dw du= + ⇒ =
( ) ( )1
22 2
2 1 2 1 2 2 2 1 23 3 3 3 1 3 3 22
wdu dw w dw C C C
w w uu
−−= = = ⋅ + = − ⋅ + = − +
− ++∫ ∫ ∫
Portanto:
( ) ( ) ( )2
1 2 23 2 3 3 23 3 2
dx C Cu xx x
= − + = − ++ ++
∫
4) Nos exercícios abaixo, determine o volume do sól ido gerado pela
revolução, em torno do eixo x , da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
a) ( )10
, 0, 1, 510
y y x xx x
= = = =+
[ ]2( )
b
a
V f x dx= ∫π
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 17 de 24
( )
25
1
1010
V dxx x
= + ∫π
( )5
221
1100
10V dx
x x
=
+ ∫π
( ) ( )2 222
11010 10
A B C Dx x xx x x
= + + +++ +
( ) ( ) ( )2 2 2 210 10 10 1Ax x B x Cx x Dx+ + + + + + =
Fazendo 0x = :
1100 1
100B B= ⇒ =
Fazendo 10x = − :
1100 1
100D D= ⇒ =
Fazendo 2x = : 2 144 144 4 12 4 1A B C D⋅ + + ⋅ + = 288 144 48 4 1A B C D+ + + =
1 1288 144 48 4 1
100 100A C+ ⋅ + + ⋅ =
28.800 144 4.800 4 100A C+ + + = 28.800 4.800 48A C+ = − ...................................................Equação (1) Fazendo 1x = − :
81 81 9 1A B C D− + + + = 1 1
81 81 9 1100 100
A C− + ⋅ + + =
8.100 81 900 1 100A C− + + + = 8.100 900 18A C− + = .........................................................Equação (2)
Resolvendo as expressões (1) e (2):
28.800 4.800 48 1 1 e
500 5008.100 900 18
A CA C
A C
+ = −⇒ = − =− + =
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 18 de 24
Portanto:
( ) ( )2 222
1 1 1 11 500 100 500 1001010 10
dx dx dx dx dxx x xx x x
= − + + +++ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )2 222
1 1 1 1 1 1 1 1 1500 100 500 10 10010 10
dx dx dx dx dxx x xx x x
= − + + +++ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )2 2
22
1 1 1 1 1 1 1500 100 500 10010
dx dx x dx du u dux ux x
− −= − + + ++∫ ∫ ∫ ∫ ∫
10u x du dx= + ⇒ =
( )1 1
22
1 1 1 1 1ln ln
500 100 1 500 100 110
x udx x u C
x x
− −
= − + ⋅ + ⋅ + ⋅ +− −+∫
( )22
1 1 1 1 1 1 1ln ln 10
500 100 500 100 1010dx x x C
x xx x= − − ⋅ + ⋅ + − ⋅ +
++∫
( ) ( )22
1 1 1 1 1ln ln 10
500 100 500 100 1010dx x x C
x xx x= − − + + − +
++∫
( )5
221
1100
10V dx
x x
=
+ ∫π
( )
5
1
1 1 1 1100 ln ln 10
500 100 500 100 10V x x
x x
= − − + + − +
π
1 1 1 1 1 1 1 1100 ln5 ln15 ln1 ln11
500 500 500 1.500 500 100 500 1.100V
= − − + − − − − + −
π
1 1 1 1 1 1 1100 ln5 ln15 ln11
500 500 500 1.500 100 500 1.100V = − − + − + − +
π
1 1 1 1 1 1 1100 ln5 ln15 ln11
500 500 500 500 1.500 100 1.100V = − + − − − + +
π
( )1 33 165 15 11100 ln5 ln15 ln11
500 16.500V
− + + − = − − + +
π
1 11 5 136100 ln
500 15 16.500V
⋅ = − +
π
1 11 136100 ln
500 3 16.500V = − +
π
11136 33ln
165 3V = −
π
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 19 de 24
b) 3
2, 1, 1, 0
4x
y x x yx x
= = = − =−
[ ]2( )
b
a
V f x dx= ∫π
21
31
24
xV dx
x x−
= − ∫π
( )
21
21
2
4
xV dx
x x−
=
− ∫π
21
21
14
4V dx
x−
= − ∫π
( )1
221
14
4V dx
x−
= − ∫π
( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )2 2 22 22
1 1 1 12 2 2 24 4 2 24 x x x xx x x xx
= = =+ − + −− − + −−
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
12 22 2 2 2
A B C Dx xx x x x
= + + ++ −+ − + −
( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 2 2 1A x x B x C x x D x+ − + − + − + + + =
Fazendo 2x = :
116 1
16D D= ⇒ =
Fazendo 2x = − :
116 1
16B B= ⇒ =
Fazendo 0x = : 8 4 8 4 1A B C D+ − + =
1 18 4 8 4 1
16 16A C+ ⋅ − + ⋅ =
1 18 8 1
4 4A C+ − + =
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 20 de 24
18 8
2A C− =
16 16 1A C− = ........................................................................... Equação (1) Fazendo 1x = − : 9 9 3 1A B C D+ − + =
9 19 3 1
16 16A C+ − + =
109 3 1
16A C− = −
69 3
16A C− =
39 3
8A C− =
72 24 3A C− = ......................................................................... Equação (2) Resolvendo as expressões (1) e (2):
16 16 1 1 1 e
32 3272 24 3
A CA C
A C
− =⇒ = = − − =
Portanto:
( ) ( ) ( )2 2 22
1 1 1 11 32 16 32 162 22 24
dx dx dx dx dxx xx xx
= + − ++ −+ −−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )2 2 22
1 1 1 1 1 1 1 1 132 2 16 32 2 162 24
dx dx dx dx dxx xx xx
= + − ++ −+ −−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2u x du dx= + ⇒ =
( )2 2 22
1 1 1 1 1 1 1 1 132 2 16 32 2 164
dx dx du dx dux u x ux
= + − ++ −−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )2 2
22
1 1 1 1 1 1 132 2 16 32 2 164
dx dx u du dx u dux xx
− −= + − ++ −−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )1 1
22
1 1 1 1 1ln 2 ln 2
32 16 1 32 16 14
u udx x x C
x
− −
= + + ⋅ − − + ⋅ +− −−
∫
( )22
1 1 1 1 1ln 2 ln 2
32 16 32 164dx x x C
u ux= + − − − − +
−∫
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 21 de 24
( ) ( ) ( )22
1 1 1 1 1ln 2 ln 2
32 16 2 32 16 24dx x x C
x xx= + − − − − +
+ +−∫
( ) ( ) ( )
11
221 1
1 1 1 1 1ln 2 ln 2
32 16 2 32 16 24dx x x
x xx− −
= + − − − − + + − ∫
( )1
221
1 1 1 1 1 1 1ln3 ln3
32 48 48 16 32 164dx
x−
= − − − − − − −
∫
( )1
221
1 1 1 1 1 1 1ln3 ln3
32 48 48 16 32 164dx
x−
= − − + + + − ∫
( )1
221
1 2 2 2ln3
32 48 164dx
x−
= − + − ∫
( )1
221
1 1 2 6ln3
16 48 484dx
x−
= − + − ∫
( )1
221
1 1 4ln3
16 484dx
x−
= + − ∫
( )1
221
1 1 1ln3
16 124dx
x−
= + − ∫
( )1
221
14
4V dx
x−
= − ∫π
1 14 ln3
16 12V = +
π
1 1ln3
4 3V = +
π
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 22 de 24
5) Uma organização conservacionista libera em uma r eserva 100 animais de uma espécie ameaçada. A organização acre dita que a reserva tenha capacidade para 1.000 animais e que o crescimento do rebanho será logístico; ou seja, o tamanho y do rebanho seguirá a equação
( )1
1.000dy k dt
y y=
−∫ ∫
onde t é dado em anos. Determine esta curva logística, sa bendo que ao final de 2 anos a população é de 134 animais).
( )1
1.000dy k dt
y y=
−∫ ∫
( )1
1.000 1.000A B
y y y y= +
− −
( )1.000 1A y By− + =
Fazendo 0y = :
11.000 1
1.000A A= ⇒ =
Fazendo 1.000y = :
11.000 1
1.000B B= ⇒ =
( )1 11 1.000 1.000
1.000 1.000dy dy dy
y y y y= +
− −∫ ∫ ∫
( )1 1 1 1 1
1.000 1.000 1.000 1.000dy dy dy
y y y y= +
− −∫ ∫ ∫
( )1 1 1
ln ln 1.0001.000 1.000 1.000
dy y y Cy y
= − − +−∫
( )1
1.000dy k dt
y y=
−∫ ∫
1 1ln ln 1.000
1.000 1.000y y kt C− − = +
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 23 de 24
Quando 0 100t y= ⇒ =
1 1ln 100 ln 1.000 100
1.000 1.000C− − =
1 1ln100 ln900
1.000 1.000C− =
( )1ln100 ln900
1.000C− =
1 100ln
1.000 900C =
1 1ln
1.000 9C =
0,002197C ≅ − Quando 2 134t y= ⇒ =
1 1 1 1ln 134 ln 1.000 134 2 ln100 ln900
1.000 1.000 1.000 1.000k− − = ⋅ + −
1 1 1 12 ln134 ln866 ln100 ln900
1.000 1.000 1.000 1.000k = − − +
( )12 ln134 ln866 ln100 ln900
1.000k = − − +
1 134 9002 ln
1.000 866 100k
×=×
0,0001656k ≅ Portanto:
1 1ln ln 1.000
1.000 1.000y y kt C− − = +
( )1 1ln ln 1.000
1.000 1.000y y kt C− − = +
( )1ln ln 1.000
1.000y y kt C − − = +
1ln
1.000 1.000y
kt Cy
= +−
( )ln 1.0001.000
ykt C
y= +
−
( )1.000
1.000kt Cy
ey
+=−
( ) ( )1.0001.000 kt Cy y e += −
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Página 24 de 24
( ) ( )1.000 1.0001.000 kt C kt Cy e e y+ += − ⋅ ( ) ( )1.000 1.0001.000kt C kt Cy e y e+ ++ ⋅ =
( )( ) ( )1.000 1.0001 1.000kt C kt Cy e e+ ++ =
( )
( )
1.000
1.000
1.000
1
kt C
kt C
ey
e
+
+=+
( )1.000
1.0001
1kt C
y
e +
=+
( )1.000
1.000
1 kt Cy
e− +=+
( )1.000 0,0001656
1.000
1 t Cy
e− +=+
0,1656 1.000
1.0001 t Cy
e e− −=+ ×
1 11.000 ln0,1656 1.000 9
1.000
1 t
ye e
− ×−
=+ ×
1ln0,1656 9
1.000
1 t
ye e
−−
=+ ×
0,1656 ln9
1.0001 ty
e e−=+ ×
0,1656
1.0001 9 ty
e−=+