Líneas de investigación

P e t r a W i e d e r h o l d

e-mail: biene@ctrl.cinvestav.mx

Página Web: http://ctrl.cinvestav.mx/~biene

(Platica de 1 hora, mayo 2007, disponible en WebSite)

mailto:biene@ctrl.cinvestav.mxhttp://ctrl.cinvestav.mx/~biene

Mis origenes:Turingia (Harz),

Alemania Oriental

1981-1986 Estudios de Matematicas(1986 Maestria)

Universidad “Friedrich Schiller”, Jena, Turingia

1998 Doctorado, Matematicas(Topologia, Posets, Dimension)

UAM-Iztapala, Mexico

desde 1990 en el CINVESTAV

desde 1988 en Mexico

Contenido de Platica:

• Introducción

• Modelos de imágenes

• * Estructuras Vecinas

• * Complejos Celulares

• * Espacios Digitales

• Proyectos en estudio

Introducción

Matemáticas

Procesamiento Digital

de Imágenes

/Visión

por Computadora

TopologíaGeometría

CombinatoriaAlgebra

Topología y Geometría

Digital

Procesamiento Digital de Imágenes (=Visión por Computadora)

Hacer computadoras capaces de

captar, procesar, y

entender imágenes.

Imágenes digitales –para su

transformación, análisis, interpretación y clasificación,

y además, los métodos y algoritmos y medios de programación

y técnicospara realizar eso.

Objetivo: Objetos:

Procesamiento Digital de Imágenes

Áreas de aplicación :

Área industrial técnica

Control de Calidad

Procesam. de

documentos

Robotica

Biología

Medicina

GeografíaMetrología

Astronomía

Porqué ... ?

Topología ... ?y

Geometría ... ?DIGITAL ?

Topología Geometría

Forma

Espacio

Dimensión

Conectividad

Figura

Tamaño

LinealidadPlanaridad

Transformacionesgeométricas

... en imágenes ... ... digitales !??!

Modelos de imágenes

Modelos (del dominio de definición !) de imágenes digitales

Modelos gráficos

Estructuras vecinas /

de incidenciaModelos

combinatorios

Complejos Simpliciales /

CelularesModelos

topológicos

“Espacios Digitales”

Estructuras Vecinas

4 -Estructura Vecina / 4 -vecinos

6R - Estructura Vecina / 6R - vecinos

8 - Estructura Vecina / 8 - vecinos

Def.: Estructura vecina

relación binariano reflexiva, simétrica,(en gral. no transitiva)(cantos de una gráfica !)

“relación de vecindad”

4-vecindad, 4-camino 8-vecindad, 8-camino

Contornos bajo 4- y 8-conectividad

! Contorno ( = frontera ) es secuencia de píxeles (no de cantos) ! Frontera es parte del objeto, por eso : frontera del objeto no coincide con frontera del complemento del objeto

Gráficas vecinas en 3D

6-vecindad 18-vecindad 26-vecindad

Proyectos con estudiantes realizados

• Algoritmos de Esqueletización de Imágenes Digitales BinariasAdelgazamiento y transformación al eje medio para imágenes digitales 2D, bajo las conectividades de tipo 4, 6L, 6R, 8

(Tesis de maestría, 1993, Juan Luis Díaz de León Santiago)

• Esqueletos continuos y discretos en el plano generados mediante adelgazamientoEsqueletos generados mediante adelgazamiento (8-conectividad) bajo un proceso de aumento de resolución, comparación de los esqueletos discretos con el eje medio en R2

(Tesis de maestría, 2005, Gabriela A. Gallegos Garrido )

Complejos Celulares

Def.: Complejo Celular

relación binariareflexiva, antisimétrica,transitiva(B es un orden parcial !)

“relación de fronterización”

Ejemplos

YZ

X

Z

F1

F2

F3

F4F5

F6

F7 PZ

C1

C2

C3 C4

C5

C6

Ejemplos

Conectividad en un complejo celular

a través de caminos

Ejemplos de subcomplejos (no) conexos

Estrellas abiertas y frontera

Frontera de un objeto = conjunto de todos los elementos (del complejo !)

cuya estrella abierta intersectatanto al objeto como a su complemento.

a)

Frontera

b)

Frontera como Modelo de Contorno

! Frontera es secuencia de puntos y cantos (no cuadrados) ! Frontera es la frontera topológica del objeto, por eso : frontera del objeto coincide con frontera del complemento del objeto.

3

3

5

73

5

7

7

0

0

0 0 0

44

4

4

0

2

2

2

2

26

6

6

6

2

2

2

4

62

4

6

6

Proyectos con estudiantes realizados

• "Seguimiento de fronteras de objetos en complejos celulares cúbicos de dimensión dos y tres"(Tesis de maestría, 2003, Saul M. Domínguez Nicolás)

• "Convexidad de subcomplejos celulares de dimensión dos"(Tesis de maestría, 2004, Luis A. Martínez Castro)

• "Adelgazamiento de subcomplejos celulares de dimensión dos"(Tesis de maestría, 2004, Maria del Rayo Zempoala Ramírez)

Proyectos con estudiantes en proceso(Opción de estudios “Matemáticas”)

• "Topología del adelgazamiento sobre el complejo celular cuadrático y sobre el complejo celular triangular "(Tesis de maestría, 2007, Pablo Sandino Morales Chávez )

• "Geometría del adelgazamiento sobre el complejo celular cuadrático y sobre el complejo celular hexagonal "(Tesis de maestría, 2007, Alfredo Trejo Martínez )

Espacios Digitales

Construcción de un espacio digital según Kronheimer (1992)... en el Plano Euclidiano :

Un conjunto discreto ...

... es identificado con una fenestración W,

(Esta es la fenestración estándar.)

Fenestración de Rn

= familia de sub-conjuntos propiosno vacíos, ajenospor parejas, regulares abiertosde Rntal que su unión es densa en Rn.

... y extendido a un espacio cociente abierto del plano,

llamado W - grid.

Hay un W – grid minimal ... !

El W – grid minimal de la fenestración estándar:

Teorema:(Kronheimer)

Para todafenestraciónlocalmente

finitade Rn,

el W – grid minimal es un

espacio T0Alexandroff.

Espacio Alexandroff =

espacio topol. donde toda intersección de abiertos es abierta,o, equivalentemente,

donde cada punto tiene una vecindad abierta minimal.

(Alexandroff 1937)

Ejemplo:

Espacio Digital X = W – grid minimal de una

fenestración localmente finita

• X es un espacio T0 Alexandroff• la proyección natural es mapeo abierto

• la dimensión de X debe ser igual a n !?!

suponiendo una fenestración del espacio Euclidiano Rn

Dimensión para espacios Alexandroff

Aplicación de la dimensión indde la Topología General

Def. y demostración de propiedades “bonitas”:

"Dimension for Alexandrov Spaces“, (Wiederhold/Wilson),Vision Geometry, SPIE Proceedings Series, 1993.

"The Krull dimension of Alexandroff T0 spaces”,(Wiederhold/Wilson), Papers on General Topology and Applications, Annals of the New York Academy of Science, 1996.

Espacios T0 Alexandroff son equivalentes a conjuntos parcialmente ordenados

(= complejos celulares !!!)

(X,

Dimensión del orden parcial

Dimensión topológica = dimensión del orden parcial

Teorema: (Wiederhold/Wilson 1993)

El espacio digital construido a partir de lafenestración estándar de Rn (cubos abiertos)

tiene dimensión igual a n.

Para fenestraciones local-mente finitas arbitrarias de Rn,

lo mismo NO es verdad. (Ejemplos: Wiederhold/Wilson 2002)

El caso acotado convexo

Teorema: (Wiederhold/Wilson 2002)

"The Alexandroff dimension of digital quotients of Euclidean spaces”,Discrete & Computational Geometry, Vol. 27, 2002.

Homeomorfo a discos …, para el plano:

Teorema: (Wiederhold/Wilson 2004)

"The Alexandroff dimension of quotients of R2“,Discrete & Computational Geometry, Vol. 32, 2004.

Proyectos en estudio

Temas actuales de investigación:

• Conceptos de dimensión para espacios digitales (espacios topológicos de Alexandroff ) y estructuras matemáticas relacionadas (posets, grupos, grafos)

• Esqueletos y sus propiedades topológicas y geométricas, en particular: Adelgazamiento sobre espacios digitales (2 Tesis de maestría en proceso)

• Estimadores del área de superficies digitales bajo el aspecto de la convergencia multireticular.(1 Tesis de doctorado en proceso)

• Generalización de resultados sobre la dimensión de espacios digitales generados a partir de fenestraciones esféricas de Rnpara n>=3.

Esqueletos

Esqueleto según Blum (1967)

!!! en el plano Euclidiano !!!

Adelgazamiento sobre complejos celulares (Kovalevsky 2001)

Esqueletos en complejos celulares cuadráticos(Tesis Rayo)

Esqueletos en complejos celulares cuadráticos(Tesis Rayo)

Esqueleto

Adelgazamiento

en complejos celulares cuadráticos

(Tesis Alfredo)

(Tesis Sandino)

Gracias

Para consultar publicaciones y tesis asesoradas:Página Web: http://ctrl.cinvestav.mx/~biene

http://ctrl.cinvestav.mx/~biene

Gráficas vecinas en 3DProyectos con estudiantes realizadosConectividad �en un complejo celularEjemplos de subcomplejos (no) conexosEstrellas abiertas y fronteraFronteraProyectos con estudiantes realizadosProyectos con estudiantes en proceso�(Opción de estudios “Matemáticas”)... y extendido a �un espacio cociente abierto del plano,�llamado W - grid.Espacios T0 Alexandroff son equivalentes a conjuntos parcialmente ordenados �(= complejos celulares !!!)Dimensión del orden parcialEl caso acotado convexo Homeomorfo a discos …, para el plano:Esqueleto según Blum (1967)Adelgazamiento sobre �complejos celulares (Kovalevsky 2001)Esqueletos en complejos celulares cuadráticos�(Tesis Rayo) Esqueletos en complejos celulares cuadráticos�(Tesis Rayo) Adelgazamiento �en complejos celulares cuadráticos Gráficas vecinas en 3DProyectos con estudiantes realizadosConectividad �en un complejo celularEjemplos de subcomplejos (no) conexosEstrellas abiertas y fronteraFronteraProyectos con estudiantes realizadosProyectos con estudiantes en proceso�(Opción de estudios “Matemáticas”)... y extendido a �un espacio cociente abierto del plano,�llamado W - grid.Espacios T0 Alexandroff son equivalentes a conjuntos parcialmente ordenados �(= complejos celulares !!!)Dimensión del orden parcialEl caso acotado convexo Homeomorfo a discos …, para el plano:Esqueleto según Blum (1967)Adelgazamiento sobre �complejos celulares (Kovalevsky 2001)Esqueletos en complejos celulares cuadráticos�(Tesis Rayo) Esqueletos en complejos celulares cuadráticos�(Tesis Rayo) Adelgazamiento �en complejos celulares cuadráticos