Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

1

Chapter 1 อุปนัยเชิงคณิตศาสตร ์(สมการ และ อสมการ)

Chapter 2 ฟังก์ชันและกราฟ (การหาโดเมน และ ร่างกราฟ)

Chapter 3 ลิมิตและความต่อเนื่อง

- ลิมิต

- ลิมิตอนันต ์

- ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

Chapter 4 อนุพันธ์

- การใช้สูตรและกฎลูกโซ ่

- อนุพันธ์อันดับสงู

- การหาอนุพันธ์ของฟังชันก์โดยปริยาย

- การหาอนุพันธ์ของสมการอิงตัวแปรเสริม

- การหาอนุพันธ์โดยการใช้เทคนิคการใส่ ln ( take ln )

Chapter 5 การประยุกต์ของอนุพันธ์

- รูปแบบไม่ก าหนด

- การร่างกราฟ

- อัตราสมัพัทธ์

…………………………………………………………………………..

การวัดและประเมินผล

ช้ินงานในหอง (15 %) + สอบกลางภาค (45%) + สอบประจ าภาค (40%)

เกณฑในการตัดเกรด

นักศึกษาที่ไดคะแนนรวมต่ํากวา 40% ไดเกรด E

นักศึกษาที่ไดคะแนนรวมตั้งแต 55% ข้ึนไป อยางต่ําไดเกรด C

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

2

Chapter 1

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

สรุป

การพสิูจน์ว่า P(n) เปนจรงินั้นจะต้องกระท าสองข้ันตอน คือ

ข้ันที่ 1 แสดงว่า P(n) เป็นจรงิ เมื่อ n = 1

ข้ันที่ 2 พิสจูน์ว่า ถ้า P(n) เป็นจรงิ เมื่อ n = k แลวจะท าให ้P(n) เป็นจริง เมื่อ n = k + 1 ด้วย

ให้ P(n) แทนข้อความ............................................................................

ดังนั้น P(…..) คือ....................................................................................

ซึ่งเป็นจริง เพราะ...................................................................................

ให้ k เป็นจ านวนเต็มบวกใด ๆ ซึ่ง k ≥ ………….

สมมติให้ P(k) เป็นจรงิ

นั้นคือ ..............................................................เป็นจรงิ

ต้องการพสิจูน์ว่า P(k+1) เป็นจรงิ

นั้นคือ เราต้องการพสิูจน์ว่า

เนื่องจาก

...............................................................................

(พิสจูน์)

สรปุ โดยหลักการของอปุนัยเชิงคณิตศาสตร์ เราจะได้ว่าข้อความ P(n) เป็นจรงิ ส าหรบัทุกจ านวนเต็มบวก n≥

หลักการของอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

ให้ P(n) แทนข้อความที่เกี่ยวข้องกับจ านวนเต็มบวก n

ถ้า 1) P(1) เป็นจรงิ

และ 2) ให k เปนจ านวนเต็มบวกใด ๆ

ถา P(k) เป็นจรงิ แลว้ P(k+1) เปนจริงดว้ย

แล้วจะไดว่้า P(n) เปนจริง ส าหรับจ านวนเต็มบวก n ทุกจ านวน

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

3

Ex0. จงพิสจูน์ว่า 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n–1) = n2 ส าหรบัทุก ๆ จ านวนเตม็บวก n

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

4

Ex1. จงพิสจูน์ว่า 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n+1) ส าหรับจ านวนเต็มบวก n ที่มากกว่าหรือเท่ากบั 1

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

5

Ex2. จงพสิูจน์วา 12+22+32 +...+ n2 = 1

6n(n+1)(2n+1) ส าหรบัจ านวนเต็มบวก n ที่มากกว่าหรือเท่ากบั 1

วิธีท ำ

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

6

Ex3. จงพสิูจนวา 1+2+4 +8+...+ 2n-1 = 2n – 1 ส าหรับจ านวนเต็มบวก n

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

7

Ex4. จงพสิูจนวา 1+2n ≤ 2n ส าหรบัจ านวนเตม็บวก n ≥ 3

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

8

Ex5. จงพสิูจนวา n! > 3n-1 ส าหรับจ านวนเต็มบวก n ≥ 5

Ex6. จงพสิูจนวา n2 ≤ 2n ส าหรบัจ านวนเตม็บวก n ≥ 4 (ข้อสอบปี 2557)

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

9

โจทย์เพิ่มเติมจาก LMS

1. 1 + 3 +5 + 7 + ... + (2n-1) = n2 ; n 1 2. 1 + 2n 2n ; n 3 3. n! > 3n-1 ; n 5 4. 12+22+32 +...+ n2 = 1

6n(n+1)(2n+1) ; n 1

5. 2n > n2 ; n 5 6. nn > n! ; n 2 7. n3 > 3n+3 ; n 3 8. 4+8+12 +...+ 4n = 2𝑛(𝑛 = 1) ; n 1

9. 1+6+11 +...+ (5n-4) = 2

35 nn ; n 1 (ข้อสอบปี 52)

10. 1 + 2 +4 + ... + 2n-1 = 2n-1 ; n 1 11. 2n + 1 3n ; n 1 12. 2n n+1 ; n 1 13. 2n > n3 ; n 10 14. n2 + 47 < n3 ; n 4 (ข้อสอบปี 58) 15. n2 2n ; n 4 (ข้อสอบปี 57)

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

10

Chapter 2

ฟังก์ชันและกราฟ

ให้พิจารณาดังต่อไปนี ้

𝑓(𝑥) = √△

△ ≥ 0

𝑓(𝑥) = ln△

△ > 0

𝑓(𝑥) = 1

△

△ ≠ 0

𝑓(𝑥) = 1

√△

△ > 0

𝑓(𝑥) = 1

ln△

△> 0 และ △≠ 1

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

11

Ex1. 𝑓(𝑥) = 1

𝑥−1

Ex2. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1

Ex3. 𝑓(𝑥) =1

√1−𝑥2

Ex4. 𝑓(𝑥) =1

ln(𝑥+2)

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

12

Ex5 ก าหนดให้ y = f(x) ดังรูป จงหาโดเมนและเรนจ์ ( 2 คะแนน จากข้อสอบปี 58/1)

Ex5 จงหาโดเมนของฟังก์ชันต่อไปนี ้

1. x

xy

1

Df = ………………………………………..

2. 24 xy

Df = ………………………………………..

3. 1

1

xy

Df = ………………………………………..

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

13

ฟังก์ชันที่ควรทราบ และวาดกราฟได้ทันท ี

1. เส้นตรง

2. พาราโบล่า

3. วงกลม

4. วงร ี

5. Exponential Function & Logarithmic Function

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

14

ฟังก์ชันที่ควรทราบ และวาดกราฟได้ทันท ี

6. เส้นตรง

7. พาราโบล่า

8. วงกลม

9. วงร ี

10. Exponential Function & Logarithmic Function

………………………………………………………………………………………………

1. เส้นตรง

สมการ : baxy

2. พาราโบล่า

สมการ : 2axy และ 2ayx

3. วงกลม

สมการ : 222 ryx

Math1 By พี่ทรติวเตอร ์

15

4. วงรี

สมการ : 12

2

2

2

b

y

a

x

5. Exponential Function & Logarithmic Function

สมการ Exponential : xay

สมการ Logarithmic : xy

alog