Livro de Raciocínio Lógico

RACIOCNIO LGICO - NILO ROCHA

BONECA PARA A 1 EDIO

INTRODUO Raciocnio um processo mental. A Lgica no investiga como esse processo ocorre: mesmo sendo considerada a cincia do raciocnio. A Lgica procura investigar se as coisas que sabemos ou em que acreditamos, as hipteses, de fato constituem uma razo para acreditar em uma tese alcanada, ou seja, se a esta est adequadamente justificada em vista das informaes que so dadas. Este importante ramo da Matemtica desenvolveu-se melhor a partir da metade do sculo XIX, durante o perodo contemporneo da lgica, com a publicao, em 1854, do livro Investigations of the laws of thought, de George Boole (1815 1864), matemtico ingls criador da lgebra Booleana, que utiliza smbolos e operaes algbricas para representar proposies e suas inter-relaes. As idias de Boole tornaram-se a base da lgica simblica, cuja aplicao estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computao e da eletrnica. O livro de Boole deu incio simbolizao ou matematizao da lgica, que consistiu em fazer, numa linguagem simblica, artificial, o que Aristteles havia comeado em grego. lgebra Booleana so clculos lgicos contendo infinitas formas vlidas de argumentos. A introduo do Raciocnio Lgico nas provas de concursos pblicos tem o objetivo de selecionar o candidato mais criativo e inovador, que tenha maior produtividade, capacidade de fundamentar os raciocnios e aes, analisar situaes e problemas do nosso cotidiano a partir de hipteses e chegar a novas informaes, concluses coerentes baseadas em um raciocnio lgico. Os estmulos visuais utilizados nas provas visam analisar a habilidade dos candidatos para compreender e elaborar a lgica de uma situao, usando as funes intelectuais: raciocnio verbal, raciocnio matemtico, raciocnio seqencial, orientao espacial e temporal e formao de conceitos.

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CAPTULO 1

1.1 ESTRUTURAS LGICAS: LGICA DAS PROPOSIES Abordaremos, inicialmente, neste captulo, a Lgica das proposies tambm chamada de Lgica de primeira ordem, posteriormente, as Operaes lgicas e as Tabelas-Verdades. 1.1.1 PROPOSIO OU SENTENA todo encadeamento de termos, palavras ou smbolos que expressa um pensamento de sentido completo cabvel de ser julgado, valorado, em verdadeiro ou falso. Esta valorao tambm chamada de valor lgico ou valor verdade. Dentro deste conceito, toda afirmao uma proposio.

Exemplos: 1) A afirmao: a Lua o satlite natural da Terra uma proposio, cujo valor lgico verdadeiro. 2) A afirmao: nenhum pssaro voa uma proposio, cujo valor lgico falso. 3) A afirmao: 3 + 5 > 8 (trs mais cinco maior do que 8) uma proposio falsa. 4) A afirmao: todo homem mortal uma proposio verdadeira. 5) A afirmao: ele um animal no uma proposio, pois, como no sabemos quem ele, no podemos dizer se a afirmao verdadeira ou falsa. 6) A frase: vamos ao cinema? no uma proposio, pois uma interrogao e no podemos dizer se a verdadeira ou falsa. 7) A frase: abra a porta! no uma proposio, pois se trata de uma exclamao e no podemos dizer se verdadeira ou falsa.

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Toda proposio deve obedecer aos dois princpios bsicos seguintes:

Princpio da no-contradio Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Princpio do terceiro excludo Uma proposio ou verdadeira ou falsa, no podendo assumir um terceiro valor lgico.

1.1.2 SIMBOLIZAO Na lgica proposicional, no verificamos o contedo das proposies, devemos aceitar seu valor-verdade para estudarmos a forma com que se relacionam com outras proposies. Caso seja colocado como verdadeiro, por exemplo, que as proposies A gua do mar doce ou Todo vegetal carnvoro, essas devem ser aceitas como verdadeiras, mesmo que saibamos que, em nosso cotidiano, no sejam. Por isso podemos representar as proposies apenas por letras. Por conveno, as proposies simples so indicadas pelas letras minsculas p, q, r, e s e as maisculas P, Q, R, e S para as compostas, no entanto, fazemos o uso de todo o alfabeto.

1.1.3 CONECTIVO LGICO So palavras usadas para formar novas proposies, as proposies compostas, a partir de proposies simples. Os conectivos usados na Lgica Matemtica so: no, ou, e, ento, e se e somente se.

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1.1.4 PROPOSIES SIMPLES E COMPOSTAS Toda proposio que no contm nenhuma outra proposio como parte integrante de si mesma dita simples ou atmica. Uma proposio dita composta, molecular, ou ainda, frmula proposicional quando formada pela juno de duas ou mais proposies simples ligadas pelos conectivos lgicos. Exemplos: Proposies simples: q: O cu azul. r: Todo gato mia. s: A gua do mar salgada. t: Glauber Rocha famoso. u: Poliana brasileira Proposies compostas: P: A pressa inimiga da perfeio ou o autor deste livro estava apressado. Q: Todo gato mia e a gua do mar salgada. R: Para passar em um concurso existe uma receita mgica ou um milagre, ento no adianta estudar. S: O cu azul se, e somente se, a gua do mar salgada. T: Glauber Rocha famoso, ento Poliana brasileira. V: No est chovendo.QUER PASSAR EM CONCURSOS?

Estudar ou no estudar? A resposta nossa, somos livres para decidir, mas responsveis pelas conseqncias. 4



1.1.5 O MODIFICADOR LGICO O no chamado de modificador lgico, porque, ao ser inserido ou retirado de uma proposio, muda seu valor lgico, ou seja, faz a negao da proposio. Representa-se a negao de uma proposio p, usando o sinal ~ ou antes de p, ou seja, a negao de p indicada por p ou p e l-se: no p.

Exemplos: p: O sol uma estrela. q: 3 + 5 = 8. r: X < 3. s: Os pssaros so carnvoros. p: O sol no uma estrela. q: 3 + 5 8. r: X 3. ~ s: Os pssaros no so carnvoros

Formas de negao Para fazer a negao de uma proposio simples, podemos usar uma das quatro formas distintas abaixo:

Proposio p Vanessa bela.

Proposio p. Vanessa no bela. No verdade que Vanessa bela. Vanessa feia. falso que Vanessa bela.

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Propriedades: 1. Se uma proposio p verdadeira, ento a sua negao, a proposio p, falsa. Exemplo: Se a proposio... O cu azul. ento a proposio... O cu no azul. tem valor lgico... verdadeiro tem valor lgico... falso

2. Se uma proposio p verdadeira, ento a sua negao, proposio p, falsa. Exemplo: Se a proposio... O homem no pedra. ento a proposio... O homem pedra. tem valor lgico... verdadeiro tem valor lgico... falso

Podemos representar as tabelas acima apenas por: p V F p F V

3. A negao da negao uma afirmao. ~ (~p) = p Exemplos: 1) Dizer eu no vi nada o mesmo que dizer que eu vi algo. 2) Se o avesso do preto branco, ento o avesso do avesso preto preto ou branco? A resposta preto.

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1.1.6 FORMA SIMBLICA As proposies compostas tambm podem ser escritas na forma simblica. Os smbolos das proposies e dos conectivos devem ser escritos obedecendo-se ordem em que vo aparecendo no texto. Smbolos dos conectivos e denominaes das proposies compostasProposio composta Denominao da proposio composta Smbolo do conectivo Simbologia da proposio composta

p ou q peq p, ento q p se, e somente se q

Disjuno Conjuno Condicional Bicondicional

p q pq p q p q

EXEMPLOS: Suponha que p represente a proposio simples, Zezinho poderoso, q represente a proposio Conceio uma boa me e r represente a proposio, Poliana responsvel. Note que: 1. Representando a sentena: se Conceio uma boa me, ento Zezinho poderoso, em linguagem simbolizada, temos: q p. 2. Representando a sentena: se Conceio no uma boa me, ento, Zezinho no poderoso e Poliana no responsvel, em linguagem simbolizada temos: ~q ~p ~r.QUER PASSAR EM CONCURSOS?

Transforme o concurso em seu objetivo principal, renunciando a muitas atividades, como passeios com parentes e amigos, pois a preparao exige concentrao e estudo dirio. Quando alcanar o seu objetivo, a recompensa ter valido sua dedicao. 7



1.1.7 OS PARNTESES O uso desse recurso faz-se presente na simbolizao das proposies, pois evita qualquer tipo de ambigidade. Observe os exemplos abaixo. I. II. III. IV. p (r s). (p r) s. r ((p s) q). (r p) (s q).

A proposio I uma Condicional, pois o conectivo principal o . A proposio II uma Conjuno, pois o conectivo principal o . Ento, I e II no tm o mesmo significado, apesar de possurem as mesmas proposies e os mesmos conectivos na mesma ordem. O mesmo acontece com os exemplos III e IV. H casos em que os parnteses podem ser retirados para que simplifiquem as proposies colocadas, caso no aparea alguma ambigidade. Porm, para que se possa retirar os parnteses, preciso seguir algumas convenes, cujas mais importantes so: I. A ordem de preferncia para os conectivos :

~ depois de depois de depois de depois de Sendo assim, o elemento mais fraco Veja a proposio abaixo. rp

~ e o mais forte o .

sq

Portanto, essa proposio Bicondicional e jamais uma Condicional ou uma Conjuno. Mas, para que se converta numa Condicional, os parnteses so obrigatrios. ((r p) s)

q

Por analogia podemos ter uma Conjuno. r

(p (s q)8



EXEMPLOS: Suponha que p represente a proposio simples, Hoje fez sol, q represente a proposio Fernanda foi ao parque e r represente a proposio, Marina andou de bicicleta. Note que: 1. representando a sentena Hoje fez sol, ento Fernanda foi ao parque e Marina andou de bicicleta em linguagem simbolizada, temos: p (q r). 2. representando a conjuno Hoje fez sol ou Fernanda no foi ao parque, ento Marina no andou de bicicleta, em linguagem simbolizada, temos: p (q r). 3. representando a sentena Hoje fez sol se, e somente se, Fernanda foi ao parque ou Marina andou de bicicleta, em linguagem simbolizada, temos: p (q r). Observe que, em I, no foi especificado qual era a proposio composta. Por ordem de prioridade, o conectivo principal o ento, por isso os parnteses isolam a conjuno existente. O mesmo ocorre em III, em que no foi especificada qual era a proposio composta, por ordem de prioridade, o conectivo principal o se, e somente se, por isso os parnteses isolam a disjuno existente. Nesses casos, o uso dos parnteses pode ser descartado. A proposio condicional Hoje no fez sol e Fernanda foi ao parque, ento Marina andou de bicicleta, por exemplo, pode ser corretamente representada por: p q r.

QUER PASSAR EM CONCURSOS?

Quando for estudar, tome um banho, tranque a porta do quarto, no atenda telefones e isole-se de tudo e de todos. Assim voc se envolve com a matria e aumenta seu tempo real de estudo. 9



1. Suponha que p represente a proposio Glauco alto e q represente a proposio Raul forte. Escreva as proposies compostas abaixo na forma simblica. a) Glauco alto ou Raul forte. Resp.: p q. b) Glauco alto e Raul forte. Resp.: p q. c) Glauco alto se, somente se, Raul forte. Resp.: p q. d) Se Glauco alto, ento Raul forte. Resp.: p q. e) Glauco no alto ou Raul no forte. Resp.: p q. f) Se Glauco alto, ento Glauco alto e Raul forte. Resp.: p (p q).

g) Glauco no alto ou Raul forte se, e somente se, Glauco alto e Raul no forte. Resp.: (p q) (p q). h) Nem Glauco alto nem Raul forte, conseqentemente Raul forte. Resp.: (p q) q.


No existe uma "receita mgica" ou um milagre, aprenda a estudar! Voc deve acreditar em si mesmo. Passar possvel, quando se acredita e estuda. 10



1. Suponha que p represente a proposio Joo alto e q represente a proposio Guilherme forte. Escreva as proposies compostas abaixo na forma simblica. a) Joo no alto, ento Guilherme no forte. b) Joo alto se, e somente se Guilherme fraco. c) Joo baixo mas Guilherme forte. d) Joo alto e no verdade que Guilherme forte, conseqentemente Guilherme forte. e) Se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme forte. f) Se Joo alto ou Guilherme forte, ento Guilherme forte.

g) Se Joo alto ou no alto, ento Guilherme fraco. h) Tanto falso que Joo alto como falso que Guilherme forte, conseqentemente Guilherme forte. 2. No texto abaixo, observe as proposies e a lista que denomina cada uma delas, com os smbolos p, q, r, s e t. Quando no vejo Carlos, no passeio ou fico deprimida. Quando chove, no passeio e fico deprimida. Quando no faz calor e passeio, no vejo Carlos. Quando no chove e estou deprimida, no passeio.(MPU / ESAF / 2004)

p: vejo Carlos q: passeio r: fico deprimida s: chove t: faz calor

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Agora use os smbolos p, q, r, s e t e escreva as proposies abaixo em linguagem simblica. a) Quando no vejo Carlos, no passeio ou fico deprimida. b) Quando chove, no passeio e fico deprimida. c) Quando no faz calor e passeio, no vejo Carlos. d) Quando no chove e estou deprimida, no passeio.

(CESPE) 3. Considere que as letras P, Q e R representam proposies e os smbolos , e so operadores lgicos que constroem novas proposies e significam no, e, e ento, respectivamente. Na lgica proposicional que trata da expresso do raciocnio por meio de proposies que so avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos. Suponha que P represente a proposio Hoje choveu, Q represente a proposio Jos foi praia e R represente a proposio Maria foi ao comrcio. Com base nessas informaes e no texto, julgue os itens seguintes. (1) A sentena Hoje no choveu ento Maria no foi ao comrcio e Jos no foi praia pode ser corretamente representada por P(RQ). (2) A sentena Hoje choveu e Jos no foi praia pode ser corretamente representada por P Q.


Concursos no so difceis ou concorridos. Existe candidato bem ou mal preparado. Se voc estudou da maneira correta, a vaga sua, e, quanto mais voc estuda, mais rpido vir o resultado. 12



4.

(CESPE) Considere as sentenas abaixo. I. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. II. Fumar no deve ser proibido e fumar faz bem sade. III. Se fumar no faz bem sade, deve ser proibido. IV. Se fumar no faz bem sade e no verdade que muitos europeus fumam, ento fumar deve ser proibido. V. Tanto falso que fumar no faz bem sade como falso que fumar deve ser proibido, conseqentemente muitos europeus fumam. Considere tambm que P, Q, R e T representem as sentenas listadas na tabela a seguir. P: Fumar deve ser proibido. Q: Fumar deve ser encorajado. R: Fumar no faz bem sade. T: Muitos europeus fumam.

Com base nas informaes acima e considerando a notao introduzida no texto, julgue os itens seguintes. (1) A sentena I pode ser corretamente representada por P ( T). (2) A sentena II pode ser corretamente representada por ( P)( R). (3) A sentena III pode ser corretamente representada por R P. (4) A sentena IV pode ser corretamente representada por (R(T))P. (5) A sentena V T((R)(P)). pode ser corretamente representada por

GABARITO1 Questo a) p q e) p (p q) 2 Questo a) p (q r) 3 Questo (1) C 4 Questo (1) E (2) C (2) C (3) C (4) C (5) E

b) p q f) (p q) q b) s (q r)

c) p q g) (p p) q c) (t q) p

d) (p q) q h) (p q) q d) (s r) q

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1.2 OPERAES LGICAS J foi dito que cada proposio simples assume um nico valorverdade, ou verdadeiro ou falso, e que, quando so ligadas pelos conectivos e, ou, ento e se, e somente se formam novas proposies, as proposies compostas. Essas proposies compostas denominam-se de maneira diferenciada e tambm assumem um nico valor-verdade de acordo com o conectivo empregado. So elas: 1.2.1 DISJUNO Denomina-se Disjuno, a proposio composta por duas proposies simples que estejam ligadas pelo conectivo ou. Exemplo: I: Ivnia fala ingls. E: Ivnia fala espanhol.

A Disjuno I ou E pode ser escrita na forma I E e representa a proposio composta: Ivnia o fala ingls ou Ivnia o fala espanhol. Os Postulados ou Axiomas so proposies que no so discutidas, so aceitas como verdades absolutas, sem demonstrao, para que possamos construir uma teoria. Quando declaramos Ivnia fala ingls ou Ivnia fala espanhol, devemos aceitar, de acordo com os axiomas da Lgica, como verdadeiro, que: Ivnia pode falar somente ingls, somente espanhol ou pode ainda falar as duas lnguas, ingls e espanhol. A possibilidade de que Ivnia no fale nem ingls nem espanhol, representa um conjunto vazio. A tabela a seguir representa esta situao. Tabela Verdade E V F V F

I V V F F

IE V V V F

A proposio Ivnia fala ingls ou Ivnia fala espanhol, pode ser tambm representada pelo diagrama seguinte, em que as reas sombreadas representam as trs possibilidades.

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Concluso: Quando, pelo menos uma das proposies simples que compem a Disjuno for verdadeira, essa ser tambm verdadeira

1.2.2 DISJUNO EXCLUSIVA Denomina-se disjuno exclusiva, a proposio composta formada por duas proposies simples que estejam ligadas pelo conectivo ou... ou.... Exemplo: C: Rodrigo come. B: Rodrigo brinca.

A disjuno ou C ou B pode ser escrita na forma C B e representa a proposio composta: ou Rodrigo come ou Rodrigo brinca. Quando declaramos que ou Rodrigo come ou Rodrigo brinca, devemos, de acordo com os axiomas da Lgica, aceitar como verdadeiro que: Rodrigo pode somente comer, Rodrigo pode somente brincar. As possibilidades de Rodrigo comer e brincar e no comer e no brincar representam um conjunto vazio. A tabela abaixo representa esta situao. Tabela Verdade B V F V F

C V V F F

CB F V V F

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A proposio ou Rodrigo come ou Rodrigo brinca pode ser tambm representada pelo diagrama seguinte, em que as reas sombreadas representam as duas possibilidades.

Rodrigo somente come Rodrigo come e brinca

B ~C e ~B

CRodrigo somente brinca

CeBRodrigo no come e no brinca

Concluso: Quando, uma e somente uma das proposies simples que a compem a Disjuno Exclusiva for verdadeira, essa tambm ser verdadeira.

(ESAF) 1. Surfo ou estudo. Fumo ou no surfo. Velejo ou no estudo. Ora, no velejo. Assim, (A) Estudo e fumo; (B) No fumo e surfo; (C) No velejo e no fumo; (D) Estudo e no fumo; (E) Fumo e surfo.


No adianta f sem obras. Faa as coisas acontecerem. No faa todos os concursos, escolha uma rea especfica, tribunais por exemplo, e dedique-se a ela.

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Resoluo: Por deduo, as Disjunes apresentadas na questo so verdadeiras e quando, pelo menos uma das proposies simples que compem uma Disjuno verdadeira, essa ser tambm o ser, ento temos:

I. II. III. IV.

[Surfo ou estudo] = verdadeiro; [Fumo ou no surfo] = verdadeiro; [Velejo ou no estudo] = verdadeiro; [Ora, no velejo] = verdadeiro.

A proposio IV simples e com ela podemos deduzir que: velejo falso. nosso ponto de partida. Como velejo falso, na proposio III deduzimos que no estudo deve ser obrigatoriamente verdadeiro. Veja:

Como no estudo verdadeiro, isto indica que estudo falso. Como estudo falso, na proposio I deduzimos que surfo deve ser obrigatoriamente verdadeiro. Veja:

Como surfo verdadeiro, isto indica que no surfo falso. Como no surfo falso, na proposio II deduzimos que fumo deve ser obrigatoriamente verdadeiro. Veja:

De acordo com o encadeamento lgico, conclumos que fumo verdadeiro Resposta: letra E.

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(ESAF) 2. Homero no honesto ou Jlio justo. Homero honesto ou Jlio justo ou Beto bondoso. Beto bondoso ou Jlio no justo. Beto no bondoso ou Homero honesto. Logo, (A) Beto bondoso, Homero honesto, Jlio no justo; (B) Beto no bondoso, Homero honesto, Jlio no justo; (C) Beto bondoso, Homero honesto, Jlio justo; (D) Beto no bondoso, Homero no honesto, Jlio no justo; (E) Beto no bondoso, Homero honesto, Jlio justo. RESOLUO:

I. II. III. IV.

[Homero no honesto ou Jlio justo] = verdadeiro; [Homero honesto ou Jlio justo ou Beto bondoso] = verdadeiro; [Beto bondoso ou Jlio no justo] = verdadeiro; [Beto no bondoso ou Homero honesto] = verdadeiro.

Nessa questo, no h uma proposio simples verdadeira como ponto de partida, o que vimos na questo anterior, ento, devemos atribuir um valor lgico, aleatoriamente, a qualquer uma proposio simples e estudar o encadeamento lgico. Inicialmente, vamos atribuir o valor de Homero no honesto, na proposio I, como verdadeiro, o que acarreta um valor falso para Homero honesto. Como Homero honesto falso, na proposio IV deduzimos que Beto no bondoso deve ser, obrigatoriamente, verdadeiro. Veja:

Como Beto no bondoso verdadeiro, isto indica que Beto bondoso falso. Como Beto bondoso falso, na proposio III deduzimos que Jlio no justo deve ser, obrigatoriamente, verdadeiro. Veja:

Como Jlio no justo verdadeiro, isto indica que Jlio justo falso.

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Com isso, na proposio III conclumos que:

O que no possvel em uma Disjuno. Ento, agora sabemos que Homero no honesto no pode ser verdadeiro, como tnhamos atribudo inicialmente. Por fim, temos que: Homero honesto verdadeiro, o que indica Homero no honesto falso. Como Homero no honesto falso, na proposio I deduzimos que Jlio justo deve ser, obrigatoriamente, verdadeiro. Veja:

falso.

Como Jlio justo verdadeiro, isto indica que Jlio no justo

Como Jlio no justo falso, na proposio III deduzimos que Beto bondoso deve ser, obrigatoriamente, verdadeiro. Veja:

De acordo com o encadeamento lgico, conclumos que:

O que logicamente correto na Disjuno. Resposta: letra C.QUER PASSAR EM CONCURSOS?

Experiente estudar em horrios nos quais que a mente est descansada, relaxada. Assim, duas horas de estudo equivalem praticamente por quatro ou mais horas, a apreenso do contedo maior. 19



3. Em uma famlia h trs irmos, Airton, Beto e Carlos. Sabe-se que um deles arquiteto, outro cantor e o outro bancrio. Sabe-se tambm que, ou Airton cantor ou Carlos bancrio, ou Carlos cantor ou Beto cantor e que ou Beto arquiteto ou Airton arquiteto. Portanto, as profisses de Airton, Beto e Carlos so respectivamente: (A) Cantor, arquiteto e bancrio. (B) Arquiteto, cantor e bancrio. (C) Bancrio, arquiteto e cantor. (D) Arquiteto, bancrio e cantor. (E) Cantor, bancrio e arquiteto. RESOLUO: Por deduo, as Disjunes apresentadas na questo so verdadeiras e quando, pelo menos uma das proposies simples que compem uma Disjuno verdadeira, essa ser tambm o ser, ento temos:

I. [ou Airton cantor ou Carlos bancrio] = verdadeiro. II. [ou Carlos cantor ou Beto cantor] = verdadeiro. III. [ou Beto arquiteto ou Airton arquiteto] = verdadeiro.Nessa questo, no h tambm uma proposio simples verdadeira como ponto de partida, ento, devemos atribuir um valor lgico, aleatoriamente, a qualquer uma proposio simples e estudar o encadeamento lgico; Inicialmente, vamos atribuir o valor de Airton cantor, na proposio I, como verdadeiro, ento, Carlos bancrio deve ser obrigatoriamente falso. Veja:

Como Airton cantor verdadeiro, isto indica que Beto cantor falso falso. Como Beto cantor falso, na proposio II deduzimos que Carlos cantor deve ser, obrigatoriamente, verdadeiro. Veja:

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Temos, ento, uma contradio: Airton cantor verdadeiro e Carlos cantor verdadeiro. Por fim temos que: O que no possvel em uma Disjuno Exclusiva. Ento, agora sabemos que Airton cantor no pode ser verdadeiro, como tnhamos atribudo inicialmente. Por fim, temos que Airton cantor falso, o que indica Carlos bancrio deve ser obrigatoriamente verdadeiro. Como Homero no honesto falso, na proposio I deduzimos que Jlio justo deve ser, obrigatoriamente, verdadeiro. Veja:

Como Carlos bancrio verdadeiro, isto indica que Carlos cantor falso. Como Carlos cantor falso, na proposio II deduzimos que Beto cantor deve ser, obrigatoriamente, verdadeiro. Veja:

Como Beto cantor verdadeiro, isto indica que Beto arquiteto falso. Como Beto arquiteto falso, na proposio II deduzimos que Airton arquiteto deve ser, obrigatoriamente, verdadeiro. Veja:

De acordo com o encadeamento lgico, conclumos que: Airton arquiteto verdadeiro. Beto cantor verdadeiro. Carlos bancrio verdadeiro. Resposta: letra B.

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(ESAF) 1. De trs irmos Jos, Adriano e Caio, sabe-se que ou Jos o mais velho, ou Adriano o mais moo. Sabe-se tambm que, ou Adriano o mais velho ou Caio o mais velho. Ento, o mais velho e o mais moo dos trs irmos so, respectivamente: (A) Caio e Jos (B) Caio e Adriano (C) Adriano e Caio (D) Adriano e Jos (E) Jos e Adriano (ESAF) 2. Maria tem trs carros: um gol, um corsa e um fiesta. Um dos carros branco, o outro preto, e o outro azul. Sabe-se que: 1) ou gol branco, ou o fiesta branco, 2) ou o gol preto, ou o corsa azul, 3) ou o fiesta azul, ou o corsa azul, 4) ou o corsa preto, ou o fiesta preto. Portanto, as cores do gol, corsa e do fiesta so, respectivamente: (A) Branco, preto, azul. (B) Preto, azul, branco. (C) Azul, branco, preto. (D) Preto, branco, azul. (E) Branco, azul, preto. (ESAF) 3. Ricardo, Rogrio e Renato so irmos. Um deles mdico, outro professor, e o outro msico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo mdico, ou Renato mdico, 2) ou Ricardo professor, ou Rogrio msico; 3) ou Renato msico, ou Rogrio msico, 4) ou Rogrio professor, ou Renato professor. Portanto, as profisses de Ricardo, Rogrio e Renato so, respectivamente, (A) Professor, mdico, msico. (B) Mdico, professor, msico. (C) Professor, msico, mdico. (D) Msico, mdico, professor. (E) Mdico, msico, professor. GABARITO1 Questo B 2 Questo E 3 Questo - E

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1.2.3 CONJUNO Denomina-se Conjuno, a proposio composta formada por duas proposies quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo e. EXEMPLO: I: Pedro fala ingls. E: Pedro fala espanhol. A conjuno I e E pode ser escrita I E e representa Pedro fala ingls e Pedro fala espanhol.

Quando declaramos que Pedro fala ingls e Pedro fala espanhol, devemos, de acordo com os Axiomas da Lgica, aceitar como verdadeiro que: Pedro fala as duas lnguas. A possibilidade de que Pedro fale somente ingls, somente espanhol, ou que no fale nem ingls nem espanhol, representa um conjunto vazio. A tabela abaixo representa esta situao. Tabela Verdade E V F V F

I V V F F

IE V F F F

A rea sombreada do diagrama abaixo representa a nica possibilidade lgica para a conjuno.

Concluso: Quando todas as proposies simples que compem a Conjuno forem verdadeiras, essa ser tambm verdadeira.

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1.2.4 CONDICIONAL Denomina-se Condicional a proposio composta por duas proposies que estejam ligadas pelo conectivo ento ou Se..., ento. EXEMPLO: p: eu prometo. c: eu cumpro.

A condicional Se p, ento c pode ser escrita na forma p c e representa: Se eu prometo, ento eu cumpro. Quando declaramos que Se eu prometo, ento eu cumpro, devemos, de acordo com os axiomas da Lgica, aceitar como verdadeiro que: quem promete obrigatoriamente cumpre e quem no cumpre porque no prometeu. A possibilidade de uma pessoa prometer e no cumprir representa um conjunto vazio. A tabela abaixo representa esta situao. Tabela Verdade p c pc V V V V F F F V V F F V O diagrama abaixo representa as trs possibilidades lgicas para a estrutura condicional.

Concluso: a proposio p c s falsa (F) se p for verdadeira (V) e c for falsa (F), caso contrrio, ela sempre verdadeira V.

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EXEMPLOS: Nos itens abaixo observe como se escreve as proposies condicionais p q em linguagem corrente e a determinao de seu valor lgico (V) ou (F). 1) p: 5 = 5 (V). q: A lua uma estrela (F). A proposio p q: se 5 = 5, ento a lua uma estrela; uma proposio falsa, pois p verdadeira e q falsa. 2) p: Pel jogador de futebol (V). q: O gato mia (V). A proposio p q: se Pel jogador de futebol, ento o gato mia; uma proposio verdadeira, pois p verdadeira e q verdadeira. 3) p: 14 < 7 (F). q: 8 o dobro de 16 (F). A proposio pq: se 14 < 7, ento 8 o dobro de 16; uma proposio verdadeira, pois p falsa e q falsa. 4) p: O Papa brasileiro (F). q: O morcego mamfero (V). A proposio p q: se O Papa brasileiro, ento o morcego mamfero; uma proposio verdadeira, pois p verdadeira e q falsa. 5) p: Um quadrado um retngulo (V). q: O gato late (F). A proposio p q: se um quadrado retngulo, ento o gato late; uma proposio verdadeira, pois p verdadeira e q falsa.QUER PASSAR EM CONCURSOS?

um projeto de mdio prazo. Caso voc no passe em algum concurso nos primeiros meses de estudo no fique aflito, em mdia isso demora de 1 a 3 anos. 25



Em uma proposio condicional PQ verdadeira sabemos que no existe a possibilidade de termos P verdadeira e Q falsa, ento: se tivermos P verdadeira, por deduo, Q ser verdadeira.

se tivermos Q falsa, por deduo, P ser falsa.

se tivermos P falsa, no podemos deduzir o valor-lgico de Q, pois Q poder ser verdadeira ou falsa, e PQ ser sempre verdadeira.

se tivermos Q verdadeiro, no podemos deduzir o valorlgico de P, pois P poder ser verdadeira ou P falsa, e PQ ser sempre verdadeira.

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1. Se Vanessa joga vlei, ento Vanessa alta. Logo, (A) (B) (C) (D) (E) se Vanessa alta, ento Vanessa joga vlei. Vanessa alta se, e somente se, joga vlei. se Vanessa no joga vlei, ento Vanessa no alta. se Vanessa no alta, ento no joga vlei. Vanessa alta e joga vlei.

RESOLUO: A proposio se Vanessa joga vlei, ento Vanessa alta, uma proposio condicional verdadeira por deduo. Neste caso temos: se Vanessa joga vlei for uma proposio verdadeira, ento Vanessa alta tambm ser verdadeira.

se Vanessa alta for uma proposio falsa, ento Vanessa joga vlei tambm ser falsa.

Ou seja, se Vanessa no alta, ento Vanessa no joga vlei. Resposta: letra D.QUER PASSAR EM CONCURSOS?

A alma do negcio fazer bastante exerccio. importante a resoluo de provas antigas da banca examinadora (CESPE, ESAF, FCC, etc.) pretendida. Voc encontra estas provas na internet ou venda em livrarias especializadas. 27



2. Se est quente, ento Isabela vai praia. No est quente. Logo, (A) (B) (C) (D) (E) Isabela no vai praia. Isabela vai praia. possvel que Isabela v praia. Isabela s vai praia quando est quente. est quente e Isabela vai praia.

RESOLUO: As proposies Se est quente, ento Isabela vai praia e No est quente so proposies verdadeiras por deduo. Neste caso temos: No est quente tem valor verdadeiro, isso significa que est quente tem valor falso. Como est quente falsa, no podemos deduzir o valor-lgico de Isabela vai praia, pois, poder ser verdadeira ou falsa.

Resposta: letra C.

3. Se o candidato tirar uma nota maior que 8 na prova de raciocnio lgico, ento ser aprovado em um concurso pblico. O candidato foi aprovado em um concurso pblico. Logo, (A) o candidato tirou nota maior que 8 na prova de raciocnio lgico. (B) o candidato no tirou nota maior que 8 na prova de raciocnio lgico. (C) o candidato pode ter tirado nota maior que 8 na prova de raciocnio lgico. (D) o candidato ser aprovado em concurso se, somente se, tirar nota maior que 8 na prova de raciocnio lgico. (E) o conjunto dos candidatos aprovados est contido no dos candidatos que tem nota maior que 8 na prova de raciocnio lgico.

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RESOLUO: As proposies Se est quente, ento Isabela vai praia e No est quente so proposies verdadeiras por deduo, neste caso temos: No est quente tem valor verdadeiro, isso significa que, est quente tem valor falso. Se est quente falso, no podemos deduzir o valor de Isabela vai praia, pois, poder ser verdadeiro ou falso.

Resposta: letra C. 4. Se Mrio no arquiteto, ento Freitas professor. Se Mrio arquiteto, ento o projeto no foi aprovado. Ora, o projeto foi aprovado. Logo: (A) (B) (C) (D) (E) Mrio no arquiteto e Freitas professor. Mrio arquiteto e Freitas professor. Mrio arquiteto e Freitas no professor. Mrio no arquiteto e Freitas no professor. se Mrio no arquiteto, ento Freitas no professor.

RESOLUO: As proposies Se Mrio no arquiteto, ento Freitas professor, Se Mrio arquiteto, ento o projeto no foi aprovado e o projeto foi aprovado so proposies verdadeiras por deduo, neste caso temos: O projeto foi aprovado tem valor verdadeiro, isso significa que o projeto no foi aprovado tem valor falso. Se a proposio o projeto no foi aprovado falsa, ento Mrio arquiteto tambm falsa.

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Mario arquiteto tem valor falso, isso significa que Mario no arquiteto tem valor verdadeiro. Se a proposio Mario no arquiteto verdadeira, ento Freitas professor, tambm verdadeira.

Resposta: letra A.

1.2.5 TEOREMA CONTRA-RECPROCO De acordo com a concluso decorrente da estrutura Condicional, na qual, havamos conclumos que:

eTemos: A ocorrncia de P implica na ocorrncia de Q e a no ocorrncia de Q implica na no ocorrncia de P. Essa relao chamada de Teorema Contra-Recproco e representada por:

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onde o smbolo quer dizer equivalente a.

EXEMPLOS: 1) Dizer: se Isabela linda, ento alta, equivalente a dizer que: se Isabela no alta, ento no linda. 2) Dizer: se Cris esposa de Leonel, ento Cris feliz, equivalente a dizer que: se Cris no feliz, ento Cris no esposa de Leonel. 3) Dizer: se Nilo no engenheiro, ento Nilo professor, equivalente a dizer que: Se Nilo no professor, ento Nilo engenheiro. 4) Dizer: se Glucio estuda, ento ele no trabalho, equivalente a dizer que: se Glucio trabalha, no ele estuda. 5) Dizer: se Elisa no dorme, ento ela no descansa, equivalente a dizer que: se Elisa descansa, ento dorme.

Se as proposies p q e q r, so verdadeiras, as proposies p r e ~r ~p tambm sero verdadeiras. Em smbolos:

e

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EXEMPLO: 1) Se Rodrigo tem olhos azuis, ento Rodrigo bonito. Se Rodrigo bonito, ento Rodrigo neto de Ivnia. Logo, (A) se Rodrigo no tem olhos azuis, ento Rodrigo no neto de Ivnia. (B) se Rodrigo tem olhos azuis, ento Rodrigo neto de Ivnia. (C) se Rodrigo no tem olhos azuis, ento Rodrigo neto de Ivnia. (D) se Rodrigo neto de Ivnia, ento Rodrigo tem olhos azuis. (E) se Rodrigo neto de Ivnia, ento Rodrigo no tem olhos azuis. RESOLUO: Denotaremos por p: Rodrigo tem olhos azuis, por q: Rodrigo bonito e por r: Rodrigo neto de Ivnia. Em smbolos a questo : p q e q r. Ento, podemos concluir que: p r e ~r ~p. Se Rodrigo tem olhos azuis, ento Rodrigo neto de Ivnia, e, se Rodrigo no neto de Ivnia, ento Rodrigo no tem olhos azuis. Resposta: letra B.

1. Se Didi est trabalhando, ento Yuri fica em casa. Se Yuri fica em casa, ento Helen fica em casa. Se Helen fica em casa, ento Conceio encontra Raul. Ora, Conceio no encontra Raul. Logo: (A) (B) (C) (D) (E) Didi est trabalhando e Yuri fica em casa. Didi no est trabalhando e Yuri no fica em casa. Didi est trabalhando e Yuri no fica em casa. Didi no est trabalhando e Yuri fica em casa. Didi est trabalhando ou Helen fica em casa.

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RESOLUO: Se Conceio no encontra Raul, ento Helen no fica em casa. Se Helen no fica em casa, ento Yuri no fica em casa. Se Yuri no fica em casa, ento Didi no est trabalhando. Resposta: letra B

2. (ESAF) Se o jardim no florido, ento o gato mia. Se o jardim florido, ento o passarinho no canta. Ora, o passarinho canta. Logo, (A) o jardim florido e o gato mia. (B) o jardim florido e o gato no mia. (C) o jardim no florido e o gato mia. (D) o jardim no florido e o gato no mia. (E) se o passarinho canta ento o gato no mia. 3. (ANEEL-2004/ESAF) Se no leio, no compreendo. Se jogo, no leio. Se no desisto, compreendo. Se feriado, no desisto. Ento, (A) se jogo, no feriado. (B) se no jogo, feriado. (C) se feriado, no leio. (D) se no feriado, leio. (E) se feriado, jogo. 4. (ESAF) Se Beraldo briga com Beatriz, ento Beatriz briga com Bia. Se Beatriz briga com Bia, ento Bia vai ao bar. Se Bia vai ao bar, ento Beto briga com Bia. Ora, Beto no briga com Bia. Logo: (A) Bia no vai ao bar e Beatriz briga com Bia. (B) Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia. (C) Beatriz no briga com Bia e Beraldo no briga com Beatriz. (D) Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz. (E) Beatriz no briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz.

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5. (ESAF) Se Beto briga com Glria, ento Glria vai ao cinema. Se Glria vai ao cinema, ento Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, ento Raul briga com Carla. Ora, Raul no briga com Carla, logo: (A) Carla no fica em casa e Beto no briga com Glria (B) Carla fica em casa e Glria vai ao cinema. (C) Carla no fica em casa e Glria vai ao cinema. (D) Glria vai ao cinema e Beto briga com Glria. (E) Glria no vai ao cinema e Beto briga com Glria. 6. (ESAF) Se no durmo, bebo. Se estiver furioso, durmo. Se dormir, no estou furioso. Se no estou furioso, no bebo. Logo: (A) No durmo, estou furioso e no bebo. (B) Durmo, estou furioso e no bebo. (C) No durmo, estou furioso e bebo. (D) Durmo, no estou furioso e no bebo. (E) No durmo, no estou furioso e bebo. 7. (ESAF) H trs suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, j que podem ter agido individualmente ou no. Sabe-se, ainda, que: I. II. Se o cozinheiro inocente, ento a governanta culpada; Ou o mordomo culpado ou a governanta culpada, mas no os dois; III. O mordomo no inocente. Logo, A governanta e o mordomo so os culpados. Cozinheiro e o mordomo so os culpados. Somente a governanta culpada. Somente o cozinheiro inocente. Somente o mordomo culpado.

(A) (B) (C) (D) (E)

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8. (ESAF) Jos quer ir ao cinema assistir ao filme Fogo contra fogo, mas no tem certeza se o mesmo est sendo exibido. Seus amigos, Maria, Lus e Jlio tm opinies discordantes sobre se o filme est em cartaz ou no. Se Maria estiver certa, ento Jlio est enganado. Se Jlio estiver enganado, ento Lus est enganado. Se Lus estiver enganado ento o filme no est sendo exibido. Ora. Ou o filme Fogo contra fogo est sendo exibido, ou Jos no ir ao cinema. Verificou-se que Maria est certa. Logo, (A) Filme fogo contra fogo est sendo exibido. (B) Lus e Jlio no esto enganados. (C) Jlio est enganado, mas Lus no. (D) Lus est enganado, mas Jlio no. (E) Jos no ir ao cinema. 9. (AFC) Ou lgica fcil, ou Arthur no gosta de Lgica. Por outro lado, se Geografia no difcil, ento Lgica difcil. Da segue-se que, se Arthur gosta de Lgica, ento: (A) Se Geografia difcil, ento Lgica difcil. (B) Lgica fcil e Geografia difcil. (C) Lgica fcil e Geografia fcil. (D) Lgica difcil e Geografia difcil. (E) Lgica difcil ou Geografia fcil. 10. (ESAF) Ou Celso compra um carro, ou Ana vai frica, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai frica, ento Lus compra um livro. Se Lus compra um livro, ento Rui vai a Roma. Ora Rui no vai a Roma, logo, (A) Celso compra um carro e Ana no vai frica. (B) Celso no compra um carro e Lus no compra o livro. (C) Ana no vai frica e Lus compra um livro. (D) Ana vai frica ou Lus compra um livro. (E) Ana vai frica e Rui no vai a Roma. 11. (ESAF) Se Nestor disse a verdade, Jlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, h um leo feroz nesta sala. Ora, no h um leo feroz nesta sala. Logo: (A) Nestor e Jlia disseram a verdade. (B) Nestor e Lauro mentiram. (C) Raul e Lauro mentiram. (D) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade. (E) Raul e Jlia mentiram.

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12. (ESAF) Se Carlos mais velho do que Pedro, ento Maria e Jlia tm a mesma idade. Se Maria e Jlia tm a mesma idade, ento Joo mais moo do que Pedro. Se Joo mais moo do que Pedro, ento Carlos mais velho do que Maria. Ora, Carlos no mais velho do que Maria. Ento: (A) Carlos no mais velho do que Jlia, e Joo mais moo do que Pedro; (B) Carlos mais velho do que Pedro, e Maria e Jlia tm a mesma idade; (C) Carlos e Joo so mais moos do que Pedro; (D) Carlos mais velho do que Pedro e Joo mais moo do que Pedro; (E) Carlos no mais velho do que Pedro, e Maria e Jlia no tm a mesma idade. 13. (ESAF) Quando no vejo Carlos, no passeio ou fico deprimida. Quando chove, no passeio e fico deprimida. Quando no faz calor e passeio, no vejo Carlos. Quando no chove e estou deprimida, no passeio. Hoje eu passeio. Portanto, hoje: (A) vejo Carlos, e no estou deprimida, e chove, e faz calor. (B) no vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor. (C) vejo Carlos, e no estou deprimida, e no chove, e faz calor. (D) no vejo Carlos, e estou deprimida, e no chove, e no faz calor. (E) vejo Carlos, e estou deprimida, e no chove, e faz calor. 14. (CESPE) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposies e que os smbolos , , v e sejam operadores lgicos que constroem novas proposies e significam no, e, ou e ento, respectivamente. Na lgica proposicional, cada proposio assume um nico valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informaes apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. (1) Se as proposies P e Q so ambas verdadeiras, ento a proposio ( P) V ( Q) tambm verdadeira. (2) Se a proposio T verdadeira e a proposio R falsa, ento a proposio R ( T) falsa. (3) Se as proposies P e Q so verdadeiras e a proposio R falsa, ento a proposio (P R) ( Q) verdadeira.

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15. (CESPE) Considere que as letras P, Q e R representam proposies e os smbolos , e so operadores lgicos que constroem novas proposies e significam no, e, e ento, respectivamente. Na lgica proposicional que trata da expresso do raciocnio por meio de proposies que so avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores esto definidos, para cada valorao atribuda s letras proposicionais, na tabela abaixo. P V V F F Q V F V F P F V PQ V F F F PQ V F V V

Suponha que P represente a proposio Hoje choveu, Q represente a proposio Jos foi praia e R represente a proposio Maria foi ao comrcio. Com base nessas informaes e no texto, julgue os itens seguintes. (1) A sentena Hoje no choveu ento Maria no foi ao comrcio e Jos no foi praia pode ser corretamente representada por P ( R Q). (2) A sentena Hoje choveu e Jos no foi praia pode ser corretamente representada por P Q. (3) Se a proposio Hoje no choveu for valorada como F e a proposio Jos foi praia for valorada como V, ento a sentena representada por P Q falsa. (4) O nmero de valoraes possveis para (Q R) P inferior a 9.

GABARITO1) C 6) B 11) E 2) A 7) E 12) C 3) C 8) B 13) EEC 4) A 9) A 14) CCEC 5) D 10) B

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1.2.6 BICONDICIONAL Denomina-se Bicondicional a proposio composta por duas proposies que estejam ligadas pelo conectivo ...se, e somente se, ... Exemplo: A: x par. B: y mpar. A proposio bicondicional A se, e somente se, B pode ser escrita como: A B: x par se, e somente se, y mpar. Quando declaramos que esta proposio bicondicional devemos de acordo com os axiomas da Lgica aceitar como verdadeiro que: Se verdade que x par, obrigatoriamente, verdade que y mpar. Se verdade que y mpar, obrigatoriamente, verdade que x par. Se falso que x par, obrigatoriamente, falso que y mpar, e, se falso que y mpar, obrigatoriamente, falso que x par. Qualquer outra possibilidade representa um conjunto vazio. A tabela e o diagrama abaixo representam esta situao. Tabela Verdade A V V F F B V F V F AB V F F V

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Concluso: Na proposio bicondicional se a primeira das duas proposies simples que a compem for verdadeira a segunda ser verdadeira e se a primeira for falsa a segunda ser falsa. Se a segunda for falsa a primeira ser falsa e se a segunda for verdadeira a primeira ser verdadeira. Veja:

V F

V F

1) (ESAF) Sabe-se que Joo estar feliz condio necessria para Maria sorrir e condio suficiente para Daniela abraar Paulo. Sabe-se, tambm, que Daniela abraar Paulo condio necessria e suficiente para Sandra abraar Srgio. Assim, quando Sandra no abraa Srgio: a) Joo est feliz, e Maria no sorri, e Daniela abraa Paulo. b) Joo no est feliz, e Maria sorri, e Daniela no abraa Paulo. c) Joo est feliz, e Maria sorri, e Daniela no abraa Paulo. d) Joo no est feliz, e Maria no sorri e Daniela no abraa Paulo. e) Joo no est feliz, e Maria sorri, e Daniela abraa Paulo. 2) (ESAF) O Rei ir caa condio necessria para o Duque sair do castelo, e condio suficiente para a Duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o Conde encontrar a Princesa condio necessria e suficiente

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para o Baro sorrir e condio necessria para a Duquesa ir ao jardim. O baro no sorriu. Logo: a) A Duquesa foi ao jardim ou o Conde encontrou a Princesa. b) Se o Duque no saiu do castelo, ento o Conde encontrou a Princesa. c) O Rei no foi caa e o Conde no encontrou a Princesa. d) O Rei foi caa e a Duquesa no foi ao jardim. e) O Duque saiu do castelo e o rei no foi caa. 3) (ESAF) Sabe-se que a ocorrncia de B condio necessria para a ocorrncia de C e condio suficiente para a ocorrncia de D. Sabe-se, tambm, que a ocorrncia de D condio necessria e suficiente para a ocorrncia de A. Assim, quando C ocorre: a) b) c) d) e) D ocorre e B no ocorre. D no ocorre ou A no ocorre. B e A ocorrem. Nem B nem D ocorrem. B no ocorre ou A no ocorre.

1.2.7 NMERO DE LINHAS DE UMA TABELA Se uma proposio composta formada por n variveis n proposicionais, a sua tabela verdade possuir 2 linhas.

Exemplo: Quantas linhas possui a tabela verdade da proposio composta (P Q) R? Soluo: O nmero de proposies simples, variveis proposicionais, igual a 3, 3 ou seja, n = 3, ento N de linhas = 2 = 8 linhas. Veja:

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P V V V F V F F F

Q V V F V F V F F

R V F V V F F V F

(P Q) V V F F F F F F

(P Q) R V V V V F V V F

1.2.8 TAUTOLOGIA Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies uma tautologia se ela for sempre verdadeira, independente da verdade de seus termos. Exemplo: A V V F F ~A F F V V B V F V F AB V F V V ~AB V F V V (A B) (~A B) V V V V

A proposio (A B) (~A B) uma tautologia. EXERCCIOS 1) Chama-se tautologia a toda proposio que sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compem. Verifique se a proposio composta (p ~ p) (p v q) uma tautologia.

p V V F F

~p F F V V

q V F V F

p ~ p

p v q (p ~ p) (p v q)

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2) a) b) c) d)

(ESAF) Um exemplo de Tautologia : Se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme gordo. Se Joo alto, ento Joo alto e Guilherme gordo. Se Joo alto ou Guilherme gordo, ento Guilherme gordo. Se Joo alto ou Guilherme gordo, ento Joo alto e Guilherme gordo. e) Se Joo alto ou no alto, ento Guilherme gordo.

1.2.9 CONTRADIO Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies uma contradio se ela for sempre falsa, independente da verdade de seus termos. Exemplo: A V F ~A F V A ~A F F

A proposio A ~A uma contradio EXERCCIOS 1) Uma proposio uma contradio quando sempre falsa. Verifique se a proposio composta p~p uma contradio. p ~p p~p

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(Cespe) 2) Considere a proposio: Se meu cliente fosse culpado, ento a arma do crime estaria no carro. Simbolizando por P trecho meu cliente fosse culpado e simbolizando por Q o trecho a arma estaria no carro, obtmse uma proposio implicativa, ou simplesmente uma implicao, que lida: Se P ento Q, e simbolizada por P Q. Uma tautologia uma proposio que sempre V (verdadeira). Uma proposio que tenha a forma P Q V sempre que P for F (falsa) e sempre que P e Q forem V. Com base nessas informaes e na simbolizao sugerida, julgue os itens subseqentes. (1) A proposio Se meu cliente fosse culpado, ento a arma do crime estaria no carro. Portanto, se a arma do crime no estava no carro, ento meu cliente no culpado. uma tautologia. (2) A proposio Se meu cliente fosse culpado, ento a arma do crime estaria no carro. Portanto, ou meu cliente no culpado ou a arma do crime estaria no carro. no uma tautologia.

1.2.10 PROPOSIES LOGICAMENTE EQUIVALENTES Duas proposies so ditas equivalentes quando so formadas pelas mesmas proposies simples e os resultados das tabelas-verdade so idnticos. LEIS ASSOCIATIVAS 1) (A B) C A (B C) 2) (A B) C A (B C) LEIS DISTRIBUTIVAS 3) A (B C) (A B) (A C) 4) A (B C) (A B) (A C)

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LEI DA DUPLA NEGAO 5) ~(~A) A EXEMPLO: PROPOSIO Eu no disse nada PROPOSIO EQUIVALENTE Eu disse algo

EQUIVALNCIA DA CONDICIONAL 6) A B ~A B 7) A B ~A B ou A B ~ B A EXEMPLOS: PROPOSIO Se ela tomar remdio, ela vai ficar boa. Polianna anda ou corre. PROPOSIO EQUIVALENTE No toma remdio ou fica boa. Se Polianna no anda, ento Polianna corre.

NEGAO DE PROPOSIES COMPOSTAS 8) ~(A B) (~A) (~B) 9) ~(A B) (~A) (~B) 10) ~(A B) A (~B) 11) ~(A B) [A (~B)] [B (~A)] EXEMPLOS: PROPOSIO COMPOSTA Karla come e dorme. O Ru culpado ou a testemunha mente. Se molhar, ento vai desmanchar. Eu te darei um apartamento se, e somente se eu ficar rico.

NEGAO Karla no come ou no dorme. O Ru no culpado e a testemunha no mente. Vai molhar e no desmanchar. Eu fico rico e no te dou o apartamento ou eu no fico rico e te dou o apartamento.

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O mesmo da tabela acima em smbolos: PROPOSIO P(x) Q(x) P(x) Q(x) P(x) Q(x) P(x) Q(x) NEGAO ~P(x) ~Q(x) ~P(x) ~Q(x) P(x) ~Q(x) ( P(x) ~Q(x)) (~ P(x) Q(x)

EXERCCIOS (CESPE) 1) Sejam P e Q variveis proposicionais que podem ter valoraes, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variveis, podem ser obtidas novas proposies, tais como: a proposio condicional, denotada por PQ, que ser F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjuno de P e Q, denotada por PVQ, que ser F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situaes; a conjuno de P e Q, denotada por PQ, que ser V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, ser F; e a negao de P, denotada por P, que ser F, se P for V e ser V, se P for F. Uma tabela de valoraes para uma dada proposio um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposio. A partir das informaes do texto acima, julgue os itens subseqentes. (1) As tabelas de valoraes das proposies PVQ e Q P so iguais. (2) As proposies (PVQ)S e (PS)V(QS) possuem tabelas de valoraes iguais. (3) O nmero de tabelas de valoraes distintas que podem ser obtidas para proposies com exatamente duas variveis proposicionais 4 igual a 2 . (CESPE) 2) Denomina-se contradio uma proposio que sempre falsa. Uma forma de argumentao lgica considerada vlida embasada na regra da contradio, ou seja, no caso de uma proposio R verdadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha uma contradio, ento se conclui que R verdadeira (ou R verdadeira). Considerando essas informaes e o texto de referncia, e sabendo que duas proposies so equivalentes quando possuem as mesmas valoraes, julgue os itens que se seguem.

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(1) De acordo com a regra da contradio, P Q verdadeira quando ao supor P~Q verdadeira, obtm-se uma contradio. (2) Considere que, em um pequeno grupo de pessoas G envolvidas em um acidente, haja apenas dois tipos de indivduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Se, do conjunto G, o indivduo P afirmar que o indivduo Q fala a verdade, e Q afirmar que P e ele so tipos opostos de indivduos, ento, nesse caso, correto concluir que P e Q mentem. 3) (ESAF) Voc est a frente de duas portas. Uma delas conduz a um tesouro; a outra, a uma sala vazia. Cosme guarda uma das portas, enquanto Damio guarda a outra. Cada um dos guardas sempre diz a verdade ou sempre mente, ou seja, ambos os guardas podem sempre mentir, ambos podem sempre dizer a verdade, ou um sempre dizer a verdade e o outro sempre mentir. Voc no sabe se ambos so mentirosos, se ambos so verazes. Ou se um veraz e o outro mentiroso. Mas, para descobrir qual das portas conduz ao tesouro, voc pode fazer trs (e apenas trs) perguntas aos guardas, escolhendo-as da seguinte relao: P1: O outro guarda da mesma natureza que voc (isto , se voc mentiroso ele tambm o , e se voc veraz ele tambm o )? P2: Voc o guarda da porta que leva ao tesouro? P3: O outro guarda mentiroso? P4: Voc veraz?

Ento uma possvel seqncia de trs perguntas que logicamente suficiente para assegurar ,seja qual for a natureza dos guardas, que voc identifique corretamente a porta que leva ao tesouro : a) b) c) d) e) P2 a Cosme, P2 a Damio, P3 a Damio; P3 a Damio, P2 a Cosme, P3 a Cosme; P3 a Cosme, P2 a Damio, P4 a Cosme; P1 a Cosme, P1 a Damio, P2 a Cosme; P4 a Cosme, P1 a Cosme, P2 a Damio.

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(CESPE) 4) As sentenas S1, S2 e S3 a seguir so notcias acerca da bacia de Campos RJ, extradas e adaptadas da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS. S1: Foi descoberto leo no campo de Garoupa, em 1974. S2: Foi batido o recorde mundial em perfurao horizontal, em profundidade de 905 m, no campo de Marlim, em 1995. S3: Foi iniciada a produo em Moria e foi iniciado o Programa de Desenvolvimento Tecnolgico em guas Profundas (PROCAP), em 1986. Quanto s informaes das sentenas acima, julgue os itens subseqentes. (1) A negao da unio de S1 e S2 pode ser expressa por: Se no foi descoberto leo no campo de Garoupa, em 1974, ento no foi batido o recorde mundial em perfurao horizontal, em profundidade de 905 m, no campo de Marlim, em 1995. (2) A negao de S3 pode ser expressa por: Ou no foi iniciada a produo em Moria ou no foi iniciado o Programa de Desenvolvimento Tecnolgico em guas Profundas (PROCAP), em 1986. 5) (ESAF) A negao da afirmao condicional Se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva : a) b) c) d) e) Se no estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva. No esta chovendo e eu levo o guarda-chuva. No est chovendo e eu no levo o guarda-chuva. Se estiver chovendo, eu no levo o guarda-chuva. Est chovendo e eu no levo o guarda-chuva.

6) (AFC) Dizer que no verdade que Pedro pobre e Alberto alto, logicamente equivalente a dizer que verdade que: a) b) c) d) e) Pedro no pobre ou Alberto no alto. Pedro no pobre e Alberto no alto. Pedro pobre ou Alberto no alto. Se Pedro no pobre, ento Alberto alto. Se Pedro no pobre, ento Alberto no alto.

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7) (ESAF) Trs homens so levados presena de um jovem lgico. Sabe-se que um deles um homem honesto marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabe-se, tambm, que um outro um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que tem o estranho costume de sempre mentir, de jamais dizer a verdade. Sabe-se ainda, que o restante um vulgar ladro que ora mente, ora diz a verdade. O problema que no se sabe quem, entre eles, quem. frente do jovem lgico, esses trs homens fazem, ordenadamente, as seguintes declaraes: O primeiro diz: Eu sou o ladro. O segundo diz: verdade; ele, o que acabou de falar, o ladro. O terceiro diz: Eu sou o ladro.

Com base nestas informaes, o jovem lgico pode, ento, concluir corretamente que: a) O ladro o primeiro e o marceneiro o terceiro; b) O ladro o primeiro e o marceneiro o segundo; c) O pedreiro o primeiro e o ladro o segundo; d) O pedreiro o primeiro e o ladro o terceiro; e) O marceneiro o primeiro e o ladro o segundo. 8) (ESAF) Trs amigas, Tnia, Janete e Anglica, esto sentadas lado a lado em um teatro. Tnia sempre fala a verdade, Janete s vezes fala a verdade e Anglica nunca fala a verdade. A que est sentada esquerda diz: Tnia quem est sentada no meio. A que est sentada no meio diz: Eu sou Janete. Finalmente a que est sentada direita diz: Anglica quem est sentada no meio. A que est sentada esquerda, a que est sentada no meio e a que est sentada direita , respectivamente: a) Janete, Tnia e Anglica; b) Janete, Anglica e Tnia; c) Anglica, Janete e Tnia; d) Anglica, Tnia e Janete; e) Tnia, Anglica e Janete. 9) (ESAF) Trs irms Ana, Maria e Cludia foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, a outra branco, e a terceira preto. Chegando festa, o anfitrio perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: Ana a que est de branco. A de branco falou: Eu sou Maria. E a de preto disse: Cludia quem est de branco. Como o anfitrio sabia que Ana sempre diz a verdade, que Maria s vezes diz a verdade, e que Cludia nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente que era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cludia eram. Respectivamente: a) preto, branco, azul;

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b) c) d) e)

preto, azul, branco; azul, preto, branco; azul, branco, preto; branco, azul, preto;

10) Assinale a alternativa que apresenta uma contradio: a) Todo espio no vegetariano e algum vegetariano espio b) Todo espio vegetariano e algum vegetariano no espio c) Nenhum espio vegetariano e algum espio no vegetariano d) Algum espio vegetariano e algum espio no vegetariano e) Todo vegetariano espio e algum espio no vegetariano. 11) (ESAF) Trs suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados presena de um velho e sbio professor de Lgica. Um dos suspeitos estava de camisa azul, outro de camisa branca e o outro de camisa preta. Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos culpado e que o culpado s vezes fala a verdade e s vezes mente. Sabe-se, tambm, que dos outros dois (isto , dos suspeitos que so inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. O velho e sbio professor perguntou, a cada um dos suspeitos, qual entre eles era o culpado. Disse o de camisa azul: Eu sou o culpado. Disse o de camisa branca, apontando para o de camisa azul: Sim, ele o culpado. Disse, por fim, o de camisa preta: Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu. O velho e sbio professor de Lgica, ento, sorriu e concluiu corretamente que: a) b) c) d) O culpado o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente. O culpado o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente. O culpado o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente. O culpado o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade. e) O culpado o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade. 12) (MPU/2004) Uma empresa produz andrides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligncia Artificial, est examinando um grupo de cinco andrides rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e psilon , fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco so do tipo V. Ele pergunta a Alfa: Voc do tipo M? Alfa responde, mas Dr. Turing, distrado, no ouve a resposta. Os andrides restantes fazem, ento, as seguintes declaraes: Beta: Alfa respondeu que sim. Gama: Beta est mentindo. Delta: Gama est mentindo.

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psilon: Alfa do tipo M. Mesmo sem ter prestado ateno resposta de Alfa, Dr. Turing pde, ento, concluir corretamente que o nmero de andrides do tipo V, naquele grupo, era igual a a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 13) (ESAF) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: Armando: Sou inocente Celso: Edu o culpado Edu: Tarso o culpado Juarez: Armando disse a verdade Tarso: Celso mentiu Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado : a) b) c) d) e) Armando; Celso; Edu; Juarez; Tarso.

14) (AFC) Cinco aldees foram trazidos presena de um velho rei, acusados de haver roubado laranjas do pomar real. Abelim, o primeiro a falar, falou to baixo que o rei, que era um pouco surdo no ouviu o que ele disse. Os outros quatro acusados disseram: Bebelim: Cebelim inocente. Cebelim: Dedelim inocente. Dedelim: Ebelim culpado. Ebelim: Abelim culpado.

O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declaraes dos cincos acusados, disse ento ao rei: Majestade, apenas um dos cinco acusados culpado, e ele disse a verdade; os outros quatro so inocentes e todos os quatro mentiram. O velho rei, que embora um pouco surdo era muito sbio, logo concluiu corretamente que o culpado era:

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a) b) c) d) e)

Aberlim Bebelim Cebelim Dedelim Ebelim

CAPTULO 2 DIAGRAMAS LGICOS E NEGAES No estudo das operaes com conjuntos e das solues de problemas envolvendo conjuntos, os diagramas ajudam a visualizar e contribuem para a compreenso de vrios assuntos em Lgica. Um tipo especial de proposio so as proposies categricas. Podemos identific-las facilmente porque so precedidas pelos quantificadores lgicos: Todo ( ), Nenhum (~ ), Algum ( ). Exemplos: Todo pssaro voa. Alguns computadores travam. Nenhuma mulher feia.

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INTERSEO (A B) O conjunto interseo formado pelos elementos que pertencem aos conjuntos A e B simultaneamente. (A B) = {x / x A e x B} Algum A B

UB-AAeB

B ~A e ~B

AA-B

CONJUNTOS DISJUNTOS A e B so disjuntos se A B = . Nenhum A B

U AB

~A e ~B

52



Observe que os dois diagramas acima so um a negao do outro e veja como se nega as proposies categricas. EXEMPLOS PROPOSIO Algum filho seu feio. Nenhum Fusca Bonito. NEGAO Nenhum filho seu feio. Algum Fusca bonito.

UNIO (A B). O conjunto unio formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou B. (A B) = {x / x A ou x B}

UB-A

AA-B

AeB

B ~A e ~B

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COMPLEMENTAR EM RELAO AO UNIVERSO ( AB ) (~A ~B) = {x / x A e x Nem A nem B

B}

UB-A AeB

AA-B

B

~A e ~B

Observe que os dois diagramas acima so um a negao do outro. EXEMPLOS PROPOSIO Est frio ou chovendo Vanessa no feia e no magra. SUBCONJUNTOS (A B) (A B) = {x / Se x A, ento x B} NEGAO Nem est frio e nem est chovendo. Vanessa feia ou magra.

U

Todo A B

AAeB B-A

B

~A e ~B

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COMPLEMENTAR

C B = A - B = {x/x A e x B} AAlgum A no B

U AAeB A-B

B

B-A

~A e ~BObserve que os dois diagramas acima so um a negao do outro e veja como se nega as proposies categricas. EXEMPLOS PROPOSIO Algum filho de Ivnia no bonito. Todo gato manhoso. NEGAO Todos os seus filhos de Ivnia so bonitos. Algum gato no manhoso. B)

A DIFERENA SIMTRICA (A

AB = ( A B ) ( B A) AB = {x/x A e x B ou x B e no A}

U

Ou A ou B

B-A

AA-B

AeB

B

~A e ~B 55



IGUALDADE

(AB)

A B = (AB) = {x/se x A, ento x B e se x B, ento A}.Todo A B e todo B A

UAB

~A e ~B

outro.

Observe que os dois diagramas acima so um a negao do

EXEMPLOS: PROPOSIO Ou compro um carro ou compro um apartamento. Darei para voc um carro se, e somente se, eu ganhar na loteria. NEGAO Compro um carro se, e somente se, comprar um apartamento. Ganho na loteria e no te dou um carro ou te dou um carro e no ganho na loteria.

EXERCCIOS 1) (ESAF) A negao da sentena Nenhuma pessoa lenta em aprender freqenta a escola a) b) c) d) e) Todas as pessoas lentas em aprender freqentam esta escola. Todas as pessoas lentas em aprender no freqentam esta escola. Algumas pessoas lentas em aprender freqentam esta escola. Algumas pessoas lentas em aprender no freqentam esta escola. Nenhuma pessoa lenta em aprender freqenta esta escola.

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2) (ESAF) A negao da proposio Todos os homens so bons motoristas : a) b) c) d) e) Todas as mulheres so boas motoristas. Algumas mulheres so boas motoristas. Nenhum homem bom motorista. Todos os homens so maus motoristas. Ao menos um homem mau motorista.

3) (ESAF) Se verdade que Alguns escritores so poetas e que Nenhum msico poeta, ento, tambm necessariamente verdade que: a) b) c) d) e) Nenhum msico e escritor. Algum escritor msico. Algum msico escritor. Algum escritor no msico. Nenhum escritor msico.

4) (ESAF) Sabe-se que existe pelo menos um A que B. Sabe-se, tambm, que todo B C. Segue-se, portanto, necessariamente que: a) b) c) d) e) Todo C B. Todo C A. Algum A C. Nada que no seja C A. Algum A no C.

5) (ESAF) Em uma pequena comunidade sabe-se que: Nenhum filsofo rico e que alguns professores so ricos. Assim pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade; a) b) c) d) e) Alguns filsofos so professores. Alguns professores so filsofos. Nenhum filsofo professor. Alguns professores no so filsofos. Nenhum professor filsofo.

6) (ESAF) Em uma comunidade todo trabalhador responsvel. Todo artista, se no for filsofo, ou trabalhador ou poeta. Ora, no h filsofo e no h poeta que no seja responsvel. Portanto, tem-se que, necessariamente:

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a) b) c) d) e)

Todo responsvel artista. Todo responsvel filsofo ou poeta. Todo artista responsvel. Algum filsofo poeta. Algum trabalhador filsofo.

7) (ESAF) Os dois crculos abaixo representam, respectivamente, o conjunto S dos amigos de Sara e o conjunto P dos amigos de Paula.

Sabendo que a parte sombreada do diagrama no possui elemento algum, ento: a) b) c) d) e) Todo amigo de Paula tambm amigo de Sara. Todo amigo de Sara tambm amigo de Paula. Algum amigo de Paula no amigo de Sara. Nenhuma amiga de Sara amigo de Paula. Nenhum amigo de Paula amigo de Sara.

8) (ESAF) Dizer que Andr artista ou Bernardo no engenheiro logicamente equivalente a dizer que: a) Andr artista se e somente se Bernardo no engenheiro; b) Se Andr artista, ento Bernardo no engenheiro; c) Se Andr no artista, ento Bernardo engenheiro; d) Se Bernardo engenheiro, ento Andr artista; e) Andr no artista e Bernardo engenheiro.

9) (ESAF) Dizer que Pedro no pedreiro ou Paulo paulista do ponto de vista lgico, o mesmo que dizer que: a) b) c) d) Se Pedro pedreiro, ento Paulo paulista; Se Paulo paulista, ento Pedro pedreiro; Se Pedro no pedreiro, ento Paulo paulista; Se Pedro pedreiro, ento Paulo no paulista;

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e) Se Pedro no pedreiro, ento Paulo no paulista. 10) (MPU/2004) Se Pedro pintor ou Carlos cantor, Mrio no mdico e Slvio no socilogo. Dessa premissa pode-se corretamente concluir que, a) Se Pedro pintor e Carlos no cantor, Mrio mdico ou Slvio socilogo. b) Se Pedro pintor e Carlos no cantor, Mrio mdico ou Slvio no socilogo. c) Se Pedro pintor e Carlos cantor, Mrio mdico e Slvio no socilogo. d) Se Pedro pintor e Carlos cantor, Mrio mdico ou Slvio socilogo. e) Se Pedro no pintor ou Carlos cantor, Mrio no mdico e Slvio socilogo. 11) (ESAF) Na formatura de Hlcio, todos os que foram solenidade de colao de grau estiverem, antes, no casamento de Hlio. Como nem todos os amigos de Hlcio estiveram no casamento de Hlio, conclui-se que, dos amigos de Hlcio: a) Todos foram solenidade de colao de grau de Hlcio e alguns no foram ao casamento de Hlio. b) Pelo menos um no foi solenidade de colao de grau de Hlcio c) Alguns foram solenidade de colao de grau de Hlcio, mas no foram ao casamento de Hlio. d) Alguns foram solenidade de colao de grau de Hlcio e nenhum foi ao casamento de Hlio. e) Todos foram solenidade de colao de grau de Hlcio e nenhum foi ao casamento de Hlio. 12) (ESAF) Todos os alunos de matemtica so, tambm, alunos de ingls, mas nenhum aluno de ingls aluno de histria. Todos os alunos de portugus so tambm alunos de informtica, e alguns alunos de informtica so tambm alunos de histria. Como nenhum aluno de informtica aluno de ingls, e como nenhum aluno de portugus aluno de histria, ento: a) b) c) d) e) Pelo menos um aluno de portugus aluno de ingls. Pelo menos um aluno de matemtica aluno de histria. Nenhum aluno de portugus aluno de matemtica. Todos os alunos de informtica so alunos de matemtica. Todos os alunos de informtica so alunos de portugus.

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13) (ESAF) Todas as amigas de Aninha que foram sua festa de aniversrio estiveram, antes, na festa de aniversrio de Betinha. Como nem todas amigas de Aninha estiveram na festa de Betinha, conclui-se que, das amigas de Aninha: a) Todas foram festa de Aninha e algumas no foram festa de Betinha. b) Pelo menos uma no foi festa de Aninha. c) Todas foram festa de Aninha, mas no foram festa de Betinha. d) Algumas foram festa de Aninha, mas no foram festa de Betinha. e) Algumas foram festa de Aninha e nenhuma foi festa de Betinha. 14) (ESAF) Uma escola de arte oferece aulas de canto, dana, teatro, violo e piano. Todos os professores de canto so, tambm, professores de dana, mas nenhum professor de dana professor de teatro. Todos os professores de violo so, tambm, professores de piano, e alguns professores de piano so, tambm, professores de teatro. Sabe-se que nenhum professor de piano professor de dana, e como as aulas de piano, violo e teatro no tm nenhum professor em comum, ento: a) b) c) d) e) Nenhum professor de violo professor de canto. Pelo menos um professor de violo professor de teatro. Pelo menos um professor de canto professor de teatro. Todos os professores de piano so professores de canto. Todos os professores de piano so professores de violo.

15) (ESAF) Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras so, tambm, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de cabelos crespos tm tambm olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos crespos alta e magra, e como neste grupo de amigas no existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, ento: a) b) c) d) e) Pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis. Pelo menos uma menina loira tem olhos azuis. Todas as meninas que possuem cabelos crespos so loiras Todas as meninas de cabelos crespos so alegres. Nenhuma menina alegre loira.

16) (CESPE) Pedro, candidato ao cargo de Escrivo de Polcia Federal, necessitando adquirir livros para se preparar para o concurso, utilizou um site de busca da Internet e pesquisou em uma livraria virtual, especializada nas reas de direito, administrao e economia, que vende livros nacionais e importados. Nessa livraria, alguns livros de direito e

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todos os de administrao fazem parte dos produtos nacionais. Alm disso, no h livro nacional disponvel de capa dura. Com base nas informaes acima, possvel que Pedro, em sua pesquisa, tenha (1) (2) (3) (4) encontrado um livro de administrao de capa dura. adquirido dessa livraria um livro de economia de capa flexvel. selecionado para compra um livro nacional de direito de capa dura. comprado um livro importado de direito de capa flexvel.

17) Todos os que conhecem Joo e Maria admiram Maria. Alguns que conhecem Maria no a admiram. Logo: a) b) c) d) e) Todos os que conhecem Maria a admiram Ningum admira Maria Alguns que conhecem Maria no conhecem Joo Quem conhece Joo admira Maria S quem conhece Joo e Marica conhece Maria GABARITO 1) C 2)E 3)D 4)C 5)D 6)C 7)A 8)D 9)A 10)B 11)B 12)C 13)B 14)A 15)E 16)E, C, E, C. 17)C

LGICA DE ARGUMENTAO A lgica estuda os resultados do processo psicolgico de raciocnio quando se faz uma listagem de razes para que se acredite em certa concluso. ARGUMENTO OU FORMA DE DEDUO Denomina-se Argumento ou Forma de Deduo a relao que associa um conjunto de proposies, chamadas premissas (ou hipteses), a uma outra proposio chamada de concluso (ou tese) em uma estrutura condicional.

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.

A lgica se ocupa na anlise dos argumentos. Exemplos de argumentos: P1: De acordo com a acusao, o ru roubou um carro ou roubou uma motocicleta. P2: O ru roubou um carro. C: Portanto, o ru no roubou uma motocicleta. P1: Se juzes fossem deuses, ento juzes no cometeriam erros. P2: Juzes cometem erros. C: Portanto, juzes no so deuses. P1: Todo cachorro verde. P2: Tudo que verde vegetal. C: Logo, todo cachorro vegetal.

IMPORTANTE A Lgica no se preocupa com o valor lgico das premissas e da concluso, se preocupa apenas com a forma que as premissas se relacionam com a concluso, ou seja, se o argumento vlido ou invlido. VALIDADE DE UM ARGUMENTO Um argumento Vlido quando a concluso uma conseqncia obrigatria do seu conjunto de premissas. Qualquer circunstncia que torne as premissas de um argumento verdadeiras faz com que sua concluso seja automaticamente verdadeira. A validade de um argumento depende to somente da relao existente entre as premissas e a concluso. Logo, afirmar que um dado argumento vlido significa afirmar que as premissas esto de tal modo relacionadas com a concluso que no possvel ter a concluso falsa se as premissas forem verdadeiras. Exemplo:

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P1: Se Scrates era bonito, ento Scrates se casou. P2: Scrates no se casou. C: Logo, Scrates no era bonito. Observe que existem duas proposies: A: Scrates era bonito. B: Scrates se casou. A forma que este argumento construdo a seguinte: P1: A B P2: ~B C: ~A

Veja o diagrama:

Ento, o argumento acima vlido. Um argumento invlido ou Falacioso, quando a verdade das premissas no suficiente para garantir a verdade da concluso. Exemplo: P1: Se Scrates era bonito, ento Scrates se casou. P2: Scrates se casou. C: Logo, Scrates era bonito. Observe que existem duas proposies: A: Scrates era bonito. B: Scrates se casou. A forma que este argumento construdo a seguinte: P1: A B

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P2: B C: A Veja o diagrama:

Ento, o argumento invlido. EXEMPLOS: 1) P1: Nenhum professor de universidade rico. P2: Alguns poetas so ricos C: Portanto, alguns poetas so professores de universidade. Resposta: Invlido. 2) P1: Alguns reformadores so fanticos. P2: Todos os reformadores so idealistas. C: Portanto, alguns idealistas so fanticos. Resposta: Vlido 3) P1: Todos os advogados so ricos. P2: Poetas so temperamentais. P3: Carlos um advogado. P4: Nenhuma pessoa temperamental rica. C: Portanto, Carlos no um poeta. Resposta: Vlido.

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ANLISE DE ARGUMENTOS QUANTO AO CONTEDO E A FORMA Quando julgamos uma proposio em ou verdadeira ou falsa estamos a avaliando dentro de um certo contexto, em um universo que vivemos, o nosso mundo real, nosso contedo e a nossa vivncia. A Lgica proposicional no se ocupa deste tipo de anlise e sim a forma, a estrutura, com que as proposies se relacionam formando argumentos vlidos ou invlidos. Por conseqncia, podemos dizer que existem argumentos vlidos ou invlidos independentemente do valor-lgico de suas premissas e ou concluso. I. O argumento abaixo vlido (do ponto vista lgico), suas premissas so verdadeiras (do ponto de vista que corresponde realidade).

Scrates homem, e todo homem mortal, portanto Scrates mortal. Veja: P1: Scrates homem. P2: Todo homem mortal. C: Scrates mortal II. O argumento abaixo invlido (do ponto vista lgico), temos uma premissa verdadeira, uma premissa falsa e a concluso tambm falsa (do ponto de vista que corresponde realidade). Toda pedra um homem, pois alguma pedra um ser, e todo ser homem. Veja: P1: Todo ser homem. P2: Alguma pedra um ser. C: Toda pedra um homem. III. O argumento abaixo vlido (do ponto vista lgico), temos duas premissas falsas e uma concluso verdadeira (do ponto de vista que corresponde realidade). Todo cachorro mia, e nenhum gato mia, portanto cachorros no so gatos. Veja:

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P1: Todo cachorro mia. P2: Nenhum gato mia. C: Cachorros no so gatos. IV. O argumento abaixo vlido (do ponto vista lgico), temos premissas e concluso de valor-lgico duvidoso e discutvel (do ponto de vista que corresponde realidade). Todo pensamento um raciocnio, portanto, todo pensamento um movimento, visto que todos os raciocnios so movimentos. Veja: P1: Todo pensamento um raciocnio. P2:Todos os raciocnios so movimentos. C: Todo pensamento um movimento. V. O argumento abaixo invlido (do ponto vista lgico), temos uma premissa verdadeira, uma premissa falsa e a concluso verdadeira (do ponto de vista que corresponde realidade). Toda cadeira um objeto, e todo objeto tem cinco ps, portanto algumas cadeiras tm apenas quatro ps. Veja: P1: Toda cadeira um objeto. P2: Todo objeto tem cinco ps. C: Algumas cadeiras tm apenas quatro ps. ARGUMENTO DEDUTIVO e INDUTIVO Um argumento dito DEDUTIVO quando sua concluso trs apenas informaes tiradas das premissas, ainda que implcitas. um argumento de concluso no-ampliativa. Para um argumento dedutivo vlido, caso se tenha premissas verdadeiras, a concluso ser necessariamente verdadeira. Nesses argumentos h uma particularizao dentro de situaes gerais. Um argumento dito INDUTIVO quando sua concluso trs mais informaes que as premissas fornecem. um argumento de concluso ampliativa. Para um argumento dedutivo vlido, caso se tenha premissas verdadeiras a concluso ser possivelmente verdadeira. Nesses argumentos h uma generalizao de situaes particulares.

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EXEMPLOS: ARGUMENTOS INDUTIVOS Esse remdio deu certo em macacos. Esse remdio deu certo em ratos. Logo, esse remdio dar certo em Humanos. 80% dos entrevistados votaro em Chico. 20% dos entrevistados votaro em Lopes. Logo, Chico vai ser eleito. EXERCCIOS (1) Todos os bons estudantes so pessoas tenazes. Assim sendo: a) Alguma pessoa tenaz no um bom estudante. b) O conjunto dos bons estudantes contm o conjunto das pessoas tenazes. c) Toda pessoa tenaz um bom estudante. d) Nenhuma pessoa tenaz um bom estudante. e) O conjunto das pessoas tenazes contm o conjunto dos bons estudantes. (2) Todo baiano gosta de ax music. Sendo assim: a) b) c) d) e) Todo aquele que gosta de ax music baiano. Todo aquele que no baiano no gosta de ax music . Todo aquele que no gosta de ax music no baiano. Algum baiano no gosta de ax music. Algum que no goste de ax music baiano.

(3) Todo atleta bondoso. Nenhum celta bondoso. Da pode-se concluir que: a) b) c) d) e) Algum atleta celta; Nenhum atleta celta; Nenhum atleta bondoso; Algum que seja bondoso celta; Ningum que seja bondoso celta.

(4) Se chove ento faz frio. Assim sendo: a) b) c) d) Chover condio necessria para fazer frio. Fazer frio condio suficiente para chover. Chover condio necessria e suficiente para fazer frio. Chover condio suficiente para fazer frio.

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e) Fazer frio condio necessria e suficiente para chover. Soluo: Se chove, ento faz frio Chover condio suficiente para fazer frio Fazer frio condio necessria para chover.

(5) (Gestor-2000) A partir das seguintes premissas: Premissa 1: X A e B, ou X C Premissa 2: Se Y no C, ento X no C Premissa 3: Y no C Conclui-se corretamente que X : a) A e B b) No A ou C c) No A e B d) A e no B e) No A e no B (6) (AFC 2004) Uma professora de matemtica faz as trs seguintes afirmaes: X > Q e Z < Y, X > Y e Q > Y, se e somente se Y > Z; R > Q, se e somente se Y = X. Sabendo que todas as afirmaes da professora so verdadeiras, conclui-se corretamente que: a) X > Y > Q > Z b) X > R > Y > Z c) Z < Y < X < R d) X > Q > Z > R e) Q < X < Z < Y

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(CESPE) PVQ P Q I PVQ Q P II PQ P Q III PQ Q P IV

As letras P, Q e R representam proposies, e os esquemas acima representam quatro formas de deduo, nas quais, a partir das duas premissas (proposies acima da linha tracejada), deduz-se a concluso (proposio abaixo da linha tracejada). Os smbolos e so operadores lgicos que significam, respectivamente, no e ento, e a definio de dada na seguinte tabela verdade. P V V F F Q V F V F PVQ V V V F

Considerando as informaes acima e as do texto, julgue os itens que se seguem, quanto forma de deduo. (7) Considere a seguinte argumentao. Se juzes fossem deuses, ento juzes no cometeriam erros. Juzes cometem erros. Portanto, juzes no so deuses. Essa uma deduo da forma IV. (8) Considere a seguinte deduo. De acordo com a acusao, o ru roubou um carro ou roubou uma motocicleta. O ru roubou um carro. Portanto, o ru no roubou uma motocicleta. Essa uma deduo da forma II. (9) Dadas as premissas P Q; Q; R P, possvel fazer uma deduo de R usando-se a forma de deduo IV. (10)Na forma de deduo I, tem-se que a concluso ser verdadeira sempre que as duas premissas forem verdadeiras. (CESPE)

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A seguinte forma de argumentao considerada vlida. Para cada x, se P(x) verdade, ento Q(x) verdade e, para x = c, se P(c) verdade, ento se conclui que Q(c) verdade. Com base nessas informaes, julgue os itens a seguir. (11)Considere o argumento seguinte. Toda prestao de contas submetida ao TCU que expresse, de forma clara e objetiva, a exatido dos demonstrativos contbeis, a legalidade, a legitimidade e a economicidade dos atos de gesto do responsvel julgada regular. A prestao de contas da Presidncia da Repblica expressou, de forma clara e objetiva, a exatido dos demonstrativos contbeis, a legalidade, a legitimidade e a economicidade dos atos de gesto do responsvel. Conclui-se que a prestao de contas da Presidncia da Repblica foi julgada regular. Nesse caso, o argumento no vlido. (12)Considere o seguinte argumento. Cada prestao de contas submetida ao TCU que apresentar ato antieconmico considerada irregular. A prestao de contas da prefeitura de uma cidade foi considerada irregular. Conclui-se que a prestao de contas da prefeitura dessa cidade apresentou ato antieconmico. Nessa situao, esse argumento vlido. (CESPE) A forma de uma argumentao lgica consiste de uma seqncia finita de premissas seguidas por uma concluso. H formas de argumentao lgica consideradas vlidas e h formas consideradas invlidas. A respeito dessa classificao, julgue os itens seguintes. (13) A seguinte argumentao invlida. Premissa 1: Todo funcionrio que sabe lidar com oramento conhece contabilidade. Premissa 2: Joo funcionrio e no conhece contabilidade. Concluso: Joo no sabe lidar com oramento. (14) A seguinte argumentao vlida.

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Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos. Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos. Concluso: Carlos uma pessoa honesta. (CESPE) A lgica proposicional trata das proposies que podem ser interpretadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Para as proposies (ou frmulas) P e Q, duas operaes bsicas, e , podem ser definidas de acordo com as tabelas de interpretao abaixo. P V V F F Q V F V F P V F PQ V F V V P F V

Com base nessas operaes, novas proposies podem ser construdas. Uma argumentao uma seqncia finita de proposies. Uma argumentao vlida sempre que a veracidade (V) de suas (n - 1) premissas acarreta a veracidade de sua n-sima e ltima proposio. Com relao a esses conceitos, julgue os itens a seguir. (15) A seqncia de proposies Se existem tantos nmeros racionais quanto nmeros irracionais, ento o conjunto dos nmeros irracionais infinito. O conjunto dos nmeros irracionais infinito. Existem tantos nmeros racionais quanto nmeros irracionais. uma argumentao da forma PQ Q P (16)A argumentao Se lgica fcil, ento Scrates foi mico de circo. Lgica no fcil.

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Scrates no foi mico de circo. vlida e tem a forma PQ P Q (17)A tabela de interpretao de (P Q) P igual tabela de interpretao de P Q. (CESPE) Uma noo bsica da lgica a de que um argumento composto de um conjunto de sentenas denominadas premissas e de uma sentena denominada concluso. Um argumento vlido se a concluso necessariamente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Com base nessas informaes, julgue os itens que se seguem. (18) (19) (20) (21) Toda premissa de um argumento vlido verdadeira. Se a concluso falsa, o argumento no vlido. Se a concluso verdadeira, o argumento vlido. vlido o seguinte argumento: Todo cachorro verde, e tudo que verde vegetal, logo todo cachorro vegetal.

(CESPE) No Brasil, os pobres tm mais poder que os ricos. Isso ocorre porque o sistema poltico adotado no Brasil a democracia, no qual a vontade da maioria prevalece, e, no Brasil, existem mais pobres que ricos. Com relao ao argumento acima, julgue os itens seguintes. (22) A afirmativa No Brasil, os pobres tm mais poder que os ricos, citada no texto, uma premissa. (23) A orao no Brasil, existem mais pobres que ricos a concluso do texto. (24) O trecho o sistema poltico adotado no Brasil a democracia, no qual a vontade da maioria prevalece uma hiptese. (25) O argumento apresentado no texto um exemplo de argumento indutivo.

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(CESPE) Considere os enunciados I e II a seguir. I. Desde que a Ponte JK, que liga o Lago Sul ao Plano Piloto, foi inaugurada, o trfego entre o Lago Sul ao Plano Piloto melhorou. II. Houve muitas mudanas nas tcnicas de construo, desde que a Ponte JK foi construda. Julgue os itens que se seguem, acerca desses enunciados. (26) O enunciado I um argumento. (27) O enunciado II um argumento. (CESPE) A noo de conjunto fornece uma interpretao concreta para algumas idias de natureza lgica que so fundamentais para a Matemtica e o desenvolvimento do raciocnio. Por exemplo, a implicao lgica denotada por P Q pode ser interpretada como uma incluso entre conjuntos, ou seja, como P Q , em que P o conjunto cujos objetos cumprem a condio p, e Q o conjunto cujos objetos cumprem a condio q. Com o auxlio do texto acima, julgue se a proposio apresentada em cada item a seguir equivalente sentena abaixo. Se um indivduo est inscrito no concurso do Senado Federal, ento ele pode ter acesso s provas desse concurso. (28)Se um indivduo no pode ter acesso s provas do concurso do Senado Federal, ento ele no est inscrito nesse concurso. (29)O conjunto de indivduos que no podem ter acesso s provas do concurso do Senado Federal e que esto inscritos nesse concurso vazio. (30)Se um indivduo pode ter acesso s provas do concurso do Senado Federal, ento ele est inscrito nesse concurso. (31)O conjunto de indivduos que podem ter acesso s provas do concurso do Senado Federal igual ao conjunto de indivduos que esto inscritos nesse concurso. (32)O conjunto de indivduos que esto inscritos no concurso do Senado Federal ou que podem ter acesso s provas desse concurso est contido neste ltimo conjunto.

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(CESPE) Considere a assertiva seguinte, comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS.

adaptada

da

revista

Se o governo brasileiro tivesse institudo, em 1962, o monoplio da explorao de petrleo no territrio nacional, a PETROBRAS teria atingido, nesse mesmo ano, a produo de

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