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Coordinación de Matemática y Estadística ME-003 Cálculo I
Límites indeterminados
Presentación
2
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Este material tiene como finalidaddesarrollar las habilidades y destrezasnecesarias para resolver límitesindeterminados.
Para ello, se plantean una serie deejercicios, los cuales serán desarrolladospaso a paso, resaltando aquellos aspectosimportantes para resolver cada uno deellos.
Es importante recalcar que este tema, esde suma importancia para el cálculo delímites.
Índice
Presentación 2
Límites indeterminados 4
Ejemplo #1 5
Ejemplo #2 9
Ejemplo #3 13
Ejemplo #4 18
A manera de cierre_________________22
Créditos__________________________23
3
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Límites Indeterminados
4
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Al aplicar sustitución directa en un límite
se obtiene una forma indeterminada0
0.
Para calcular este tipo de límites esnecesario factorizar o racionalizar laexpresión algebraica.
Ejemplo #1
5
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Resuelva el siguiente límite:
lim𝑥→−3
2𝑥4 + 54𝑥
𝑥2 − 9
Paso 1Evaluar el límite
lim𝑥→−3
2𝑥4 − 54𝑥
𝑥2 − 9
=2 −3 4 + 54 −3
−3 2 − 9
=0
0
6
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #1
Paso 2Factorizar el denominador y el numerador
lim𝑥→−3
2𝑥4 + 54𝑥
𝑥2 − 9
= lim𝑥→−3
2𝑥 𝑥3 + 27
𝑥 − 3 𝑥 + 3
= lim𝑥→−3
2𝑥 𝑥 + 3 𝑥2 − 3𝑥 + 9
𝑥 − 3 𝑥 + 3
7
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #1
Paso 3Simplificar la expresión algebraica
= lim𝑥→−3
2𝑥 𝑥 + 3 𝑥2 − 3𝑥 + 9
𝑥 − 3 𝑥 + 3
= lim𝑥→−3
2𝑥 𝑥2 − 3𝑥 + 9
𝑥 − 3
Paso 4Evaluar el límite
lim𝑥→−3
2𝑥 𝑥2 − 3𝑥 + 9
𝑥 − 3
=2(−3) −3 2 − 3 −3 + 9
−3 − 3= 27
8
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #1
Paso 5Dar la respuesta
lim𝑥→−3
2𝑥4 + 54𝑥
𝑥2 − 9= 27
Ejemplo #2
9
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Resuelva el siguiente límite:
lim𝑥→𝑎
3𝑎𝑥 − 2𝑎 + 2𝑥 − 3𝑎2
5𝑎𝑥 + 𝑎 − 5𝑎2 − 𝑥
Paso 1Evaluar el límite
=3𝑎 𝑎 − 2𝑎 + 2 𝑎 − 3𝑎2
5𝑎 𝑎 + 𝑎 − 5𝑎2 − 𝑎
=3𝑎2 − 2𝑎 + 2𝑎 − 3𝑎2
5𝑎2 + 𝑎 − 5𝑎2 − 𝑎
=0
0
10
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #2
Paso 2Factorizar el denominador y el numerador
lim𝑥→𝑎
3𝑎𝑥 − 2𝑎 + 2𝑥 − 3𝑎2
5𝑎𝑥 + 𝑎 − 5𝑎2 − 𝑥
= lim𝑥→𝑎
3𝑎𝑥 − 3𝑎2 + 2𝑥 − 2𝑎
5𝑎𝑥 − 𝑥 + 𝑎 − 5𝑎2
= lim𝑥→𝑎
3𝑎 𝑥 − 𝑎 + 2 𝑥 − 𝑎
𝑥 5𝑎 − 1 + 𝑎 1 − 5𝑎
= lim𝑥→𝑎
3𝑎 𝑥 − 𝑎 + 2 𝑥 − 𝑎
𝑥 5𝑎 − 1 − 𝑎 5𝑎 − 1
= lim𝑥→𝑎
𝑥 − 𝑎 3𝑎 + 2
5𝑎 − 1 𝑥 − 𝑎
11
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #2
Paso 3Simplificar la expresión algebraica
lim𝑥→𝑎
𝑥 − 𝑎 3𝑎 + 2
5𝑎 − 1 𝑥 − 𝑎
= lim𝑥→𝑎
𝑥 − 𝑎 3𝑎 + 2
5𝑎 − 1 𝑥 − 𝑎
= lim𝑥→𝑎
3𝑎 + 2
5𝑎 − 1
Paso 4Evaluar el límite
=3𝑎 + 2
5𝑎 − 1
12
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #2
Paso 5Dar la respuesta
lim𝑥→𝑎
3𝑎𝑥 − 2𝑎 + 2𝑥 − 3𝑎2
5𝑎𝑥 + 𝑎 − 5𝑎2 − 𝑥=3𝑎 + 2
5𝑎 − 1
Ejemplo #3
13
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Resuelva el siguiente límite:
lim𝑥→9
2𝑥 − 2 − 4
𝑥 − 3
Paso 1Evaluar el límite
lim𝑥→9
2𝑥 − 2 − 4
𝑥 − 3
=2 9 − 2 − 4
9 − 3
=0
0
14
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #3
Paso 2Racionalizar el denominador y elnumerador
lim𝑥→9
2𝑥 − 2 − 4
𝑥 − 3∙
2𝑥 − 2 + 4
2𝑥 − 2 + 4∙
𝑥 + 3
𝑥 + 3
= lim𝑥→9
2𝑥 − 22− 42 𝑥 + 3
𝑥 2 − 32 2𝑥 − 2 + 4
= lim𝑥→9
2𝑥 − 2 − 16 𝑥 + 3
𝑥 − 9 2𝑥 − 2 + 4
= lim𝑥→9
2𝑥 − 18 𝑥 + 3
𝑥 − 9 2𝑥 − 2 + 4
15
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #3
Paso 3Factorizar el numerador y simplificar
= lim𝑥→9
2 𝑥 − 9 𝑥 + 3
𝑥 − 9 2𝑥 − 2 + 4
= lim𝑥→9
2 𝑥 − 9 𝑥 + 3
𝑥 − 9 2𝑥 − 2 + 4
= lim𝑥→9
2 𝑥 + 3
2𝑥 − 2 + 4
16
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #3
Paso 4Evaluar el límite
=2 9 + 3
2 9 − 2 + 4
=3
2
Paso 5Dar la respuesta
lim𝑥→9
2𝑥 − 2 − 4
𝑥 − 3=3
2
Ejemplo #4
17
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Resuelva el siguiente límite:
lim𝑥→5
2 −3𝑥 + 3
𝑥2 − 6𝑥 + 5
Paso 1Evaluar el límite
lim𝑥→5
2 −3𝑥 + 3
𝑥2 − 6𝑥 + 5
=2 −
35 + 3
5 2 − 6(5) + 5
=0
0
18
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #4
Paso 2Racionalizar el numerador y factorizar eldenominador
lim𝑥→5
2 −3𝑥 + 3
𝑥2 − 6𝑥 + 5
= lim𝑥→5
2 −3𝑥 + 3
𝑥2 − 6𝑥 + 5∙2 2 + 2
3𝑥 + 3 +
3𝑥 + 3
2
2 2 + 23𝑥 + 3 +
3𝑥 + 3
2
= lim𝑥→5
2 3 −3𝑥 + 3
3
(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +
3𝑥 + 3
2
= lim𝑥→5
8 − 𝑥 + 3
(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +
3𝑥 + 3
2
19
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #4
= lim𝑥→5
8 − 𝑥 − 3
(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +
3𝑥 + 3
2
= lim𝑥→5
5 − 𝑥
(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +
3𝑥 + 3
2
= lim𝑥→5
− 𝑥 − 5
(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +
3𝑥 + 3
2
20
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #4
Paso 3Simplificar la expresión algebraica
= lim𝑥→5
− 𝑥 − 5
(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +
3𝑥 + 3
2
= lim𝑥→5
− 𝑥 − 5
(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +
3𝑥 + 3
2
= lim𝑥→5
−1
𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +
3𝑥 + 3
2
21
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Ejemplo #4
Paso 4Evaluar el límite
=−1
5 − 1 4 + 235 + 3 +
35 + 3
2
=−1
48
Paso 5Dar la respuesta
lim𝑥→5
2 −3𝑥 + 3
𝑥2 − 6 + 5=−1
48
Factorizar la expresión
22
Tema: Límites indeterminados, Unidad II
Espero que estos ejercicios le sean de utilidadpara reforzar los conceptos necesarios para elcálculo de límites indeterminados, y de estamanera pueda construir los nuevos conocimientosde Cálculo I.
“Lo que sabemos es una gota de agua. Lo que
ignoramos es el océano”.
Isacc Newton
Créditos
23
Universidad Técnica Nacional
Coordinación de Matemáticas y Estadística
Contenido
Autor: Evelyn Delgado Carvajal
Producción del recurso didáctico:
Productora académica: Guadalupe Camacho Zúñiga
Diseño Gráfico y multimedia: Karol González Ugalde
Derecho de Autor
Queda prohibida la reproducción, transformación,distribución y comunicación pública de la obramultimedia [Racionalización], por cualquier medio oprocedimiento, conocido o por conocerse, sin elconsentimiento previo de los titulares de los derechos,así como de las obras literarias, artísticas o científicasparticulares que contiene.
Tema: Límites indeterminados, Unidad II