Lista Preparatória

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Exercício 1 Uma cerca de 8m de altura corre paralela a um edifício a uma distância de 4 m desta. Qual é o comprimento da menor escada que alcança o edifício quando inclinada sobre a cerca?Exercício 2 Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo com catetos 3cm e 4cm se dois lados do retângulo estão sobre os catetos.Exercício 3 Encontre o ponto da parábola y2=2x que está mais próximo do ponto (1,4).

Exercício 4 Esboce o gráfico das funções:

Exercício 5 Encontre as raízes da equação x4-5x3+4x2-x+13=0

com precisão até a oitava casa decimal. Exercício 6 Encontre o máximo e o mínimo absolutos das funções:

Exercício 7 Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s. Uma lâmpada está localizada no chão a 20m da trajetória (distância ortogonal) e é

mantida focalizada na direção do homem. Qual a velocidade de rotação da lâmpada quando o homem está a 15m do ponto do caminho mais próximo da lâmpada? Exercício 8 Encontre as raízes da equação

com precisão até a sexta casa decimal. Exercício 9 Calcule os limites: 1.

2.

3.

4.

5.

Lista XI Aplicações da Derivada

Soluções MathBio

Solução do problema 1

Da figura

Figura 1: Escada

podemos escrever: e portanto

. A função que descreve o comprimento da escada que pode ser apoiada sobre o muro e alcança o edifício tem como expressão:

Derivando obtemos:

Os zeros da derivada são as soluções de:

isto é, x=0 ou x=4(22/3+1). Como x varia no intervalo somente nos interessa a segunda raiz.

f''(4(22/3+1))=3.(22/3)+6>0.

indicando que esta raiz é um mínimo. Calculando f nesta raiz obtemos:

Solução do problema 2 Seja x a variável que representa o comprimento de um lado do retângulo inscrito:

que derivando e igualando a zero dá:

isto é . AR''(x)=-3/2<0

verificando que x=1/2 é um máximo local.


Derivando:

y=2

Mas e portanto este ponto é um mínimo. O ponto mais próximo é : (2,2).


Seja f(x)=x2/3(6-x)1/3Calculando as derivadas :

Calculando f''(x) obtemos:

Observe que f'(x)=0 somente quando x=4 e que f' não está definida em x=0 e x=6. A seguinte análise de sinal mostra os intervalos de crescimento e decrescimento de f.

Como f' muda de sinal em 0 f(0)=0 é um mínimo local. Já em

é máximo. A ánalise de f'' mostra que f''(x)<0 para x<0 e para 0<x<6 e neste intervalo a função é côncava para baixo. Por outro lado f''(x)>0 para x>6 e no intervalo x>6 a função é côncava para cima.

b) f(x)=x4-4x3

Calculando f' e f'' temos:

Segue que x=0 e x=3 são pontos críticos. É fácil ver que f'(x)<0 para x<3 e que f'(x)>0 para x>3. A análise de f''(x) indica que f''(x)<0 para 0<x<2 e neste intervalo ela é côncava para baixo. No conjunto complementar ela será côncava para cima. O gráfico de f é como na figura abaixo:

Figura 2: Gráfico II


f(x)=x4-5x3+4x2-x+13

Começamos com x0=2 já que f(2)=3 e f(3)=-8 havendo pois uma raiz entre 2 e 3. f'(x)=4x3-15x2+8x-1


a)

Segue que o máximo absoluto é f(4)=17 e o mínimo absoluto é f(2)=-3.

b)

f'(x)=6x(x-2)2+6x2(x-2)=12x((x-2)(x-1)=0

Os pontos críticos são: x=0, x=2 e x=1. e os valores de f nestes pontos são:

Máximo absoluto : M=27, Mínimo absoluto: m=0 Solução do problema 7

Seja x a distância entre o ponto mais próximo da lâmpada ao caminho e a posição do homem.

Figura 3: Lâmpada

Logo,

Quando x=15 usando triângulos temos que e portanto:

que é a velocidade de rotação da lâmpada.Solução do problema 8

Seja .

Solução do problema 9 Cálculo dos limites: 1.

2.

3.

4.

5.

Problema: Para cada uma das seguintes funções,

determine os intervalos onde a função é côncava para cima ou côncava para baixo

determine os pontos de inflexão.

A função dada é

Primeiro calculamos a primeira e segunda derivada:

Claramente, não exite solução para f''(x) = 0. Como o domínio de f é o mesmo do de f', não existe pontos de inflexão. Como f''(x) = 2 > 0 para todo x, f é côncava para cima sempre.

2,A função dada é


Fazemos a segunda derivada igual a zero e resolvemos:

Como o domínio de f é o mesmo do de f'', x = 1.5 é o único candidato possílvel para ponto de inflexão.

Verificando:

x < 1.5 f''(0) = -18 f é côncava para baixo

x > 1.5 f''(2) = 6 f é côncava para cima

Portanto, x = 1.5 é o ponto de inflexão.

3, A função dada é



Como o domínio de f é o mesmo do de f'', x = -0.707.. and x = 0.707.. são os únicos candidatos possílveis para pontos de inflexão.

Verificando:

x < -0.707.. f''(-1) = 2.943.. f é côncava para cima

-0.707.. < x < 0.707.. f''(0) = -8 f é côncava para baixo

x > 0.707.. f''(1) = 2.943.. f é côncava para cima

Portanto, x = -0.707.. e x = 0.707.. são os pontos de inflexão. 4,A função dada é



Como o domínio de f é o mesmo do de f'', x = -1 e x = 1 são os únicos candidatos possílveis para pontos de inflexão.

Verificando:

x < -1 f''(-2) = -0.24 f é côncava para cima

-1 < x < 1 f''(0) = 2 f é côncava para baixo

x > 1 f''(2) = -0.24 f é côncava para cima

Portanto, x = -1 e x = 1 são os pontos de inflexão.

Exercício 1 Uma piscina tem 20 ft de largura, 40 ft de compriment,o 9 ft de profundidade no lado mais fundo e 3 ft no lado mais raso. A secção transversal está exibida na figura abaixo. Se a piscina está sendo enchida a uma taxa de 0.8 ft3/min, qual a velocidade com que o nível de água está subindo quando a profundidade no lado mais fundo era 5 ft?

Figure 1: Piscina

Exercício 2 Água está saindo de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de 10.000 cm3/min no momento em que água está sendo bombeada para dentro a uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e seu diâmetro no topo é 8 m. Se o nível da água está subindo a uma taxa de 20cm/min quando a altura era 2 m, encontre a taxa com que a água está sendo bombeada para dentro.

Exercício 3 Um corredor corre em uma trajetória circular de raio 100 m a uma velocidade constante de 7 m/s. Um outro indivíduo está parado a uma distância de 200 m do centro da pista. Qual a taxa de variação da distância entre os dois quando esta distância era 200 m?

Exercício 4 Encontre os pontos P e Q sobre a parábola y=1-x2 tal que o triângulo ABC formado pelo eixo-x e as tangentes em P e Q seja equilátero.

Exercício 5 Um homem começa a andar para o norte a 4 ft/s de um ponto P. 5 minutos mais tarde uma mulher inicia sua caminhadada para o sul a uma velocidade de 5 ft/s partindo de um ponto localizado 500 ft a leste de P. Qual a taxa de afastamento entre o homem e a mulher 15 minutos após a mulher ter iniciado a caminhada?

Exercício 6 Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera de raio R. Encontre o maior volume possível de um tal cilindro. (Mesmo problema quando é um cone de altura h e raio r que circunscreve o cilindro.

Exercício 7 Um barco deixa as docas às 14:00 h e navega para o sul a uma velocidade de 20km/h. Um outro barco está se dirigindo para leste a uma velocidade de 15km/h e atinge a mesma doca as 15:00 h. A que horas estiveram os dois barcos mais próximos.

Exercício 8 Em uma colmeia, cada célula é um prisma regular hexagonal, aberto em uma extremidade com uma ângulo triedral na outra extremidade. Acredita-se que as abelhas constroem seus favos de modo a minimizar a área da superfície para um dado volume fixo, usando desde modo a menor quantidade possível de cera. O exame dos favos tem mostrado que a medida do ângulo do ápice é impressionantemente consistente. Usando geometria pode-se provar que a área da superfície é dada por

onde s, é o comprimento dos lados do hexágono e h a altura.

a) Calcule .

b) Determine o ângulo que as abelhas preferem.

c) Determine a área superfície mínima escolhida.

Exercício 9 Um carro está trafegando à noite ao longo de uma rodovia na forma de uma parábola y=x2. O carro começa em um ponto a 100 m oeste e 100 norte da origem na direção leste. Há uma estátua localizada a 100 m leste e 50 m norte da origem. Determine o ponto sobre a estrada no qual os faróis do carro estarão iluminando a estátua.

Figure 2: Carro na estrada

Exercício 10 Um pedaço de fio de 16 cm de comprimento será cortado em duas partes. Uma delas será usada para fazer um quadrado e a outra para formar um círculo. Como deverá ser feito o corte de modo a minimizar a área total das figuras?

Exercício 11 Um observatório será construido na forma de um cilindro circular reto com uma abóboda esférica como cobertura. Se o custo da construção da abóboda será duas vezes mais caro que na parede do cilindro quais deverão ser as proporções mais econômicas do observatório supondo que o volume é fixo?

Solução do Problema 1

O volume de água na piscina em função de h, a altura quando h está próximo de 5 é

Como l=20 ft simplificando obtemos

isto é

Derivando implicitamente obtemos:

Como temos

isto é

Figure 1: Piscina


A variação do volume de água é dada pela fórmula

Por outro lado como o volume de um cone é e da figura sabemos que

temos que e portanto

que derivando implicitamente obtemos

logo a taxa de entrada no momento em que a altura era 200cm era


Usamos a figura e a lei dos cossenos para expressar a distância entre os dois e obter:

Derivando implicitamente obtemos

e então

Mas como temos e como m/s temos que

. Finalmente sabendo que a distância entre eles era 200 m podemos determinar o ângulo a saber:

implicando que . Portanto


Como f(x)=1-x2 e f'(x)=-2x temos que uma das tangentes, a que passa no ponto Q=(x,1-x2) tem equação

w-1+x2=-2x(v-x).

Portanto os pontos A e C são obtidos fazendo v=0 e então w=1-x2+2x2=1+x2, isto é A=(0,1+x2) e fazendo w=0 e neste caso

isto é . A distância entre os dois é portanto:

e como o triângulo deve ser equilátero devemos ter:

que resolvendo obtemos isto é 1+4x2=4 e portanto

Segue que os pontos são:


Sejam yh(t) a posição do homem sobre o eixo-y no instante t e (500,ym(t)) a da mulher que se desloca sobre a vertical x=500. Como as velocidades são respectivamente vh=4 e vm=5 tem-se que

Da figura ve-se que d2=[yh(t)-ym(t)]2+5002

que derivando implicitamente temos dd'=[yh-ym](yh'-ym')

Logo:

No instante t=15 como e tem-se que:


Da figura temos: R2=r2+h2 e portanto . Como o volume de um cilindro é dado por temos:

Derivando obtemos

isto é 2R2-3r2=0

e portanto

Portanto o volume máximo é


Da figura, se denotamos y(t) e x(t) as posições dos barcos cujas velocidades são respectivamente 20km/h e 15 km/h temos que

como x(3)=0 temos x(3)=45-x0=0 e portanto x0=-45 o que acarreta x(t)=15t-45. Logo a distância entre eles será dada por:

que derivando obtemos:

e igualando a zero temos:

isto é 400(t-2)+225(t-3)=0 625t=800+675cuja solução é:


Para responder a) derivamos S para obter:

Para responder b) igualamos o resultado obtido a zero

donde temos

isto é a saber as abelhas preferem o ângulo

Da trigonometria sabemos que

e portanto


Como y=x2 e y'=2x a reta tangente à parábola no ponto (x,x2)será:

w-x2=2x(v-x).

Como esta reta deverá conter o ponto onde está a estátua que é (100,50) devemos ter: 50-x2=2x(100-x)

isto é x2-200x+50=0

cuja solução que nos interessa é

e portanto o ponto sobre a estrada no qual os faróis iluminarão diretamente a estátua é (0.25, 0.252).


Vamos assumir que o quadrado tem lado x e que o círculo tem raio r. Então sabemos

que e portanto . A área total é

Calculando a derivada obtemos:

e portanto o único ponto crítico ocorre em . Como estamos tratando com uma função quadrática com coeficiente do termo quadrático positivo sabemos que este é um ponto de mínimo. Portanto o corte deverá ser feito a 4x unidades da extremidade esquerda isto é a distância de

desta extremidade.Solução do Problema 11

Se o cilindro (e portanto a abóboda) tem raio r e altura h, então o volume do observatório será

Logo

A área da superfície cilindrica é e a da abóboda . Portanto para minimizarmos o custo da obra devemos minimizar a função:

Derivando e derivando mais uma vez obtemos:

Segue que o ponto crítico de C ocorre quando e que neste ponto a derivada segunda é negativa sendo portanto um mínimo. Logo a configuração mais econômica se dá quando

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