CIV 2108 - DINÂMICA DAS ESTRUTURASProfessor: Paulo B. GonçalvesLISTA DE EXERCÍCIOS 11

1- Um edifício de um pavimento é idealizado como uma barra rígida de massa M suportada por

duas colunas flexíveis de rigidez EI e sem peso significativo. A fim de avaliar suas propriedades

dinâmicas, um ensaio de vibração livre é realizado. Para isto impõe-se sobre a barra rígida com

um macaco hidráulico um deslocamento inicial e libera-se subitamente a estrutura. Durante o

ensaio verificou-se que uma força de 900N é necessária para impor um deslocamento de Scm.

Depois de liberada a estrutura a partir desta posição inicial, verificou-se que o máximo

deslocamento observado após um ciclo foi de O,4cm e o período deste ciclo foi de 1,4s. A partir

destes dados, calcular: (a) a freqüência natural da estrutura, (b) as propriedades de

amortecimento e (c) a amplitude do movimento após 6 ciclos.

2- Considere agora que as colunas do pórtico acima têm rigidez EI = 104 kN.m2 , que a massa da

viga é de 10ton e que o coeficiente de amortecimento equivalente da estrutura é de 2% do valor

crítico. Considere também que a viga está submetida a uma excitação horizontal

l(t) = sen(3Jrt)kN . Representar a estrutura como um sistema de 1GL e a seguir determinar:

(a) a freqüência natural do pórtico e a freqüência amortecida, (b) a amplitude, velocidade e

movimento do pórtico em regime permanente devido à excitação horizontal, (c) o esforço

cortante máximo e o momento fletor máximo na base de cada coluna, (d) a energia dissipada

por ciclo no regime permanente, (e) o deslocamento máximo horizontal do pórtico na\. - - --.,

ressonância, (f) sabendo que a estrutura estava inicialmente. em !e ouso obter a resposta no

tempo para uma razão de freqüências r igual a 0.5, 1.0 e 1.2, destacando no gráfico o regime

transiente e o permanente, (g) em cada um dos casos do item anterior comparar o deslocamento

máximo com aquele do regime permanente e (h) traçar o gráfico da variação do momento fletor

na base da coluna para cada um dos casos, destacando o valor do momento máximo.

3- Considere novamente o pórtico dado na primeira questão. Deseja-se realizar a sua identificação

estrutural, ou seja, determinar a rigidez, massa e amortecimento do sistema. Para isto utiliza-se

uma máquina que gera um carregamento harmônico, própria para este fim, que fornece no

tempo o valor da força que produz. Operando-se a máquina em duas diferentes freqüências,

fixando-a sobre a viga rígida e medindo-se os deslocamentos horizontais da estrutura,

obtiveram-se os resultados apresentados abaixo, onde D é a amplitude do movimento, ~ é a

defasagem entre a excitação e a resposta e Q é a freqüência da excitação. Sabendo-se que a

força aplicada, obtida do próprio equipamento, foi igual a 23N,( pedem-se os valores da massa

M, da rigidez EI e do coeficiente de amortecimento c.-

{

Q = 16rad I S J

Ensaio 1 D = 18,3x 10-3 em

q) = 15°{

Q = 25rad I S

Ensaio2 D=36,8xl0-3emq) = 55°

4- Considere que o pórtico sofre um deslocamento horizontal de base em virtude de um sisme

descrito por uma função d(t), determinar a equação de movimento.

i~0\M.('I CJ =-l... t

~/) f.,O} -:53

CIV 2108 - DINÂMICA DAS ESTRUTURASProfessor: Paulo B. GonçalvesLISTA DE EXERCÍCIOS lU

1- Mostrar que o tempo 1m correspondente ao pico da resposta de um sistema massa-mola não-

amortecido e excitado impulsivamente é dado por

tg~l- ç2 áJotm = ~l- ç2 / ç

2- Considere um sistema massa-mola com K = 400N / m e M = 25kg . Considere também que o-sistema está submetido a uma excita ão horizontal eriódica descrita por uma sequência de

/ '" Lúf..J.' é ,'ltf\ '->€-"\/ <~ lí-df.t ( I 1,"""'/" ·k" /pulsos senoidais dada por ~ cLJe... (- -'Y' rQ ':) 4 ,,_ '\ Y. .) r.D c. t.... '"

~ V'- c:h ( ,s...(. v1t9> " >1"-'/ • f '"

Representar a força por uma série de Fourier e estudar a convergência com o número de termos

permanente e mostrar o espectro normalizado da força e da resposta.---3- Determinar para um sistema massa-mola submetido ao pulso mostrado abaixo a resposta para

Os t s tI e para t > tI' A seguir, determinar o espectro de resposta. Considere que o sistema1 I -? .está inicialmente em repouso. ',.<) \~~ C' ' ,-" x

f I ~ v 'I' ."\ o • • • ..-.... -' - ,.)- f·, ,

4- Co~si~ere um pêndulo de comprimento igual a 2m, tendo em sua extremidade uma massa de

7kg. Obter a equação de movimento não-linear e depois linearizar a equação. Usando

amortecida considerando uma velocidade inicial nula ((Jo = O) e um

Gol ,'.. I' (-/<,; c.. ,(2 V' •••••.... ;I. v '"'<'"""\.

e comparar cada par de respostas. O que acontece com o período da resposta em cada c

Como o período da resposta de compara com o período natural da estrutura?

• Lembrar que os ângulos devem ser dados na integração em radianos.

5- Usando a integral de Duhamel, obter a resposta de um sistema massa-mola para o pulso ~ I

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CIV 2108 - DINÂMICA DAS ESTRUTURASProfessor: Paulo B. GonçalvesLISTA DE EXERCÍCIOS IV

'I I'

I C

----1- Para o sistema dado abaixo pede-se: (a) calcular as freqüências naturais e os

modos de vibração, explicando o movimento do sistema em cada caso, (b)determinar a matriz modal, (c) obter a solução geral para o sistema em vibraçãolivre, (d) deduzir a solução particular considerando um deslocamento inicialU1 (O) = Uo , (e) escrever a solução particular em uma forma adimensional emostrar a variação das coordenadas generalizadas com respeito ao tempo, (f). , .considerando uma força p(t) = A sen(Qt:Y aplicada à primeira massa, comomostra a figura, calcular a solução particular relativa à solução forçada e mostrar avariação do deslocamento máximo de cada massa com a freqüência da excitação.

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1/' -1(" I

p(t)U1

~

2- Para o sistema dado abaixo pede-se: (a) calcular as freqüências --;;aturais e osmodos de vibração, mostrando a configuração de cada modo, (b) determinar amatriz modal, (c) obter a matriz de massa modal e a matriz de rigidez modal, (d)deduzir a solução geral do sistema usando superposição modaL Todos os andarestêm a mesma massa M e todas as colunas têm a mesma rigidez EI e massadesprezíveL

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3- Para o sistema dado abaixo calcular as freqüências naturais e os modos devibração, explicando o movimento do sistema em cada caso.

K K

.~_~4- Para o pêndulo elástico dado abaixo, composto por uma mola de rigidez K e

comprimento descarregado Lo e por uma massa m, deduzir as equações não-lineares de movimento usando o princípio de Hamilton. Linearizar as equações ecalcular as freqüências naturais e os modos de vibração, explicando o movimentodo sistema em cada caso. Para o sistema não-linear, considerando m=5kg,K=10N/m e Lo=lm, obter por integração numérica a resposta no tempoconsiderando uma perturbação angular inicial de 80 = 10°. Comparar com aresposta linear.

I 'I n

5- Deduzir as equaçoes de movimento do sistema, mostrando claramente as matrizesde massa, amortecimento e rigidez.

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