Lista de Exercícios MMQ in MNEDO

7/25/2019 Lista de Exerccios MMQ in MNEDO

1/14

Lista de exerccios ( Reviso para a A2 )

Ex1- Dado o conjunto de pontos na Tabela 1, ajuste os dados com o modelo linear e

quadrtico e comente os resultados e exponencial.

Tabela 1Dados

Interpolao

Linear:

Interpolao linear

Usando os dois primeiros pontos:

0 0 0

1 1 1

1

1

x a y

x a y

1 0

1 0 0

1 0

1

1

1

1, 9 1,81,8 0,3

2,7 0,3

0,11,8 0,3

2,4

0,04166667 1,7875

y yP x y x x

x x

P x x

P x x

P x x

Interpolao polinomial

Usando os 3 primeiros pontos2

0 00 0 0

21 11 1 1

22 22 2 2

2

( )1

( )1

( )1

( )1

n

n

n

nn nn n n

a f xx x x

a f xx x x

a f xx x x

a f xx x x

22102 )( xaxaaxp

)()( 02

0201002 xfxaxaaxp

)()( 12

1211012 xfxaxaaxp

)()( 22

2221022 xfxaxaaxp


2/14

Escrito na forma matricial:

20 00 0

21 11 1

2

2 22 2

( )1

( )1

( )1

a f xx x

a f xx x

a f xx x

x y x^2

0,3 1,8 0,09

2,7 1,9 7,29

4,5 3,1 20,25

0

1

2

1 0,3 0,09 1,81 2,7 7, 29 1,9

1 4,5 20, 25 3,1

aa

a

1) L2 = L1 * (-1) * (1 / 1) + L22) L3 = L1 * (-1) * (1 / 1) + L3

3) L3 = L2 * (-1) * (4,2 / 2,4) + L3

2

2 0 1 2

2

2

( )

( ) 1, 908 - 0, 4047 0,14880

p x a a x a x

p x x x

Interpolao por Lagrange

Usando os 3 primeiros pontos

Forma de Lagrange

0 0 1 1P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nx L x f x L x f x L x f x


3/14

0

0

n

j

jj i

i n

i j

j

j i

x x

L x

x x

Encontrando os Lis:

0 2

0

0

2,7 4,5 7,2 12,15

0,3 2,7 0,3 4,5 10,08

n

j

jj i

n

i j

jj i

x x

x x x xL x

x x

0 2

1

0

0,3 4,5 4,8 1,35

2,7 0,3 2,7 4,5 4,32

n

j

jj i

n

i j

jj i

x x

x x x x

L xx x

0 2

2

0

0,3 2,7 3 0,81

4,5 0,3 4,5 2,7 7,56

n

j

jj i

n

i j

jj i

x x

x x x xL x

x x

2 2 2

2

2 2 2

2

2

2

7,2 12,15 4,8 1,35 3 0,81P ( ) 1,8 1,9 3,110,08 4,32 7,56

P ( ) 0.178571429 7,2 12,15 0,439814815 4,8 1,35 0,410052910

P ( ) 0.14880 0,40476 1.9080

x x x x x xx

x x x x x x

x x x

Interpolao por Newton

Usando os 3 primeiros pontos

O polinmio geral resultante ser:

))(](,,[)](,[)()( 1001200102 xxxxxxxfxxxxfxfxP

Onde os sd' so determinados por:

0 0 0

1 1 0

2 2 1 0

1 2 1 0

[ ] ( )

[ , ]

[ , , ]

[ , ,........, , , ]n n n

d f x f x

d f x x

d f x x x

d f x x x x x


4/14

1 2 1 1 2 1 01 2 1 0

0

( ) ( )[ , ]

[ , ] [ , ][ , , ]

[ , , ] [ , , ][ , , , ]

[ , ,..., , ] [ , ,..., , ][ , ,........, , , ]

i j

i j

i j

i j j k

i j k

i k

i j k j k l

i j k l

i l

n n n nn n

n

f x f xf x x

x x

f x x f x xf x x x

x x

f x x x f x x xf x x x x

x x

f x x x x f x x x xf x x x x x

x x

Resultando na expresso:

0 0 1 0 0 1 2 1 0

0 1 1 1 2 1 0

( ) [ ] ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ] ....

( )( )...( ) [ , ,..., , , ]

n

n n n

P x f x x x f x x x x x x f x x x

x x x x x x f x x x x x

1 01 0

1 0

( ) ( ) 1,9 1,8 0,1[ , ] 0, 4166667

2,7 0,3 2,4

f x f xf x x

x x

2 12 1

2 1

( ) ( ) 3,1 1,9 1,2[ , ] 0,666666667

4,5 2,7 1,8

f x f xf x x

x x

2 1 1 02 1 0

2 0

[ , ] [ , ] 0,625000[ , , ] 0,1488095244,2

f x x f x xf x x xx x

2 1 0 2 1 0

2 1 0 2 1 0

2

2

2

( ) 1.8 [ , ]( 0,3) [ , , ]( 0,3)( 2, 7)

( ) 1.8 [ , ]( 0,3) [ , , ]( 0,3)( 2, 7)

( ) 1.8 0,4166667( 0,3) 0,148809524( 0,3)( 2,7)

( ) 1.8 0, 4166667( 0, 3) 0,148809524( 3 0

P x f x x x f x x x x x

P x f x x x f x x x x x

P x x x x

P x x x x

2

22

2

2

,81)

( ) 1.8 0,4166667( 0,3) 0,148809524( 0,3)( 2,7)

( ) 1.8 0,4166667( 0,3) 0,148809524( 3 0,81)

( ) 1.908035 0, 404761905 0,148809524

P x x x x

P x x x x

P x x x

Ajustes usando MMQ

1-

Caso Linear


5/14

Para o modelo Linear temos:

1 1

2

1 1 1

+ )5 +21,2 14

21,2 123,28 68,38

m m

k k

k k

m m m

k k k k

k k k

mb x a yb a

b ax b x a x y

Na forma matricial pode ser escrito como:

5 21,2 14 5 21,2 14

21,2 123,28 68,38 21,2 123,28 68,38

b

a

Usando da eliminao de Gauss:

5 21,2 14L2 = L1 * (-1) * (21,2 / 5) + L2

21,2 123,28 68,38

5 21,2 14 9,0199990,271245

0 33,392 9,019999 33,392

21, 2 0, 271245 14 8,2496061,6499212

5 5

a

b


6/14

Para um ajuste quadrtico teremos os seguintes clculos:

i x y x^2 x^3 x^4 x*y x^2*y

1 0,3 1,8 0,09 0,027 0,0081 0,54 0,16

2 2,7 1,9 7,29 19,683 53,1441 5,13 13,9

3 4,5 3,1 20,25 91,125 410,063 14 62,8

4 5,9 3,9 34,81 205,38 1211,74 23 136

5 7,8 3,3 60,84 474,55 3701,51 25,7 201

soma 21,2 14 123,28 790,77 5376,46 68,4 413

2

1 1 1

2 3

1 1 1 1

2 3 4 2

1 1 1 1

+ )

5

m m m

k k k

k k k

m m m m

k k k k k

k k k k

m m m m

k k k k k

k k k k

ma x b x c y

a

x a x b x c x y

x a x b x c x y

+ 21,2 123,28 14

21,2 123,8 790,77 68,4

123,8 790,77 5376,46 413

b c

a b c

a b c

Na forma matricial:

y = 0,2698x + 1,6559

R = 0,7235

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 2 4 6 8 10

Eixod

osvaloresde

Y

Eixo dos valores de x

Ajuste Linear

Srie1

Linear (Srie1)


7/14

5 21,2 123,28 141) L2 = L1 * (-1) * (21,2 / 5) + L2

21, 2 123, 28 790,77 68, 42) L3 = L1 * (-1) * (123,28 / 5) + L3

123,28 790,77 5376,46 413

5 21,2 123,28 14

0 33,392 268,0628 9,04

0 268,0628 2336,86832 67,816

3) L3 = L2 * (-1) * (268,0628 / 33,392) + L3

21, 2* 0, 4771139 123, 28* 0, 0257128 141,410902

55 21,2 123,28 14

9,04 268,0628* 0,02571280 33,392 268,0628 9,04 0,4771

33,3920 0 184,925796 4,754965

a

b

139

4,7549650,0257128

184,925796c

O polinmio tem a forma:

22 1,410902 0,47711139 0,0257128P x b c

Para o ajuste exponencial teremos:

; 0xf x e

Propriedade dos logaritmos: () ()() () ()

() ()

ln lnf x f x

y = -0,0227x2+ 0,4518x + 1,4433

R = 0,7518

0

0,5

1

1,5

2

2,5

33,5

4

4,5

0 2 4 6 8 10

Eixod

osvaloresde

Y


Ajuste quadrtico

Srie1

Polinmio (Srie1)


8/14

Desta forma, podemos fazer um ajuste linear para o modelo

exponencial, pela facilidade de trabalhar, tomando a e lnb a equao

da reta ajustada ou equao auxiliar :

x y ln(y) x^2 ln(y)*x0,3 1,8 0,587787 0,09 0,176336

2,7 1,9 0,641854 7,29 1,733005

4,5 3,1 1,131402 20,25 5,09131

5,9 3,9 1,360977 34,81 8,029762

7,8 3,3 1,193922 60,84 9,312595

21,2 4,915942 123,28 24,34301

; ,y ax b f x a b

|| [ () ()]

5 21,2 4,915942 5 21,2 4,915942

21,2 123,28 24,34301 21,2 123,28 24,34301

b

a

Usando da eliminao de Gauss:

5 21,2 4,915942L2 = L1 * (-1) * (21,2 / 5) + L2

21,2 123,28 24,34301

5 21,2 4,915942 3,4994159200,104798033

0 33,392 33,392

21,2 0,104798033 4,915942 2,6942236990,538844740

5 5

a

b

Usando os valores encontrados para:

0,104798033 0,538844740

0,538844740

1,714025573

ln

ln

e e

Portanto,

1,714025573

0,104798033


9/14

Para caso de um ajuste de polinmio de Grau 3 a tabela com os somatrios :

0

1

2

3

11 5,51 3,8501 3,025 7,2051

5,51 3,8501 3,025 2,5333 4,5127.

3,8501 3,025 2,5333 2,2083 3,378

3,025 2,5333 2,2083 1,97841 2,7514

b

b

b

b

Soluo do sistema:

b0=0,1011

b1=2,0685b2=-2,1782

b3=1,0186

E o polinmio de ajuste ser:

y=0,1011+2,0685.x-2,1782.x2+1,0186.x3

y = 1,714e0,1048x

R = 0,7609

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 2 4 6 8 10

Eixod

osvaloresde

Y


Ajuste exponencial

Srie1

Exponencial (Srie1)


10/14

2) Ajustar os dados da Tabela 2:

Tabela 2Dados para juste pelo MMQ

Para o modelo Linear temos:

1 1

2

1 1 1

+ )8 +42,2 102

42, 2 290, 04 657, 64

m m

k k

k k

m m m

k k k k

k k k

mb x a yb a

b ax b x a x y

Na forma matricial pode ser escrito como:

8 42,2 102 8 42,2 102

42,2 290,04 657,64 42,2 290,04 657,64

8 42,2 1021) L2 = L1 * (-1) * (42,2 / 8) + L2

42,2 290,04 657,64

42,2* 1,77341 1023,395254

8 42,2 102 2

0 67,435119,59

b

a

b

a

119,59 1,77341

67,435


11/14

3) Calcular a integral

3 2

2

0 1 2

xxedx

x usando as regras de integrao dadas em aula. Use

algumas repeties para as mesmas e compare os resultados.

y = 1,7918x + 3,2535

R = 0,9193

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10

Eixod

osvaloresde

y


Ajuste Linear

Srie1

Linear (Srie1)


12/14

4) Calcular

2,7

01 cos

x sen xdx

x

usando as regras conhecidas com 0,3h .

5) Calcular 0

2xe sen x dx

com 6m .


13/14

6) Calcular o PVI ' 2 1y x y com 0 1y no intervalo 0,1 com 4 e 10intervalos. Use os mtodos numricos para EDO.


14/14

i Analtica Euler Euler Modificado

0 1. 1. 1.

1 0.9140481 0.9 0.915

2 0.8527400 0.83 0.8543

3 0.8116087 0.784 0.813526

4 0.7869967 0.7572 0.78909135 0.7759096 0.74576 0.7780549

6 0.7758957 0.746608 0.778005

7 0.7849477 0.7572864 0.7869641

8 0.8014224 0.7758291 0.8033106

9 0.8239742 0.8006633 0.8257147

10 0.8515015 0.8305306 0.8530860

i Analtica Euler Euler

Modificado

Euler

Melhorado

0 1. 1. 1. 1.1 0.8298980 0.75 0.84375 0.84375

2 0.7759096 0.6875 0.7929688 0.7929688

3 0.7923476 0.71875 0.8081055 0.8081055

4 0.8515015 0.796875 0.8644409 0.8644409

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